HSC 化学：溶液稀释计算

你向 \(30\,\mathrm{mL}\) 的糖溶液中加入纯水，直到总体积达到 \(90\,\mathrm{mL}\)。在计算之前，先预测一下：糖的量会减少，还是只有糖的浓度会降低？

假设糖没有损失，也没有发生反应，只有浓度会降低。同样份量的糖现在分散在三倍的溶液体积中。每毫升所含的糖只有原来的三分之一。这就是稀释：加入溶剂以降低溶液的浓度。 :chatgpt-content-reference{index=”0″}

01相同的溶质，更多的溶液

在这里，糖是溶质，也就是被溶解的物质；水则是溶剂。

把已溶解的糖想像成 12 个圆点。加水后仍然有 12 个圆点，只是它们分散在更大的体积中。稀释不会让圆点消失。

这个图像是简化表示。每个圆点代表相同份量的已溶解糖，而不是一粒未溶解的糖。图中也省略了水分子，因此圆点之间的空隙并不代表真正的空白空间。

要计算浓度，我们必须区分存在多少溶质与每公升含有多少溶质。

莫耳浓度为 \(c = n/V\)。其中，\(c\) 是以每公升莫耳数表示的浓度，单位为 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)；\(n\) 是溶质的物质的量，单位为莫耳，\(\mathrm{mol}\)；而 \(V\) 是溶液的总体积，单位为公升，\(\mathrm{L}\)。莫耳是用来量度物质的量的单位。 :chatgpt-content-reference{index=”1″}

整理可得 \(n = cV\)：浓度乘以溶液体积，可以求出该体积中所含的溶质的量。

在稀释过程中，\(n\) 保持不变，而 \(V\) 增加，因此 \(c\) 会降低。

02跟随被转移的样品，而不是整瓶原液

原液是用来经稀释配制其他溶液的溶液。从原液量取的一部分称为分取样。

稀释前，该分取样中的溶质的量，等于稀释后整份溶液中的溶质的量。它并不等于整瓶原液中的溶质的量。

把这两个量称为 \(n_1\) 和 \(n_2\)，其中下标 1 和 2 分别代表稀释前和稀释后。由于 \(n_1 = n_2\)，代入 \(n = cV\) 可得：

\[ c_1V_1 = c_2V_2 \]

这些符号描述的是同一份被转移样品在两个阶段的情况。 :chatgpt-content-reference{index=”2″}

这个方程式假设所加入的溶剂不含正在追踪的溶质，而且该溶质没有损失、没有在反应中被消耗，也没有从溶液中被移除。

保持单位一致

一公升等于 1000 毫升：\(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{mL}\)。

使用 \(n = cV\) 计算莫耳数时，如果浓度的单位是 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)，体积就要使用公升。

直接使用 \(c_1V_1 = c_2V_2\) 时，两个体积可以都用公升，也可以都用毫升，因为共同的换算因子会相消。两个浓度也必须使用相同的单位。 :chatgpt-content-reference{index=”3″}

错误之处在于，一个体积使用毫升，另一个却使用公升，而没有先进行换算。

03最终溶液体积并不是所加入的水量

「稀释至 \(100\,\mathrm{mL}\)」的指示，是指完成后的溶液总体积为 \(100\,\mathrm{mL}\)。被转移的样品本身已经是这个体积的一部分。

它并不是指「加入 \(100\,\mathrm{mL}\) 的水」。

这个错误看起来很合理，因为你实际加入的确实是水。但浓度的计算使用的是整份溶液的体积，而不只是所加入的水量。

当计算假设体积可以直接相加时，所加入的水的体积 \(V_{\text{水}}\) 为 \(V_{\text{水}} = V_2 - V_1\)。在准确的实验室配制中，应转移所需的样品，再加入水，直到溶液达到容量瓶的刻度线。该刻度线指定的是最终溶液体积。 :chatgpt-content-reference{index=”4″}

04取出较小的样品并不等于稀释

假设你把一份充分混合的溶液取出一半，放到另一个容器中。原容器中剩下一半溶液的浓度也会减半吗？

不会。溶质的量和溶液体积都减半了，因此它们的比值 \(n/V\) 保持不变。你只是有较少的溶液，而不是得到更稀的溶液。

因此，你可以作出以下三种有用的判断：

• **加入纯水：**溶质的量保持不变，体积增加，浓度降低。
• **取出分取样：**分取样的浓度与它所取自的充分混合溶液相同，但只含有其中一部分溶质。
• **损失部分溶液：**先计算还剩多少溶质，再除以最终体积。

进行连续稀释时，应对每一次实际转移的样品分别套用方程式。如果只有一份分取样被转移到第二个容器，就不要把第一个容器中的全部莫耳数都带入第二个容器。

对纯水稀释的结果作出判断前，应预期 \(c_2 < c_1\) 且 \(V_2 > V_1\)。如果计算结果显示浓度反而升高，请重新检查所使用的体积或所提出的操作方法。

05题目与解答

假设所加入的水不含该溶质、不发生化学反应，而且溶液在取样前都已充分混合。任何溶质损失都会明确说明。

题目 1

将 \(18.0\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.360\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 氯化钠溶液稀释至 \(90.0\,\mathrm{mL}\)。计算最终浓度以及稀释后溶液中氯化钠的物质的量。

解答 1

最终浓度为 \(0.0720\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\)，而稀释后的溶液含有 \(0.00648\,\mathrm{mol}\) 的氯化钠。

步骤 1：求出原始样品中的溶质的量。

\[ \begin{aligned} n_1 &= c_1V_1 \\ &= (0.360\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.0180\,\mathrm{L}) \\ &= 0.00648\,\mathrm{mol} \end{aligned} \]

步骤 2：在最终体积中使用相同的溶质的量。

\[ \begin{aligned} c_2 &= \frac{n_2}{V_2} \\ &= \frac{0.00648\,\mathrm{mol}}{0.0900\,\mathrm{L}} \\ &= 0.0720\,\mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

体积增加了五倍，因此浓度变成原来的五分之一。溶质的量并没有变成五分之一：全部 \(0.00648\,\mathrm{mol}\) 仍然存在。

题目 2

某个方法需要把整份 \(32.0\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.225\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 硝酸钾溶液稀释至 \(0.0600\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\)。一份草拟的指示写著：「加入 \(120.0\,\mathrm{mL}\) 的水。」

求出所需的最终溶液体积，以及实际需要加入的水量。说明这份草拟指示是否正确。假设体积可以直接相加。

解答 2

所需的最终体积为 \(120\,\mathrm{mL}\)，因此需要 \(88.0\,\mathrm{mL}\) 的水。草拟指示会使溶液过度稀释。

步骤 1：计算现有的溶质的量。

\[ \begin{aligned} n &= c_1V_1 \\ &= (0.225\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.0320\,\mathrm{L}) \\ &= 0.00720\,\mathrm{mol} \end{aligned} \]

步骤 2：求出能得到所需浓度的体积。

重新整理 \(c_2 = n/V_2\)。

\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{n}{c_2} \\ &= \frac{0.00720\,\mathrm{mol}}{0.0600\,\mathrm{mol\,L^{-1}}} \\ &= 0.120\,\mathrm{L} \\ &= 120\,\mathrm{mL} \end{aligned} \]

步骤 3：减去样品体积，以求出水的体积。

\[ \begin{aligned} V_{\text{水}} &= V_2 - V_1 \\ &= 0.120\,\mathrm{L} - 0.0320\,\mathrm{L} \\ &= 0.0880\,\mathrm{L} \\ &= 88.0\,\mathrm{mL} \end{aligned} \]

如果加入 \(120.0\,\mathrm{mL}\) 的水，反而会得到 \(152.0\,\mathrm{mL}\) 的溶液。同样的溶质会分布在超过所需 \(120\,\mathrm{mL}\) 的体积中，因此浓度会低于目标值。

题目 3

将 \(8.00\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.750\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 硝酸钾溶液稀释至 \(50.0\,\mathrm{mL}\)。混合后，只取其中 \(5.00\,\mathrm{mL}\) 转移到第二个容器中，再稀释至 \(75.0\,\mathrm{mL}\)。

计算最终浓度。原先 \(8.00\,\mathrm{mL}\) 样品中的溶质，有多少比例进入第二个容器？

解答 3

最终浓度为 \(0.00800\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\)。原始样品中的溶质只有十分之一进入第二个容器。

步骤 1：计算第一次稀释后的浓度。

令 \(n_A\) 和 \(c_A\) 分别代表第一次稀释后溶液中的溶质的量和浓度。

\[ \begin{aligned} n_A &= (0.750\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.00800\,\mathrm{L}) \\ &= 0.00600\,\mathrm{mol} \\ c_A &= \frac{0.00600\,\mathrm{mol}}{0.0500\,\mathrm{L}} \\ &= 0.120\,\mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

步骤 2：计算第二份分取样带走多少溶质。

这份 \(5.00\,\mathrm{mL}\) 分取样的浓度是 \(c_A\)，而不是原始原液的浓度。令 \(n_B\) 为它所转移的溶质的量，\(c_B\) 为最终浓度。

\[ \begin{aligned} n_B &= (0.120\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.00500\,\mathrm{L}) \\ &= 0.000600\,\mathrm{mol} \\ c_B &= \frac{0.000600\,\mathrm{mol}}{0.0750\,\mathrm{L}} \\ &= 0.00800\,\mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

步骤 3：确定被转移的比例。

分取样占充分混合后第一次溶液的 \(5.00/50.0 = 0.100\)，也就是十分之一。因此，它也带走了该溶液中十分之一的溶质。

容易出错的地方，是把原本的 \(0.00600\,\mathrm{mol}\) 直接视为最终容器中的量。其实大部分莫耳数仍留在第一个容器中。

题目 4

一个储液槽中有 \(100.0\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.110\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 氯化钠溶液。你需要 \(80.0\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.125\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 溶液。

你可以取出充分混合的部分溶液、加入纯水并混合。你不能加入溶质，也不能选择性地移除水。

一名学生认为这个配制方法可行，因为储液槽所含的莫耳数多于所需溶液。利用计算及允许的操作评估这个论点。

解答 4

即使有足够的溶质，使用所允许的操作仍无法完成这项配制。

步骤 1：比较现有与所需的物质的量。

令 \(n_{\text{可用}}\) 表示储液槽中的物质的量，\(n_{\text{所需}}\) 表示目标溶液所需的物质的量。

\[ \begin{aligned} n_{\text{可用}} &= (0.110\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.1000\,\mathrm{L}) \\ &= 0.0110\,\mathrm{mol} \\ n_{\text{所需}} &= (0.125\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.0800\,\mathrm{L}) \\ &= 0.0100\,\mathrm{mol} \end{aligned} \]

就总物质的量而言，这名学生是正确的。然而，拥有足够的莫耳数并不足够。

步骤 2：求出恰好含有所需物质的量的原液体积。

\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{n_{\text{所需}}}{c_1} \\ &= \frac{0.0100\,\mathrm{mol}}{0.110\,\mathrm{mol\,L^{-1}}} \\ &= 0.0909\,\mathrm{L} \\ &= 90.9\,\mathrm{mL} \end{aligned} \]

这份样品本身的体积已经大于所需的 \(80.0\,\mathrm{mL}\)。

如果移除部分充分混合的溶液，水和溶质都会一起被移除，因此浓度保持不变。加入水则会降低浓度。

这两种操作都不能把浓度从 \(0.110\) 提高至 \(0.125\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\)。目标需要的是提高浓度，而不是稀释。

题目 5

一份 \(30.0\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.400\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 硝酸钾溶液正在被稀释至 \(120.0\,\mathrm{mL}\)。

在某个未知的中间阶段，溶液混合均匀后，有 \(3.00\,\mathrm{mL}\) 意外洒失。剩余的溶液随后再稀释至原定的最终体积。测得其浓度为 \(0.0950\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\)。

求出洒失发生前一刻的溶液总体积。说明为甚么不能直接在原始样品与最终溶液之间套用 \(c_1V_1 = c_2V_2\)。在这道推理题中，将所给数值视为精确值。

解答 5

洒失前一刻的溶液体积为 \(60.0\,\mathrm{mL}\)。不能用单一的稀释方程式直接连接原始溶液与最终溶液，因为有部分溶质离开了容器。

步骤 1：计算初始与最终的溶质的量。

令 \(n_{\text{初始}}\) 和 \(n_{\text{最终}}\) 分别代表这两个物质的量。

\[ \begin{aligned} n_{\text{初始}} &= (0.400\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.0300\,\mathrm{L}) \\ &= 0.0120\,\mathrm{mol} \\ n_{\text{最终}} &= (0.0950\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.1200\,\mathrm{L}) \\ &= 0.0114\,\mathrm{mol} \end{aligned} \]

步骤 2：利用损失的溶质求出洒失时的浓度。

这两个物质的量之差就是损失的溶质的量 \(n_{\text{损失}}\)。这些溶质全部随 \(0.00300\,\mathrm{L}\) 的充分混合溶液一起洒出。

因此，洒失前一刻的浓度 \(c_{\text{洒失前}}\) 为：

\[ \begin{aligned} n_{\text{损失}} &= n_{\text{初始}} - n_{\text{最终}} \\ &= 0.0120\,\mathrm{mol} - 0.0114\,\mathrm{mol} \\ &= 0.000600\,\mathrm{mol} \\ c_{\text{洒失前}} &= \frac{0.000600\,\mathrm{mol}}{0.00300\,\mathrm{L}} \\ &= 0.200\,\mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

步骤 3：求出在该浓度下含有原始溶质的量所需的体积。

洒失前只加入了水，因此全部 \(0.0120\,\mathrm{mol}\) 的溶质仍然存在。把该时刻的体积称为 \(V_{\text{洒失前}}\)：

\[ \begin{aligned} V_{\text{洒失前}} &= \frac{n_{\text{初始}}}{c_{\text{洒失前}}} \\ &= \frac{0.0120\,\mathrm{mol}}{0.200\,\mathrm{mol\,L^{-1}}} \\ &= 0.0600\,\mathrm{L} \\ &= 60.0\,\mathrm{mL} \end{aligned} \]

样品的体积已增加至原来的两倍，因此洒失发生前，其浓度已降至原来的一半。

只要把损失的部分计入，溶质守恒仍然适用。正确的平衡关系是 \(n_{\text{初始}} = n_{\text{最终}} + n_{\text{损失}}\)，而不是 \(n_{\text{初始}} = n_{\text{最终}}\)。

06从已稀释的测试样品反推

稀释后测得的浓度属于稀释后的溶液。要还原原始浓度，可以重新整理相同的关系式：\(c_1 = c_2V_2/V_1\)。

你是在反推浓度降低的过程，而不是创造额外的溶质。对于一连串稀释，应沿著实际被转移的分取样，逐个阶段反向计算。

在针对稀释修正测试结果之前，要先确定被转移的体积、最终溶液体积，以及是否有任何溶质损失。这些判断决定你的计算所描述的是原始溶液，还是另一份完全不同的样品。