Barcos que cruzan una corriente: velocidad, trayectoria y tiempo de cruce
Aprende a combinar las velocidades del barco y del agua, determinar la trayectoria respecto a tierra, calcular el tiempo de cruce y evitar errores comunes de velocidad relativa.
Un barco apunta directamente hacia la otra orilla de un río. Su rapidez respecto al agua es de 3.0 m s\(^{-1}\), mientras que la corriente fluye aguas abajo a 2.0 m s\(^{-1}\). Claramente, el barco se mueve a más de 3.0 m s\(^{-1}\) respecto a la orilla, así que esta es la predicción útil: ¿hace la corriente que llegue antes a la otra orilla?
No. Llega a la otra orilla exactamente en el mismo tiempo que tardaría si el agua estuviera quieta, siempre que la corriente sea paralela a las orillas. La corriente cambia el lugar donde llega el barco y la dirección de su trayectoria respecto a tierra, pero no añade ninguna velocidad de cruce del río.
Esa única distinción resuelve la mayoría de las preguntas del HSC sobre barcos y corrientes.
01El barco tiene más de una velocidad
Imagina una cinta transportadora gigante que se mueve hacia el este mientras tú caminas hacia el norte sobre ella.
Respecto a la cinta, te estás moviendo hacia el norte. Respecto al suelo que hay debajo, te estás moviendo hacia el norte y hacia el este. Alguien que esté de pie sobre el suelo ve la combinación de esos dos movimientos.
Un barco en un río funciona de la misma manera:
- el motor proporciona al barco una velocidad respecto al agua
- la corriente proporciona al agua una velocidad respecto al suelo
- alguien situado en la orilla ve la velocidad del barco respecto al suelo
El modelo de la cinta transportadora es útil porque permite visualizar la suma de vectores. No es exacto para todos los ríos, porque las corrientes reales pueden variar en rapidez y dirección a lo ancho del río.
Podemos escribir la relación exacta de velocidad relativa como
\[ \vec v_{BG} = \vec v_{BW} + \vec v_{WG} \]
donde:
- \(\vec v_{BG}\) es la velocidad del barco respecto al suelo
- \(\vec v_{BW}\) es la velocidad del barco respecto al agua
- \(\vec v_{WG}\) es la velocidad del agua respecto al suelo
El observador situado en la orilla ve \(\vec v_{BG}\). Esa es la velocidad que determina la trayectoria del barco respecto a tierra.
02Descompón el movimiento en componentes transversal y aguas abajo
El método más sencillo consiste en elegir dos direcciones perpendiculares:
- a través del río, perpendicular a las orillas
- aguas abajo, paralela a las orillas
Supongamos que el barco apunta directamente hacia la otra orilla con rapidez \(v_b\) respecto al agua, mientras que la corriente tiene rapidez \(v_c\) aguas abajo.
Entonces, las componentes de la velocidad respecto al suelo son
\[ v_{\text{transversal}} = v_b \]
y
\[ v_{\text{aguas abajo}} = v_c \]
Por tanto, la magnitud de la velocidad del barco respecto al suelo es
\[ v_g = \sqrt{v_b^2 + v_c^2} \]
donde \(v_g\) es la rapidez del barco respecto al suelo.
El ángulo \(\theta\) de su trayectoria respecto a tierra, medido aguas abajo desde la dirección perpendicular a las orillas, satisface
\[ \tan \theta = \frac{v_c}{v_b} \]
Fíjate en lo que describe esta ecuación. El barco puede estar apuntando directamente hacia la otra orilla, pero no necesariamente está desplazándose directamente hacia la otra orilla respecto al suelo.
El rumbo y la trayectoria respecto a tierra son cosas distintas.
03El tiempo de cruce depende de la componente transversal
Supongamos que el río tiene una anchura \(d\).
Para llegar a la otra orilla, el barco debe recorrer esa distancia perpendicular. Por tanto, el tiempo de cruce es
\[ t = \frac{d}{v_{\text{transversal}}} \]
donde:
- \(t\) es el tiempo de cruce en segundos
- \(d\) es la anchura del río en metros
- \(v_{\text{transversal}}\) es la componente de la velocidad del barco respecto al suelo perpendicular a las orillas, en m s\(^{-1}\)
Aquí es donde aparece un error muy tentador.
Un estudiante podría calcular la rapidez total respecto al suelo y usar
\[ t = \frac{d}{v_g} \]
Esto parece razonable porque \(t=d/v\) resulta familiar. El problema es que \(d\) es la distancia a través del río, mientras que \(v_g\) apunta en diagonal. No tienen la misma dirección.
Cuando utilizas \(t=d/v\), la distancia y la velocidad deben corresponder a la misma dirección.
Ejemplo resuelto: Un barco que apunta directamente hacia la otra orilla
Un río tiene 150 m de anchura. Un barco se mueve a 3.0 m s\(^{-1}\) respecto al agua y apunta directamente hacia la otra orilla. La corriente fluye aguas abajo a 1.2 m s\(^{-1}\). Calcula el tiempo de cruce, el desplazamiento aguas abajo, la rapidez respecto al suelo y la dirección de la trayectoria respecto a tierra.
Paso 1
Como la corriente va completamente aguas abajo, no tiene componente transversal. Por tanto, la velocidad transversal del barco respecto al suelo es de 3.0 m s\(^{-1}\).
\[ t = \frac{d}{v_{\text{transversal}}} = \frac{150}{3.0} = 50\text{ s} \]
El barco tarda 50 s en cruzar.
Paso 2
\[ s_{\text{aguas abajo}} = v_c t = 1.2(50) = 60\text{ m} \]
El barco llega 60 m aguas abajo del punto situado directamente frente a su posición inicial.
Paso 3
\[ v_g = \sqrt{3.0^2 + 1.2^2} = \sqrt{10.44} = 3.23\text{ m s}^{-1} \]
Así, una persona situada en la orilla ve al barco moverse a 3.23 m s\(^{-1}\).
Paso 4
\[ \tan\theta = \frac{1.2}{3.0} \]
\[ \theta = \tan^{-1}(0.400) = 21.8^\circ \]
La trayectoria del barco respecto a tierra forma un ángulo de 21.8° aguas abajo desde la dirección perpendicular a las orillas.
El resultado importante es que su rapidez respecto al suelo es de 3.23 m s\(^{-1}\), pero su rapidez de cruce sigue siendo solamente de 3.0 m s\(^{-1}\).
04Apuntar directamente hacia la otra orilla no es lo mismo que llegar justo enfrente
Supongamos que realmente quieres que el barco llegue al punto situado directamente enfrente de su posición inicial.
¿Deberías seguir apuntando directamente hacia la otra orilla?
No. Debes apuntar aguas arriba para que una parte de la velocidad del barco respecto al agua cancele la corriente.
Este es un problema distinto del ejemplo anterior.
Sea \(v_b\) la rapidez del barco respecto al agua y \(v_c\) la rapidez de la corriente. Si el barco apunta con un ángulo \(\theta\) aguas arriba respecto a la dirección perpendicular a las orillas, entonces su velocidad respecto al agua tiene dos componentes:
\[ v_{\text{barco, transversal}} = v_b\cos\theta \]
y
\[ v_{\text{barco, aguas arriba}} = v_b\sin\theta \]
Para llegar directamente enfrente, la componente aguas arriba debe cancelar exactamente la corriente aguas abajo:
\[ v_b\sin\theta = v_c \]
Por tanto,
\[ \sin\theta = \frac{v_c}{v_b} \]
Una vez cancelado el movimiento aguas abajo, la velocidad del barco respecto al suelo queda dirigida únicamente a través del río.
Sin embargo, esto tiene un coste. Parte de la rapidez del barco se utiliza para contrarrestar la corriente, de modo que queda menos disponible para cruzar.
Ejemplo resuelto: Llegar directamente enfrente
Un barco puede desplazarse a 4.0 m s\(^{-1}\) respecto al agua. Debe cruzar un río de 180 m de anchura cuya corriente fluye a 1.5 m s\(^{-1}\). ¿Con qué ángulo debe apuntar el barco para llegar directamente enfrente de su posición inicial y cuánto tardará en cruzar?
Paso 1
\[ v_b\sin\theta = v_c \]
Sustituyendo las velocidades,
\[ 4.0\sin\theta = 1.5 \]
\[ \sin\theta = \frac{1.5}{4.0} = 0.375 \]
\[ \theta = \sin^{-1}(0.375) = 22.0^\circ \]
El barco debe apuntar 22.0° aguas arriba respecto a la dirección perpendicular a las orillas.
Paso 2
\[ v_{\text{transversal}} = 4.0\cos(22.0^\circ) = 3.71\text{ m s}^{-1} \]
También puedes obtener este valor mediante el teorema de Pitágoras:
\[ v_{\text{transversal}} = \sqrt{4.0^2 - 1.5^2} = 3.71\text{ m s}^{-1} \]
Paso 3
\[ t = \frac{180}{3.71} = 48.5\text{ s} \]
El barco debe apuntar 22.0° aguas arriba y tardará aproximadamente 48.5 s en cruzar.
Fíjate en que no utilizamos 4.0 m s\(^{-1}\) en el cálculo del tiempo de cruce. Cuando el barco apunta aguas arriba, solo una parte de su velocidad de 4.0 m s\(^{-1}\) está dirigida a través del río.
05Una regla rápida para decidir cómo resolver problemas de ríos
| Si la pregunta pide… | Busca… |
|---|---|
| Tiempo de cruce | Componente de la velocidad respecto al suelo perpendicular a las orillas |
| Deriva aguas abajo | Velocidad respecto al suelo aguas abajo y tiempo de cruce |
| Rapidez respecto al suelo | Magnitud de la suma vectorial |
| Dirección de la trayectoria respecto a tierra | Relación entre las componentes aguas abajo y transversal de la velocidad respecto al suelo |
| Rumbo necesario para llegar enfrente | Una componente de la velocidad del barco que cancele la corriente |
| Si es posible llegar enfrente | Si el barco puede cancelar la corriente y conservar al mismo tiempo una componente de cruce del río |
El hábito más útil es dibujar los dos ejes antes de tocar la calculadora.
06El caso límite importante
¿Qué ocurre si la corriente es tan rápida como el barco?
Supongamos que la rapidez máxima del barco respecto al agua es de 3.0 m s\(^{-1}\), y que la corriente también se desplaza a 3.0 m s\(^{-1}\).
Para llegar directamente enfrente, el barco necesitaría una componente aguas arriba de 3.0 m s\(^{-1}\). Pero entonces la totalidad de la velocidad del barco tendría que apuntar aguas arriba.
Su componente transversal sería cero.
Así que, aunque podría cancelar la corriente aguas abajo, no cruzaría el río en absoluto.
Si la corriente es más rápida que el barco, también es imposible llegar directamente enfrente. El barco no puede generar una componente aguas arriba lo bastante grande como para cancelar la corriente.
Esto proporciona una condición más precisa:
\[ v_b > v_c \]
es necesario si el barco debe cancelar la corriente y avanzar a través del río.
07El error conceptual que debes evitar
Una corriente más intensa normalmente aumenta la rapidez respecto al suelo del barco cuando este apunta directamente hacia la otra orilla. Eso puede dar la impresión de que el barco debería cruzar antes.
Pero una mayor velocidad en la dirección equivocada no te ayuda a recorrer la distancia necesaria.
Es como llegar tarde para encontrarte con alguien que vive justo al norte de ti y anunciar con orgullo que estás corriendo muy rápido hacia el este. Rapidez impresionante. Pequeño problema de navegación.
Para calcular el tiempo de cruce, hazte primero una pregunta:
¿A qué velocidad se está moviendo realmente el barco hacia la orilla opuesta?
Esa componente, y no la rapidez total, es la que determina el tiempo.
08Preguntas y soluciones
Pregunta 1
Un barco apunta directamente hacia la otra orilla de un río de 90 m de anchura. Su rapidez respecto al agua es de 2.5 m s\(^{-1}\), y la corriente fluye aguas abajo a 0.80 m s\(^{-1}\).
Calcula el tiempo de cruce y la distancia que el barco se desplaza aguas abajo.
Solución 1
El barco tarda 36 s en cruzar y llega 28.8 m aguas abajo.
La corriente es paralela a las orillas, por lo que no modifica la componente transversal del barco de 2.5 m s\(^{-1}\).
El tiempo de cruce es
\[ t = \frac{d}{v_{\text{transversal}}} = \frac{90}{2.5} = 36\text{ s} \]
Durante esos 36 s, la corriente arrastra el barco aguas abajo:
\[ s_{\text{aguas abajo}} = v_c t = 0.80(36) = 28.8\text{ m} \]
Por tanto, el barco cruza en 36 s y llega 28.8 m aguas abajo del punto situado directamente enfrente.
La idea principal es que el cruce y la deriva ocurren simultáneamente. No se añade un «tiempo de deriva» separado después de que el barco haya cruzado.
Pregunta 2
Un barco se desplaza a 5.0 m s\(^{-1}\) respecto al agua y apunta directamente hacia la otra orilla de un río de 200 m de anchura. La corriente fluye aguas abajo a 3.0 m s\(^{-1}\).
Calcula:
- el tiempo de cruce
- el desplazamiento aguas abajo
- la rapidez del barco respecto al suelo
- el ángulo de su trayectoria respecto a tierra aguas abajo desde la dirección perpendicular a las orillas
- la distancia recorrida respecto al suelo durante el cruce
Solución 2
El barco cruza en 40 s, se desplaza 120 m aguas abajo, tiene una rapidez respecto al suelo de 5.83 m s\(^{-1}\), sigue una trayectoria de 31.0° aguas abajo respecto a la dirección perpendicular a las orillas y recorre aproximadamente 233 m respecto al suelo.
La componente transversal es de 5.0 m s\(^{-1}\), por lo que
\[ t = \frac{200}{5.0} = 40\text{ s} \]
El desplazamiento aguas abajo es
\[ s_{\text{aguas abajo}} = 3.0(40) = 120\text{ m} \]
La rapidez respecto al suelo es la magnitud de la suma vectorial:
\[ v_g = \sqrt{5.0^2 + 3.0^2} = \sqrt{34} = 5.83\text{ m s}^{-1} \]
Para el ángulo de la trayectoria respecto a tierra,
\[ \tan\theta = \frac{3.0}{5.0} \]
\[ \theta = \tan^{-1}(0.600) = 31.0^\circ \]
El barco se desplaza en diagonal respecto al suelo. La distancia de su trayectoria respecto a tierra es
\[ s_g = v_g t = 5.83(40) \approx 233\text{ m} \]
Se obtiene el mismo resultado a partir del triángulo de desplazamientos:
\[ s_g = \sqrt{200^2 + 120^2} \approx 233\text{ m} \]
Los 200 m de anchura del río no representan la distancia total recorrida por el barco respecto al suelo. Son solamente la componente perpendicular de ese desplazamiento.
Pregunta 3
Dos barcos idénticos deben cruzar ríos distintos que tienen una anchura de 160 m cada uno.
El barco A se mueve a 4.0 m s\(^{-1}\) respecto al agua en reposo.
El barco B también se mueve a 4.0 m s\(^{-1}\) respecto al agua, pero su río tiene una corriente de 3.0 m s\(^{-1}\) paralela a las orillas.
Ambos barcos apuntan directamente hacia la otra orilla.
Un estudiante sostiene que el barco B llegará primero porque su rapidez respecto al suelo es
\[ \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\text{ m s}^{-1} \]
¿Tiene razón el estudiante? Calcula el tiempo de cruce de cada barco y explica el resultado.
Solución 3
No. Ambos barcos tardan 40 s en cruzar.
El barco A tiene una velocidad transversal de 4.0 m s\(^{-1}\), por lo que
\[ t_A = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]
El barco B también tiene una velocidad transversal de 4.0 m s\(^{-1}\). La corriente añade una componente aguas abajo de 3.0 m s\(^{-1}\), pero no añade nada a la velocidad de cruce del río.
Por tanto,
\[ t_B = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]
La rapidez del barco B respecto al suelo sí es realmente de 5.0 m s\(^{-1}\), pero una parte de esa velocidad está dirigida aguas abajo. Su rapidez adicional respecto al suelo no le ayuda a acercarse a la orilla opuesta.
El cálculo de la rapidez respecto al suelo realizado por el estudiante es correcto. El error consiste en utilizar la magnitud de la velocidad respecto al suelo para responder una pregunta que depende únicamente de su componente perpendicular.
Pregunta 4
Un barco puede desplazarse a 4.0 m s\(^{-1}\) respecto al agua. Debe cruzar un río de 120 m de anchura con una corriente de 3.0 m s\(^{-1}\).
Un estudiante calcula correctamente que el barco debe apuntar
\[ \sin^{-1}\left(\frac{3.0}{4.0}\right) = 48.6^\circ \]
aguas arriba respecto a la dirección perpendicular a las orillas para llegar directamente enfrente.
A continuación, el estudiante calcula el tiempo de cruce como
\[ t = \frac{120}{4.0} = 30\text{ s} \]
Identifica el error y calcula el tiempo de cruce correcto.
Solución 4
El tiempo de cruce correcto es de aproximadamente 45.4 s. El error consiste en tratar la rapidez total del barco de 4.0 m s\(^{-1}\) como si estuviera dirigida a través del río.
El barco apunta \(48.6^\circ\) aguas arriba respecto a la dirección perpendicular a las orillas. Su componente aguas arriba de 3.0 m s\(^{-1}\) cancela la corriente.
Eso deja una componente transversal de
\[ v_{\text{transversal}} = \sqrt{4.0^2 - 3.0^2} = \sqrt{7} = 2.65\text{ m s}^{-1} \]
Por tanto, el tiempo de cruce es
\[ t = \frac{120}{2.65} = 45.4\text{ s} \]
Así, el barco tarda aproximadamente 45.4 s.
El error tentador consiste en pensar que, como la rapidez del barco respecto al agua es de 4.0 m s\(^{-1}\), cruza el río a 4.0 m s\(^{-1}\). Eso solo es cierto cuando toda la velocidad del barco respecto al agua apunta a través del río.
Pregunta 5
Un río de 180 m de anchura tiene una corriente que cambia bruscamente a mitad del recorrido.
Durante los primeros 90 m, la corriente es de 1.0 m s\(^{-1}\) aguas abajo. Durante los segundos 90 m, es de 3.0 m s\(^{-1}\) aguas abajo.
Un barco apunta directamente hacia la otra orilla durante todo el trayecto y mantiene una rapidez constante de 3.0 m s\(^{-1}\) respecto al agua local.
Calcula el tiempo total de cruce y el desplazamiento aguas abajo. ¿Es la trayectoria del barco respecto a tierra una única línea recta?
Solución 5
El barco tarda 60 s en cruzar, se desplaza un total de 120 m aguas abajo y su trayectoria respecto a tierra no es una única línea recta.
La observación clave es que ambas corrientes son paralelas a las orillas del río. Ninguna de ellas modifica la componente transversal del barco de 3.0 m s\(^{-1}\).
Durante los primeros 90 m,
\[ t_1 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]
Durante los segundos 90 m,
\[ t_2 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]
Por tanto,
\[ t_{\text{total}} = 30 + 30 = 60\text{ s} \]
Durante la primera mitad, el desplazamiento aguas abajo es
\[ s_1 = 1.0(30) = 30\text{ m} \]
Durante la segunda mitad,
\[ s_2 = 3.0(30) = 90\text{ m} \]
Así, el desplazamiento total aguas abajo es
\[ s_{\text{aguas abajo}} = 30 + 90 = 120\text{ m} \]
La trayectoria respecto a tierra no es una sola línea recta. En la segunda mitad del río, la componente aguas abajo de la velocidad respecto al suelo aumenta, por lo que cambia la dirección de la velocidad resultante. En consecuencia, la trayectoria cambia de dirección en el punto medio en este modelo simplificado.
Esta pregunta pone de manifiesto una suposición importante que suele quedar implícita en los problemas de ríos más sencillos: para que la trayectoria respecto a tierra sea recta, las componentes de la velocidad deben permanecer constantes.
09Hacia dónde conduce esta idea
Los problemas de barcos y corrientes son, en realidad, problemas de velocidad relativa. Una vez que sabes descomponer la velocidad en componentes perpendiculares e identificar el sistema de referencia correcto, el mismo método sirve para aeronaves sometidas al viento, nadadores en agua en movimiento y otros movimientos a través de un medio que también se desplaza.
El siguiente paso útil es aprender a resolver casos en los que el objeto tiene un rumbo arbitrario, en lugar de limitarse a «directamente hacia la otra orilla» o «apuntando para llegar enfrente». La física no cambia. Descompón la velocidad en componentes, suma la velocidad del medio componente por componente y utiliza después la velocidad resultante respecto al suelo para predecir el movimiento.