Cambio de velocidad y resta de vectores para Física HSC
Aprende a calcular cambios de velocidad usando valores con signo, diagramas vectoriales y resta de componentes. Incluye ejemplos resueltos, errores frecuentes y práctica de estilo HSC.
Un automóvil se desplaza hacia el este a 15 m/s. Unos segundos después, se desplaza hacia el norte a 15 m/s. El velocímetro muestra el mismo valor en ambos momentos.
Entonces, ¿ha cambiado su velocidad vectorial?
Haz una predicción antes de seguir leyendo. Es tentador decir que no porque la rapidez se mantuvo en 15 m/s. Pero la velocidad vectorial incluye tanto la dirección como la rapidez. Girar hacia el norte cambia la velocidad vectorial, aunque su magnitud permanezca constante.
La pregunta útil no es solo «¿a qué rapidez se mueve ahora el objeto?». Es:
¿Qué vector debe sumarse a la velocidad inicial para convertirla en la velocidad final?
Ese vector es el cambio de velocidad.
01Imagina la velocidad como una flecha
Un vector velocidad puede representarse como una flecha.
- La longitud de la flecha representa la rapidez.
- La dirección de la flecha representa la dirección del movimiento.
Una velocidad de 10 m/s hacia el este podría representarse mediante una flecha que apunta hacia el este. Una velocidad de 10 m/s hacia el norte tiene la misma longitud, pero apunta hacia el norte.
Esto significa que dos objetos pueden tener la misma rapidez y, al mismo tiempo, velocidades vectoriales completamente diferentes.
Esto nos da nuestro primer modelo mental:
El cambio de velocidad es la flecha que te lleva desde la flecha de velocidad inicial hasta la flecha de velocidad final.
Este modelo es útil, pero requiere una condición importante. Los vectores de velocidad inicial y final deben compararse desde el mismo punto de origen.
02La regla de la resta de vectores
Representamos la velocidad inicial como \(\vec v_i\), donde \(i\) significa inicial, y la velocidad final como \(\vec v_f\).
El cambio de velocidad es
\[ \Delta \vec v = \vec v_f - \vec v_i \]
Aquí:
- \(\Delta\) significa «cambio en»
- \(\vec v\) representa la velocidad
- \(\vec v_i\) es la velocidad inicial
- \(\vec v_f\) es la velocidad final
El orden importa.
Siempre es:
final menos inicial
y no inicial menos final.
¿Por qué? Reordena la ecuación:
\[ \vec v_f = \vec v_i + \Delta \vec v \]
Por tanto, \(\Delta \vec v\) es exactamente el vector velocidad que debe sumarse a la velocidad inicial para producir la velocidad final.
Ese es el significado físico de la resta.
03Movimiento unidimensional: usa signos para indicar la dirección
Si un objeto solo se mueve a lo largo de una línea recta, la resta de vectores se convierte en una resta ordinaria, siempre que asignes signos opuestos a direcciones opuestas.
Por ejemplo, podrías elegir:
- este como positivo
- oeste como negativo
También podrías elegir el oeste como positivo. A la física no le importa qué dirección elijas. Lo importante es que seas coherente.
Ejemplo resuelto: Un ciclista reduce su rapidez mientras se desplaza hacia el este
Un ciclista se desplaza inicialmente hacia el este a 12 m/s. El ciclista reduce su rapidez hasta 5.0 m/s hacia el este. Calcula el cambio de velocidad.
Elige el este como positivo.
Paso 1
\[ v_i = +12\text{ m/s} \]
\[ v_f = +5.0\text{ m/s} \]
Ambas son positivas porque ambas velocidades apuntan hacia el este.
Paso 2
\[ \begin{aligned} \Delta v &= v_f-v_i\\ &= (+5.0)-(+12)\\ &= -7.0\text{ m/s} \end{aligned} \]
Paso 3
El signo negativo significa que el cambio de velocidad apunta hacia el oeste.
Por tanto,
\[ \boxed{\Delta v = 7.0\text{ m/s hacia el oeste}} \]
Observa algo que puede parecer un poco extraño. El ciclista sigue moviéndose hacia el este, pero el cambio de velocidad apunta hacia el oeste.
Esto tiene sentido físicamente. Para reducir una velocidad dirigida hacia el este, la velocidad debe cambiar en dirección oeste.
04El cambio de sentido es donde los estudiantes suelen equivocarse
Supón que un carrito se desplaza hacia el este a 8.0 m/s y después se desplaza hacia el oeste a 6.0 m/s.
Un error frecuente es:
\[ 8.0-6.0=2.0\text{ m/s} \]
Ese cálculo solo resta las rapideces. Ha descartado las direcciones.
Elige el este como positivo. Entonces,
\[ v_i=+8.0\text{ m/s}, \qquad v_f=-6.0\text{ m/s} \]
Por tanto,
\[ \begin{aligned} \Delta v &= v_f-v_i\\ &=(-6.0)-(+8.0)\\ &=-14.0\text{ m/s} \end{aligned} \]
El cambio de velocidad es de 14 m/s hacia el oeste.
Piensa en lo que tuvo que hacer el carrito. Primero tuvo que eliminar 8 m/s de velocidad hacia el este simplemente para llegar a velocidad cero y, después, adquirir otros 6 m/s hacia el oeste. Por tanto, el cambio total de velocidad es de 14 m/s hacia el oeste.
Por eso son importantes las velocidades con signo.
05Resta de vectores en un diagrama
En dos dimensiones, ya no basta con llamar positiva a una dirección y negativa a la otra. El objeto podría moverse hacia el noreste, el suroeste o en cualquier otro ángulo.
La ecuación vectorial sigue siendo
\[ \Delta \vec v=\vec v_f-\vec v_i \]
Hay dos formas gráficas útiles de entender la resta.
Método 1: Coloca ambas velocidades con sus colas en el mismo punto
Dibuja \(\vec v_i\) y \(\vec v_f\) desde el mismo punto.
Después dibuja una flecha:
desde la punta de \(\vec v_i\) hasta la punta de \(\vec v_f\).
Esa flecha es \(\Delta\vec v\).
La dirección es importante. Si dibujas la flecha desde la velocidad final de vuelta hacia la inicial, habrás obtenido \(-\Delta\vec v\), el vector opuesto.
Método 2: Convierte la resta en una suma
La resta de vectores siempre puede reescribirse como
\[ \Delta\vec v=\vec v_f+(-\vec v_i) \]
El vector \(-\vec v_i\) tiene la misma magnitud que \(\vec v_i\), pero apunta en la dirección opuesta.
Después puedes usar la suma de vectores ordinaria mediante el método de punta con cola.
Una forma un poco absurda de recordarlo es imaginar que cancelas un plan para cenar. Restar el plan original no es lo mismo que fingir que nunca existió. Necesitas un vector igual y opuesto que «deshaga el plan». La analogía deja de ser útil cuando empezamos a calcular componentes, pero ayuda a entender por qué restar un vector invierte su dirección.
06Los diagramas a escala pueden dar una respuesta gráfica
Si una pregunta pide determinar gráficamente el cambio de velocidad, puedes usar un dibujo a escala.
Por ejemplo, supón que la escala es:
1 cm representa 2 m/s
Si la flecha de \(\Delta\vec v\) que has medido tiene 4.5 cm de longitud, su magnitud representa
\[ 4.5\times2=9.0\text{ m/s} \]
Después medirías su dirección usando el diagrama.
Un diagrama a escala está limitado por la precisión con la que puedas dibujarlo y medirlo. Los cálculos por componentes suelen dar una respuesta numérica más precisa.
Aun así, el diagrama es extremadamente útil porque muestra qué significa realmente la resta.
07Cambios de velocidad en dos dimensiones: resta las componentes
Cualquier vector velocidad bidimensional puede descomponerse en componentes perpendiculares.
Un sistema de coordenadas conveniente es:
- este como \(x\) positivo
- norte como \(y\) positivo
Entonces podemos escribir una velocidad como
\[ \vec v=(v_x,v_y) \]
donde \(v_x\) es la componente este-oeste y \(v_y\) es la componente norte-sur.
Para calcular el cambio de velocidad, resta las componentes correspondientes:
\[ \Delta v_x=v_{fx}-v_{ix} \]
y
\[ \Delta v_y=v_{fy}-v_{iy} \]
Por tanto,
\[ \Delta\vec v=(\Delta v_x,\Delta v_y) \]
Una vez que tengas esas componentes, el teorema de Pitágoras proporciona la magnitud:
\[ |\Delta\vec v|=\sqrt{(\Delta v_x)^2+(\Delta v_y)^2} \]
Después puedes calcular la dirección mediante trigonometría.
Ejemplo resuelto: Un dron cambia de dirección
Un dron se mueve inicialmente a 6.0 m/s hacia el este. Más tarde se mueve a 8.0 m/s hacia el norte. Calcula la magnitud y la dirección de su cambio de velocidad.
Toma el este como \(x\) positivo y el norte como \(y\) positivo.
Paso 1
La velocidad inicial está dirigida completamente hacia el este:
\[ \vec v_i=(6.0,0)\text{ m/s} \]
La velocidad final está dirigida completamente hacia el norte:
\[ \vec v_f=(0,8.0)\text{ m/s} \]
Paso 2
\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=\vec v_f-\vec v_i\\ &=(0,8.0)-(6.0,0)\\ &=(-6.0,8.0)\text{ m/s} \end{aligned} \]
La componente \(x\) negativa indica oeste. La componente \(y\) positiva indica norte.
Por tanto, el cambio de velocidad apunta hacia el noroeste.
Paso 3
\[ \begin{aligned} |\Delta\vec v| &=\sqrt{(-6.0)^2+(8.0)^2}\\ &=\sqrt{36+64}\\ &=10\text{ m/s} \end{aligned} \]
Paso 4
Usando el ángulo al norte del oeste,
\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{8.0}{6.0}\\ \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{8.0}{6.0}\right)\\ &=53^\circ \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{\Delta\vec v=10\text{ m/s a }53^\circ\text{ al norte del oeste}} \]
Este resultado no significa que el dron se esté desplazando hacia el noroeste. Su velocidad final apunta hacia el norte.
El vector hacia el noroeste describe cómo tuvo que cambiar su velocidad para pasar de la velocidad inicial hacia el este a la velocidad final hacia el norte.
Esta distinción es una de las ideas más importantes de este tema.
08Cuando una velocidad se da mediante un ángulo
A veces, la velocidad inicial o final no está orientada convenientemente en sentido horizontal o vertical.
Supón que un objeto se mueve con rapidez \(v\) formando un ángulo \(\theta\) al norte del este.
Sus componentes son
\[ v_x=v\cos\theta \]
y
\[ v_y=v\sin\theta \]
Después puedes restar las componentes exactamente igual que antes.
Ejemplo resuelto: Un vehículo cambia tanto de rapidez como de dirección
Un vehículo pequeño se desplaza inicialmente hacia el este a 20 m/s. Más tarde se desplaza a 12 m/s a \(60^\circ\) al norte del este. Calcula su cambio de velocidad.
Toma el este como \(x\) positivo y el norte como \(y\) positivo.
Paso 1
\[ \vec v_i=(20,0)\text{ m/s} \]
Paso 2
\[ \begin{aligned} v_{fx}&=12\cos60^\circ=6.0\text{ m/s}\\ v_{fy}&=12\sin60^\circ=10.4\text{ m/s} \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \vec v_f=(6.0,10.4)\text{ m/s} \]
Paso 3
\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=\vec v_f-\vec v_i\\ &=(6.0,10.4)-(20,0)\\ &=(-14,10.4)\text{ m/s} \end{aligned} \]
Paso 4
\[ \begin{aligned} |\Delta\vec v| &=\sqrt{(-14)^2+(10.4)^2}\\ &=\sqrt{304.2}\\ &=17.4\text{ m/s} \end{aligned} \]
Paso 5
El vector tiene una componente de 14 m/s hacia el oeste y una componente de 10.4 m/s hacia el norte.
\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{10.4}{14}\\ \theta&=36.6^\circ \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{\Delta\vec v=17.4\text{ m/s a }36.6^\circ\text{ al norte del oeste}} \]
La rapidez final es de solo 12 m/s, pero el cambio de velocidad es de 17.4 m/s. No hay ninguna contradicción. El cambio de velocidad compara dos vectores. Su magnitud no tiene por qué estar entre las rapideces inicial y final.
09Una regla práctica para decidir el método
| Situación | Mejor enfoque |
|---|---|
| El movimiento se produce a lo largo de una línea recta | Elige una dirección positiva y resta las velocidades con signo |
| Las velocidades inicial y final se dan como componentes | Resta por separado las componentes \(x\) y las componentes \(y\) |
| Una velocidad se da mediante una magnitud y un ángulo | Descompón primero la velocidad en componentes |
| Se pide una respuesta gráfica | Dibuja ambos vectores velocidad a escala y construye \(\Delta\vec v\) |
| No estás seguro de la dirección de la resta | Recuerda: la flecha de \(\Delta\vec v\) va desde la punta de \(\vec v_i\) hasta la punta de \(\vec v_f\) |
10La confusión más tentadora: el cambio de rapidez no es el cambio de velocidad
Considera un objeto que se mueve a 10 m/s hacia el este antes de girar y moverse a 10 m/s hacia el norte.
Su cambio de rapidez es
\[ 10-10=0\text{ m/s} \]
Pero su cambio de velocidad no es cero.
Usando componentes,
\[ \vec v_i=(10,0)\text{ m/s} \]
y
\[ \vec v_f=(0,10)\text{ m/s} \]
por tanto,
\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=(0,10)-(10,0)\\ &=(-10,10)\text{ m/s} \end{aligned} \]
Su magnitud es
\[ |\Delta\vec v|=\sqrt{(-10)^2+(10)^2}=14.1\text{ m/s} \]
La rapidez permaneció constante, pero la velocidad cambió considerablemente porque cambió la dirección.
Esto adquiere especial importancia en el movimiento circular, donde la rapidez de un objeto puede permanecer constante mientras su velocidad cambia continuamente.
11Preguntas y soluciones
Pregunta 1
Un patinete se desplaza hacia el oeste a 4.0 m/s y acelera hasta desplazarse hacia el oeste a 10 m/s. Calcula su cambio de velocidad.
Solución 1
El cambio de velocidad es de 6.0 m/s hacia el oeste.
Elige el este como positivo, de modo que el oeste sea negativo.
\[ v_i=-4.0\text{ m/s},\qquad v_f=-10\text{ m/s} \]
Usando final menos inicial,
\[ \begin{aligned} \Delta v&=v_f-v_i\\ &=(-10)-(-4.0)\\ &=-6.0\text{ m/s} \end{aligned} \]
El signo negativo indica oeste.
Por tanto,
\[ \boxed{\Delta v=6.0\text{ m/s hacia el oeste}} \]
El patinete ya se mueve hacia el oeste y su velocidad hacia el oeste aumenta, así que el cambio de velocidad también debe apuntar hacia el oeste.
Pregunta 2
Un disco se mueve inicialmente hacia el este a 7.0 m/s. Después de chocar con una barrera, se mueve hacia el oeste a 3.0 m/s. Calcula su cambio de velocidad.
Solución 2
El cambio de velocidad es de 10 m/s hacia el oeste.
Toma el este como positivo.
\[ v_i=+7.0\text{ m/s},\qquad v_f=-3.0\text{ m/s} \]
Entonces,
\[ \begin{aligned} \Delta v&=v_f-v_i\\ &=(-3.0)-(+7.0)\\ &=-10\text{ m/s} \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{\Delta v=10\text{ m/s hacia el oeste}} \]
El error tentador es restar las rapideces y obtener 4.0 m/s. Eso ignora la inversión del sentido del movimiento. El disco debe perder 7.0 m/s de velocidad hacia el este y adquirir 3.0 m/s de velocidad hacia el oeste.
Pregunta 3
Un robot tiene una velocidad inicial de \((3.0,4.0)\) m/s, donde \(x\) positivo corresponde al este y \(y\) positivo corresponde al norte. Su velocidad final es \((-1.0,8.0)\) m/s.
Calcula la magnitud y la dirección de su cambio de velocidad.
Solución 3
El cambio de velocidad tiene una magnitud de 5.7 m/s y apunta a \(45^\circ\) al norte del oeste.
Resta las componentes iniciales de las componentes finales:
\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=\vec v_f-\vec v_i\\ &=(-1.0,8.0)-(3.0,4.0)\\ &=(-4.0,4.0)\text{ m/s} \end{aligned} \]
Su magnitud es
\[ \begin{aligned} |\Delta\vec v| &=\sqrt{(-4.0)^2+(4.0)^2}\\ &=\sqrt{32}\\ &=5.7\text{ m/s} \end{aligned} \]
Las componentes hacia el oeste y hacia el norte tienen la misma magnitud, por lo que la dirección es
\[ \theta=45^\circ \]
al norte del oeste.
Por tanto,
\[ \boxed{\Delta\vec v=5.7\text{ m/s a }45^\circ\text{ al norte del oeste}} \]
La dirección se obtiene a partir de las componentes del cambio de velocidad, no directamente de la dirección de la velocidad inicial ni de la final.
Pregunta 4
Un corredor se mueve hacia el este a 5.0 m/s y más tarde se mueve hacia el norte a 5.0 m/s. Un estudiante afirma: «La velocidad del corredor no cambió porque la rapidez se mantuvo en 5.0 m/s».
Evalúa la afirmación y calcula la magnitud del cambio de velocidad.
Solución 4
La afirmación es incorrecta. La velocidad del corredor cambia en 7.1 m/s, con una dirección de \(45^\circ\) al norte del oeste.
La velocidad incluye la dirección, por lo que unas rapideces inicial y final iguales no implican velocidades iguales.
Usando componentes,
\[ \vec v_i=(5.0,0)\text{ m/s} \]
y
\[ \vec v_f=(0,5.0)\text{ m/s} \]
Por tanto,
\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=(0,5.0)-(5.0,0)\\ &=(-5.0,5.0)\text{ m/s} \end{aligned} \]
La magnitud es
\[ \begin{aligned} |\Delta\vec v| &=\sqrt{(-5.0)^2+(5.0)^2}\\ &=\sqrt{50}\\ &=7.1\text{ m/s} \end{aligned} \]
Las componentes iguales hacia el oeste y hacia el norte dan una dirección de \(45^\circ\) al norte del oeste.
El razonamiento del estudiante confunde el cambio de rapidez, que es cero, con el cambio de velocidad, que no lo es.
Pregunta 5
Un dron comienza un intervalo de 8.0 s desplazándose hacia el este a 6.0 m/s. Durante el intervalo sigue una trayectoria curva, pero al final vuelve a desplazarse hacia el este exactamente a 6.0 m/s.
Calcula su aceleración media durante el intervalo de 8.0 s. ¿Puedes concluir que su aceleración fue cero durante todo el intervalo?
Solución 5
La aceleración media es cero, pero la aceleración del dron no fue necesariamente cero durante todo el intervalo.
Las velocidades inicial y final son idénticas:
\[ \vec v_i=\vec v_f \]
Por tanto,
\[ \Delta\vec v=\vec v_f-\vec v_i=\vec 0 \]
La aceleración media es el cambio de velocidad dividido entre el tiempo transcurrido:
\[ \begin{aligned} \vec a_{\text{avg}} &=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\\ &=\frac{\vec 0}{8.0\text{ s}}\\ &=\vec 0\text{ m/s}^2 \end{aligned} \]
Así que,
\[ \boxed{\vec a_{\text{avg}}=0\text{ m/s}^2} \]
Sin embargo, esto solo compara la velocidad al principio y al final del intervalo. El problema indica que el dron sigue una trayectoria curva, por lo que la dirección de su velocidad debe cambiar durante el recorrido. Una velocidad cambiante significa que existe aceleración durante al menos una parte del movimiento.
Esta es una limitación importante de las magnitudes medias. Una aceleración media igual a cero no demuestra que la aceleración sea cero en cada instante.
Pregunta 6
Un vehículo se desplaza a 15 m/s a \(30^\circ\) al norte del este. Dos segundos después, su rapidez sigue siendo de 15 m/s, pero se desplaza a \(30^\circ\) al norte del oeste.
Un estudiante sostiene que, dado que la rapidez y, por tanto, la energía cinética no han cambiado, la aceleración media debe ser cero.
Determina la aceleración media y explica el error del argumento del estudiante.
Solución 6
La aceleración media es de 13 m/s² hacia el oeste, por lo que la conclusión del estudiante es incorrecta.
Toma el este como \(x\) positivo y el norte como \(y\) positivo.
Para la velocidad inicial,
\[ \begin{aligned} v_{ix}&=15\cos30^\circ=13.0\text{ m/s}\\ v_{iy}&=15\sin30^\circ=7.5\text{ m/s} \end{aligned} \]
por tanto,
\[ \vec v_i=(13.0,7.5)\text{ m/s} \]
Para la velocidad final, la componente horizontal apunta hacia el oeste mientras que la componente vertical sigue apuntando hacia el norte:
\[ \vec v_f=(-13.0,7.5)\text{ m/s} \]
El cambio de velocidad es
\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=\vec v_f-\vec v_i\\ &=(-13.0,7.5)-(13.0,7.5)\\ &=(-26.0,0)\text{ m/s} \end{aligned} \]
Por tanto, el cambio de velocidad es de 26.0 m/s hacia el oeste.
La aceleración media es
\[ \begin{aligned} \vec a_{\text{avg}} &=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\\ &=\frac{(-26.0,0)\text{ m/s}}{2.0\text{ s}}\\ &=(-13.0,0)\text{ m/s}^2 \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{\vec a_{\text{avg}}=13\text{ m/s}^2\text{ hacia el oeste}} \]
El error del estudiante consiste en suponer que una energía cinética sin cambios implica una velocidad sin cambios. La energía cinética depende de la rapidez, no de la dirección. La rapidez del vehículo no cambia, por lo que su energía cinética tampoco cambia, pero la dirección de su velocidad sí ha cambiado considerablemente.
Precisamente por eso el cambio de velocidad es importante en el movimiento circular y curvilíneo. Una vez que puedes calcular \(\Delta\vec v\), el siguiente paso es dividirlo entre el intervalo de tiempo para calcular la aceleración media. A partir de ahí, la misma idea vectorial explica por qué un objeto que se mueve con rapidez constante alrededor de un círculo sigue estando acelerado.