Aviones con viento cruzado: rumbo, trayectoria sobre el suelo y viento

Un avión apunta exactamente hacia el este, su motor mantiene una velocidad constante a través del aire y, aun así, alguien que observa desde el suelo lo ve desviarse hacia el noreste.

Nada ha hecho girar el morro del avión. Entonces, ¿cómo puede desplazarse en una dirección distinta de aquella hacia la que apunta?

Antes de seguir leyendo, haz una predicción. Supón que el avión se mueve hacia el este a través del aire circundante a \(80\text{ m s}^{-1}\), mientras que el viento lleva ese aire hacia el norte a \(20\text{ m s}^{-1}\). ¿Alguien en tierra ve que el avión se mueve hacia el este, hacia el norte o en alguna dirección intermedia?

En una dirección intermedia. El avión tiene una velocidad respecto al aire, mientras que el propio aire en movimiento tiene otra velocidad respecto al suelo. El observador en tierra ve la combinación de ambas.

Esta única idea explica la diferencia entre el rumbo de un avión y su trayectoria sobre el suelo.

01Empecemos con dos movimientos que ocurren a la vez

Imagínate caminando en línea recta de un lado al otro de una cinta transportadora en un aeropuerto.

Respecto a la cinta, te mueves directamente hacia un lado. Pero la propia cinta te lleva hacia delante. Alguien que está de pie sobre el suelo inmóvil te ve moverte en diagonal.

Un avión con viento funciona de la misma manera:

• el avión se mueve respecto al aire circundante
• el aire se mueve respecto al suelo
• por lo tanto, el avión se mueve respecto al suelo con una velocidad que combina ambos movimientos

La analogía es útil porque separa los dos movimientos. Deja de ser exacta porque los aviones reales pueden cambiar su velocidad y dirección, mientras que una cinta transportadora de aeropuerto suele tener un movimiento fijo. Sin embargo, para los problemas de vectores del HSC, la idea básica de suma es exactamente lo que necesitamos.

Podemos escribir la relación como

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]

donde:

• \(\vec v_{PG}\) es la velocidad del avión respecto al suelo
• \(\vec v_{PA}\) es la velocidad del avión respecto al aire
• \(\vec v_{AG}\) es la velocidad del aire respecto al suelo, es decir, la velocidad del viento

Conviene leer los subíndices literalmente. \(PG\) significa «avión respecto al suelo». \(PA\) significa «avión respecto al aire». \(AG\) significa «aire respecto al suelo».

Esta es una ecuación vectorial. Las direcciones importan tanto como las magnitudes.

02El rumbo y la trayectoria sobre el suelo no son lo mismo

El rumbo es la dirección hacia la que apunta el avión.

En el modelo simplificado del HSC, la velocidad del avión respecto al aire, \(\vec v_{PA}\), tiene la dirección del rumbo.

La trayectoria sobre el suelo es la dirección en la que el avión se desplaza realmente sobre la superficie de la Tierra. Es la dirección de \(\vec v_{PG}\).

Sin viento,

\[ \vec v_{AG}=0 \]

por lo que

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA} \]

y el rumbo y la trayectoria sobre el suelo son iguales.

Con viento cruzado, en general no lo son.

Es fácil pasar por alto esta distinción porque, en muchos problemas anteriores de mecánica, la dirección de movimiento de un objeto es simplemente la dirección en la que se desplaza. Aquí debemos preguntar: ¿se desplaza respecto a qué?

Esa expresión, «respecto a», contiene gran parte de la física.

04Por qué los pilotos apuntan contra un viento cruzado

Supón que el avión del ejemplo anterior necesita seguir realmente una trayectoria sobre el suelo hacia el este.

Apuntar hacia el este no funcionará. La componente del viento hacia el norte provocará una desviación.

¿Qué debe hacer el piloto?

Una predicción tentadora es que el avión debería apuntar hacia el sureste, y es correcto. Debe tener una componente de velocidad respecto al aire dirigida hacia el sur que cancele exactamente la velocidad del viento hacia el norte.

Esto se llama corrección por viento.

La idea importante no es «girar contra el viento» como una regla memorizada. El requisito exacto es

\[ \text{componente lateral de la velocidad del avión}+\text{velocidad lateral del viento}=0. \]

Si esas componentes se cancelan, la velocidad resultante respecto al suelo no tiene componente lateral.

Imagina organizar una primera cita un poco incómoda en la que una persona no para de desviarse hacia el norte mientras la otra no para de llevar la conversación hacia el sur. Si esas tendencias son iguales y opuestas, de algún modo la pareja puede seguir avanzando hacia el este. La analogía representa la cancelación de componentes vectoriales. Deja de ser útil en cuanto empezamos a preguntarnos por qué cualquiera de las dos personas camina de esa forma.

06Las componentes facilitan mucho los problemas de viento cruzado

Para vectores perpendiculares sencillos, a menudo basta con un triángulo. Para direcciones menos convenientes, descompón cada velocidad en componentes.

Elige el eje \(x\) positivo hacia el este y el eje \(y\) positivo hacia el norte.

Entonces,

\[ v_{PG,x}=v_{PA,x}+v_{AG,x} \]

y

\[ v_{PG,y}=v_{PA,y}+v_{AG,y}. \]

Una vez conocidas las componentes de la resultante, su magnitud es

\[ v_{PG}=\sqrt{v_{PG,x}^{\,2}+v_{PG,y}^{\,2}} \]

y su dirección puede determinarse mediante trigonometría.

Por ejemplo, si

\[ v_{PG,x}=70\text{ m s}^{-1} \]

y

\[ v_{PG,y}=25\text{ m s}^{-1}, \]

entonces

\[ v_{PG}=\sqrt{70^2+25^2}=74.3\text{ m s}^{-1}. \]

El ángulo al norte del este es

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{25}{70}\right)=19.7^\circ. \]

Por lo tanto, la velocidad es \(74.3\text{ m s}^{-1}\) a \(19.7^\circ\) al norte del este.

La decisión principal es siempre la misma: descompón las velocidades según las mismas direcciones de coordenadas y luego suma las componentes correspondientes.

07Ten cuidado con la dirección del viento

En un cálculo de física, un vector de velocidad del viento debe describir la dirección en la que realmente se mueve el aire.

Así, si el aire se mueve hacia el norte a \(20\text{ m s}^{-1}\), entonces

\[ \vec v_{AG}=20\text{ m s}^{-1}\text{ hacia el norte}. \]

En el lenguaje cotidiano y meteorológico, el viento puede describirse mediante la dirección de la que procede. Por ejemplo, un «viento del sur» generalmente procede del sur y se desplaza hacia el norte.

Esa forma de expresarlo puede provocar un error de signo que se podría evitar.

En un cálculo del HSC, convierte la descripción en un vector real antes de hacer cualquier cálculo:

¿Hacia dónde se mueve el aire?

Una vez que lo sepas, dibuja la flecha en esa dirección.

08La idea errónea más común: el viento empuja el avión hacia un lado

Decir «el viento empuja el avión hacia el norte» a veces puede ayudarte a visualizar el resultado, pero no es el modelo más preciso para estas preguntas de velocidad relativa.

La ecuación

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]

trata de velocidades medidas en distintos sistemas de referencia. No es una ecuación de fuerzas.

Esta distinción importa porque la velocidad y la fuerza responden a preguntas diferentes.

Un cálculo de velocidad te indica cómo se combina el movimiento del avión respecto al aire con el movimiento del aire respecto al suelo.

Un cálculo de fuerzas implicaría magnitudes como la sustentación, la resistencia, el empuje, la aceleración y las leyes de Newton. Son importantes para comprender cómo un avión establece o cambia su velocidad, pero no son necesarias simplemente para convertir una velocidad respecto al aire en una velocidad respecto al suelo.

Así que no dibujes automáticamente una «fuerza del viento» para intentar usar \(F=ma\). Si el problema proporciona velocidades y pregunta por el rumbo, la trayectoria o la velocidad respecto al suelo, normalmente se trata de un problema de suma de vectores.

09Un caso límite útil

Supón que un avión tiene una velocidad respecto al aire de \(50\text{ m s}^{-1}\), y un viento cruzado se mueve hacia el norte a \(60\text{ m s}^{-1}\). ¿Puede el piloto elegir un rumbo que produzca una trayectoria sobre el suelo exactamente hacia el este?

Haz una predicción antes de calcular.

Para desplazarse exactamente hacia el este, el avión necesitaría una componente de velocidad respecto al aire de \(60\text{ m s}^{-1}\) hacia el sur para cancelar el viento.

Pero la velocidad total del avión respecto al aire es de solo \(50\text{ m s}^{-1}\).

Ninguna componente de un vector de \(50\text{ m s}^{-1}\) puede tener una magnitud de \(60\text{ m s}^{-1}\).

Por lo tanto, es imposible.

Matemáticamente, necesitaríamos

\[ 50\sin\theta=60, \]

lo que da

\[ \sin\theta=1.2. \]

No existe ningún ángulo real cuyo seno sea mayor que 1.

Esto es más que un error de calculadora. Tiene un significado físico: el avión no puede generar suficiente velocidad lateral respecto al aire para cancelar el viento.

Ese es exactamente el tipo de razonamiento sobre casos límite que convierte los cálculos vectoriales en física.

10Un método fiable para las preguntas del HSC

Cuando veas un problema sobre un avión y el viento, utiliza esta secuencia:

1. Indica los sistemas de referencia. Identifica la velocidad del avión respecto al aire y la velocidad del aire respecto al suelo.

2. Escribe la relación vectorial.

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]

1. Elige las coordenadas. Las direcciones este-oeste y norte-sur suelen ser convenientes.

2. Descompón los vectores inclinados en componentes.

3. Suma las componentes con sus signos. Las componentes hacia el sur y el oeste serán negativas si el norte y el este son positivos.

4. Determina la magnitud y la dirección de la resultante si es necesario.

5. Interpreta la dirección. Indica explícitamente si se trata del rumbo o de la trayectoria sobre el suelo.

El último paso evita un error sorprendentemente común: obtener bien el triángulo y luego identificar incorrectamente el ángulo.

11Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Un avión apunta exactamente hacia el norte y se desplaza a \(90\text{ m s}^{-1}\) respecto al aire. El viento se mueve hacia el este a \(40\text{ m s}^{-1}\).

Determina la velocidad del avión respecto al suelo y la dirección de su trayectoria sobre el suelo.

Solución 1

El avión se desplaza aproximadamente a \(\boxed{98.5\text{ m s}^{-1}}\), con una trayectoria sobre el suelo de \(\boxed{24.0^\circ\text{ al este del norte}}\).

La velocidad del avión respecto al aire y la velocidad del viento son perpendiculares:

\[ v_{PA}=90\text{ m s}^{-1}\text{ hacia el norte} \]

y

\[ v_{AG}=40\text{ m s}^{-1}\text{ hacia el este}. \]

Usando

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}, \]

la magnitud de la velocidad respecto al suelo es

\[ \begin{aligned} v_{PG} &=\sqrt{90^2+40^2}\\ &=\sqrt{9700}\\ &=98.5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

Sea \(\theta\) el ángulo al este del norte. Entonces,

\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{40}{90}\\ \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{40}{90}\right)\\ &=24.0^\circ. \end{aligned} \]

El rumbo del avión sigue siendo exactamente hacia el norte, pero su trayectoria sobre el suelo está \(24.0^\circ\) al este del norte. La trampa consiste en suponer que la dirección hacia la que apunta el avión debe ser también la dirección en la que se mueve respecto al suelo.

Pregunta 2

Un avión tiene una velocidad respecto al aire de \(150\text{ m s}^{-1}\). Un viento se mueve hacia el oeste a \(45\text{ m s}^{-1}\). El piloto quiere una trayectoria sobre el suelo exactamente hacia el norte.

Determina:

a. el rumbo necesario, expresado como un ángulo al este del norte

b. la velocidad resultante respecto al suelo.

Solución 2

El rumbo necesario es \(\boxed{17.5^\circ\text{ al este del norte}}\), y la velocidad resultante respecto al suelo es aproximadamente \(\boxed{143\text{ m s}^{-1}}\).

Para una trayectoria sobre el suelo exactamente hacia el norte, la componente este-oeste de la velocidad respecto al suelo debe ser cero.

El viento aporta

\[ 45\text{ m s}^{-1}\text{ hacia el oeste}. \]

Por lo tanto, el avión debe proporcionar una componente igual,

\[ 45\text{ m s}^{-1}\text{ hacia el este}. \]

Sea \(\theta\) el ángulo del rumbo del avión al este del norte. Con una velocidad respecto al aire de \(150\text{ m s}^{-1}\),

\[ \begin{aligned} 150\sin\theta&=45\\ \sin\theta&=0.300\\ \theta&=17.5^\circ. \end{aligned} \]

Para el apartado a,

\[ \boxed{\theta=17.5^\circ\text{ al este del norte}}. \]

La componente hacia el norte de la velocidad del avión respecto al aire es

\[ \begin{aligned} v_{\text{norte}} &=150\cos(17.5^\circ)\\ &=143\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

El viento no tiene componente norte-sur, por lo que

\[ \boxed{v_{PG}=143\text{ m s}^{-1}\text{ hacia el norte}}. \]

La velocidad respecto al suelo es menor que la velocidad respecto al aire porque parte de la velocidad del avión respecto al aire se está utilizando para cancelar el viento lateral.

Pregunta 3

Un avión tiene una velocidad respecto al aire de \(120\text{ m s}^{-1}\) y lleva un rumbo de \(20^\circ\) al norte del este. Al mismo tiempo, la velocidad del viento es de \(35\text{ m s}^{-1}\) exactamente hacia el sur.

Determina la velocidad del avión respecto al suelo, indicando tanto su rapidez como su dirección.

Solución 3

La velocidad del avión respecto al suelo es aproximadamente \(\boxed{113\text{ m s}^{-1}}\) a \(\boxed{2.5^\circ\text{ al sur del este}}\).

Toma el este como \(x\) positivo y el norte como \(y\) positivo.

La velocidad del avión respecto al aire tiene las componentes

\[ \begin{aligned} v_{PA,x}&=120\cos20^\circ\\ &=112.8\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

y

\[ \begin{aligned} v_{PA,y}&=120\sin20^\circ\\ &=41.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

La velocidad del viento es exactamente hacia el sur, por lo que

\[ v_{AG,x}=0 \]

y

\[ v_{AG,y}=-35\text{ m s}^{-1}. \]

Sumando las componentes correspondientes,

\[ \begin{aligned} v_{PG,x}&=112.8+0\\ &=112.8\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

y

\[ \begin{aligned} v_{PG,y}&=41.0-35\\ &=6.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

En realidad, este resultado sigue estando ligeramente al norte del este, no al sur. Por lo tanto, la dirección correcta se obtiene mediante

\[ \begin{aligned} \theta &=\tan^{-1}\left(\frac{6.0}{112.8}\right)\\ &=3.0^\circ. \end{aligned} \]

La velocidad respecto al suelo es

\[ \begin{aligned} v_{PG} &=\sqrt{112.8^2+6.0^2}\\ &=113.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

Por lo tanto,

\[ \boxed{v_{PG}\approx113\text{ m s}^{-1}\text{ a }3.0^\circ\text{ al norte del este}}. \]

El razonamiento importante está en los signos. El rumbo del avión le proporciona una componente hacia el norte de \(41.0\text{ m s}^{-1}\), mientras que el viento elimina solo \(35\text{ m s}^{-1}\) de ella. Un esquema rápido o una comprobación de componentes evita la conclusión tentadora pero incorrecta de que cualquier viento hacia el sur debe hacer que la trayectoria sobre el suelo apunte al sur del este.

Pregunta 4

Un avión puede mantener una velocidad respecto al aire de \(70\text{ m s}^{-1}\). Necesita desplazarse siguiendo una trayectoria sobre el suelo exactamente hacia el este. El viento se mueve exactamente hacia el norte.

Para cada velocidad del viento indicada a continuación, determina si es posible una trayectoria sobre el suelo exactamente hacia el este. Si es posible, determina el rumbo necesario.

a. \(42\text{ m s}^{-1}\)

b. \(70\text{ m s}^{-1}\)

c. \(75\text{ m s}^{-1}\)

Explica la razón física de cualquier caso en el que sea imposible desplazarse hacia el este.

Solución 4

En el apartado a es posible una trayectoria exactamente hacia el este, en el apartado b se produce un caso límite con velocidad nula hacia el este y en el apartado c es imposible.

Para una trayectoria sobre el suelo exactamente hacia el este, el avión debe producir una componente de velocidad respecto al aire dirigida hacia el sur e igual en magnitud a la velocidad del viento hacia el norte.

Para el apartado a,

\[ 70\sin\theta=42. \]

Por lo tanto,

\[ \begin{aligned} \sin\theta&=0.600\\ \theta&=36.9^\circ. \end{aligned} \]

Así que el avión debe llevar un rumbo de

\[ \boxed{36.9^\circ\text{ al sur del este}}. \]

Su velocidad respecto al suelo hacia el este sería

\[ \begin{aligned} v_{PG} &=70\cos36.9^\circ\\ &=56.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

Para el apartado b,

\[ 70\sin\theta=70, \]

por lo que

\[ \sin\theta=1 \]

y

\[ \theta=90^\circ. \]

El avión tendría que apuntar exactamente hacia el sur. Toda su velocidad respecto al aire de \(70\text{ m s}^{-1}\) se utilizaría para cancelar el viento de \(70\text{ m s}^{-1}\) hacia el norte.

Por lo tanto, su componente hacia el este sería

\[ 70\cos90^\circ=0. \]

Así que su velocidad resultante respecto al suelo sería cero. Puede evitar desviarse hacia el norte, pero no puede avanzar realmente hacia el este. Este es el caso límite.

Para el apartado c, cancelar el viento exigiría

\[ 70\sin\theta=75, \]

o

\[ \sin\theta=\frac{75}{70}=1.07. \]

Ningún ángulo real satisface esta condición.

Por lo tanto, una trayectoria sobre el suelo exactamente hacia el este es

\[ \boxed{\text{imposible cuando la velocidad del viento es }75\text{ m s}^{-1}}. \]

La razón física es que el avión necesitaría una componente de velocidad hacia el sur mayor que su velocidad total respecto al aire de \(70\text{ m s}^{-1}\). Ninguna componente de un vector puede superar la magnitud de ese vector.

El punto sutil es el apartado b. Poder cancelar el viento lateral no basta para garantizar un desplazamiento útil a lo largo de la trayectoria deseada. Con la velocidad del viento exactamente igual al valor límite, no queda ninguna componente para avanzar.

Pregunta 5

Dos estudiantes analizan la misma situación.

Un avión tiene una velocidad de \(100\text{ m s}^{-1}\) exactamente hacia el este respecto al aire. El viento se mueve hacia el norte a \(25\text{ m s}^{-1}\).

El estudiante A dice:

«El avión debe acelerar hacia el norte porque su velocidad respecto al suelo tiene una componente hacia el norte».

El estudiante B dice:

«El avión puede tener una componente constante de velocidad respecto al suelo hacia el norte sin tener una aceleración hacia el norte».

¿Qué estudiante tiene razón? Explica cómo puede el avión desplazarse hacia el noreste con velocidad constante aunque su rumbo siga siendo hacia el este.

Solución 5

\[ \boxed{\text{El estudiante B tiene razón.}} \]

Una componente de velocidad hacia el norte no requiere automáticamente una aceleración hacia el norte.

La velocidad del avión respecto al suelo es

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}. \]

Si tanto la velocidad del avión respecto al aire como la velocidad del viento permanecen constantes, su suma vectorial también permanece constante.

Las componentes son

\[ v_{PG,x}=100\text{ m s}^{-1} \]

y

\[ v_{PG,y}=25\text{ m s}^{-1}. \]

Por lo tanto, el avión se mueve con una velocidad constante respecto al suelo hacia el noreste. En consecuencia, su aceleración respecto al suelo es

\[ \boxed{\vec a=0}. \]

El rumbo puede seguir siendo hacia el este porque el rumbo describe la dirección de \(\vec v_{PA}\), la velocidad del avión respecto al aire circundante. El propio aire en movimiento transporta el avión hacia el norte respecto al suelo.

El error del estudiante A es confundir velocidad con aceleración. Un objeto no necesita una fuerza en la dirección de cada componente de su velocidad. Solo se requiere aceleración cuando cambia la velocidad.

12Hacia dónde conduce esta idea

Los problemas de viento cruzado son un ejemplo de velocidad relativa, en los que distintos observadores pueden medir velocidades diferentes para el mismo objeto.

Una vez que te resulte natural interpretar una ecuación como

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}, \]

el mismo razonamiento puede utilizarse para embarcaciones que atraviesan corrientes, personas que caminan dentro de vehículos en movimiento y otros movimientos observados desde distintos sistemas de referencia.

El hábito útil consiste en dejar de preguntar únicamente «¿Cuál es su velocidad?» y, en su lugar, preguntar «¿Su velocidad respecto a qué?».

Esa es la pregunta que distingue el rumbo del avión de su trayectoria real sobre el suelo.