حسابات المولارية في كيمياء HSC: c = n/V
تعلّم كيفية استخدام c = n/V وإعادة ترتيبها لحساب التركيز المولاري والكمية الكيميائية والكتلة وحجم المحلول باستخدام الوحدات الصحيحة.
تُذيب \(5.85\text{ g}\) من كلوريد الصوديوم في الماء، ثم تجعل الحجم النهائي للمحلول يساوي تمامًا \(500\text{ mL}\). هل يكون التركيز \(5.85/500\)؟ قد يبدو ذلك مغريًا، لكن هذين العددين يقيسان كميتين مختلفتين: أحدهما كتلة، والآخر حجم.
يحتاج الكيميائيون إلى طريقة لوصف مقدار الكمية الكيميائية الموجودة في حجم معيّن من المحلول. وهذا ما تفعله المولارية. عندما تتمكن من الانتقال بثقة بين الكتلة والمولات والتركيز والحجم، تصبح مجموعة كبيرة من حسابات المحاليل في HSC أسهل بكثير.
قبل أن نحسب أي شيء، توقّع الآتي: إذا احتوى محلولان على العدد نفسه من مولات المذاب، لكن كان حجم أحدهما الكلي ضعف حجم الآخر، فأيهما أكثر تركيزًا؟
المحلول ذو الحجم الأصغر أكثر تركيزًا. فالكمية نفسها من المذاب موجودة في حجم أقل من المحلول.
هذه الفكرة هي الأساس الكامل للمولارية.
01النموذج الذهني: كمية موجودة في حجم
تخيّل \(0.50\text{ mol}\) من مذاب موزعة في \(1.0\text{ L}\) من المحلول. ثم تخيّل \(0.50\text{ mol}\) نفسها موزعة في \(2.0\text{ L}\).
لم يفقد المحلول الثاني أي مذاب. لكنه ببساطة يمتلك حجمًا أكبر، ولذلك توجد كمية أقل من المذاب لكل لتر.
يشبه ذلك كثافة الازدحام. خمسون شخصًا في غرفة صغيرة يجعلونها تبدو مزدحمة. أما الخمسون شخصًا أنفسهم إذا توزّعوا في قاعة كبيرة فلا يكون الأمر كذلك. يعمل التركيز المولاري بالطريقة العامة نفسها: فهو يقارن كميةً بالحجم الذي تشغله تلك الكمية.
لكن لهذا التشبيه حدوده. فالجزيئات ليست أشخاصًا صغارًا يقفون ساكنين في مناطق منفصلة. جسيمات المحلول تتحرك باستمرار وتتوزع في أنحاء المحلول. الجزء المفيد الوحيد من التشبيه هو فكرة الكمية لكل وحدة حجم.
02معادلة المولارية
العلاقة الرسمية هي
\[ c = \frac{n}{V} \]
حيث:
- \(c\) هو التركيز المولاري، ويُقاس عادةً بوحدة \(\text{mol L}^{-1}\)
- \(n\) هو الكمية الكيميائية للمذاب، وتُقاس بالمول
- \(V\) هو حجم المحلول، ويُقاس باللتر
لذلك، فإن تركيزًا مقداره \(0.40\text{ mol L}^{-1}\) يعني وجود \(0.40\text{ mol}\) من المذاب في كل لتر من المحلول.
وقد ترى أيضًا التركيز مكتوبًا على صورة \(0.40\text{ M}\)، حيث تعني M «مولاري». في حسابات HSC، تجعل الوحدة \(\text{mol L}^{-1}\) الوحدات واضحة بصورة خاصة.
يمكن إعادة ترتيب المعادلة وفقًا للكمية التي تحتاج إلى إيجادها:
\[ n = cV \]
و
\[ V = \frac{n}{c} \]
بدلًا من حفظ ثلاث معادلات منفصلة لا علاقة بينها، تذكّر الفكرة الأساسية: التركيز يساوي الكمية مقسومة على الحجم.
03فخ الوحدات: اللترات، لا المليلترات
لنفترض أن محلولًا يحتوي على \(0.20\text{ mol}\) في \(250\text{ mL}\). قد يحسب طالب:
\[ c = \frac{0.20}{250} \]
ويحصل على \(0.00080\).
الحساب العددي صحيح. لكن الوحدات ليست كذلك.
إذا كان التركيز مطلوبًا بوحدة \(\text{mol L}^{-1}\)، فيجب أن يكون الحجم باللتر.
بما أن
\[ 1000\text{ mL} = 1\text{ L} \]
فإننا نحوّل المليلترات إلى لترات بالقسمة على 1000:
\[ 250\text{ mL} = 0.250\text{ L} \]
والآن:
\[ c = \frac{0.20\text{ mol}}{0.250\text{ L}} = 0.80\text{ mol L}^{-1} \]
يُعد الخطأ بعامل 1000 من أكثر الأخطاء شيوعًا في حسابات التركيز. ومن العادات المفيدة أن تتحقق من وحدة الحجم قبل التعويض بأي قيمة في \(c=n/V\).
04قاعدة سريعة لاتخاذ القرار
تصبح معظم مسائل المولارية أسهل إذا حدّدت المعلومات المعطاة والكمية التي تحتاج إلى إيجادها.
| ما تعرفه | ما تحتاج إليه | العلاقة الأساسية |
|---|---|---|
| المولات والحجم | التركيز | \(c=n/V\) |
| التركيز والحجم | المولات | \(n=cV\) |
| المولات والتركيز | الحجم | \(V=n/c\) |
| الكتلة والحجم | التركيز | أولًا \(n=m/M\)، ثم \(c=n/V\) |
| التركيز والحجم | الكتلة | أولًا \(n=cV\)، ثم \(m=nM\) |
هنا، \(m\) هي الكتلة بالجرام و\(M\) هي الكتلة المولية بوحدة \(\text{g mol}^{-1}\).
وهذان الصفان الأخيران مهمان لأن معادلات التركيز تتعامل مع المولات، لا الجرامات.
05من الكتلة إلى المولات
لنفترض أنك أُعطيت كتلة المذاب بدلًا من كميته الكيميائية. تستخدم أولًا
\[ n = \frac{m}{M} \]
حيث:
- \(n\) هي الكمية الكيميائية بالمول
- \(m\) هي الكتلة بالجرام
- \(M\) هي الكتلة المولية بوحدة \(\text{g mol}^{-1}\)
ثم تستخدم \(c=n/V\).
إذًا، مسألة الانتقال من الكتلة إلى التركيز هي في الحقيقة مسار من مرحلتين:
\[ \text{الكتلة} \rightarrow \text{المولات} \rightarrow \text{التركيز} \]
أما الانتقال في الاتجاه الآخر فيعطي:
\[ \text{التركيز} \rightarrow \text{المولات} \rightarrow \text{الكتلة} \]
من الأفضل فهم هذه السلسلة بدلًا من حفظها. فالتركيز يخبرك بعدد المولات لكل لتر، بينما تخبرك الكتلة المولية بعدد الجرامات لكل مول. والمولات هي الجسر بينهما.
مثال محلول: إيجاد التركيز من عدد المولات
يحتوي محلول حجمه \(350\text{ mL}\) على \(0.105\text{ mol}\) من نترات البوتاسيوم، \(\ce{KNO3}\). احسب تركيزه المولاري.
الخطوة 1
\[ 350\text{ mL} = 0.350\text{ L} \]
الخطوة 2
\[ c = \frac{n}{V} \]
هنا، \(n=0.105\text{ mol}\) و\(V=0.350\text{ L}\).
الخطوة 3
\[ c = \frac{0.105\text{ mol}}{0.350\text{ L}} = 0.300\text{ mol L}^{-1} \]
إذًا يحتوي المحلول على \(0.300\text{ mol}\) من \(\ce{KNO3}\) لكل لتر من المحلول.
لاحظ أن العينة الفعلية حجمها \(350\text{ mL}\) فقط. لا يعني قولنا \(0.300\text{ mol L}^{-1}\) أن هناك لترًا كاملًا موجودًا. بل يصف نسبة الكمية إلى اللتر.
06يعتمد التركيز على حجم المحلول
هناك خطأ آخر مغرٍ يختبئ في كلمة «الحجم».
لنفترض أنك أضفت مذابًا إلى \(500\text{ mL}\) من الماء. هل يمكنك تلقائيًا استخدام \(V=0.500\text{ L}\) في \(c=n/V\)؟
ليس بالضرورة.
تستخدم المعادلة الحجم النهائي للمحلول، وليس مجرد كمية المذيب التي بدأت بها. فقد يؤدي إذابة المذاب إلى تغيير الحجم الكلي.
ولهذا يُحضَّر المحلول القياسي بإذابة المذاب ثم إكمال المحلول إلى حجم نهائي دقيق في دورق حجمي. إذا أردت رؤية هذه العملية في سياقها، فاقرأ كيفية تحضير محلول قياسي لكيمياء HSC.
مثال محلول: إيجاد التركيز من الكتلة
يُحضَّر محلول بإذابة \(4.00\text{ g}\) من هيدروكسيد الصوديوم، \(\ce{NaOH}\)، ثم جعل الحجم النهائي للمحلول \(250.0\text{ mL}\). احسب التركيز المولاري.
استخدم \(M(\ce{NaOH}) = 40.00\text{ g mol}^{-1}\).
الخطوة 1
\[ n = \frac{m}{M} = \frac{4.00\text{ g}}{40.00\text{ g mol}^{-1}} = 0.100\text{ mol} \]
تُختصر وحدات الجرام، وتتبقى وحدة المول.
الخطوة 2
\[ 250.0\text{ mL} = 0.2500\text{ L} \]
الخطوة 3
\[ c = \frac{0.100\text{ mol}}{0.2500\text{ L}} = 0.400\text{ mol L}^{-1} \]
تركيز هيدروكسيد الصوديوم هو \(0.400\text{ mol L}^{-1}\).
العبارة المهمة في السؤال هي «جعل الحجم النهائي للمحلول \(250.0\text{ mL}\)». فهي تخبرنا بالضبط أي حجم يجب استخدامه في حساب التركيز.
07العمل بالعكس: من التركيز إلى الكتلة
تبدأ بعض الحسابات بتركيز مطلوب. ثم يسأل السؤال عن مقدار المذاب الصلب اللازم.
نعكس المسار:
\[ n=cV \]
ثم
\[ m=nM \]
قبل النظر إلى المثال، توقّع ما يلي. إذا أردت تحضير ضعف حجم محلول مع إبقاء التركيز نفسه، فماذا يجب أن يحدث لعدد مولات المذاب؟
يجب أن يتضاعف. بما أن \(n=cV\)، فإن إبقاء \(c\) ثابتًا مع مضاعفة \(V\) يؤدي إلى مضاعفة \(n\).
مثال محلول: إيجاد الكتلة المطلوبة
ما كتلة كبريتات النحاس الثنائي اللامائية، \(\ce{CuSO4}\)، اللازمة لتحضير \(400.0\text{ mL}\) من محلول تركيزه \(0.150\text{ mol L}^{-1}\)؟
استخدم \(M(\ce{CuSO4}) = 159.61\text{ g mol}^{-1}\).
الخطوة 1
\[ 400.0\text{ mL}=0.4000\text{ L} \]
الخطوة 2
\[ n=cV =(0.150\text{ mol L}^{-1})(0.4000\text{ L}) =0.0600\text{ mol} \]
تُختصر وحدات اللتر، وتتبقى وحدة المول.
الخطوة 3
\[ m=nM =(0.0600\text{ mol})(159.61\text{ g mol}^{-1}) =9.5766\text{ g} \]
إلى ثلاث خانات معنوية:
\[ m=9.58\text{ g} \]
إذًا يلزم \(9.58\text{ g}\) من \(\ce{CuSO4}\) اللامائي.
تعني هذه الإجابة أن الكتلة المطلوبة توفر بالضبط \(0.0600\text{ mol}\) اللازمة للحصول على \(0.4000\text{ L}\) بتركيز \(0.150\text{ mol L}^{-1}\).
08إيجاد الحجم من التركيز
إذا كان عدد المولات والتركيز معلومين، فأعد ترتيب المعادلة:
\[ V=\frac{n}{c} \]
ستكون الإجابة باللتر عندما تكون \(n\) بالمول و\(c\) بوحدة \(\text{mol L}^{-1}\).
على سبيل المثال، لنفترض أن \(0.0750\text{ mol}\) من مذاب مطلوبة من محلول تركيزه \(0.500\text{ mol L}^{-1}\):
\[ V=\frac{0.0750\text{ mol}}{0.500\text{ mol L}^{-1}} =0.150\text{ L} \]
أي
\[ 0.150\text{ L}\times1000=150\text{ mL} \]
إذًا يحتوي \(150\text{ mL}\) من المحلول على \(0.0750\text{ mol}\) من المذاب.
09ما الذي لا تخبرك به \(c=n/V\)
المعادلة قوية، لكنها تجيب عن سؤال محدد واحد: ما مقدار المذاب الموجود لكل حجم من المحلول؟
وهي لا تخبرك بمفردها:
- مدى قوة تفاعل المذاب
- ما إذا كان المذاب يتفكك بالكامل إلى أيونات
- تركيز كل أيون بعد التفكك
- كيف يتغير التركيز أثناء التخفيف أو التفاعل
- ما إذا كان المحلول مشبعًا
على سبيل المثال، محلول جلوكوز تركيزه \(1.0\text{ mol L}^{-1}\) ومحلول كلوريد صوديوم تركيزه \(1.0\text{ mol L}^{-1}\) لهما التركيز المولاري نفسه للمذاب. لكنهما لا يحتويان على الأنواع أو الأعداد نفسها من الجسيمات الذائبة، لأن \(\ce{NaCl}\) يتفكك إلى أيونات بينما يبقى الجلوكوز في صورة جزيئات سليمة.
وهذه فكرة كيميائية منفصلة تُبنى فوق مفهوم المولارية.
للحصول على مقارنة أوسع بين وحدات التركيز، راجع طرق قياس تركيز المحاليل في كيمياء HSC.
10الفكرة الخاطئة التي يجب تجنبها: «عدد مولات أكبر يعني تركيزًا أكبر»
وجود عدد أكبر من المولات لا يعني تلقائيًا تركيزًا أعلى.
قارن بين:
- المحلول A: \(0.20\text{ mol}\) في \(0.100\text{ L}\)
- المحلول B: \(0.50\text{ mol}\) في \(1.00\text{ L}\)
يحتوي المحلول B على كمية أكبر من المذاب إجمالًا. لكن:
\[ c_A=\frac{0.20}{0.100}=2.0\text{ mol L}^{-1} \]
بينما
\[ c_B=\frac{0.50}{1.00}=0.50\text{ mol L}^{-1} \]
تركيز المحلول A يساوي أربعة أضعاف تركيز المحلول B.
ينشأ الفخ من النظر إلى البسط وحده. فالتركيز يعتمد على نسبة الكمية إلى الحجم.
11الأسئلة والحلول
السؤال 1
يحتوي محلول حجمه \(600\text{ mL}\) على \(0.180\text{ mol}\) من \(\ce{KCl}\). احسب التركيز المولاري لـ \(\ce{KCl}\).
الحل 1
التركيز هو \(0.300\text{ mol L}^{-1}\).
التركيز المولاري هو الكمية الكيميائية مقسومة على حجم المحلول:
\[ c=\frac{n}{V} \]
حوّل الحجم أولًا:
\[ 600\text{ mL}=0.600\text{ L} \]
ثم عوّض:
\[ c=\frac{0.180\text{ mol}}{0.600\text{ L}} =0.300\text{ mol L}^{-1} \]
إذًا سيحتوي كل لتر من هذا المحلول على \(0.300\text{ mol}\) من \(\ce{KCl}\). الفخ الأساسي هو التعويض بالقيمة \(600\) مباشرةً في حساب يتطلب الحجم باللتر.
السؤال 2
يحتاج طالب إلى \(200.0\text{ mL}\) من محلول كلوريد المغنيسيوم، \(\ce{MgCl2}\)، بتركيز \(0.350\text{ mol L}^{-1}\).
احسب الكمية الكيميائية المطلوبة من \(\ce{MgCl2}\).
الحل 2
الكمية الكيميائية المطلوبة هي \(0.0700\text{ mol}\) من \(\ce{MgCl2}\).
استخدم
\[ n=cV \]
وحوّل الحجم أولًا:
\[ 200.0\text{ mL}=0.2000\text{ L} \]
ثم:
\[ n=(0.350\text{ mol L}^{-1})(0.2000\text{ L}) =0.0700\text{ mol} \]
تُختصر وحدات اللتر. والنتيجة منطقية لأن \(0.2000\text{ L}\) يساوي خُمس لتر، ولذلك يجب أن يحتوي على خُمس مقدار \(0.350\text{ mol}\) الموجود في كل لتر.
السؤال 3
يُذيب طالب \(5.30\text{ g}\) من كربونات الصوديوم، \(\ce{Na2CO3}\)، ثم يجعل الحجم النهائي للمحلول \(500.0\text{ mL}\).
احسب التركيز المولاري للمحلول.
استخدم \(M(\ce{Na2CO3})=106.0\text{ g mol}^{-1}\).
الحل 3
تركيز كربونات الصوديوم هو \(0.100\text{ mol L}^{-1}\).
تحتاج معادلة التركيز إلى عدد المولات، ولذلك حوّل الكتلة أولًا إلى كمية كيميائية:
\[ n=\frac{m}{M} =\frac{5.30\text{ g}}{106.0\text{ g mol}^{-1}} =0.0500\text{ mol} \]
حوّل الحجم النهائي للمحلول:
\[ 500.0\text{ mL}=0.5000\text{ L} \]
والآن استخدم
\[ c=\frac{n}{V} =\frac{0.0500\text{ mol}}{0.5000\text{ L}} =0.100\text{ mol L}^{-1} \]
خطوة الاستدلال الأساسية هي إدراك أن الجرامات لا يمكن التعويض بها مباشرةً مكان \(n\). بل يجب تحويل الكتلة أولًا إلى مولات.
السؤال 4
يُحضّر طالبان محلولين من نترات الصوديوم.
يذيب الطالب A مقدار \(8.50\text{ g}\) من \(\ce{NaNO3}\) ويجعل الحجم النهائي \(250.0\text{ mL}\).
يذيب الطالب B مقدار \(12.75\text{ g}\) من \(\ce{NaNO3}\) ويجعل الحجم النهائي \(500.0\text{ mL}\).
استخدم \(M(\ce{NaNO3})=85.0\text{ g mol}^{-1}\).
أي المحلولين له تركيز مولاري أكبر، وبأي عامل؟
الحل 4
محلول الطالب A له التركيز المولاري الأكبر، وتركيزه يساوي \(1.33\) مرة تركيز محلول الطالب B.
بالنسبة إلى الطالب A:
\[ n_A=\frac{8.50\text{ g}}{85.0\text{ g mol}^{-1}} =0.100\text{ mol} \]
\[ V_A=250.0\text{ mL}=0.2500\text{ L} \]
\[ c_A=\frac{0.100\text{ mol}}{0.2500\text{ L}} =0.400\text{ mol L}^{-1} \]
بالنسبة إلى الطالب B:
\[ n_B=\frac{12.75\text{ g}}{85.0\text{ g mol}^{-1}} =0.150\text{ mol} \]
\[ V_B=500.0\text{ mL}=0.5000\text{ L} \]
\[ c_B=\frac{0.150\text{ mol}}{0.5000\text{ L}} =0.300\text{ mol L}^{-1} \]
قارن بين التركيزين:
\[ \frac{c_A}{c_B} =\frac{0.400}{0.300} =1.33 \]
استخدم الطالب B كمية أكبر من \(\ce{NaNO3}\)، لكنه استخدم أيضًا حجمًا نهائيًا أكبر بكثير. وهذا هو الفخ: فالمحلول الذي يحتوي على كمية إجمالية أكبر من المذاب ليس بالضرورة أكثر تركيزًا.
السؤال 5
يريد طالب تحضير \(300.0\text{ mL}\) من كلوريد الكالسيوم، \(\ce{CaCl2}\)، بتركيز \(0.200\text{ mol L}^{-1}\).
يحسب الكمية الكيميائية المطلوبة بصورة صحيحة، لكنه يجادل بعد ذلك:
«لأن كلوريد الكالسيوم ينتج ثلاثة أيونات عندما يذوب، يجب أن أضرب عدد مولات \(\ce{CaCl2}\) في ثلاثة قبل إيجاد الكتلة المطلوبة.»
هل استدلال الطالب صحيح؟ احسب الكتلة المطلوبة من \(\ce{CaCl2}\) اللامائي.
استخدم \(M(\ce{CaCl2})=110.98\text{ g mol}^{-1}\).
الحل 5
استدلال الطالب غير صحيح. الكتلة المطلوبة هي \(6.66\text{ g}\) من \(\ce{CaCl2}\) اللامائي.
التركيز المذكور، \(0.200\text{ mol L}^{-1}\)، هو تركيز وحدات الصيغة لـ \(\ce{CaCl2}\) قبل أخذ التفكك في الاعتبار. ولذلك نحسب مولات \(\ce{CaCl2}\) مباشرةً:
\[ n=cV \]
حوّل الحجم:
\[ 300.0\text{ mL}=0.3000\text{ L} \]
ثم:
\[ n=(0.200\text{ mol L}^{-1})(0.3000\text{ L}) =0.0600\text{ mol} \]
والآن حوّل عدد المولات المطلوبة من \(\ce{CaCl2}\) إلى كتلة:
\[ m=nM =(0.0600\text{ mol})(110.98\text{ g mol}^{-1}) =6.6588\text{ g} \]
إلى ثلاث خانات معنوية:
\[ m=6.66\text{ g} \]
يصبح التفكك
\[ \ce{CaCl2 -> Ca^2+ + 2Cl^-} \]
مهمًا إذا كان السؤال يطلب تركيز أيون. ولا يعني ذلك أننا نحتاج إلى ثلاثة أضعاف كمية كلوريد الكالسيوم لتحضير محلول \(\ce{CaCl2}\) بتركيز \(0.200\text{ mol L}^{-1}\).
على سبيل المثال، بافتراض التفكك الكامل، سيحتوي هذا المحلول على \(0.200\text{ mol L}^{-1}\) من \(\mathrm{Ca}^{2+}\) و\(0.400\text{ mol L}^{-1}\) من \(\mathrm{Cl}^{-}\). وهذا حساب منفصل يعتمد على النسبة الستوكيومترية في معادلة التفكك.
السؤال 6
زجاجة مختبر مكتوب عليها \(\ce{NaOH}\) بتركيز \(0.250\text{ mol L}^{-1}\). يحتاج طالب إلى \(0.0500\text{ mol}\) بالضبط من \(\ce{NaOH}\).
يحسب:
\[ V=\frac{0.0500}{0.250}=0.200 \]
ثم يكتب الإجابة على أنها \(0.200\text{ mL}\).
حدّد الخطأ، وأعطِ الحجم الصحيح بالمليلترات، واشرح كيف تكشف وحدات المعادلة عن الخطأ.
الحل 6
الحجم الصحيح هو \(200\text{ mL}\)، وليس \(0.200\text{ mL}\). الحساب العددي صحيح، لكن الطالب ألحق به الوحدة الخاطئة.
باستخدام
\[ V=\frac{n}{c} \]
نحصل على
\[ V=\frac{0.0500\text{ mol}}{0.250\text{ mol L}^{-1}} =0.200\text{ L} \]
يمكن التحقق من الوحدة جبريًا:
\[ \frac{\text{mol}}{\text{mol L}^{-1}} =\text{L} \]
إذًا لا بد أن تعني القيمة المحسوبة \(0.200\) مقدار \(0.200\text{ L}\).
حوّل إلى مليلترات:
\[ 0.200\text{ L}\times1000\text{ mL L}^{-1} =200\text{ mL} \]
يكشف هذا السؤال عن عادة مهمة: الوحدات ليست مجرد إضافات توضع بعد إجراء الحساب. إنها جزء من الحساب نفسه، ويمكنها كشف الحالات التي فُسّرت فيها الإجابة بصورة غير صحيحة.
12إلى أين يقودنا هذا بعد ذلك
بعد إتقان \(c=n/V\)، تكون الخطوة التالية هي فهم ما يحدث عندما تبقى كمية المذاب ثابتة بينما يتغير حجم المحلول.
وهذا هو المنطق الذي يقوم عليه التخفيف. إذا أُضيف الماء، تبقى \(n\) للمذاب الأصلي ثابتة بينما تزداد \(V\)، ولذلك يجب أن تنخفض \(c\). ويقود اتباع هذه الفكرة مباشرةً إلى علاقة التخفيف \(c_1V_1=c_2V_2\)، التي يتناولها حسابات تخفيف المحاليل في كيمياء HSC.