HSC 化学摩尔浓度计算：c = n/V

你将 \(5.85\text{ g}\) 的氯化钠溶于水中，并把最终溶液体积准确配制至 \(500\text{ mL}\)。浓度会是 \(5.85/500\) 吗？这看起来很合理，但这两个数字量度的是不同的物理量：一个是质量，另一个是体积。

化学家需要一种方法来描述某一体积的溶液中含有多少物质的量。这正是摩尔浓度所描述的内容。只要你能熟练地在质量、摩尔数、浓度和体积之间转换，HSC 中一大类溶液计算题就会变得容易处理得多。

在开始计算之前，先预测一下：如果两种溶液含有相同摩尔数的溶质，但其中一种的总体积是另一种的两倍，哪一种浓度较高？

体积较小的溶液浓度较高。相同份量的溶质被容纳在较少的溶液中。

这个概念就是摩尔浓度的整个基础。

01心智模型：一定体积中容纳的物质的量

想像 \(0.50\text{ mol}\) 的某种溶质分散在 \(1.0\text{ L}\) 的溶液中。现在再想像相同的 \(0.50\text{ mol}\) 分散在 \(2.0\text{ L}\) 中。

第二种溶液并没有失去任何溶质。它只是有更大的体积，因此每公升所含的溶质较少。

这有点像人群密度。五十个人在一个小房间里会感觉很拥挤；同样五十个人分散在一个大礼堂里，就不会如此。摩尔浓度大致也是以相同方式运作：它比较某一物质的量与该物质所处的体积。

这个类比有其限制。分子并不是一群微小的人，静止地站在互相分开的区域中。溶液中的粒子会不断运动，并分布于整个溶液中。这个类比真正有用的部分，只是单位体积所含物质的量这个概念。

02摩尔浓度方程式

正式的关系式为

\[ c = \frac{n}{V} \]

其中：

• \(c\) 是摩尔浓度，通常以 \(\text{mol L}^{-1}\) 为单位
• \(n\) 是溶质的物质的量，以 mol 为单位
• \(V\) 是溶液的体积，以 L 为单位

因此，浓度为 \(0.40\text{ mol L}^{-1}\) 表示每一公升溶液中含有 \(0.40\text{ mol}\) 的溶质。

你也可能看到浓度写成 \(0.40\text{ M}\)，其中 M 代表 molar（摩尔浓度）。在 HSC 计算中，使用 \(\text{mol L}^{-1}\) 能让单位特别清楚。

视乎要求的未知量，方程式可以重排为：

\[ n = cV \]

以及

\[ V = \frac{n}{c} \]

与其背诵三条互不相关的方程式，不如记住背后的核心概念：浓度等于物质的量除以体积。

03单位陷阱：要用公升，不是毫升

假设某溶液在 \(250\text{ mL}\) 中含有 \(0.20\text{ mol}\)。学生可能会计算

\[ c = \frac{0.20}{250} \]

并得到 \(0.00080\)。

算术没有问题。问题在於单位。

如果浓度要求以 \(\text{mol L}^{-1}\) 表示，体积就必须使用公升。

由于

\[ 1000\text{ mL} = 1\text{ L} \]

因此，把毫升转换成公升时要除以 1000：

\[ 250\text{ mL} = 0.250\text{ L} \]

现在：

\[ c = \frac{0.20\text{ mol}}{0.250\text{ L}} = 0.80\text{ mol L}^{-1} \]

相差 1000 倍是浓度计算中最常见的错误之一。一个很有用的习惯，是在把任何数值代入 \(c=n/V\) 之前，先检查体积的单位。

04快速判断规则

大多数摩尔浓度问题，只要先辨认你已知哪些资料，以及需要求哪一个量，就会容易得多。

其中，\(m\) 是以克为单位的质量，而 \(M\) 是以 \(\text{g mol}^{-1}\) 为单位的摩尔质量。

最后两种情况很重要，因为浓度方程式使用的是摩尔数，而不是克数。

05从质量转换为摩尔数

假设题目给的是溶质的质量，而不是其物质的量。你要先使用

\[ n = \frac{m}{M} \]

其中：

• \(n\) 是以 mol 为单位的物质的量
• \(m\) 是以 g 为单位的质量
• \(M\) 是以 \(\text{g mol}^{-1}\) 为单位的摩尔质量

然后再使用 \(c=n/V\)。

所以，由质量求浓度的问题，其实是一条两阶段的路径：

\[ \text{质量} \rightarrow \text{摩尔数} \rightarrow \text{浓度} \]

反方向则是

\[ \text{浓度} \rightarrow \text{摩尔数} \rightarrow \text{质量} \]

理解这条转换链比死记更重要。浓度告诉你每公升有多少摩尔，而摩尔质量则告诉你每摩尔有多少克。摩尔数就是两者之间的桥梁。

范例：由摩尔数求浓度

一份 \(350\text{ mL}\) 的溶液含有 \(0.105\text{ mol}\) 的硝酸钾 \(\ce{KNO3}\)。计算其摩尔浓度。

步骤 1：把溶液体积转换成公升。

\[ 350\text{ mL} = 0.350\text{ L} \]

步骤 2：选择浓度关系式。

\[ c = \frac{n}{V} \]

这里，\(n=0.105\text{ mol}\)，而 \(V=0.350\text{ L}\)。

步骤 3：连同单位代入。

\[ c = \frac{0.105\text{ mol}}{0.350\text{ L}} = 0.300\text{ mol L}^{-1} \]

因此，此溶液每公升含有 \(0.300\text{ mol}\) 的 \(\ce{KNO3}\)。

注意，实际样品只有 \(350\text{ mL}\)。写成 \(0.300\text{ mol L}^{-1}\) 并不代表实际上存在整整一公升的溶液。它描述的是每公升所对应的物质的量比例。

06浓度以溶液体积为基准

「体积」这个词里还藏著另一个很容易犯的错误。

假设你把溶质加入 \(500\text{ mL}\) 的水中。你是否可以自动在 \(c=n/V\) 中使用 \(V=0.500\text{ L}\)？

不一定。

这条方程式使用的是溶液的最终体积，而不只是你一开始所用的溶剂体积。溶解溶质可能会改变总体积。

这就是为甚么配制标准溶液时，要先把溶质溶解，然后在容量瓶中把溶液加至精确的最终体积。如果你想在实际情境中了解这个过程，可阅读 如何为 HSC 化学配制标准溶液。

范例：由质量求浓度

把 \(4.00\text{ g}\) 的氢氧化钠 \(\ce{NaOH}\) 溶解，并把最终溶液体积配制至 \(250.0\text{ mL}\)。计算其摩尔浓度。

使用 \(M(\ce{NaOH}) = 40.00\text{ g mol}^{-1}\)。

步骤 1：把质量转换为物质的量。

\[ n = \frac{m}{M} = \frac{4.00\text{ g}}{40.00\text{ g mol}^{-1}} = 0.100\text{ mol} \]

克的单位会相消，剩下 mol。

步骤 2：把最终溶液体积转换成公升。

\[ 250.0\text{ mL} = 0.2500\text{ L} \]

步骤 3：使用 \(c=n/V\)。

\[ c = \frac{0.100\text{ mol}}{0.2500\text{ L}} = 0.400\text{ mol L}^{-1} \]

氢氧化钠的浓度为 \(0.400\text{ mol L}^{-1}\)。

题目中最重要的一句是「把最终溶液体积配制至 \(250.0\text{ mL}\)」。这明确告诉我们浓度计算中应该使用哪一个体积。

07反向计算：由浓度求质量

有时候，计算会由指定的目标浓度开始，然后问你需要多少固体溶质。

这时转换路径相反：

\[ n=cV \]

接著

\[ m=nM \]

在看例题之前，先预测一下。若要配制体积为两倍、但浓度相同的溶液，溶质的摩尔数必须有甚么变化？

它必须加倍。因为 \(n=cV\)，当 \(c\) 保持不变而 \(V\) 加倍时，\(n\) 也会加倍。

范例：求所需质量

要配制 \(400.0\text{ mL}\)、浓度为 \(0.150\text{ mol L}^{-1}\) 的无水硫酸铜(II) \(\ce{CuSO4}\) 溶液，需要多少质量的 \(\ce{CuSO4}\)？

使用 \(M(\ce{CuSO4}) = 159.61\text{ g mol}^{-1}\)。

步骤 1：把所需溶液体积转换成公升。

\[ 400.0\text{ mL}=0.4000\text{ L} \]

步骤 2：求所需的摩尔数。

\[ n=cV =(0.150\text{ mol L}^{-1})(0.4000\text{ L}) =0.0600\text{ mol} \]

公升单位相消，剩下 mol。

步骤 3：把摩尔数转换成质量。

\[ m=nM =(0.0600\text{ mol})(159.61\text{ g mol}^{-1}) =9.5766\text{ g} \]

取三位有效数字：

\[ m=9.58\text{ g} \]

因此，需要 \(9.58\text{ g}\) 的无水 \(\ce{CuSO4}\)。

这个答案表示，这个质量恰好能提供 \(0.4000\text{ L}\)、浓度为 \(0.150\text{ mol L}^{-1}\) 时所需的 \(0.0600\text{ mol}\)。

08由浓度求体积

如果已知摩尔数和浓度，重排得到：

\[ V=\frac{n}{c} \]

当 \(n\) 以 mol 表示，而 \(c\) 以 \(\text{mol L}^{-1}\) 表示时，答案的单位会是公升。

例如，假设需要从一种 \(0.500\text{ mol L}^{-1}\) 的溶液中取得 \(0.0750\text{ mol}\) 的某种溶质：

\[ V=\frac{0.0750\text{ mol}}{0.500\text{ mol L}^{-1}} =0.150\text{ L} \]

也就是

\[ 0.150\text{ L}\times1000=150\text{ mL} \]

所以，\(150\text{ mL}\) 的该溶液含有 \(0.0750\text{ mol}\) 的溶质。

09\(c=n/V\) 不能告诉你的事情

这条方程式很有用，但它只回答一个特定问题：每一体积的溶液中含有多少溶质。

它本身不能告诉你：

• 溶质的反应性有多强
• 溶质是否完全解离成离子
• 解离后每一种离子的浓度
• 稀释或反应过程中浓度如何改变
• 溶液是否已饱和

例如，\(1.0\text{ mol L}^{-1}\) 的葡萄糖溶液和 \(1.0\text{ mol L}^{-1}\) 的氯化钠溶液具有相同的溶质摩尔浓度。但是，它们所含的溶解粒子种类和数目并不相同，因为 \(\ce{NaCl}\) 会解离成离子，而葡萄糖仍以完整分子的形式存在。

这是建立在摩尔浓度之上的另一个化学概念。

如要更全面比较不同的浓度单位，可参阅 HSC 化学中的溶液浓度量度方法。

10要避免的误解：「摩尔数越多，浓度就越高」

摩尔数较多不代表浓度一定较高。

比较：

• 溶液 A：\(0.20\text{ mol}\) 存在于 \(0.100\text{ L}\) 中
• 溶液 B：\(0.50\text{ mol}\) 存在于 \(1.00\text{ L}\) 中

溶液 B 的溶质总量较多。但是：

\[ c_A=\frac{0.20}{0.100}=2.0\text{ mol L}^{-1} \]

而

\[ c_B=\frac{0.50}{1.00}=0.50\text{ mol L}^{-1} \]

溶液 A 的浓度是溶液 B 的四倍。

这个陷阱来自只看分子。浓度取决于物质的量与体积之间的比值。

11问题与解答

问题 1

一份 \(600\text{ mL}\) 的溶液含有 \(0.180\text{ mol}\) 的 \(\ce{KCl}\)。计算 \(\ce{KCl}\) 的摩尔浓度。

解答 1

浓度为 \(0.300\text{ mol L}^{-1}\)。

摩尔浓度等于物质的量除以溶液体积：

\[ c=\frac{n}{V} \]

先转换体积：

\[ 600\text{ mL}=0.600\text{ L} \]

然后代入：

\[ c=\frac{0.180\text{ mol}}{0.600\text{ L}} =0.300\text{ mol L}^{-1} \]

因此，每一公升这种溶液会含有 \(0.300\text{ mol}\) 的 \(\ce{KCl}\)。最主要的陷阱，是在要求使用公升的计算中直接代入 \(600\)。

问题 2

一名学生需要 \(200.0\text{ mL}\)、浓度为 \(0.350\text{ mol L}^{-1}\) 的氯化镁溶液 \(\ce{MgCl2}\)。

计算所需 \(\ce{MgCl2}\) 的物质的量。

解答 2

所需的 \(\ce{MgCl2}\) 物质的量为 \(0.0700\text{ mol}\)。

使用

\[ n=cV \]

并先转换体积：

\[ 200.0\text{ mL}=0.2000\text{ L} \]

然后：

\[ n=(0.350\text{ mol L}^{-1})(0.2000\text{ L}) =0.0700\text{ mol} \]

公升单位会相消。这个结果是合理的，因为 \(0.2000\text{ L}\) 是一公升的五分之一，所以它应该含有每公升 \(0.350\text{ mol}\) 的五分之一。

问题 3

一名学生溶解 \(5.30\text{ g}\) 的碳酸钠 \(\ce{Na2CO3}\)，并把最终溶液体积配制至 \(500.0\text{ mL}\)。

计算该溶液的摩尔浓度。

使用 \(M(\ce{Na2CO3})=106.0\text{ g mol}^{-1}\)。

解答 3

碳酸钠的浓度为 \(0.100\text{ mol L}^{-1}\)。

浓度方程式需要使用摩尔数，因此先把质量转换为物质的量：

\[ n=\frac{m}{M} =\frac{5.30\text{ g}}{106.0\text{ g mol}^{-1}} =0.0500\text{ mol} \]

转换最终溶液体积：

\[ 500.0\text{ mL}=0.5000\text{ L} \]

现在使用

\[ c=\frac{n}{V} =\frac{0.0500\text{ mol}}{0.5000\text{ L}} =0.100\text{ mol L}^{-1} \]

关键的推理步骤，是要看出不能直接把克数代入 \(n\)。质量必须先转换成摩尔数。

问题 4

两名学生配制硝酸钠溶液。

学生 A 溶解 \(8.50\text{ g}\) 的 \(\ce{NaNO3}\)，并把最终体积配制至 \(250.0\text{ mL}\)。

学生 B 溶解 \(12.75\text{ g}\) 的 \(\ce{NaNO3}\)，并把最终体积配制至 \(500.0\text{ mL}\)。

使用 \(M(\ce{NaNO3})=85.0\text{ g mol}^{-1}\)。

哪一种溶液的摩尔浓度较高？高出多少倍？

解答 4

学生 A 的溶液具有较高的摩尔浓度，其浓度是学生 B 溶液的 \(1.33\) 倍。

对学生 A：

\[ n_A=\frac{8.50\text{ g}}{85.0\text{ g mol}^{-1}} =0.100\text{ mol} \]

\[ V_A=250.0\text{ mL}=0.2500\text{ L} \]

\[ c_A=\frac{0.100\text{ mol}}{0.2500\text{ L}} =0.400\text{ mol L}^{-1} \]

对学生 B：

\[ n_B=\frac{12.75\text{ g}}{85.0\text{ g mol}^{-1}} =0.150\text{ mol} \]

\[ V_B=500.0\text{ mL}=0.5000\text{ L} \]

\[ c_B=\frac{0.150\text{ mol}}{0.5000\text{ L}} =0.300\text{ mol L}^{-1} \]

比较两个浓度：

\[ \frac{c_A}{c_B} =\frac{0.400}{0.300} =1.33 \]

学生 B 使用了更多 \(\ce{NaNO3}\)，但同时也使用了大得多的最终体积。这就是陷阱所在：含有更多溶质总量的溶液，不一定浓度较高。

问题 5

一名学生想配制 \(300.0\text{ mL}\)、浓度为 \(0.200\text{ mol L}^{-1}\) 的氯化钙 \(\ce{CaCl2}\) 溶液。

他正确计算出所需的物质的量，但接著提出：

「因为氯化钙溶解时会产生三个离子，所以在计算所需质量之前，我应该把 \(\ce{CaCl2}\) 的摩尔数乘以三。」

这名学生的推理正确吗？计算所需无水 \(\ce{CaCl2}\) 的质量。

使用 \(M(\ce{CaCl2})=110.98\text{ g mol}^{-1}\)。

解答 5

这名学生的推理不正确。所需无水 \(\ce{CaCl2}\) 的质量为 \(6.66\text{ g}\)。

题目所给的浓度 \(0.200\text{ mol L}^{-1}\)，是在考虑解离之前，\(\ce{CaCl2}\) 化学式单位的浓度。因此，我们直接计算 \(\ce{CaCl2}\) 的摩尔数：

\[ n=cV \]

转换体积：

\[ 300.0\text{ mL}=0.3000\text{ L} \]

然后：

\[ n=(0.200\text{ mol L}^{-1})(0.3000\text{ L}) =0.0600\text{ mol} \]

现在把所需的 \(\ce{CaCl2}\) 摩尔数转换成质量：

\[ m=nM =(0.0600\text{ mol})(110.98\text{ g mol}^{-1}) =6.6588\text{ g} \]

取三位有效数字：

\[ m=6.66\text{ g} \]

解离反应

\[ \ce{CaCl2 -> Ca^2+ + 2Cl^-} \]

在题目要求计算离子浓度时才相关。这并不表示配制 \(0.200\text{ mol L}^{-1}\) 的 \(\ce{CaCl2}\) 溶液时，需要三倍的氯化钙。

例如，假设完全解离，该溶液将含有 \(0.200\text{ mol L}^{-1}\) 的 \(\mathrm{Ca}^{2+}\) 和 \(0.400\text{ mol L}^{-1}\) 的 \(\mathrm{Cl}^{-}\)。这是另一个独立的计算，以解离方程式中的化学计量比为基础。

问题 6

一个实验室试剂瓶标示为 \(0.250\text{ mol L}^{-1}\) \(\ce{NaOH}\)。一名学生需要恰好 \(0.0500\text{ mol}\) 的 \(\ce{NaOH}\)。

他计算

\[ V=\frac{0.0500}{0.250}=0.200 \]

并把答案写成 \(0.200\text{ mL}\)。

指出错误、以毫升给出正确体积，并解释方程式中的单位如何显示出这个错误。

解答 6

正确体积是 \(200\text{ mL}\)，而不是 \(0.200\text{ mL}\)。数值计算本身正确，但学生加上了错误的单位。

使用

\[ V=\frac{n}{c} \]

得到

\[ V=\frac{0.0500\text{ mol}}{0.250\text{ mol L}^{-1}} =0.200\text{ L} \]

可以用代数方式检查单位：

\[ \frac{\text{mol}}{\text{mol L}^{-1}} =\text{L} \]

所以，算出的 \(0.200\) 必须表示 \(0.200\text{ L}\)。

转换成毫升：

\[ 0.200\text{ L}\times1000\text{ mL L}^{-1} =200\text{ mL} \]

这道题揭示了一个重要习惯：单位并不是计算完成后才加上的装饰。它们是计算的一部分，而且能帮助你发现答案是否被错误解读。

12接下来会学甚么

当你熟练掌握 \(c=n/V\) 之后，下一步就是理解：当溶质的物质的量保持不变，但溶液体积改变时，会发生甚么情况。

这就是稀释背后的逻辑。如果加入水，原有溶质的 \(n\) 保持不变，而 \(V\) 增加，所以 \(c\) 必须下降。沿著这个概念，就能直接得到稀释关系式 \(c_1V_1=c_2V_2\)，详见 HSC 化学中的溶液稀释计算。