載流導線周圍的磁場：HSC 物理

一個指南針放在一條直導線旁邊。沒有電流時，它大致指向北方。接通電流後，指南針的指針會轉向側面。

它應該轉向哪一邊？如果你把指南針移到離導線兩倍遠的位置，磁場會變成原來的一半、四分之一，還是維持不變？

這兩個問題概括了載流導線周圍磁場的核心概念。電流決定磁場的 方向，而電流大小和距離則共同決定磁場的 強度。

01導線周圍的磁場是甚麼樣子？

先考慮一條很長的直導線，其中有穩定電流向上流動。

一個很容易產生的直覺是：磁場也應該向上，跟隨移動的電荷。其實並不是。磁場會 環繞 導線。

想像你沿著導線正面看下去。導線在你眼前看起來像一個點，而磁場則形成以這個點為圓心的圓。

每一個圓都是一條磁力線。靠近導線時，磁場較強；距離越遠，磁場越弱。

這與條形磁鐵周圍的磁場不同；條形磁鐵的磁力線會從一個磁極彎曲延伸到另一個磁極。如果你需要複習磁力線實際代表甚麼，可以參閱 永久磁鐵周圍的磁力線。

這個圓形磁場圖像是我們第一個實用模型。它假設導線是直的，而且相對於我們所考慮的距離而言，可以視為非常長。在短導線末端附近，磁場會更複雜。

02判斷方向：右手握拳定則

磁場會環繞導線，但它可能沿兩個方向中的任何一個方向環繞。要判斷正確方向，可以使用 右手握拳定則。

把你的 右手 拇指指向 傳統電流 的方向。其餘手指彎曲的方向，就是磁場的方向。

例如：

• 電流向上時，磁場會沿其中一個方向環繞導線，
• 把電流方向反轉，磁場方向也會反轉，
• 增大電流會使磁場變強，但不會改變這個判斷方向的規則。

「傳統」這個詞很重要。傳統電流的方向定義為正電荷移動的方向。在金屬導線中，電子實際漂移的方向與傳統電流相反。

進入紙面與穿出紙面

物理圖中常會畫出一條垂直於紙面的導線。

圓點 \( \odot \) 表示電流從紙面 穿出、朝向你。可以想像成一支箭的箭頭正朝你的臉飛來。

叉號 \( \otimes \) 表示電流 進入紙面、遠離你。可以想像成箭尾的羽毛正消失進紙面。

在繼續閱讀前先試一試：如果電流穿出紙面，磁場是順時針還是逆時針？

把右手拇指朝向自己。你的手指會沿 逆時針 方向彎曲。因此：

比起把這兩種情況當作兩個獨立事實死記下來，更值得學會用推理判斷。如果你忘了這張表，用右手就能重新推導出來。

可以用一個有點傻氣的方式來想像這個規則：導線和它的磁場就像處在一段非常黏人的關係裡。電流一直向前走，而磁場卻堅持環繞著它。當然，這個比喻到此為止。磁場並不是實際纏繞在導線上的物體。

03磁場有多強？

對於一條通有電流 \(I\) 的長直導線，在距離導線垂直距離 \(r\) 處的磁場強度為

\[
B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}
\]

其中：

• \(B\) 是磁通密度，單位為特斯拉 \( \text{T} \)，
• \(\mu_0\) 是真空磁導率，在 HSC 計算中通常取 \(4\pi \times 10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}\)，
• \(I\) 是電流，單位為安培 \( \text{A} \)，
• \(r\) 是離導線的垂直距離，單位為米 \( \text{m} \)。

對空氣而言，在 HSC 題目中使用 \(\mu_0\) 是非常好的近似。

在進行任何計算之前，先觀察這個關係式的結構：

\[
B \propto I
\]

所以，把電流加倍，磁場也會加倍。

但是

\[
B \propto \frac{1}{r}
\]

所以，把距離加倍，磁場會減半。

它 不會 變成原來的四分之一。

這個錯誤通常源於把萬有引力或點電荷電場等平方反比定律記混了。長直導線具有不同的幾何形狀，因此它的磁場遵循距離反比關係，而不是平方反比關係。

04為甚麼距離關係是 \(1/r\)，而不是 \(1/r^2\)？

想像一條以導線為圓心的圓形磁力線。

半徑越大，圓周長也越大。圓周長為

\[
2\pi r
\]

因此它與 \(r\) 成正比。當你離導線越遠時，磁效應分布在更長的圓形路徑上。

這正對應到

\[
B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
\]

中的 \(1/r\) 關係。

這個圖像有助於理解數學上的規律，但不要把它延伸得太過頭。磁場並不是某種實際被攤開在圓形管道上的物質。精確的關係來自電磁學，而就 HSC 而言，這條方程描述了長直載流導線周圍的磁場。

05某一特定位置的方向

說「磁場是逆時針方向」描述的是整體環繞方向，但 HSC 題目可能會要求你判斷 某一點 的磁場方向。

假設電流穿出紙面，因此磁場沿逆時針方向環繞。

在導線正右方的一點，磁場向上。在導線正上方的一點，磁場向左。

為甚麼？因為在該位置，磁場向量與圓形磁力線相切。

這個區別很容易忽略。磁場不是指向導線，也不是背離導線。它沿著 圓周方向 指向。

06比較磁場的一個實用捷徑

如果你只需要比較同一類導線在兩種情況下的磁場，通常不需要代入 \(\mu_0\)。

因為

\[
B \propto \frac{I}{r},
\]

所以可以利用

\[
\frac{B_2}{B_1}
=
\frac{I_2}{I_1}
\frac{r_1}{r_2}.
\]

來比較兩個磁場。

假設電流變成三倍，而距離變成兩倍。那麼

\[
\frac{B_2}{B_1}
=
3\times\frac{1}{2}
=
1.5.
\]

新的磁場是原來的 \(1.5\) 倍。

這通常比先分別計算兩個磁場強度，再把它們相除更穩妥。

07最常見的陷阱

最後還有一個細節：當 \(r\) 趨近於零時，理想化方程似乎表示 \(B\) 會變得非常大。真實導線具有有限半徑，因此不能一直把所有電流當成集中在一條無限細的線上，並把這種處理方式一路延伸到 \(r=0\)。這個模型有其適用範圍。

08問題與解答

問題 1

一條長直導線通有 \(5.0\ \text{A}\) 的電流。計算距離導線 \(8.0\ \text{cm}\) 處的磁通密度。

解答 1

磁通密度為 \(\boxed{1.25\times10^{-5}\ \text{T}}\)。

對長直導線而言，

\[
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
\]

首先必須把距離換算成米：

\[
r=8.0\ \text{cm}=0.080\ \text{m}.
\]

代入後，

\[
\begin{aligned}
B
&=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5.0)}
{2\pi(0.080)}\\
&=1.25\times10^{-5}\ \text{T}.
\end{aligned}
\]

因此，距離導線 \(8.0\ \text{cm}\) 的一點所處的磁通密度約為 \(12.5\ \mu\text{T}\)。

問題 2

一條導線的電流穿出紙面。點 \(Q\) 位於導線正下方。

\(Q\) 點的磁場方向是甚麼？請使用右手定則解釋你的推理。

解答 2

\(Q\) 點的磁場指向 右方。

當傳統電流穿出紙面時，把右手拇指朝向自己。你的手指會沿逆時針方向彎曲。

因此，磁場沿著導線周圍的逆時針圓形路徑。對於位於導線正下方的一點，該圓的切線方向指向右方。

常見的錯誤是認為因為 \(Q\) 位於導線下方，所以磁場就向下。那樣會使磁場變成沿半徑方向。實際的磁場方向是圓形磁力線的切線方向。

問題 3

在點 \(P\)，一條通有 \(2.0\ \text{A}\) 電流的導線產生大小為 \(B\) 的磁場。

電流增加至 \(6.0\ \text{A}\)，而點 \(P\) 與導線的距離從 \(4.0\ \text{cm}\) 增加到 \(12\ \text{cm}\)。

以 \(B\) 表示新的磁場。

解答 3

新的磁場 大小相同，仍為 \(B\)。

對長直導線而言，

\[
B\propto\frac{I}{r}.
\]

比較新舊磁場，

\[
\begin{aligned}
\frac{B_2}{B_1}
&=
\frac{I_2}{I_1}
\frac{r_1}{r_2}\\
&=
\frac{6.0}{2.0}
\times
\frac{4.0}{12}\\
&=3\times\frac13\\
&=1.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
B_2=B_1=B.
\]

電流變成原來的三倍，單獨來看會使磁場增至三倍。距離也變成原來的三倍，會使磁場減少至三分之一。這兩種效應恰好互相抵消。

問題 4

兩名學生對一條通有穩定電流的長直導線有不同看法。

學生 A 說：「如果我移到兩倍遠的地方，磁場應該會變成原來的四分之一，因為場會按照距離平方變弱。」

學生 B 說：「它會變成原來的一半。」

哪一名學生是正確的？請解釋為甚麼另一種說法看似合理，但並不適用於這種情況。

解答 4

學生 B 正確：把距離加倍會使磁場減半。

對長直載流導線而言，

\[
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
\]

所以

\[
B\propto\frac1r.
\]

如果距離由 \(r\) 變為 \(2r\)，

\[
B_{\text{新}}
=
\frac{\mu_0 I}{2\pi(2r)}
=
\frac12 B_{\text{原}}.
\]

學生 A 的推理之所以看似合理，是因為有幾種我們熟悉的場，包括點質量產生的重力場和點電荷產生的電場，都遵循平方反比關係。

但這裡的幾何情況不同。理想長直導線的磁場形成同心圓，而相關的關係是 \(1/r\)，不是 \(1/r^2\)。你不應假設所有場都遵循相同的距離關係。

問題 5

一條長直導線有 \(10\ \text{A}\) 的電流穿出紙面。點 \(R\) 起初位於導線正右方 \(20\ \text{cm}\) 處。

之後，電流方向反轉並減小至 \(4.0\ \text{A}\)，同時把 \(R\) 移到距離導線 \(8.0\ \text{cm}\) 的位置，仍然位於導線正右方。

比較 \(R\) 點最後的磁場與最初的磁場。說明其相對大小和方向。

解答 5

最後的磁場 大小與最初相同，但方向相反。

先利用

\[
B\propto\frac{I}{r}.
\]

比較大小。

因此，

\[
\begin{aligned}
\frac{B_{\text{最後}}}{B_{\text{最初}}}
&=
\frac{4.0}{10}
\times
\frac{0.20}{0.080}\\
&=0.40\times2.5\\
&=1.
\end{aligned}
\]

所以磁場大小不變。

現在考慮方向。

最初，電流穿出紙面。根據右手握拳定則，磁場沿逆時針方向環繞。在導線正右方的一點，該磁場指向 上方。

之後電流方向反轉，因此電流進入紙面。磁場也隨之反轉，變成順時針方向。因此，在導線的同一側，磁場會指向 下方。

所以，

\[
\boxed{\text{大小相同，方向相反}}
\]

而最後的磁場方向向下。

這裡的陷阱是只看 \(I/r\)。這個比值決定磁場大小，但不能告訴你方向。反轉電流方向必須另外使用右手定則處理。

問題 6

一名學生利用

\[
B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}
\]

主張真實導線正中心的磁場一定會變成無限大，因為 \(r=0\)。

這個結論有效嗎？請解釋哪裡出了問題，而不需要計算導線內部的磁場。

解答 6

不。這個結論無效，因為這條方程被用在了其簡單形式並不適用的情況。

式子

\[
B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}
\]

在求外部磁場時，把導線視為理想化、很長而且很細的載流導體。

真實導線具有有限半徑。在導線內部的某些位置，一部分電流位於穿過該點的圓形路徑之外，因此不能把外部磁場的表達式直接一路延伸到 \(r=0\)。

所以，表面上出現的無限大其實是在提醒我們：這個模型已經被用到了超出其假設的範圍，而不是證明真實導線中心存在無限大的磁場。

這是物理學中一個很有用的習慣：當一條方程得出極端或不可能的結果時，在相信計算之前，先檢查它的假設。

09這個概念接下來會延伸到哪裡？

當你能夠求出單一導線周圍磁場的大小和方向後，就可以分析 兩個磁場重疊 時會發生甚麼。

接著自然會延伸到由多條導線、線圈和螺線管產生的磁場，再進一步研究移動電荷和載流導體所受的磁力。這也會連回較廣泛的概念：磁場能產生吸引或排斥作用；相關內容可參閱 磁鐵之間的力：吸引、排斥與磁場。

接下來最重要的習慣很簡單：把 大小 和 方向 當成兩個不同的任務。使用 \(B=\mu_0I/(2\pi r)\) 求磁場大小，再用右手握拳定則判斷它指向哪裡。