HSC 化學中量度溶液濃度的方法

兩份葡萄糖溶液各含有 4.0 g 已溶解的葡萄糖。其中一份的最終體積為 100 mL；另一份的最終體積為 400 mL。在計算之前，先預測：哪一份較濃？濃度相差多少倍？

100 mL 的溶液濃度是另一份的四倍。它每 100 mL 含有 4.0 g 葡萄糖，而較大體積的溶液每 100 mL 只含有 1.0 g。葡萄糖的總質量相同，但分布在不同的體積中。

濃度描述的是相對於某個指定的溶液量，當中有多少溶質，而不只是容器裡有多少溶質。關鍵在於辨認每一種濃度表示法究竟比較哪些量。

01先分清溶質、溶劑與溶液

以葡萄糖溶於水為例，葡萄糖是溶質，水是溶劑，而整個混合物就是溶液。當葡萄糖完全溶解並均勻混合後，取相同大小的樣本，其組成也會相同。 :chatgpt-content-reference{index=”0″}

以下每一種濃度表示法，都是把某個溶質的量與最終溶液的某個量作比較。分母可能是溶液的體積，也可能是溶液的質量。

因此可以養成一個實用習慣：在按計算機之前，先寫清楚分數線上方和下方各應放甚麼量。

02質量濃度：每公升多少克

假設你要知道一公升溶液中含有多少已溶解的固體，以質量為基礎的表示法可以直接回答這個問題。

質量濃度是指定溶質的質量除以溶液的體積。我們用符號 \(C_m\) 表示： :chatgpt-content-reference{index=”1″}

\[ C_m=\frac{m}{V} \]

其中，\(m\) 是溶質質量，單位為克（\(\mathrm{g}\)）；\(V\) 是最終溶液體積，單位為公升（\(\mathrm{L}\)）。因此，\(C_m\) 的單位是 \(\mathrm{g\,L^{-1}}\)，意思是每公升多少克。

負指數只表示「每」：\(\mathrm{g\,L^{-1}}\) 是 \(\mathrm{g/L}\) 的另一種寫法。

03物質的量濃度：每公升多少摩爾

質量濃度很有用，但以克為單位並不能直接表示化學粒子的數目。兩種不同物質即使質量相同，也可能含有不同數目的分子。

摩爾是一種計數單位，有點像「一打」，只是所代表的數目大得多。一摩爾大約包含 \(6.022\times10^{23}\) 個指定粒子，例如分子或離子。不過，「一打」這個類比有一個重要限制：固定的數目並不代表固定的質量。一打保齡球和一打葡萄的總質量顯然會非常不同。 :chatgpt-content-reference{index=”2″}

摩爾質量 \(M\) 表示一摩爾某物質的質量。當 \(M\) 的單位是克每摩爾，即 \(\mathrm{g\,mol^{-1}}\) 時，以克表示的質量除以 \(M\)，就可得到以摩爾（\(\mathrm{mol}\)）表示的物質的量 \(n\)：\(n=m/M\)。

物質的量濃度也稱為摩爾濃度（molar concentration 或 molarity），是把這些摩爾數與溶液體積作比較： :chatgpt-content-reference{index=”3″}

\[ c=\frac{n}{V} \]

其中，\(c\) 是物質的量濃度，單位為 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)；\(n\) 是指定溶質的物質的量，單位為摩爾；\(V\) 是最終溶液體積，單位為公升。

每公升克數與每公升摩爾數之間的換算

這兩種表示法使用相同的溶液體積。只有分子由克數改成摩爾數：

\[ \begin{aligned} c&=\frac{n}{V}\\ &=\frac{m}{MV}\\ &=\frac{C_m}{M} \end{aligned} \qquad\text{以及}\qquad C_m=cM \]

要把 \(\mathrm{g\,L^{-1}}\) 換算成 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)，用前者除以溶質的摩爾質量（單位為 \(\mathrm{g\,mol^{-1}}\)）。要換算回去，則相乘。

進行這種換算時，你必須知道溶質是甚麼物質，或至少知道它的摩爾質量。若標籤只寫著「每公升含 20 g 已溶解物質」，這不足以求出每公升有多少摩爾。

04百分比濃度：每 100 個甚麼量？

現在先預測：5.0% (m/m) 是否必然與 5.0% (m/v) 表示相同的濃度？

不是。其中一個指每 100 g 溶液，另一個則指每 100 mL。這兩個量不能自動視為可以互換。

百分比旁邊的字母會告訴你正在比較甚麼。這裡，\(m\) 代表質量，\(v\) 代表體積。 :chatgpt-content-reference{index=”4″}

你也可能遇到 % (w/v) 和 % (w/w)。在這些標示中，「weight」指的是質量，因此它們分別對應 % (m/v) 和 % (m/m)。

對於質量／質量百分比和體積／體積百分比，用溶質的量除以相應的溶液量，使用相同種類的單位，再乘以 100。

對於質量／體積百分比，必須特別使用以克表示的溶質質量和以毫升表示的溶液體積。這是一種慣例，用來表示每 100 mL 有多少克，而不是無因次的質量分數。

質量／體積百分比也是另一種質量濃度標示

上面的葡萄糖溶液每 1000 mL 含有 18.0 g。因此，它們每 100 mL 含有 1.80 g，可以標示為 1.80% (m/v)。

使用例題中四捨五入後的摩爾質量，以下三種標示描述的是相同的葡萄糖濃度：

\[ 18.0\ \mathrm{g\,L^{-1}} \quad\longleftrightarrow\quad 1.80\%\ (m/v) \quad\longleftrightarrow\quad 0.100\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \]

數值不同，是因為所用的單位不同。

若要直接在 % (m/v) 和 \(\mathrm{g\,L^{-1}}\) 之間換算，把百分比的數值乘以 10，即可得到每公升的克數。把每公升克數除以 10，則可得到百分比的數值。不需要密度，因為這兩種表示法都已經以溶液體積為基礎。

最容易犯的錯誤：使用溶劑而不是溶液

5.0% (m/m) 的溶液，是在100 g 溶液中含有 5.0 g 溶質。若溶液只由該溶質和水組成，則水的質量是 95.0 g，而不是 100 g。

5.0% (v/v) 的溶液，是每100 mL 最終溶液含有 5.0 mL 純液態溶質。所有體積都應以相同溫度為準。不要自動推斷恰好加入了 95.0 mL 溶劑：液體混合時，體積通常不能簡單相加。

實際操作上的原則，是確定最終溶液體積，而不是假設它等於所加入溶劑的體積。這是製備標準溶液的核心概念。

05密度連結以質量和以體積為基礎的表示法

要把 % (m/m) 換算成 % (m/v)，你必須建立溶液質量與溶液體積之間的關係。

這個關係就是溶液的密度 \(\rho\)，讀作「rho」：

\[ \rho=\frac{m_{\text{溶液}}}{V_{\text{溶液}}} \]

其中，\(m_{\text{溶液}}\) 是溶液總質量，\(V_{\text{溶液}}\) 是溶液體積。若使用克和毫升，密度單位就是 \(\mathrm{g\,mL^{-1}}\)，即每毫升多少克。移項後得到 \(m_{\text{溶液}}=\rho V_{\text{溶液}}\)。 :chatgpt-content-reference{index=”5″}

**密度和質量濃度的分子不同。**密度使用整份溶液的質量；質量濃度則使用指定溶質的質量。

選擇與換算相符的密度

把 % (m/m) 換算成 % (m/v) 時，要使用溶液的密度。你是在把溶液總質量換算成溶液體積。

把 % (v/v) 換算成 % (m/v) 時，要使用純液態溶質的密度。你是在保持相同溶液體積的同時，把溶質體積換算成溶質質量。

把 100 mL 溶液直接視為 100 g，等同假設其密度為 \(1.00\ \mathrm{g\,mL^{-1}}\)。只有在題目已給出這個數值，或有充分理由把它作為近似值時，才可以這樣做。「它含有水」本身並不足以支持這個假設。

06題目與解答

題目 1

一份 75.0 mL 的溶液樣本含有 0.900 g 已溶解固體。計算其質量濃度，單位為 \(\mathrm{g\,L^{-1}}\)，以及其質量／體積百分比。

解答 1

質量濃度為 \(12.0\ \mathrm{g\,L^{-1}}\)，相當於 1.20% (m/v)。

質量濃度是溶質質量除以最終溶液體積。把體積換算後，\(75.0\ \mathrm{mL}=0.0750\ \mathrm{L}\)。

\[ \begin{aligned} C_m&=\frac{m}{V}\\ &=\frac{0.900\ \mathrm{g}}{0.0750\ \mathrm{L}}\\ &=12.0\ \mathrm{g\,L^{-1}} \end{aligned} \]

要求出 100 mL 樣本中所含的質量：

\[ \frac{0.900\ \mathrm{g}}{75.0\ \mathrm{mL}} \times100\ \mathrm{mL} =1.20\ \mathrm{g} \]

因此，此溶液每 100 mL 含有 1.20 g 溶質，所以是 1.20% (m/v)。這兩者只是同一比率的不同表示方式。

題目 2

一個空瓶的質量為 24.0 g。裝滿溶液後，總質量為 124.0 g。溶液中含有 8.00 g 已溶解溶質。

一名學生把瓶子標示為「8.00% (m/v)」。根據這些測量結果，能夠支持的是哪一種百分比表示法？還需要測量甚麼，才能計算質量／體積百分比？

解答 2

這些測量結果支持 8.00% (m/m)，但不一定支持 8.00% (m/v)。要計算質量／體積百分比，需要知道最終溶液體積。

首先扣除瓶子的質量：

\[ \begin{aligned} m_{\text{溶液}} &=124.0\ \mathrm{g}-24.0\ \mathrm{g}\\ &=100.0\ \mathrm{g}\\ \text{質量百分比} &=\frac{8.00\ \mathrm{g}}{100.0\ \mathrm{g}}\times100\%\\ &=8.00\% \end{aligned} \]

分母是 100.0 g 溶液，因此正確的表示法是 8.00% (m/m)。

這些測量結果並沒有證明溶液的體積是 100 mL。量度其體積即可解決這個問題。或者，若量度其密度，也可以由已知的溶液質量計算出體積。

題目 3

溶液 A 的葡萄糖濃度為 \(30.0\ \mathrm{g\,L^{-1}}\)。溶液 B 的尿素 \(\ce{CO(NH2)2}\) 濃度為 \(12.0\ \mathrm{g\,L^{-1}}\)。兩種溶質在水中均保持為分子。

使用四捨五入後的摩爾質量：葡萄糖為 \(180\ \mathrm{g\,mol^{-1}}\)，尿素為 \(60.0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}\)。

哪一份溶液的質量濃度較高？哪一份的物質的量濃度較高？解釋為甚麼兩種比較方式所得的排序可以不同。

解答 3

溶液 A 的質量濃度較高，但溶液 B 的物質的量濃度較高：B 為 \(0.200\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\)，A 則為 \(0.167\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\)。

質量濃度的比較可直接由標示看出：\(30.0>12.0\)。

對於物質的量濃度，令 \(c_A\) 和 \(c_B\) 分別表示兩種溶質的濃度：

\[ \begin{aligned} c_A &=\frac{C_{m,A}}{M_A}\\ &=\frac{30.0\ \mathrm{g\,L^{-1}}}{180\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}\\ &=0.167\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\\ c_B &=\frac{C_{m,B}}{M_B}\\ &=\frac{12.0\ \mathrm{g\,L^{-1}}}{60.0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}\\ &=0.200\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

其中，\(C_{m,A}\) 和 \(C_{m,B}\) 是題目給出的質量濃度，而 \(M_A\) 和 \(M_B\) 則是相應的摩爾質量。

一摩爾尿素的質量遠小於一摩爾葡萄糖。因此，即使溶液 B 每公升所含溶質的克數較少，它仍然可以每公升含有更多溶質分子。

陷阱在於把「較濃」當成完整資訊，卻沒有說明比較濃度所採用的基準。

題目 4

某溶液標示為含有 10.0% (v/v) 的液態溶質。純溶質的密度為 \(0.800\ \mathrm{g\,mL^{-1}}\)。所有體積均以相同溫度為準。

求其質量／體積百分比，以及以 \(\mathrm{g\,L^{-1}}\) 表示的質量濃度。這個標籤是否也能證明，每 100 mL 溶液恰好使用了 90.0 mL 水？

解答 4

此溶液為 8.00% (m/v)，即 \(80.0\ \mathrm{g\,L^{-1}}\)。標籤並不能證明使用了 90.0 mL 水。

考慮 100 mL 溶液。標籤指定每 100 mL 最終溶液含有 10.0 mL 純液態溶質。

使用純溶質的密度 \(\rho_{\text{溶質}}\)，把其體積 \(V_{\text{溶質}}\) 換算成質量：

\[ \begin{aligned} m &=\rho_{\text{溶質}}V_{\text{溶質}}\\ &=(0.800\ \mathrm{g\,mL^{-1}})(10.0\ \mathrm{mL})\\ &=8.00\ \mathrm{g}\\ C_m &=\frac{8.00\ \mathrm{g}}{0.100\ \mathrm{L}}\\ &=80.0\ \mathrm{g\,L^{-1}} \end{aligned} \]

每 100 mL 溶液含有 8.00 g 溶質，因此是 8.00% (m/v)。

直接用 \(100\ \mathrm{mL}\) 減去 \(10.0\ \mathrm{mL}\)，等同假設分別量度的兩種液體在混合後體積會精確相加。題目並沒有提供這個假設，因此不能單憑標籤確定水的體積。

題目 5

某份規格草案把一種溶液描述為 120% (m/v)，密度為 \(1.50\ \mathrm{g\,mL^{-1}}\)。一名審核者拒絕這項規格，理由是「溶液不可能含有超過 100% 的溶質」。

計算相應的質量／質量百分比，並評估審核者的說法。單憑這兩個已知數值，能否證明某種真實溶質可以在這個濃度下溶解？

解答 5

這項規格相當於 80.0% (m/m)。它不會單純因為質量／體積百分比超過 100% 而變得不可能，但仍需要溶解度資料才能確定在物理上是否可行。

以 100 mL 溶液作為計算基準。標籤表示這個體積中含有 120 g 溶質。

溶液總質量和質量百分比為：

\[ \begin{aligned} m_{\text{溶液}} &=\rho V_{\text{溶液}}\\ &=(1.50\ \mathrm{g\,mL^{-1}})(100\ \mathrm{mL})\\ &=150\ \mathrm{g}\\ \text{質量百分比} &=\frac{120\ \mathrm{g}}{150\ \mathrm{g}}\times100\%\\ &=80.0\% \end{aligned} \]

剩餘質量為 \(150-120=30\ \mathrm{g}\)，可由溶劑佔有。

質量／質量百分比不能超過 100%，因為溶質質量不可能大於溶液總質量。但 % (m/v) 比較的是克與毫升。120% (m/v) 的意思是每 100 mL 含有 120 g，而不是每 100 g 含有 120 g。

這些數值本身並不互相矛盾。不過，它們不能告訴我們某一種特定溶質在所述條件下，是否真的能溶解於該質量的溶劑中。這需要溶解度資料。

題目 6

一份均勻溶液裝在密封的柔性容器中，受熱後體積膨脹 5.00%。沒有任何物質進入或離開，沒有發生反應，而且所有溶質仍保持溶解。

以下哪些濃度表示法會改變：\(\mathrm{g\,L^{-1}}\)、\(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)、% (m/v) 和 % (m/m)？對每一種會改變的表示法，計算其百分比變化。物質的量濃度下降，是否必然表示加入了溶劑？

解答 6

\(\mathrm{g\,L^{-1}}\)、\(\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 和 % (m/v) 的數值都下降 4.76%。質量／質量百分比保持不變。沒有加入溶劑。

溶質質量、溶質的摩爾數，以及溶液總質量都保持不變。

前三種表示法都是用固定的溶質量除以溶液體積。新的體積是原來體積的 1.050 倍，因此：

\[ \begin{aligned} \frac{\text{新濃度}}{\text{原濃度}} &=\frac{\text{原體積}}{1.050\times\text{原體積}}\\ &=\frac{1}{1.050}\\ &=0.95238\\ \text{百分比下降} &=(1-0.95238)\times100\%\\ &=4.76\% \end{aligned} \]

分母增加 5.00%，並不會令比率恰好下降 5.00%。兩者之間是倒數關係。

質量／質量百分比的分子和分母都是質量。兩者都沒有改變，因此這個百分比保持不變。

物質的量濃度下降並不能證明有溶劑進入。它只表示每公升所含的摩爾數減少，而在這個情況中，原因是溶液膨脹，而不是加入溶劑造成稀釋。

07從濃度求出實際可用的量

當你把濃度與實際樣本連結起來時，濃度才真正變得實用。關係式 \(n=cV\) 可求出轉移的摩爾數，而 \(m=C_mV\) 可求出轉移的溶質質量。當濃度是以每公升表示時，體積必須使用公升。

這也是溶液稀釋計算的起點：先找出有多少溶質存在，再追蹤最終溶液體積如何變化。單位會告訴你正在追蹤的是哪一個量。