विभवांतर और विद्युत कार्य: W = qV का उपयोग

A 9 V बैटरी और 1.5 V सेल, दोनों ही किसी परिपथ में आवेश को प्रवाहित कर सकते हैं। लेकिन मान लीजिए कि ठीक \(2.0\ \text{C}\) आवेश प्रत्येक स्रोत से होकर गुजरता है। कौन-सा स्रोत उस आवेश को अधिक ऊर्जा स्थानांतरित करता है?

गणना करने से पहले अनुमान लगाइए। दोनों स्थितियों में आवेश की मात्रा समान है, इसलिए अंतर वोल्टेज के कारण होना चाहिए। 9 V बैटरी \(18\ \text{J}\) ऊर्जा स्थानांतरित करती है, जबकि 1.5 V सेल केवल \(3.0\ \text{J}\) ऊर्जा स्थानांतरित करता है।

यही विभवांतर आपको बताता है: प्रति इकाई आवेश कितनी विद्युत ऊर्जा स्थानांतरित होती है।

01वोल्टेज वास्तव में आपको क्या बताता है?

किसी बैटरी के सिरों पर वोल्टमीटर \(6.0\ \text{V}\) दिखा सकता है। यह सोचना स्वाभाविक है कि “6 वोल्ट” ऊर्जा की कोई मात्रा है। लेकिन ऐसा नहीं है।

वोल्टेज एक प्रति-आवेश ऊर्जा राशि है।

\[ 1\ \text{V} = 1\ \text{J C}^{-1} \]

इसलिए \(6.0\ \text{V}\) का विभवांतर यह दर्शाता है कि उस विभवांतर से होकर गुजरने वाले प्रत्येक \(1.0\ \text{C}\) आवेश के लिए \(6.0\ \text{J}\) ऊर्जा स्थानांतरित होती है।

इसे समझने के लिए प्रति-इकाई कीमत पर खरीदारी का मॉडल उपयोगी है:

• वोल्टेज, प्रति किलोग्राम कीमत जैसा है,
• आवेश, किलोग्रामों की संख्या जैसा है,
• स्थानांतरित ऊर्जा, कुल लागत जैसी है।

यदि सेब की कीमत $6 प्रति किलोग्राम है, तो \(3\ \text{kg}\) खरीदने की लागत \(1\ \text{kg}\) खरीदने की तुलना में तीन गुना होगी। इसी तरह, यदि कोई विभवांतर प्रति कूलॉम \(6\ \text{J}\) ऊर्जा स्थानांतरित करता है, तो \(3\ \text{C}\) आवेश को स्थानांतरित करने पर \(1\ \text{C}\) की तुलना में तीन गुना ऊर्जा स्थानांतरित होगी।

यह उपमा केवल गणितीय है। बैटरी आवेशों को ऊर्जा “बेच” नहीं रही होती, और आवेश सेबों की तरह खर्च नहीं हो जाता। आवेश परिपथ में चलता रहता है, जबकि ऊर्जा विद्युत और अन्य रूपों के बीच स्थानांतरित होती है।

02प्रति आवेश ऊर्जा से \(W=qV\) तक

विभवांतर को इस संबंध से परिभाषित किया जाता है

\[ V = \frac{W}{q} \]

जहाँ:

• \(V\) वोल्ट (\(\text{V}\)) में विभवांतर है,
• \(W\) जूल (\(\text{J}\)) में किया गया विद्युत कार्य, या स्थानांतरित ऊर्जा है,
• \(q\) कूलॉम (\(\text{C}\)) में स्थानांतरित आवेश है।

इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर वह रूप मिलता है जिसका उपयोग आप गणनाओं में अक्सर करेंगे:

\[ W = qV \]

यह समीकरण एक सरल बात बताता है:

स्थानांतरित ऊर्जा = स्थानांतरित आवेश x प्रति कूलॉम स्थानांतरित ऊर्जा।

इकाइयाँ भी इस विचार की पुष्टि करती हैं:

\[ \text{C} \times \frac{\text{J}}{\text{C}} = \text{J} \]

कूलॉम की इकाइयाँ कट जाती हैं और जूल बचता है।

एक वोल्ट का क्या अर्थ है?

यदि \(1.0\ \text{C}\) आवेश \(1.0\ \text{V}\) के विभवांतर से होकर गुजरता है,

\[ W = qV = (1.0)(1.0) = 1.0\ \text{J} \]

इसलिए:

\[ 1\ \text{V} = 1\ \text{J C}^{-1} \]

यह व्याख्या केवल समीकरण को याद करने से अधिक उपयोगी है।

यदि आप विभवांतर जानते हैं, तो आप प्रत्येक कूलॉम आवेश के लिए ऊर्जा स्थानांतरण जानते हैं।

04विभवांतर के लिए दो बिंदु आवश्यक हैं

विद्युत विभव अपने आप में किसी एक बिंदु का वर्णन करता है। विभवांतर दो बिंदुओं की तुलना करता है।

इसी कारण वोल्टेज किसी अवयव के दोनों सिरों के बीच मापा जाता है।

मान लीजिए किसी लैम्प के सिरों के बीच \(5.0\ \text{V}\) का विभवांतर है। यदि \(1.0\ \text{C}\) आवेश लैम्प से होकर गुजरता है, तो आवेशों से लैम्प को \(5.0\ \text{J}\) विद्युत ऊर्जा स्थानांतरित होती है।

अंततः यह ऊर्जा मुख्य रूप से ऊष्मीय ऊर्जा और प्रकाश के रूप में दिखाई दे सकती है।

यदि इसके बजाय \(4.0\ \text{C}\) आवेश गुजरता है, तो जरूरी नहीं कि वोल्टेज बदला हो। केवल अधिक आवेश ऊर्जा स्थानांतरित कर रहा है:

\[ W = (4.0\ \text{C})(5.0\ \text{V}) = 20\ \text{J} \]

यह एक महत्वपूर्ण अंतर है:

• वोल्टेज बताता है कि प्रति कूलॉम कितनी ऊर्जा स्थानांतरित होती है,
• आवेश बताता है कि कितना आवेश स्थानांतरित हुआ है,
• इन दोनों का गुणनफल कुल स्थानांतरित ऊर्जा देता है।

यदि आपको दोहराना है कि किसी धातु चालक में वास्तव में क्या गति करता है, तो Electric Current in Metals: Charge Carriers and Drift देखें।

05ऊर्जा कहाँ जाती है?

एक सरल परिपथ पर विचार कीजिए जिसमें एक बैटरी और एक प्रतिरोधक है।

बैटरी के भीतर, रासायनिक प्रक्रियाएँ आवेशों को ऊर्जा स्थानांतरित करती हैं। जब वे आवेश बाहरी परिपथ से होकर चलते हैं, तो विद्युत क्षेत्र उस ऊर्जा को परिपथ के अवयवों में स्थानांतरित करता है।

प्रतिरोधक के सिरों के बीच, विद्युत ऊर्जा मुख्य रूप से ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित होती है।

इसलिए यदि \(50\ \text{C}\) आवेश ऐसे प्रतिरोधक से होकर गुजरता है जिसके सिरों के बीच \(8.0\ \text{V}\) है,

\[ W = qV = (50\ \text{C})(8.0\ \text{V}) = 400\ \text{J} \]

प्रतिरोधक को विद्युत तंत्र से \(400\ \text{J}\) ऊर्जा प्राप्त होती है।

आवेश स्वयं खर्च नहीं होता। वह परिपथ में आगे चलता रहता है।

यह अंतिम बिंदु महत्वपूर्ण है। एक सामान्य गलती यह कल्पना करना है कि प्रतिरोधक “इलेक्ट्रॉनों को खर्च कर देता है”। ऐसा नहीं होता। उसे गतिमान आवेशों से ऊर्जा प्राप्त होती है।

07अधिक सटीक चित्र: धनात्मक और ऋणात्मक आवेश

अब तक हमने मुख्य रूप से स्थानांतरित ऊर्जा के परिमाण की बात की है। सरल \(W=qV\) प्रश्नों में आमतौर पर यही पूछा जाता है।

लेकिन इसका एक और स्तर भी है।

आवेश धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। प्रोटॉन का आवेश धनात्मक होता है, जबकि इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक होता है:

\[ q_{\text{electron}} = -1.602\times10^{-19}\ \text{C} \]

क्योंकि \(q\) का कोई चिन्ह हो सकता है, इसलिए विद्युत विभव से जुड़े समीकरणों में भी चिन्ह हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी आवेश की विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन को इस प्रकार लिखा जा सकता है

\[ \Delta U = q\Delta V \]

जहाँ:

• \(\Delta U\) विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है,
• \(q\) आवेश है,
• \(\Delta V = V_{\text{final}}-V_{\text{initial}}\)।

अब एक महत्वपूर्ण अनुमान लगाइए।

मान लीजिए कोई इलेक्ट्रॉन अधिक विद्युत विभव वाले बिंदु की ओर जाता है। उसकी विद्युत स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है या घटती है?

वह घटती है।

इलेक्ट्रॉन के लिए \(q\) ऋणात्मक है। यदि \(\Delta V\) धनात्मक है, तो

\[ \Delta U = q\Delta V \]

ऋणात्मक होगा।

इसी कारण बिना सोचे यह कहना गलत है कि “अधिक वोल्टेज की ओर जाने का मतलब हमेशा स्थितिज ऊर्जा बढ़ना है”। यह कथन धनात्मक परीक्षण आवेश के लिए सही है, लेकिन इलेक्ट्रॉन का चिन्ह विपरीत होता है।

हालाँकि, कई HSC परिपथ गणनाओं में आपसे स्थानांतरित ऊर्जा की मात्रा पूछी जाती है। उस स्थिति में परिमाण वाला संबंध अक्सर सबसे स्पष्ट रूप होता है:

\[ W = |q|\,|\Delta V| \]

यह तय करने से पहले प्रश्न की भाषा ध्यान से पढ़िए कि चिन्ह भौतिक रूप से महत्वपूर्ण हैं या नहीं।

09जिस गलतफहमी से बचना चाहिए: “अधिक वोल्टेज का मतलब अधिक आवेश”

दो परिपथों की कल्पना कीजिए। एक बैटरी \(3.0\ \text{V}\) की है और दूसरी \(12\ \text{V}\) की।

कोई छात्र अनुमान लगा सकता है कि \(12\ \text{V}\) बैटरी को चार गुना अधिक आवेश प्रवाहित करना ही चाहिए।

यह अनुमान उचित लग सकता है क्योंकि अधिक वोल्टेज सुनने में “अधिक बिजली” जैसा लगता है। लेकिन वोल्टेज यह नहीं बताता कि कितना आवेश प्रवाहित होता है।

यह बताता है कि प्रति कूलॉम कितनी ऊर्जा स्थानांतरित होती है।

\(12\ \text{V}\) बैटरी, \(3.0\ \text{V}\) बैटरी की तुलना में प्रति कूलॉम चार गुना ऊर्जा स्थानांतरित करती है:

\[ 12\ \text{J C}^{-1} \quad\text{की तुलना में}\quad 3.0\ \text{J C}^{-1} \]

वास्तव में कितना आवेश गुजरता है, यह धारा और उस समय पर निर्भर करता है जिसके लिए परिपथ काम करता है।

एक उपयोगी निर्णय नियम है:

10\(W=qV\) आपको क्या नहीं बताता

यह समीकरण ऊर्जा, आवेश और विभवांतर को जोड़ता है। यह आपको यह नहीं बताता कि ऊर्जा का स्थानांतरण कितनी तेजी से होता है।

दो ऐसे उपकरणों की तुलना कीजिए जिन्हें प्रत्येक को \(600\ \text{J}\) ऊर्जा प्राप्त होती है।

एक उपकरण यह ऊर्जा \(2\ \text{s}\) में प्राप्त कर सकता है, जबकि दूसरे को \(30\ \text{s}\) लगते हैं। दोनों में ऊर्जा स्थानांतरण समान है, लेकिन ऊर्जा स्थानांतरण की दरें बहुत अलग हैं।

अगली अवधारणा शक्ति है:

\[ P = \frac{W}{t} \]

विद्युत कार्य को आवेश प्रवाह के साथ जोड़ने पर अंततः \(P=VI\) जैसे संबंध मिलते हैं। लेकिन \(W=qV\) आधार है: वोल्टेज आपको बताता है कि प्रत्येक कूलॉम कितनी ऊर्जा स्थानांतरित करता है, इससे पहले कि आप इस बात पर विचार करें कि वे कूलॉम कितनी तेजी से चल रहे हैं।

11प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक \(7.5\ \text{V}\) विद्युत आपूर्ति किसी परिपथ अवयव से \(4.0\ \text{C}\) आवेश प्रवाहित करती है। स्थानांतरित ऊर्जा की गणना कीजिए।

समाधान 1

स्थानांतरित ऊर्जा \(30\ \text{J}\) है।

विभवांतर प्रति इकाई आवेश स्थानांतरित ऊर्जा है, इसलिए उपयोग कीजिए

\[ W=qV \]

मान प्रतिस्थापित करने पर,

\[ W=(4.0\ \text{C})(7.5\ \text{V}) =30\ \text{J} \]

इसलिए जब \(4.0\ \text{C}\) आवेश \(7.5\ \text{V}\) के विभवांतर से होकर गुजरता है, तो अवयव को \(30\ \text{J}\) ऊर्जा प्राप्त होती है।

प्रश्न 2

एक मोटर को \(540\ \text{J}\) विद्युत ऊर्जा प्राप्त होती है, जबकि उसमें से \(45\ \text{C}\) आवेश गुजरता है। मोटर के सिरों के बीच विभवांतर ज्ञात कीजिए और समझाइए कि आपके उत्तर का भौतिक अर्थ क्या है।

समाधान 2

विभवांतर \(12\ \text{V}\) है, जिसका अर्थ है कि मोटर से गुजरने वाले प्रत्येक कूलॉम आवेश के लिए \(12\ \text{J}\) ऊर्जा स्थानांतरित होती है।

उपयोग कीजिए

\[ V=\frac{W}{q} \]

मान प्रतिस्थापित करने पर,

\[ V=\frac{540\ \text{J}}{45\ \text{C}} =12\ \text{J C}^{-1} =12\ \text{V} \]

\(12\ \text{V}\) का मान मोटर द्वारा उपयोग की गई कुल ऊर्जा नहीं है। यह प्रति कूलॉम स्थानांतरित ऊर्जा है।

प्रश्न 3

दो अवयव, X और Y, समान कुल विद्युत ऊर्जा स्थानांतरित करते हैं। अवयव X के सिरों के बीच \(6.0\ \text{V}\) है, जबकि अवयव Y के सिरों के बीच \(18\ \text{V}\) है।

एक छात्र दावा करता है कि दोनों अवयवों से समान मात्रा में आवेश गुजरा होगा क्योंकि दोनों ने समान ऊर्जा स्थानांतरित की।

क्या छात्र सही है? यदि नहीं, तो अनुपात \(q_X\:q_Y\) ज्ञात कीजिए।

समाधान 3

छात्र सही नहीं है। आवेश का अनुपात \(q_X\:q_Y=3:1\) है।

स्थानांतरित ऊर्जा है

\[ W=qV \]

दोनों अवयव समान \(W\) स्थानांतरित करते हैं, इसलिए

\[ q_XV_X=q_YV_Y \]

विभवांतर के मान प्रतिस्थापित कीजिए:

\[ q_X(6.0\ \text{V})=q_Y(18\ \text{V}) \]

अतः,

\[ \frac{q_X}{q_Y} = \frac{18}{6.0} =3 \]

इसलिए

\[ q_X\:q_Y=3:1 \]

अवयव X प्रति कूलॉम केवल \(6.0\ \text{J}\) स्थानांतरित करता है, जबकि अवयव Y प्रति कूलॉम \(18\ \text{J}\) स्थानांतरित करता है। इसलिए समान कुल ऊर्जा स्थानांतरित करने के लिए X को तीन गुना अधिक आवेश की आवश्यकता होती है।

गलती यह मान लेना है कि समान ऊर्जा का अर्थ समान आवेश है। यदि विभवांतर अलग-अलग हों, तो ऐसा नहीं होता।

प्रश्न 4

\(+3.2\times10^{-19}\ \text{C}\) आवेश वाला एक आवेशित कण \(20\ \text{V}\) वाले बिंदु से \(65\ \text{V}\) वाले बिंदु तक जाता है।

उसकी विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन की गणना कीजिए। बताइए कि स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है या घटती है।

समाधान 4

कण की विद्युत स्थितिज ऊर्जा \(1.44\times10^{-17}\ \text{J}\) बढ़ती है।

पहले विभव में परिवर्तन की गणना कीजिए:

\[ \Delta V = V_{\text{final}}-V_{\text{initial}} = 65\ \text{V}-20\ \text{V} = 45\ \text{V} \]

उपयोग कीजिए

\[ \Delta U=q\Delta V \]

मान प्रतिस्थापित करने पर,

\[ \Delta U = (3.2\times10^{-19}\ \text{C})(45\ \text{V}) = 1.44\times10^{-17}\ \text{J} \]

परिणाम धनात्मक है, इसलिए विद्युत स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।

यह धनात्मक आवेश के अधिक विद्युत विभव की ओर जाने के लिए उचित है। इसी तर्क को ऋणात्मक आवेश पर बिना बदले लागू नहीं किया जा सकता, क्योंकि \(q\) का चिन्ह \(\Delta U\) के चिन्ह को उलट देगा।

प्रश्न 5

एक इलेक्ट्रॉन बिंदु A पर \(10\ \text{V}\) से बिंदु B पर \(70\ \text{V}\) तक जाता है।

एक छात्र कहता है, “इलेक्ट्रॉन अधिक विभव की ओर जाता है, इसलिए उसकी विद्युत स्थितिज ऊर्जा अवश्य बढ़ेगी।”

दूसरा कहता है, “विभवांतर \(60\ \text{V}\) है, इसलिए इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा में \(+60\ \text{J}\) का परिवर्तन होता है।”

दोनों दावों का मूल्यांकन कीजिए और इलेक्ट्रॉन की विद्युत स्थितिज ऊर्जा में वास्तविक परिवर्तन की गणना कीजिए।

\(q_{\text{electron}}=-1.602\times10^{-19}\ \text{C}\) का उपयोग कीजिए।

समाधान 5

दोनों दावे गलत हैं। इलेक्ट्रॉन की विद्युत स्थितिज ऊर्जा \(9.61\times10^{-18}\ \text{J}\) घटती है।

पहले विभव में परिवर्तन की गणना कीजिए:

\[ \Delta V = 70\ \text{V}-10\ \text{V} = 60\ \text{V} \]

अब उपयोग कीजिए

\[ \Delta U=q\Delta V \]

इलेक्ट्रॉन के ऋणात्मक आवेश को प्रतिस्थापित करने पर,

\[ \Delta U = (-1.602\times10^{-19}\ \text{C})(60\ \text{V}) = -9.612\times10^{-18}\ \text{J} \]

अतः,

\[ \Delta U\approx-9.61\times10^{-18}\ \text{J} \]

ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन विद्युत स्थितिज ऊर्जा खोता है।

पहले छात्र की गलती यह है कि उसने इलेक्ट्रॉन को धनात्मक आवेश की तरह माना। धनात्मक आवेश के लिए अधिक विद्युत विभव, अधिक स्थितिज ऊर्जा के अनुरूप होता है, लेकिन इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक होता है।

दूसरे छात्र की गलती वोल्ट को जूल मान लेना है। एक वोल्ट, प्रति कूलॉम एक जूल है, इसलिए आवेश को गणना में शामिल करना आवश्यक है। \(60\ \text{V}\) का विभवांतर \(60\ \text{J}\) के ऊर्जा परिवर्तन का अर्थ नहीं है, जब तक कि शामिल आवेश का परिमाण ठीक \(1\ \text{C}\) न हो।

अगला महत्वपूर्ण कदम इस प्रति-आवेश ऊर्जा की अवधारणा को धारा और शक्ति से जोड़ना है। जब आप जानते हैं कि प्रत्येक कूलॉम कितनी ऊर्जा स्थानांतरित करता है और प्रत्येक सेकंड कितना आवेश गुजरता है, तब आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई विद्युत उपकरण कितनी तेजी से ऊर्जा स्थानांतरित करता है।