以实验验证抛体运动：HSC 物理
学习如何运用 HSC 物理模型、图表与实验证据，设计、分析及评估抛体运动关系的实际测试。
从长椅上放下一颗球，同时从相同高度水平发射一颗完全相同的球。哪一颗会先碰到地面？
一个常见的预测是，发射出去的球应该会在空中停留更久，因为它「有更多运动」。然而，在标准抛体模型下，两颗球会同时落地。水平速度会改变第二颗球前进的距离，但不会改变重力把它向下拉的快慢。
这是一个很巧妙的预测。而且，这正是物理学应该透过实验来证实的那类主张。
01我们实际上想验证甚么？
对于在地球表面附近运动的抛体，常用的 HSC 模型有两个重要假设：
- 重力加速度为常数，方向垂直向下，
- 空气阻力可忽略不计。
令 \(+x\) 为沿发射方向的水平方向，\( +y \) 为垂直向上的方向。则
\[ a_x = 0 \]
以及
\[ a_y = -g \]
其中 \(g\) 是重力加速度的大小，在地球表面附近约为 \(9.8\ \text{m s}^{-2}\)。
因此会同时发生两个方向的运动：
\[ x = u_x t \]
以及
\[ y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2 \]
其中：
- \(x\) 是以公尺为单位的水平位移，
- \(y\) 是以公尺为单位的垂直位移，
- \(u_x\) 是初始水平速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)，
- \(u_y\) 是初始垂直速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)，
- \(t\) 是以秒为单位的时间。
对于水平发射，\(u_y=0\)。方程式变成
\[ x=u_x t \]
以及
\[ y=-\frac{1}{2}gt^2 \]
重要之处不只是有两条方程式，而是水平方程式中没有垂直速度，垂直方程式中也没有水平速度。
你可以把这颗球想像成同时过著两段彼此独立的感情生活。水平方向上，它一直以相同速率前进。垂直方向上，重力则是它生命中唯一认真的「关系」。两种运动共用同一个时钟，但彼此不会告诉对方该怎么做。
不过，这个比喻有其限制。一旦空气阻力变得重要，阻力就会取决于抛体相对空气的运动。此时，水平与垂直方向的行为便可能互相耦合。
02一个值得测试的预测
假设一颗球从高度 \(h\) 水平发射。
当它到达地面时，垂直位移为 \(y=-h\)，所以
\[ -h=-\frac{1}{2}gt^2 \]
因此得到
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
注意少了甚么：\(u_x\)。
因此，模型预测飞行时间不取决于水平发射速度。
水平射程 \(R\) 为
\[ R=u_x t \]
所以
\[ R=u_x\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
在固定发射高度下，模型预测
\[ R\propto u_x \]
把水平发射速度加倍，射程也应该加倍。
在固定水平速度下，
\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}h \]
所以
\[ R^2\propto h \]
这些关系让我们可以进行多种实验测试，而不只是含糊地问轨迹是否「看起来像抛物线」。
| 模型预测 | 有用的实验测试 |
|---|---|
| \(a_x=0\) | 绘制水平位置 \(x\) 对时间 \(t\) 的图。图形应为直线。 |
| \(a_y=-g\) | 绘制向下位移对 \(t^2\) 的图。图形应为直线。 |
| 固定 \(h\) 时 \(R\propto u_x\) | 绘制 \(R\) 对实测 \(u_x\) 的图。 |
| 固定 \(u_x\) 时 \(R^2\propto h\) | 绘制 \(R^2\) 对 \(h\) 的图。 |
| \(t\) 与 \(u_x\) 无关 | 保持 \(h\) 不变并改变 \(u_x\)，比较飞行时间。 |
这才是「验证抛体运动关系」应有的意思。你要测试的是模型的具体预测。
03第一种设计：让球从长椅边缘滚落
最简单的版本只需要很少的器材。
在长椅上放置一条斜坡，使其最后一段为水平。一颗球沿斜坡向下滚动，经过水平段后离开长椅边缘。
在发射点正下方悬挂铅垂线，以标示地面上的水平原点。再往外放置纸张覆盖在复写纸或其他可留下撞击痕迹的表面上，以便找出第一次接触的位置。
测量：
- 垂直落差 \(h\)，
- 水平射程 \(R\)，
- 球在斜坡上的释放位置。
每个释放位置都重复多次。
应该会发生甚么？
在查看任何测量结果之前，先预测趋势。
如果球从斜坡较高的位置释放，它离开斜坡时应该具有较大的速度。如果发射点相对地面的高度保持不变，它在空中的时间应该大致不变。因此，额外的速度应主要表现为更大的水平射程。
所以，较高的释放位置应产生较大的 \(R\)。
这是朝正确方向的证据，但存在一个问题。
第一种设计没有测量发射速度
斜坡上的释放位置并不是抛体方程式中的物理量。方程式包含的是 \(u_x\)。
你或许会尝试从重力势能计算发射速度。但这样一来，你就需要考虑球的转动动能、滚动行为、摩擦，以及斜坡上的任何能量损失。
这个实验不小心把两个模型混在了一起：
- 球沿斜坡运动的力学，
- 球离开斜坡后的抛体运动。
如果你的目的是验证 \(R\propto u_x\)，直接测量 \(u_x\) 会干净得多。
04改良设计：测量方程式真正包含的变量
更有力的装置会直接测量抛体的发射速度与运动轨迹。
由左至右排列：
- 一个发射器或带有短水平出口段的斜坡，
- 一对靠近出口的光闸，两者相距已知的水平距离，
- 发射边缘，
- 抛体的飞行区域，
- 撞击表面或接球箱。
把相机放在运动路径的侧面。其光轴应尽可能垂直于抛体轨迹所在的平面。并把校准尺放在与运动相同的平面内。
球先通过第一个光闸，再通过第二个。如果两者的间距为 \(d\)，球在两者之间的通行时间为 \(\Delta t\)，则其水平发射速度约为
\[ u_x=\frac{d}{\Delta t} \]
接著，球离开发射器，穿过相机的视野，最后落到撞击表面。影片可以提供已知时间下的位置，而撞击痕迹则提供总射程的独立测量值。
这套装置能测试的远不只是「球落在哪里？」
05变量与控制
假设目标是测试 \(R\propto u_x\)。
自变量是发射速度 \(u_x\)。因变量是水平射程 \(R\)。
另外几个物理量也需要加以控制。
| 物理量 | 为甚么要控制？ |
|---|---|
| 发射高度 \(h\) | 改变 \(h\) 会改变飞行时间。 |
| 发射方向 | 即使只有很小的向上或向下角度，也会使 \(u_y\neq0\)。 |
| 抛体 | 不同质量、大小和形状可能受到不同程度的空气阻力。 |
| 发射位置 | 会改变 \(h\) 与 \(R\) 的参考点。 |
| 相机位置 | 改变视角会改变量得的距离。 |
| 著陆表面 | 会反弹或倾斜的表面可能使第一次接触点难以判定。 |
在改变发射速度的同时，不小心也改变发射角度尤其麻烦。两种改变都会影响射程，因此你便无法知道是哪个变量造成结果。
06一个能取得有用数据的实际程序
一项合理的探究可以这样进行：
- 固定发射器，并检查其出口是否水平。
- 标记发射点，并用铅垂线建立水平零位置。
- 测量从抛体发射高度到其第一次接触地面时所在高度之间的垂直落差。
- 把相机放置成垂直于运动平面。
- 在抛体运动的平面内放置刻度尺，以便校准影片中的距离。
- 选择一个发射设定，释放抛体时不要额外施加推力。
- 使用光闸测量 \(u_x\)。
- 记录轨迹和著陆位置。
- 将该次试验重复数次。
- 改变发射速度并重复实验。
- 绘制实测 \(R\) 对实测 \(u_x\) 的图。
步骤的先后次序没有控制物理条件那么重要。例如，即使你使用五个间隔非常漂亮的发射设定，如果每次调整时发射器都稍微倾斜，那也没有帮助。
07甚么样的数据才有说服力？
假设发射高度保持固定。
如果模型在所测速度范围内表现良好，\(R\) 对 \(u_x\) 的图应接近一条直线。
由
\[ R=u_x\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
可知，斜率应为
\[ \sqrt{\frac{2h}{g}} \]
其单位是秒。
这在物理上是合理的。斜率表示水平速度每增加一公尺每秒，射程会增加多少公尺。从数值上看，它就是抛体的飞行时间。
与只检查一次试验相比，图表能提供更多资讯。它可以显示：
- 关系是否为线性，
- 截距是否接近零，
- 是否有某个数据点是离群值，
- 误差是否在较高速度时增大，
- 是否存在系统性的弯曲。
不要因为理论说直线应通过原点，就自动强迫拟合线通过原点。应先查看实测截距是否包含关于系统误差的有用证据。
08测试轨迹本身
射程只是最后的结果。影片数据可以测试飞行过程中的运动。
对于水平发射，
\[ x=u_x t \]
所以 \(x\) 对 \(t\) 的图应为线性。
对于垂直运动，定义 \(d_y\) 为向下为正的下落距离。则
\[ d_y=\frac{1}{2}gt^2 \]
因此，\(d_y\) 对 \(t^2\) 的图应为直线，其斜率为
\[ \frac{g}{2} \]
你也可以完全消去时间。
由于
\[ t=\frac{x}{u_x} \]
代入垂直运动方程式可得
\[ d_y=\frac{g}{2u_x^2}x^2 \]
所以 \(d_y\) 对 \(x^2\) 的图应为线性。
这比只说轨迹「看起来像抛物线」有力得多。许多稍微弯曲的路径肉眼看起来都像抛物线。
例题：实测射程是否与模型一致？
一颗球以 \(3.20\ \text{m s}^{-1}\) 的速度从 \(0.900\ \text{m}\) 的高度水平发射。实测水平射程为 \(1.34\ \text{m}\)。使用 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。
计算理论射程，并与测量值比较。
步骤 1
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{2(0.900\ \text{m})}{9.8\ \text{m s}^{-2}}} =0.429\ \text{s} \]
模型预测抛体应在空中停留约 \(0.429\ \text{s}\)。
步骤 2
\[ R=u_x t =(3.20\ \text{m s}^{-1})(0.429\ \text{s}) =1.37\ \text{m} \]
步骤 3
两者之差为
\[ 1.37\ \text{m}-1.34\ \text{m}=0.03\ \text{m} \]
相对于预测值的百分比差异约为
\[ \frac{0.03}{1.37}\times100\%\approx2.2\% \]
实测射程比理想模型的预测值低约 \(2.2\%\)。
这并不自动表示空气阻力造成了 \(2.2\%\) 的减少。发射速度的不确定度、发射角度、高度测量、射程测量和空气阻力都可能有所贡献。
正确的结论取决于实验不确定度。
例题：利用轨迹估算 \(g\)
对水平发射的小球进行影片分析，得到向下位移 \(d_y\) 对 \(x^2\) 的图。其斜率为 \(0.620\ \text{m}^{-1}\)。
实测水平速度为 \(2.80\ \text{m s}^{-1}\)。估算 \(g\)。
步骤 1
对于水平抛体运动，
\[ d_y=\frac{g}{2u_x^2}x^2 \]
因此，\(d_y\) 对 \(x^2\) 图的斜率 \(m\) 为
\[ m=\frac{g}{2u_x^2} \]
步骤 2
\[ g=2u_x^2m \]
步骤 3
\[ g=2(2.80\ \text{m s}^{-1})^2(0.620\ \text{m}^{-1}) \]
\[ g=9.72\ \text{m s}^{-2} \]
单位正确地化简为加速度。
估算值 \(9.72\ \text{m s}^{-2}\) 接近 \(9.8\ \text{m s}^{-2}\)。更重要的是，这个实验测试了整条轨迹的形状，而不只是利用著陆点。
09验证并不等于证明
实验数据不能证明理想抛体方程式是适用于所有情况的精确定律。
这些方程式本身已经包含假设。
一个审慎的结论会更像这样：
在所测量的发射速度范围内，数据在实验不确定度范围内与预测的抛体运动关系一致。
这比「实验证明了抛体运动」更符合科学写作。
为甚么？因为高尔夫球、一张纸和流星所受的空气阻力不可能都可以忽略。模型是否有用取决于所处的条件。
10可靠性、效度与准确度各自代表不同的事情
这些词经常被混为一谈。
可靠性
如果重复测量时能得到一致的结果，就表示结果具有可靠性。
假如五次理应相同的发射分别落在
\(1.31\)、\(1.32\)、\(1.31\)、\(1.32\) 和 \(1.31\ \text{m}\)，
那么结果具有高度重复性。
但这并不能保证结果正确。若射程的原点位置设错，所有测量值都可能被同样地偏移。
效度
一项具有良好效度的探究，必须真正测试它声称要测试的关系。
如果你正在测试 \(u_x\) 对 \(R\) 的影响，那么发射高度和角度就不能同时悄悄地改变。
直接测量发射速度也能提高效度，因为模型中真正出现的变量是 \(u_x\)，而不是斜坡上的释放位置。
准确度
准确度涉及测量值与公认值或预期值的一致程度。
测量可以很可靠，却不准确。五个读数可能非常漂亮地集中在错误答案附近，原因是存在系统误差。
11随机误差与系统误差会留下不同线索
随机误差会使重复测量的结果出现散布。
例子包括：
- 判定精确第一次接触点时的不确定度，
- 发射器操作上的微小变化，
- 逐格选取抛体中心位置时的不确定度。
重复试验有助于显示并降低随机误差的影响。
系统误差则会把测量值持续推向同一方向。
例子包括：
- 从错误的水平原点测量射程，
- 相机没有垂直于运动平面，
- 校准尺的校准不正确，
- 发射器略微向上倾斜，
- 从错误的参考高度测量发射高度。
重复实验无法消除系统误差。你可以做 500 次测量，仍然得到一个非常精密但错误的答案。
12为甚么图形形状可以诊断误差
假设理论预测应是一条通过原点的直线，但你的实验图却是一条具有明显非零截距的直线。
这种模式本身就是证据。
它可能表示你的零位置有误。也可能表示你假设为零的某个变量其实并不为零。又或者，图表变换与测量误差之间存在较不明显的相互作用。
这就是为甚么残差模式与截距都很有用。不要把它们当成斜率周围恼人的装饰。
如果理论预测是直线，但图形却呈弯曲状，往往更有资讯价值。这可能表示：
- 所提出的关系在该范围内并不正确，
- 某个原本应受控制的物理量其实正在改变，
- 某个被忽略的效应随自变量增大而变得更重要。
空气阻力就是很好的例子。在速度足够大时，假设阻力为零会变得越来越缺乏说服力。
13一个特别常见的陷阱：假设发射一定是水平的
即使发射器看起来水平，它仍可能使抛体具有一个很小的垂直速度分量。
如果
\[ u_y>0 \]
抛体会先向上升，然后才下落。其飞行时间会比水平发射的预测值更长。
如果
\[ u_y<0 \]
它会立即开始向下运动，使飞行时间缩短。
影片追踪可以揭示这个问题。对真正的水平发射而言，把垂直位置对时间进行拟合时，所得初始垂直速度应与零一致。
如果你对把发射速度分解成分量已经有些生疏，可先复习 HSC 物理中的抛体初速度分量，再解读斜向发射的数据。
14实验结论应包含甚么？
一个有用的结论应把数据直接与被测试的关系连系起来。
例如：
- 说明图形是否具有预测的形式，
- 比较实测斜率与理论值，
- 讨论截距是否与零一致，
- 提及测量不确定度或数据散布，
- 指出数据所暗示的系统性效应，
- 说明模型在甚么条件下获得支持。
避免使用「实验很成功，因为图看起来正确」这类结论。
真正有意思的问题是，这些测量结果能多强地限制模型。
15问题与解答
问题 1
一颗球以 \(2.50\ \text{m s}^{-1}\) 的速度从 \(0.800\ \text{m}\) 的高度水平发射。
使用 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。
- 计算其预测飞行时间。
- 计算其预测水平射程。
- 实验得到的射程为 \(0.980\ \text{m}\)。这一个结果本身是否足以验证抛体模型？
解答 1
预测飞行时间为 \(0.404\ \text{s}\)，预测射程为 \(1.01\ \text{m}\)，而单一次 \(0.980\ \text{m}\) 的测量本身不足以验证模型。
对于垂直运动，
\[ h=\frac{1}{2}gt^2 \]
所以
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{2(0.800\ \text{m})}{9.8\ \text{m s}^{-2}}} =0.404\ \text{s} \]
水平射程为
\[ R=u_x t =(2.50\ \text{m s}^{-1})(0.404\ \text{s}) =1.01\ \text{m} \]
实验值比理论值低约 \(0.030\ \text{m}\)，也就是 \(3.0\%\)。
很容易得出的结论是：「3% 很接近，所以模型获得验证。」问题在于，我们还不知道相对于实验不确定度而言，\(3\%\) 的差异到底算不算小。
而且我们只测试了一个发射速度。系统误差可能碰巧让结果接近预测值。
更有力的探究应使用重复试验和多个不同的 \(u_x\) 值，然后测试 \(R\) 是否随 \(u_x\) 线性变化。
问题 2
一个水平发射器保持在著陆高度以上 \(1.00\ \text{m}\)。得到以下示例数据。
| \(u_x\)（\(\text{m s}^{-1}\)） | \(R\)（m） |
|---|---|
| 1.50 | 0.69 |
| 2.00 | 0.89 |
| 2.50 | 1.14 |
| 3.00 | 1.37 |
对 \(R\) 相对于 \(u_x\) 进行直线拟合，约得到
\[ R=(0.458\ \text{s})u_x-0.008\ \text{m} \]
- 解释为甚么 \(R\) 对 \(u_x\) 是适当的图。
- 使用斜率估算 \(g\)。
- 个别射程测量的解析度约为 \(0.01\ \text{m}\)。解释这个截距能告诉你甚么，以及不能告诉你甚么。
解答 2
数据与 \(R\propto u_x\) 一致，而斜率可给出 \(g\approx9.5\ \text{m s}^{-2}\) 的实验估算值。
在固定高度下，
\[ R=u_x\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
其形式为
\[ R=mu_x \]
其中理论斜率为
\[ m=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
实测斜率为 \(0.458\ \text{s}\)，所以
\[ m^2=\frac{2h}{g} \]
因此
\[ g=\frac{2h}{m^2} \]
代入数值，
\[ g=\frac{2(1.00\ \text{m})}{(0.458\ \text{s})^2} \approx9.5\ \text{m s}^{-2} \]
此结果与 \(9.8\ \text{m s}^{-2}\) 相当接近。
拟合线的截距为 \(-0.008\ \text{m}\)，即 \(-8\ \text{mm}\)。相较于约 \(0.01\ \text{m}\) 的测量解析度，这个数值很小，因此单凭这些数据，没有强而有力的证据显示该截距具有实际的物理意义。
很容易采取的做法，是因为理论预测 \(u_x=0\) 时 \(R=0\)，便立即强迫图线通过原点。这样做可能会掩盖系统性偏移。较好的方法是先检查不受限制的拟合结果，再判断截距是否与零一致。
另一个很容易采用的方法，是分别从每一列计算 \(g\)，然后把答案取平均。这样做可以奏效，但图表能同时测试线性、斜率和截距，因此更能揭示这个关系本身是否有效。
问题 3
一项影片分析以发射点为原点，其中 \(+x\) 为水平向前方向，\(+y\) 为垂直向上方向。
拟合所得的位置方程式为
\[ x=(2.60\ \text{m s}^{-1})t \]
以及
\[ y=(0.100\ \text{m s}^{-1})t-(4.90\ \text{m s}^{-2})t^2 \]
著陆高度比发射点低 \(0.900\ \text{m}\)。
- 求 \(u_x\)、\(u_y\)、\(a_x\) 和 \(a_y\)。
- 计算高于水平方向的发射角。
- 计算实际飞行时间与射程。
- 解释为甚么把这次发射视为完全水平发射会造成一个虽小但具系统性的误差。
解答 3
抛体以高于水平线约 \(2.20^\circ\) 的角度发射，因此实际飞行时间为 \(0.439\ \text{s}\)，射程为 \(1.14\ \text{m}\)。
比较
\[ x=u_x t+\frac{1}{2}a_xt^2 \]
与
\[ x=(2.60)t \]
可得
\[ u_x=2.60\ \text{m s}^{-1} \]
以及
\[ a_x=0 \]
对于垂直运动，
\[ y=u_y t+\frac{1}{2}a_yt^2 \]
把它与
\[ y=(0.100)t-(4.90)t^2 \]
比较，可得
\[ u_y=0.100\ \text{m s}^{-1} \]
而且，由于
\[ \frac{1}{2}a_y=-4.90\ \text{m s}^{-2} \]
因此得到
\[ a_y=-9.80\ \text{m s}^{-2} \]
发射角为
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{u_y}{u_x}\right) \]
所以
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{0.100}{2.60}\right) \approx2.20^\circ \]
著陆时，
\[ y=-0.900\ \text{m} \]
因此
\[ -0.900=(0.100)t-4.90t^2 \]
或者
\[ 4.90t^2-0.100t-0.900=0 \]
取正解可得
\[ t=0.439\ \text{s} \]
于是水平射程为
\[ R=u_xt =(2.60\ \text{m s}^{-1})(0.439\ \text{s}) =1.14\ \text{m} \]
如果错误地把这次发射视为水平发射，预测飞行时间将为
\[ t=\sqrt{\frac{2(0.900)}{9.8}} =0.429\ \text{s} \]
因此得到
\[ R=(2.60)(0.429)=1.11\ \text{m} \]
很容易作出的假设是，发射器看起来水平，就一定有 \(u_y=0\)。但拟合轨迹显示事实并非如此。
微小的正 \(u_y\) 使抛体在空中停留得稍久，令射程增加约 \(0.03\ \text{m}\)。如果从未检查发射角度，这个系统性差异很容易被错误归因于空气阻力。
问题 4
一名学生把实测水平发射速度保持在 \(3.00\ \text{m s}^{-1}\)，并改变实测发射高度 \(h\)。
他们测试以下预测关系
\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}h \]
所得图线为
\[ R^2=(1.79\ \text{m})h+0.080\ \text{m}^2 \]
数据点非常接近一条直线。
学生提出两个可能解释非零截距的原因：
- 实测高度存在恒定的零点误差，
- 实测射程存在恒定的零点误差。
判断哪一种解释与这条直线图较自然地一致。估算相应的零点误差。
解答 4
高度测量中的恒定误差较自然地与这条笔直的 \(R^2\)-对-\(h\) 图一致，而所暗示的高度偏移约为 \(4.5\ \text{cm}\)。
假设实测高度为 \(h_m\)，而真实高度为
\[ h=h_m+\Delta h \]
抛体方程式变成
\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}(h_m+\Delta h) \]
展开得
\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}h_m+ \frac{2u_x^2}{g}\Delta h \]
这对实测高度 \(h_m\) 而言仍然是完全线性的。因此，恒定的高度零点误差可以产生非零截距，而不会产生弯曲。
利用实验直线
\[ R^2=(1.79\ \text{m})h+0.080\ \text{m}^2 \]
偏移量为
\[ \Delta h=\frac{\text{截距}}{\text{斜率}} \]
所以
\[ \Delta h= \frac{0.080\ \text{m}^2}{1.79\ \text{m}} =0.0447\ \text{m} \]
也就是约
\[ 4.5\ \text{cm} \]
现在考虑恒定的射程误差 \(\Delta R\)。
如果
\[ R_m=R+\Delta R \]
那么
\[ R_m^2=(R+\Delta R)^2 \]
所以
\[ R_m^2=R^2+2R\Delta R+(\Delta R)^2 \]
但是 \(R\propto\sqrt{h}\)。因此，中间那一项随 \(\sqrt{h}\) 变化，而不是随 \(h\) 变化。
因此，一个相当大的恒定射程偏移通常会使 \(R_m^2\) 对 \(h\) 的图出现弯曲。
很容易得出的说法是：「任何零点误差都只会改变截距。」对某些图表形式而言确实如此，但把实测变量平方后就不一定成立。变换方式很重要。
实验斜率也合理。理论预测
\[ \frac{2u_x^2}{g} = \frac{2(3.00\ \text{m s}^{-1})^2}{9.8\ \text{m s}^{-2}} =1.84\ \text{m} \]
这与实测的 \(1.79\ \text{m}\) 很接近。
因此，近乎正确的斜率、很强的线性，以及正截距这三者的组合，与约 \(4.5\ \text{cm}\) 的高度零点误差一致。
问题 5
两颗完全相同的球从相同的 \(1.20\ \text{m}\) 高度水平发射。
A 球的初始水平速度为 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\)。B 球的初始水平速度为 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)。
重复进行高速测量后得到
\[ t_A=0.496\pm0.001\ \text{s} \]
以及
\[ t_B=0.503\pm0.001\ \text{s} \]
理想抛体模型预测两者具有相同的飞行时间。
现在假设空气阻力在定性上由下式描述：
\[ \vec F_d=-c v\vec v \]
其中 \(c\) 为正常数，\(v\) 为抛体的总速率，而 \(\vec v\) 为其速度向量。
一名学生认为：
B 球在空中停留较久，所以水平方向移动得更快必定以某种方式削弱了重力。
评估这个说法。解释阻力模型如何能产生所观察到的差异方向，为甚么这会对「水平与垂直运动彼此独立」这个简单说法构成挑战，以及甚么后续测试有助于区分空气阻力与计时误差。
解答 5
这些测量结果并没有显示重力会在水平速度较高时变弱；它们与空气阻力使水平与垂直运动互相耦合的情况一致，而这正是理想抛体模型所排除的效应。
先检查理想模型的预测。
对两颗球而言，
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
所以
\[ t=\sqrt{\frac{2(1.20\ \text{m})}{9.8\ \text{m s}^{-2}}} =0.495\ \text{s} \]
A 球的实测值 \(0.496\ \text{s}\) 与这个结果非常接近。
B 球比 A 球多花约
\[ 0.503\ \text{s}-0.496\ \text{s} =0.007\ \text{s} \]
这个差异大于每个个别结果所述的 \(0.001\ \text{s}\) 测量不确定度，因此值得进一步调查，而不应只把它当作简单的测量解析度问题而忽略。
现在考虑题目给出的阻力：
\[ \vec F_d=-c v\vec v \]
此力的方向与抛体速度方向相反。
在完全水平发射后的瞬间，垂直速度为零，所以阻力在那一瞬间没有垂直分量。
接著，重力产生向下速度。
一旦 \(v_y\) 向下，部分阻力便会指向上方。这个向上的分量会阻碍下落。
关键的相互作用在这里：阻力的大小取决于总速率 \(v\)，而不只是垂直速率。
B 球一开始具有大得多的水平速度分量，所以即使两颗球的垂直速度相近，B 球的总速率仍可能较大。在这个阻力模型下，B 球下落时因此可能受到较大的向上垂直阻力分量。
其向下加速度的大小可以略小于 A 球，使它能在空中停留更久。
重力本身并没有改变。改变的是净垂直力，因为现在还存在另一个力。
很容易犯的错误，是把「水平与垂直运动彼此独立」当成自然界的普遍事实。它并不是。
在理想 HSC 抛体模型中，各分量之所以彼此独立，是因为
\[ a_x=0 \]
以及
\[ a_y=-g \]
而且两个加速度都不依赖另一个速度分量。
但在题目给出的阻力定律中，垂直阻力部分取决于总速率
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]
因此，改变 \(v_x\) 便可能改变垂直方向的力。此时两个分量彼此耦合。
一个有用的后续实验，是使用大小与形状相同但质量有明显差异的抛体重复实验，同时测量它们实际的发射速度。
对相同的空气动力阻力而言，由阻力造成的加速度为
\[ a_d=\frac{F_d}{m} \]
因此，较重的抛体应该呈现较小的阻力所造成的飞行时间变化。如果使用较重的抛体时，\(t_B-t_A\) 的差异变得小得多，便支持空气阻力的解释。
如果无论抛体质量或发射速度如何，都维持相同而固定的时间差，那么系统性的计时或触发误差便较为合理。
更深一层的教训是，实验并不只是检查某个数值是否「接近」。它会告诉你哪些假设通过了测试，以及哪些假设需要另一个模型来处理。
16接下来可以往哪里延伸
一旦理解水平发射实验，斜向抛体就不再是一个完全不同的问题。相同的水平与垂直模型仍然适用，只是现在两个初始速度分量都很重要：
\[ u_x=u\cos\theta \]
以及
\[ u_y=u\sin\theta \]
这就带来一个要求更高的实验问题：如果保持发射速率不变而改变角度，实测高度、飞行时间和射程是否符合预测的关系？
下一个有用的步骤，是把这些测量结果与抛体发射角：高度、飞行时间与射程连系起来。实验习惯应保持不变：推导一个预测，决定哪种图表最能清楚揭示它，测量模型中真正出现的物理量，并把任何系统性的偏差视为证据，而不是试图掩盖的东西。