HSC 化學摩爾濃度計算：c = n/V

你將 \(5.85\text{ g}\) 的氯化鈉溶於水中，並把最終溶液體積準確配製至 \(500\text{ mL}\)。濃度會是 \(5.85/500\) 嗎？這看起來很合理，但這兩個數字量度的是不同的物理量：一個是質量，另一個是體積。

化學家需要一種方法來描述某一體積的溶液中含有多少物質的量。這正是摩爾濃度所描述的內容。只要你能熟練地在質量、摩爾數、濃度和體積之間轉換，HSC 中一大類溶液計算題就會變得容易處理得多。

在開始計算之前，先預測一下：如果兩種溶液含有相同摩爾數的溶質，但其中一種的總體積是另一種的兩倍，哪一種濃度較高？

體積較小的溶液濃度較高。相同份量的溶質被容納在較少的溶液中。

這個概念就是摩爾濃度的整個基礎。

01心智模型：一定體積中容納的物質的量

想像 \(0.50\text{ mol}\) 的某種溶質分散在 \(1.0\text{ L}\) 的溶液中。現在再想像相同的 \(0.50\text{ mol}\) 分散在 \(2.0\text{ L}\) 中。

第二種溶液並沒有失去任何溶質。它只是有更大的體積，因此每公升所含的溶質較少。

這有點像人群密度。五十個人在一個小房間裡會感覺很擁擠；同樣五十個人分散在一個大禮堂裡，就不會如此。摩爾濃度大致也是以相同方式運作：它比較某一物質的量與該物質所處的體積。

這個類比有其限制。分子並不是一群微小的人，靜止地站在互相分開的區域中。溶液中的粒子會不斷運動，並分布於整個溶液中。這個類比真正有用的部分，只是單位體積所含物質的量這個概念。

02摩爾濃度方程式

正式的關係式為

\[ c = \frac{n}{V} \]

其中：

• \(c\) 是摩爾濃度，通常以 \(\text{mol L}^{-1}\) 為單位
• \(n\) 是溶質的物質的量，以 mol 為單位
• \(V\) 是溶液的體積，以 L 為單位

因此，濃度為 \(0.40\text{ mol L}^{-1}\) 表示每一公升溶液中含有 \(0.40\text{ mol}\) 的溶質。

你也可能看到濃度寫成 \(0.40\text{ M}\)，其中 M 代表 molar（摩爾濃度）。在 HSC 計算中，使用 \(\text{mol L}^{-1}\) 能讓單位特別清楚。

視乎要求的未知量，方程式可以重排為：

\[ n = cV \]

以及

\[ V = \frac{n}{c} \]

與其背誦三條互不相關的方程式，不如記住背後的核心概念：濃度等於物質的量除以體積。

03單位陷阱：要用公升，不是毫升

假設某溶液在 \(250\text{ mL}\) 中含有 \(0.20\text{ mol}\)。學生可能會計算

\[ c = \frac{0.20}{250} \]

並得到 \(0.00080\)。

算術沒有問題。問題在於單位。

如果濃度要求以 \(\text{mol L}^{-1}\) 表示，體積就必須使用公升。

由於

\[ 1000\text{ mL} = 1\text{ L} \]

因此，把毫升轉換成公升時要除以 1000：

\[ 250\text{ mL} = 0.250\text{ L} \]

現在：

\[ c = \frac{0.20\text{ mol}}{0.250\text{ L}} = 0.80\text{ mol L}^{-1} \]

相差 1000 倍是濃度計算中最常見的錯誤之一。一個很有用的習慣，是在把任何數值代入 \(c=n/V\) 之前，先檢查體積的單位。

04快速判斷規則

大多數摩爾濃度問題，只要先辨認你已知哪些資料，以及需要求哪一個量，就會容易得多。

其中，\(m\) 是以克為單位的質量，而 \(M\) 是以 \(\text{g mol}^{-1}\) 為單位的摩爾質量。

最後兩種情況很重要，因為濃度方程式使用的是摩爾數，而不是克數。

05從質量轉換為摩爾數

假設題目給的是溶質的質量，而不是其物質的量。你要先使用

\[ n = \frac{m}{M} \]

其中：

• \(n\) 是以 mol 為單位的物質的量
• \(m\) 是以 g 為單位的質量
• \(M\) 是以 \(\text{g mol}^{-1}\) 為單位的摩爾質量

然後再使用 \(c=n/V\)。

所以，由質量求濃度的問題，其實是一條兩階段的路徑：

\[ \text{質量} \rightarrow \text{摩爾數} \rightarrow \text{濃度} \]

反方向則是

\[ \text{濃度} \rightarrow \text{摩爾數} \rightarrow \text{質量} \]

理解這條轉換鏈比死記更重要。濃度告訴你每公升有多少摩爾，而摩爾質量則告訴你每摩爾有多少克。摩爾數就是兩者之間的橋樑。

範例：由摩爾數求濃度

一份 \(350\text{ mL}\) 的溶液含有 \(0.105\text{ mol}\) 的硝酸鉀 \(\ce{KNO3}\)。計算其摩爾濃度。

步驟 1：把溶液體積轉換成公升。

\[ 350\text{ mL} = 0.350\text{ L} \]

步驟 2：選擇濃度關係式。

\[ c = \frac{n}{V} \]

這裡，\(n=0.105\text{ mol}\)，而 \(V=0.350\text{ L}\)。

步驟 3：連同單位代入。

\[ c = \frac{0.105\text{ mol}}{0.350\text{ L}} = 0.300\text{ mol L}^{-1} \]

因此，此溶液每公升含有 \(0.300\text{ mol}\) 的 \(\ce{KNO3}\)。

注意，實際樣品只有 \(350\text{ mL}\)。寫成 \(0.300\text{ mol L}^{-1}\) 並不代表實際上存在整整一公升的溶液。它描述的是每公升所對應的物質的量比例。

06濃度以溶液體積為基準

「體積」這個詞裡還藏著另一個很容易犯的錯誤。

假設你把溶質加入 \(500\text{ mL}\) 的水中。你是否可以自動在 \(c=n/V\) 中使用 \(V=0.500\text{ L}\)？

不一定。

這條方程式使用的是溶液的最終體積，而不只是你一開始所用的溶劑體積。溶解溶質可能會改變總體積。

這就是為甚麼配製標準溶液時，要先把溶質溶解，然後在容量瓶中把溶液加至精確的最終體積。如果你想在實際情境中了解這個過程，可閱讀 如何為 HSC 化學配製標準溶液。

範例：由質量求濃度

把 \(4.00\text{ g}\) 的氫氧化鈉 \(\ce{NaOH}\) 溶解，並把最終溶液體積配製至 \(250.0\text{ mL}\)。計算其摩爾濃度。

使用 \(M(\ce{NaOH}) = 40.00\text{ g mol}^{-1}\)。

步驟 1：把質量轉換為物質的量。

\[ n = \frac{m}{M} = \frac{4.00\text{ g}}{40.00\text{ g mol}^{-1}} = 0.100\text{ mol} \]

克的單位會相消，剩下 mol。

步驟 2：把最終溶液體積轉換成公升。

\[ 250.0\text{ mL} = 0.2500\text{ L} \]

步驟 3：使用 \(c=n/V\)。

\[ c = \frac{0.100\text{ mol}}{0.2500\text{ L}} = 0.400\text{ mol L}^{-1} \]

氫氧化鈉的濃度為 \(0.400\text{ mol L}^{-1}\)。

題目中最重要的一句是「把最終溶液體積配製至 \(250.0\text{ mL}\)」。這明確告訴我們濃度計算中應該使用哪一個體積。

07反向計算：由濃度求質量

有時候，計算會由指定的目標濃度開始，然後問你需要多少固體溶質。

這時轉換路徑相反：

\[ n=cV \]

接著

\[ m=nM \]

在看例題之前，先預測一下。若要配製體積為兩倍、但濃度相同的溶液，溶質的摩爾數必須有甚麼變化？

它必須加倍。因為 \(n=cV\)，當 \(c\) 保持不變而 \(V\) 加倍時，\(n\) 也會加倍。

範例：求所需質量

要配製 \(400.0\text{ mL}\)、濃度為 \(0.150\text{ mol L}^{-1}\) 的無水硫酸銅(II) \(\ce{CuSO4}\) 溶液，需要多少質量的 \(\ce{CuSO4}\)？

使用 \(M(\ce{CuSO4}) = 159.61\text{ g mol}^{-1}\)。

步驟 1：把所需溶液體積轉換成公升。

\[ 400.0\text{ mL}=0.4000\text{ L} \]

步驟 2：求所需的摩爾數。

\[ n=cV =(0.150\text{ mol L}^{-1})(0.4000\text{ L}) =0.0600\text{ mol} \]

公升單位相消，剩下 mol。

步驟 3：把摩爾數轉換成質量。

\[ m=nM =(0.0600\text{ mol})(159.61\text{ g mol}^{-1}) =9.5766\text{ g} \]

取三位有效數字：

\[ m=9.58\text{ g} \]

因此，需要 \(9.58\text{ g}\) 的無水 \(\ce{CuSO4}\)。

這個答案表示，這個質量恰好能提供 \(0.4000\text{ L}\)、濃度為 \(0.150\text{ mol L}^{-1}\) 時所需的 \(0.0600\text{ mol}\)。

08由濃度求體積

如果已知摩爾數和濃度，重排得到：

\[ V=\frac{n}{c} \]

當 \(n\) 以 mol 表示，而 \(c\) 以 \(\text{mol L}^{-1}\) 表示時，答案的單位會是公升。

例如，假設需要從一種 \(0.500\text{ mol L}^{-1}\) 的溶液中取得 \(0.0750\text{ mol}\) 的某種溶質：

\[ V=\frac{0.0750\text{ mol}}{0.500\text{ mol L}^{-1}} =0.150\text{ L} \]

也就是

\[ 0.150\text{ L}\times1000=150\text{ mL} \]

所以，\(150\text{ mL}\) 的該溶液含有 \(0.0750\text{ mol}\) 的溶質。

09\(c=n/V\) 不能告訴你的事情

這條方程式很有用，但它只回答一個特定問題：每一體積的溶液中含有多少溶質。

它本身不能告訴你：

• 溶質的反應性有多強
• 溶質是否完全解離成離子
• 解離後每一種離子的濃度
• 稀釋或反應過程中濃度如何改變
• 溶液是否已飽和

例如，\(1.0\text{ mol L}^{-1}\) 的葡萄糖溶液和 \(1.0\text{ mol L}^{-1}\) 的氯化鈉溶液具有相同的溶質摩爾濃度。但是，它們所含的溶解粒子種類和數目並不相同，因為 \(\ce{NaCl}\) 會解離成離子，而葡萄糖仍以完整分子的形式存在。

這是建立在摩爾濃度之上的另一個化學概念。

如要更全面比較不同的濃度單位，可參閱 HSC 化學中的溶液濃度量度方法。

10要避免的誤解：「摩爾數越多，濃度就越高」

摩爾數較多不代表濃度一定較高。

比較：

• 溶液 A：\(0.20\text{ mol}\) 存在於 \(0.100\text{ L}\) 中
• 溶液 B：\(0.50\text{ mol}\) 存在於 \(1.00\text{ L}\) 中

溶液 B 的溶質總量較多。但是：

\[ c_A=\frac{0.20}{0.100}=2.0\text{ mol L}^{-1} \]

而

\[ c_B=\frac{0.50}{1.00}=0.50\text{ mol L}^{-1} \]

溶液 A 的濃度是溶液 B 的四倍。

這個陷阱來自只看分子。濃度取決於物質的量與體積之間的比值。

11問題與解答

問題 1

一份 \(600\text{ mL}\) 的溶液含有 \(0.180\text{ mol}\) 的 \(\ce{KCl}\)。計算 \(\ce{KCl}\) 的摩爾濃度。

解答 1

濃度為 \(0.300\text{ mol L}^{-1}\)。

摩爾濃度等於物質的量除以溶液體積：

\[ c=\frac{n}{V} \]

先轉換體積：

\[ 600\text{ mL}=0.600\text{ L} \]

然後代入：

\[ c=\frac{0.180\text{ mol}}{0.600\text{ L}} =0.300\text{ mol L}^{-1} \]

因此，每一公升這種溶液會含有 \(0.300\text{ mol}\) 的 \(\ce{KCl}\)。最主要的陷阱，是在要求使用公升的計算中直接代入 \(600\)。

問題 2

一名學生需要 \(200.0\text{ mL}\)、濃度為 \(0.350\text{ mol L}^{-1}\) 的氯化鎂溶液 \(\ce{MgCl2}\)。

計算所需 \(\ce{MgCl2}\) 的物質的量。

解答 2

所需的 \(\ce{MgCl2}\) 物質的量為 \(0.0700\text{ mol}\)。

使用

\[ n=cV \]

並先轉換體積：

\[ 200.0\text{ mL}=0.2000\text{ L} \]

然後：

\[ n=(0.350\text{ mol L}^{-1})(0.2000\text{ L}) =0.0700\text{ mol} \]

公升單位會相消。這個結果是合理的，因為 \(0.2000\text{ L}\) 是一公升的五分之一，所以它應該含有每公升 \(0.350\text{ mol}\) 的五分之一。

問題 3

一名學生溶解 \(5.30\text{ g}\) 的碳酸鈉 \(\ce{Na2CO3}\)，並把最終溶液體積配製至 \(500.0\text{ mL}\)。

計算該溶液的摩爾濃度。

使用 \(M(\ce{Na2CO3})=106.0\text{ g mol}^{-1}\)。

解答 3

碳酸鈉的濃度為 \(0.100\text{ mol L}^{-1}\)。

濃度方程式需要使用摩爾數，因此先把質量轉換為物質的量：

\[ n=\frac{m}{M} =\frac{5.30\text{ g}}{106.0\text{ g mol}^{-1}} =0.0500\text{ mol} \]

轉換最終溶液體積：

\[ 500.0\text{ mL}=0.5000\text{ L} \]

現在使用

\[ c=\frac{n}{V} =\frac{0.0500\text{ mol}}{0.5000\text{ L}} =0.100\text{ mol L}^{-1} \]

關鍵的推理步驟，是要看出不能直接把克數代入 \(n\)。質量必須先轉換成摩爾數。

問題 4

兩名學生配製硝酸鈉溶液。

學生 A 溶解 \(8.50\text{ g}\) 的 \(\ce{NaNO3}\)，並把最終體積配製至 \(250.0\text{ mL}\)。

學生 B 溶解 \(12.75\text{ g}\) 的 \(\ce{NaNO3}\)，並把最終體積配製至 \(500.0\text{ mL}\)。

使用 \(M(\ce{NaNO3})=85.0\text{ g mol}^{-1}\)。

哪一種溶液的摩爾濃度較高？高出多少倍？

解答 4

學生 A 的溶液具有較高的摩爾濃度，其濃度是學生 B 溶液的 \(1.33\) 倍。

對學生 A：

\[ n_A=\frac{8.50\text{ g}}{85.0\text{ g mol}^{-1}} =0.100\text{ mol} \]

\[ V_A=250.0\text{ mL}=0.2500\text{ L} \]

\[ c_A=\frac{0.100\text{ mol}}{0.2500\text{ L}} =0.400\text{ mol L}^{-1} \]

對學生 B：

\[ n_B=\frac{12.75\text{ g}}{85.0\text{ g mol}^{-1}} =0.150\text{ mol} \]

\[ V_B=500.0\text{ mL}=0.5000\text{ L} \]

\[ c_B=\frac{0.150\text{ mol}}{0.5000\text{ L}} =0.300\text{ mol L}^{-1} \]

比較兩個濃度：

\[ \frac{c_A}{c_B} =\frac{0.400}{0.300} =1.33 \]

學生 B 使用了更多 \(\ce{NaNO3}\)，但同時也使用了大得多的最終體積。這就是陷阱所在：含有更多溶質總量的溶液，不一定濃度較高。

問題 5

一名學生想配製 \(300.0\text{ mL}\)、濃度為 \(0.200\text{ mol L}^{-1}\) 的氯化鈣 \(\ce{CaCl2}\) 溶液。

他正確計算出所需的物質的量，但接著提出：

「因為氯化鈣溶解時會產生三個離子，所以在計算所需質量之前，我應該把 \(\ce{CaCl2}\) 的摩爾數乘以三。」

這名學生的推理正確嗎？計算所需無水 \(\ce{CaCl2}\) 的質量。

使用 \(M(\ce{CaCl2})=110.98\text{ g mol}^{-1}\)。

解答 5

這名學生的推理不正確。所需無水 \(\ce{CaCl2}\) 的質量為 \(6.66\text{ g}\)。

題目所給的濃度 \(0.200\text{ mol L}^{-1}\)，是在考慮解離之前，\(\ce{CaCl2}\) 化學式單位的濃度。因此，我們直接計算 \(\ce{CaCl2}\) 的摩爾數：

\[ n=cV \]

轉換體積：

\[ 300.0\text{ mL}=0.3000\text{ L} \]

然後：

\[ n=(0.200\text{ mol L}^{-1})(0.3000\text{ L}) =0.0600\text{ mol} \]

現在把所需的 \(\ce{CaCl2}\) 摩爾數轉換成質量：

\[ m=nM =(0.0600\text{ mol})(110.98\text{ g mol}^{-1}) =6.6588\text{ g} \]

取三位有效數字：

\[ m=6.66\text{ g} \]

解離反應

\[ \ce{CaCl2 -> Ca^2+ + 2Cl^-} \]

在題目要求計算離子濃度時才相關。這並不表示配製 \(0.200\text{ mol L}^{-1}\) 的 \(\ce{CaCl2}\) 溶液時，需要三倍的氯化鈣。

例如，假設完全解離，該溶液將含有 \(0.200\text{ mol L}^{-1}\) 的 \(\mathrm{Ca}^{2+}\) 和 \(0.400\text{ mol L}^{-1}\) 的 \(\mathrm{Cl}^{-}\)。這是另一個獨立的計算，以解離方程式中的化學計量比為基礎。

問題 6

一個實驗室試劑瓶標示為 \(0.250\text{ mol L}^{-1}\) \(\ce{NaOH}\)。一名學生需要恰好 \(0.0500\text{ mol}\) 的 \(\ce{NaOH}\)。

他計算

\[ V=\frac{0.0500}{0.250}=0.200 \]

並把答案寫成 \(0.200\text{ mL}\)。

指出錯誤、以毫升給出正確體積，並解釋方程式中的單位如何顯示出這個錯誤。

解答 6

正確體積是 \(200\text{ mL}\)，而不是 \(0.200\text{ mL}\)。數值計算本身正確，但學生加上了錯誤的單位。

使用

\[ V=\frac{n}{c} \]

得到

\[ V=\frac{0.0500\text{ mol}}{0.250\text{ mol L}^{-1}} =0.200\text{ L} \]

可以用代數方式檢查單位：

\[ \frac{\text{mol}}{\text{mol L}^{-1}} =\text{L} \]

所以，算出的 \(0.200\) 必須表示 \(0.200\text{ L}\)。

轉換成毫升：

\[ 0.200\text{ L}\times1000\text{ mL L}^{-1} =200\text{ mL} \]

這道題揭示了一個重要習慣：單位並不是計算完成後才加上的裝飾。它們是計算的一部分，而且能幫助你發現答案是否被錯誤解讀。

12接下來會學甚麼

當你熟練掌握 \(c=n/V\) 之後，下一步就是理解：當溶質的物質的量保持不變，但溶液體積改變時，會發生甚麼情況。

這就是稀釋背後的邏輯。如果加入水，原有溶質的 \(n\) 保持不變，而 \(V\) 增加，所以 \(c\) 必須下降。沿著這個概念，就能直接得到稀釋關係式 \(c_1V_1=c_2V_2\)，詳見 HSC 化學中的溶液稀釋計算。