الكبح المغناطيسي: التيارات الدوامية وقانون لنز والطاقة
تعلّم كيف يعمل الكبح بالتيارات الدوامية باستخدام قانون لنز والقوى المغناطيسية وحفظ الطاقة، مع أمثلة محلولة من فيزياء HSC.
يسقط مغناطيس قوي عبر أنبوب بلاستيكي سقوطًا طبيعيًا. أما إذا أسقطت المغناطيس نفسه عبر أنبوب نحاسي، فقد تراه يهبط ببطء غريب، مع أن النحاس ليس مادة حديدية مغناطيسية.
فما الذي يدفع المغناطيس في الاتجاه المعاكس؟
قبل أن تتابع القراءة، حاول التنبؤ. هل ينجذب النحاس ببساطة إلى المغناطيس، أم أن هناك شيئًا يحدث فقط لأن المغناطيس يتحرك؟
الفكرة الثانية هي المهمة. تغيّر الحركة الفيض المغناطيسي عبر أجزاء من الموصل. وهذا الفيض المتغير يولّد تيارات دائرية في المعدن. وتنتج هذه التيارات مجالات مغناطيسية خاصة بها، ويؤدي التفاعل الناتج إلى معارضة التغير الذي سبّبها.
تُسمّى هذه التيارات الدائرية التيارات الدوامية. وإذا وُضعت في هندسة مناسبة، تحصل على مكبح مغناطيسي.
01لماذا يمكن أن يتعرض موصل متحرك لقوة سحب مغناطيسية
تخيّل صفيحة من الألومنيوم تتحرك إلى اليمين عبر الفجوة الضيقة بين مغناطيسين دائمين قويين.
الصفيحة موصل، لذلك تستطيع الإلكترونات التحرك خلالها. وعندما تدخل أجزاء مختلفة من الصفيحة المجال المغناطيسي، يتغير الفيض المغناطيسي عبر مسارات التيار المحتملة داخل المعدن.
وهذا مهم بسبب قانون فاراداي:
\[ \varepsilon=-\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t} \]
حيث:
- \(\varepsilon\) هي القوة الدافعة الكهربائية المستحثة بوحدة الفولت، \(\text{V}\)،
- \(\Phi_B\) هو الفيض المغناطيسي بوحدة الويبر، \(\text{Wb}\)، و
- \(t\) هو الزمن بوحدة الثانية، \(\text{s}\).
بالنسبة إلى مجال مغناطيسي منتظم ومتعامد مع مساحة ما،
\[ \Phi_B=BA \]
حيث \(B\) هي شدة المجال المغناطيسي بوحدة التسلا، \(\text{T}\)، و\(A\) هي المساحة بوحدة المتر المربع، \(\text{m}^2\).
الإشارة السالبة في قانون فاراداي تعبّر عن قانون لنز. وهي تحدد لنا اتجاه التأثير المستحث.
ينشئ التيار المستحث مجالًا مغناطيسيًا يعارض التغير في الفيض المغناطيسي.
ومن المهم صياغة ذلك بدقة.
لا يقول قانون لنز: «التيار المستحث يعارض المجال المغناطيسي». كما أنه لا يقول في الأساس: «التيار المستحث يعارض الحركة». بل إنه يعارض التغير في الفيض.
وفي المكبح المغناطيسي، تؤدي معارضة تغير الفيض إلى إنتاج قوة تعارض الحركة.
02كوّن الصورة الذهنية قبل تطبيق القاعدة
لنفترض أن الصفيحة تتحرك إلى اليمين داخل منطقة يشير فيها المجال المغناطيسي الخارجي إلى داخل الصفحة.
ركّز على حلقة تيار صغيرة محتملة بالقرب من الحافة الأمامية للصفيحة.
عندما تدخل هذه الحلقة المجال، يزداد الفيض المغناطيسي المتجه إلى داخل الصفحة.
في أي اتجاه ينبغي أن يشير المجال المغناطيسي المستحث؟
إذا توقعت أنه يتجه إلى خارج الصفحة، فهذا صحيح. فذلك المجال المستحث يعارض زيادة الفيض المتجه إلى داخل الصفحة.
وباستخدام قاعدة قبضة اليد اليمنى، يتطلب المجال المغناطيسي المتجه إلى خارج الصفحة تيارًا مستحثًا عكس اتجاه عقارب الساعة.
والآن تخيّل حلقة عند الحافة الأخرى وهي تغادر المجال المغناطيسي. يكون فيضها المتجه إلى داخل الصفحة في حالة تناقص. هذه المرة، ينتج التيار المستحث مجالًا متجهًا إلى داخل الصفحة، محاولًا معارضة هذا التناقص.
لذلك ينعكس اتجاه التيار بين الدخول والخروج.
ومع ذلك، تظل قوة الكبح معاكسة للحركة في كلتا الحالتين.
قد يبدو ذلك متناقضًا في البداية، لكنه ليس كذلك. ينعكس التيار، لكن الجزء من حلقة التيار الموجود داخل المجال المغناطيسي الخارجي يتغير أيضًا. وتظل القوة المغناطيسية الناتجة موجهة عكس حركة الصفيحة.
لهذا السبب لا فائدة من حفظ عبارة «اتجاه عقارب الساعة يعني الكبح». فالاتجاه يعتمد على الهندسة.
نموذج ذهني مفيد للتيارات الدوامية
لا تحتوي الصفيحة المعدنية الصلبة على حلقة سلكية واحدة مرتبة كما قد يرسمها مؤلف كتاب دراسي. فالتيارات تستطيع اتخاذ العديد من المسارات المغلقة عبر كتلة المعدن.
يمكنك تخيّل الصفيحة وكأنها تحتوي على عدد هائل من الحلقات المحتملة المتداخلة. وحيثما يولّد الفيض المتغير قوة دافعة كهربائية مستحثة، تدور التيارات عبر تلك المسارات المتاحة.
يمكن تشبيه ذلك، على نحو طريف قليلًا، بمركز تسوق لا توجد فيه ممرات مشي محددة. فإذا تغير شيء فجأة بالقرب من أحد المداخل، يمكن للناس الدوران عبر مسارات مختلفة كثيرة بدلًا من اتباع مسار واحد محدد مسبقًا. وإذا قُطعت شقوق في الأرضية، فستُلغى بعض تلك المسارات المحتملة.
لكن التشبيه له حدوده، لأن الإلكترونات لا «تختار» المسارات، كما أن الأنماط الحقيقية للتيارات الدوامية تحددها المجالات الكهرومغناطيسية والموصلية والهندسة. ومع ذلك، تظل فكرة «العديد من الحلقات المتاحة» مفيدة.
03لماذا يجب أن يعارض قانون لنز التغير
لنفترض أن العكس حدث.
تخيّل أن الصفيحة تدخل مجالًا مغناطيسيًا، فيزداد فيضها، ثم ينشئ التيار المستحث مجالًا يجعل هذه الزيادة أكبر. عندئذ سيؤدي الفيض الأقوى إلى استحثاث تأثير يقويه مرة أخرى.
يمكن للصفيحة حينها أن تكتسب طاقة حركية بينما تنتج أيضًا طاقة كهربائية وحرارة، من دون أي مصدر خارجي للطاقة.
وهذا ينتهك قانون حفظ الطاقة.
لذلك فإن قانون لنز ليس قاعدة اعتباطية لتحديد الاتجاه. فاتجاهه هو بالضبط ما يمنع الحث الكهرومغناطيسي من خلق الطاقة من العدم.
في مكبح التيارات الدوامية، تكون سلسلة تحولات الطاقة تقريبًا:
\[ \text{الطاقة الميكانيكية}\rightarrow\text{الطاقة الكهربائية في التيارات المستحثة}\rightarrow\text{الطاقة الحرارية} \]
يسخن المعدن لأن له مقاومة كهربائية.
بالنسبة إلى تيار مستحث \(I\) يمر عبر مقاومة فعالة \(R\)، يكون معدل إنتاج الطاقة الحرارية
\[ P=I^2R \]
حيث \(P\) هي القدرة بوحدة الواط، \(\text{W}\)، و\(I\) هو التيار بوحدة الأمبير، \(\text{A}\)، و\(R\) هي المقاومة بوحدة الأوم، \(\Omega\).
المغناطيس الدائم ليس خزان وقود يجري «استهلاكه». فالطاقة المبددة تأتي من النظام المتحرك، أو من أي مؤثر خارجي يحافظ على حركة ذلك النظام.
04نموذج بسيط لقوة الكبح المغناطيسي
يمكن أن تتخذ التيارات الدوامية الحقيقية في صفيحة معدنية أشكالًا معقدة. ولفهم العلاقات الأساسية، من المفيد أن نستبدل الصفيحة مؤقتًا بحلقة موصلة بسيطة.
لنفترض أن جزءًا رأسيًا من سلك طوله \(\ell\) يتحرك جانبيًا بسرعة \(v\) عبر مجال مغناطيسي \(B\)، بحيث تكون الحركة والسلك والمجال متعامدة بعضها مع بعض.
القوة الدافعة الكهربائية الحركية هي
\[ \varepsilon=B\ell v \]
إذا كانت مقاومة الحلقة الكاملة \(R\)،
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{B\ell v}{R} \]
يتعرض الجزء الذي يحمل التيار داخل المجال لقوة مغناطيسية مقدارها
\[ F=BI\ell \]
إذن
\[ F =B\left(\frac{B\ell v}{R}\right)\ell =\frac{B^2\ell^2v}{R} \]
في هذا النموذج البسيط، تتناسب قوة الكبح طرديًا مع السرعة.
ويعطي ذلك فورًا تنبؤًا مفيدًا: عندما يبطؤ الجسم، تضعف قوة الكبح المغناطيسي.
عند سرعة تساوي صفرًا، لا يوجد في هذا النموذج فيض متغير، ولذلك لا توجد قوة كبح ناتجة عن التيارات الدوامية.
يمكن أن تختلف المكابح الحقيقية عن هذه العلاقة التناسبية البسيطة، خصوصًا عند السرعات العالية أو مع أشكال الموصلات المعقدة. لكن النموذج يوضح الفكرة المطلوبة في HSC: يؤدي التغير الأسرع في الفيض عمومًا إلى قوة دافعة كهربائية مستحثة أكبر، وتيارات دوامية أكبر، وسحب مغناطيسي أقوى.
مثال محلول: إيجاد التيار المستحث في صفيحة كبح
يمكن نمذجة منطقة من صفيحة ألومنيوم على أنها حلقة موصلة مساحتها \(0.020\text{ m}^2\) ومقاومتها \(0.040\,\Omega\). عندما تدخل الصفيحة مكبحًا مغناطيسيًا، يزداد المجال المغناطيسي المتعامد عبر هذه الحلقة الفعالة بانتظام من \(0\) إلى \(0.50\text{ T}\) خلال \(0.10\text{ s}\).
احسب متوسط القوة الدافعة الكهربائية المستحثة والتيار. يشير المجال الخارجي إلى داخل الصفحة.
الخطوة 1
المجال متعامد مع الحلقة، لذلك
\[ \Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.020)(0.50) =0.010\text{ Wb} \]
الخطوة 2
\[ |\varepsilon| =\frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t} =\frac{0.010}{0.10} =0.10\text{ V} \]
الخطوة 3
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{0.10}{0.040} =2.5\text{ A} \]
الخطوة 4
الفيض الخارجي المتجه إلى داخل الصفحة في حالة ازدياد. لذلك يجب أن ينشئ التيار المستحث مجالًا متجهًا إلى خارج الصفحة.
وبحسب قاعدة قبضة اليد اليمنى، يكون التيار عكس اتجاه عقارب الساعة.
إذن يبلغ متوسط القوة الدافعة الكهربائية المستحثة في الحلقة الفعالة \(0.10\text{ V}\)، ويبلغ التيار المستحث \(2.5\text{ A}\)، عكس اتجاه عقارب الساعة.
النتيجة الفيزيائية المهمة ليست اتجاه التيار فقط. فهذا التيار يوجد لأن الصفيحة تدخل المجال. ويؤدي تفاعله مع المجال الخارجي إلى السحب الذي يزيل الطاقة الميكانيكية من الصفيحة.
05أين تذهب الطاقة الحركية المفقودة
قد يبدو الكبح المغناطيسي غامضًا لأنه لا يلزم أن يلامس أي شيء الجسم المتحرك.
لكن «عدم وجود تلامس» لا يعني «عدم انتقال الطاقة».
لنفترض أن القوة المغناطيسية المؤثرة في صفيحة متحركة مقدارها \(40\text{ N}\) وعكس اتجاه حركتها، بينما تتحرك الصفيحة بسرعة \(6.0\text{ m s}^{-1}\).
معدل إزالة قوة الكبح للطاقة الميكانيكية هو
\[ P=Fv \]
إذن
\[ P=(40)(6.0)=240\text{ W} \]
تفقد الصفيحة طاقة ميكانيكية بمعدل \(240\text{ J s}^{-1}\).
إذا لم تكن هناك في المكبح المثالي أي انتقالات مهمة أخرى للطاقة، فإن القدرة نفسها، \(240\text{ W}\)، تظهر على شكل طاقة حرارية في الموصل.
هذه هي صياغة قانون لنز من منظور الطاقة. فلا يمكن للتفاعل المغناطيسي أن يسرّع الصفيحة باستمرار وفي الوقت نفسه يسخنها. ولا بد أن تُدفع «تكلفة» التسخين من خلال انخفاض الطاقة الميكانيكية، أو من خلال شغل خارجي يُبذل للحفاظ على حركة الصفيحة.
مثال محلول: ربط قوة الكبح بالتسخين المقاومي
تتحرك حلقة موصلة بسرعة \(5.0\text{ m s}^{-1}\) عبر حافة مجال مغناطيسي. طول الجانب الفعال من الحلقة \(0.30\text{ m}\)، وشدة المجال المغناطيسي \(0.80\text{ T}\)، ومقاومة الحلقة \(0.12\,\Omega\).
افترض النموذج البسيط \(\varepsilon=B\ell v\).
احسب التيار المستحث، وقوة الكبح المغناطيسي، ومعدل إنتاج الطاقة الحرارية.
الخطوة 1
\[ \varepsilon =B\ell v =(0.80)(0.30)(5.0) =1.2\text{ V} \]
الخطوة 2
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{1.2}{0.12} =10\text{ A} \]
الخطوة 3
\[ F=BI\ell =(0.80)(10)(0.30) =2.4\text{ N} \]
تؤثر القوة عكس اتجاه الحركة.
الخطوة 4
\[ P_{\text{ميكانيكية}} =Fv =(2.4)(5.0) =12\text{ W} \]
الخطوة 5
\[ P_{\text{حرارية}} =I^2R =(10)^2(0.12) =12\text{ W} \]
القيمتان متساويتان.
يزيل المكبح الطاقة الميكانيكية بمعدل \(12\text{ W}\)، وتحول الحلقة الطاقة الكهربائية إلى حرارة بمعدل \(12\text{ W}\).
هذا التطابق ليس مصادفة. باستخدام المعادلات البسيطة،
\[ Fv =(BI\ell)v =I(B\ell v) =I\varepsilon =I^2R \]
إذن فالسحب المغناطيسي والتسخين المقاومي جزآن من عملية انتقال الطاقة نفسها.
06ما الذي يتحكم في قوة الكبح بالتيارات الدوامية؟
يعطي النموذج البسيط
\[ F=\frac{B^2\ell^2v}{R} \]
لا تتعامل مع هذه المعادلة باعتبارها معادلة عامة لمكابح التيارات الدوامية. فالقرص أو الصفيحة الصلبة لا يملكان قيمة واحدة محددة بوضوح لكل من \(\ell\) و\(R\).
ومع ذلك، تكشف المعادلة عن عدة اتجاهات مفيدة.
| التغير | التأثير المعتاد | السبب |
|---|---|---|
| زيادة شدة المجال المغناطيسي | كبح أقوى | قوة دافعة كهربائية مستحثة أكبر وقوة أكبر على التيار المستحث |
| زيادة السرعة | كبح أقوى، ضمن النموذج البسيط | يتغير الفيض بسرعة أكبر |
| استخدام موصل أفضل | تيارات دوامية أقوى | تسمح المقاومة الأقل بتيار مستحث أكبر |
| قطع شقوق في الموصل | كبح أضعف | تقطع الشقوق مسارات التيارات الدائرية المحتملة |
| إيقاف الموصل بالنسبة إلى المجال | ينخفض كبح التيارات الدوامية إلى الصفر | لم يعد الفيض المغناطيسي يتغير |
يُعد اعتماد القوة على \(B^2\) في نموذج الحلقة البسيطة أمرًا مثيرًا للاهتمام بصورة خاصة. فالمجال المغناطيسي الأكبر يستحث تيارًا أكبر، كما يؤثر بقوة أكبر في ذلك التيار.
ومرة أخرى، يمكن أن تكون الأجهزة الحقيقية أكثر تعقيدًا. ويتناول الجدول الاتجاهات الفيزيائية المتوقعة عندما تكون الظروف الأخرى متشابهة.
07لماذا تضعف الشقوق مكبح التيارات الدوامية
يوفر القرص الموصل الصلب للتيارات المستحثة عددًا كبيرًا من المسارات المغلقة.
والآن اقطع شقوقًا شعاعية عبر القرص.
ما زال المجال المغناطيسي قادرًا على التغير عبر المعدن. فقانون فاراداي لم يختفِ.
ما تغير هو مسار التيار.
تقطع الشقوق الحلقات الدائرية الكبيرة، وعادةً ما تزيد المقاومة الفعالة للمسارات المتبقية. ويقلل ذلك مقدار التيارات الدوامية، وبالتالي يقل السحب المغناطيسي.
هذا التمييز مفيد في الأسئلة التجريبية. فصِغر تأثير الكبح بعد قطع الشقوق دليل على أهمية التيارات المستحثة الدائرية. وليس مجرد دليل على أنه «يوجد معدن أقل».
08أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: قانون لنز يعارض الحركة
في مسائل الكبح المغناطيسي، تؤدي عبارة «قانون لنز يعارض الحركة» غالبًا إلى الاتجاه الصحيح.
لكنها تظل قاعدة غير آمنة.
تأمل صفيحة معدنية ساكنة تمامًا داخل مجال مغناطيسي ثابت. يوجد مجال مغناطيسي، لكن لا شيء يتغير. لذلك لا يوجد كبح مستمر بالتيارات الدوامية.
والآن تخيّل موصلًا يتحرك حركة انتقالية عبر مجال مغناطيسي مثالي ومنتظم تمامًا، بينما يظل الفيض المغناطيسي عبر كل مسار مغلق ذي صلة ثابتًا. لا يتنبأ نموذج تغير الفيض البسيط بكبح مستمر بالتيارات الدوامية لمجرد أن للموصل سرعة.
المهم هو تغير الفيض.
لذلك تستخدم المكابح المغناطيسية الحقيقية مجالًا مغناطيسيًا موضعيًا أو غير منتظم، أو حركة نسبية بمحاذاة المغناطيسات، أو ترتيبًا آخر ينتج فيضًا مغناطيسيًا متغيرًا داخل الموصل.
قاعدة اتخاذ القرار الأفضل هي:
- حدد مسارًا موصلًا محتملًا.
- قرر ما إذا كان فيضه المغناطيسي يزداد أم ينقص.
- استخدم قانون لنز لإيجاد المجال المستحث الذي يعارض ذلك التغير.
- استخدم قاعدة اليد اليمنى لإيجاد التيار المستحث.
- استخدم القوة المغناطيسية المؤثرة في ذلك التيار لتحديد الأثر الميكانيكي.
يستغرق ذلك وقتًا أطول قليلًا من ترديد «يعارض الحركة»، لكنه يظل صالحًا عندما تصبح الهندسة أكثر تعقيدًا.
09لماذا لا يستطيع المكبح تثبيت شيء في مكانه
لنفترض أن مكبحًا بالتيارات الدوامية يبطئ قرصًا معدنيًا دوارًا حتى يكاد يتوقف.
فهل يمكنه بعد ذلك إبقاء القرص مثبتًا في موضعه؟
ليس بالتيارات الدوامية وحدها.
عندما تقترب السرعة من الصفر، يقترب معدل تغير الفيض من الصفر. فتصغر القوة الدافعة الكهربائية المستحثة، وتصغر التيارات الدوامية، وتصغر قوة الكبح.
عند السكون،
\[ \frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}=0 \]
لذلك لا ينتج مكبح مثالي بالتيارات الدوامية في مجال ثابت قوة دافعة كهربائية مستحثة مستمرة.
وهذا يجعل مكابح التيارات الدوامية ممتازة للإبطاء السلس من دون تلامس، لكنها غير مناسبة لتكون الجهاز الوحيد الذي يثبت حملًا ساكنًا. والنظام الحقيقي الذي يجب أن يبقى ساكنًا يحتاج إلى آلية أخرى، مثل مكبح ميكانيكي أو قفل.
10الأسئلة والحلول
السؤال 1
تُمثّل منطقة موصلة في صفيحة ألومنيوم بحلقة مساحتها \(0.015\text{ m}^2\) ومقاومتها \(0.030\,\Omega\). عندما تدخل الصفيحة مجالًا مغناطيسيًا متجهًا إلى داخل الصفحة، يزداد المجال عبر الحلقة بانتظام من \(0\) إلى \(0.40\text{ T}\) خلال \(0.050\text{ s}\).
احسب:
a. متوسط القوة الدافعة الكهربائية المستحثة،
b. التيار المستحث، و
c. اتجاه التيار.
الحل 1
القوة الدافعة الكهربائية المستحثة هي \(0.12\text{ V}\)، والتيار \(4.0\text{ A}\)، واتجاه التيار عكس اتجاه عقارب الساعة.
الخطأ المغري هو تحديد الاتجاه من المجال الخارجي وحده. فقانون لنز يستجيب للتغير في الفيض.
التغير في الفيض المغناطيسي هو
\[ \Delta\Phi_B =A\Delta B =(0.015)(0.40) =0.0060\text{ Wb} \]
باستخدام قانون فاراداي،
\[ |\varepsilon| =\frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t} =\frac{0.0060}{0.050} =0.12\text{ V} \]
ثم باستخدام قانون أوم،
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{0.12}{0.030} =4.0\text{ A} \]
الفيض المغناطيسي المتجه إلى داخل الصفحة في حالة ازدياد. لذلك يجب أن يشير المجال المغناطيسي المستحث إلى خارج الصفحة لمعارضة تلك الزيادة.
تعطي قاعدة قبضة اليد اليمنى تيارًا عكس اتجاه عقارب الساعة.
السؤال 2
يمكن تقريب سلوك مكبح مغناطيسي معين ضمن نطاق محدد من السرعات باستخدام نموذج الحلقة البسيطة
\[ \varepsilon=B\ell v \]
مع ثبات شدة المجال المغناطيسي والهندسة والمقاومة.
تتضاعف سرعة الموصل.
حدد كيف يؤثر ذلك في:
a. القوة الدافعة الكهربائية المستحثة،
b. التيار المستحث،
c. قوة الكبح، و
d. معدل إنتاج الطاقة الحرارية.
اشرح لماذا لا تتغير القوة والقدرة بالعامل نفسه.
الحل 2
تتضاعف القوة الدافعة الكهربائية، ويتضاعف التيار، وتتضاعف قوة الكبح، بينما تصبح القدرة الحرارية أكبر بأربع مرات.
من المغري القول إن كل شيء يتضاعف لأن السرعة تضاعفت. لكن ما يغفله هذا التفكير هو أن القدرة تعتمد على كل من القوة والسرعة.
من
\[ \varepsilon=B\ell v \]
فإن مضاعفة \(v\) تعطي
\[ \varepsilon' =2\varepsilon \]
ومع ثبات المقاومة،
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} \]
إذن
\[ I'=2I \]
القوة المغناطيسية هي
\[ F=BI\ell \]
لذلك
\[ F'=2F \]
لكن قدرة الكبح الميكانيكية هي
\[ P=Fv \]
وقد تضاعف كل من \(F\) و\(v\)، لذلك
\[ P'=(2F)(2v)=4Fv=4P \]
وتتفق النتيجة الكهربائية:
\[ P=I^2R \]
ومن ثم
\[ P'=(2I)^2R=4I^2R=4P \]
إذن تؤدي مضاعفة السرعة إلى ضعف قوة السحب، ولكن إلى أربعة أمثال انتقال الطاقة في الثانية ضمن نطاق السرعات المبسط هذا.
السؤال 3
كتلة قرص موصل منتظم \(2.0\text{ kg}\) ونصف قطره \(0.20\text{ m}\). عزم قصوره الذاتي هو
\[ I_{\text{rot}}=\frac{1}{2}MR^2 \]
يدور القرص عبر مكبح مغناطيسي ثابت، فتنخفض سرعته من \(50\text{ rad s}^{-1}\) إلى \(20\text{ rad s}^{-1}\).
خلال هذه الفترة، تُظهر القياسات ظهور \(36\text{ J}\) من الطاقة الحرارية في القرص.
a. احسب الانخفاض في الطاقة الحركية الدورانية للقرص.
b. حدد مقدار الطاقة التي انتقلت بعمليات أخرى.
c. يقول طالب: «لا بد أن الطاقة المفقودة قد خُزنت في المغناطيس الدائم». قيّم هذا الادعاء.
الحل 3
تنخفض الطاقة الحركية الدورانية بمقدار \(42\text{ J}\)، ولذلك تنتقل \(6.0\text{ J}\) بعمليات أخرى؛ ولا حاجة إلى افتراض تخزين تلك الطاقة في المغناطيس الدائم.
احسب أولًا عزم القصور الذاتي:
\[ I_{\text{rot}} =\frac{1}{2}MR^2 =\frac{1}{2}(2.0)(0.20)^2 =0.040\text{ kg m}^2 \]
الطاقة الحركية الدورانية هي
\[ E_k=\frac{1}{2}I_{\text{rot}}\omega^2 \]
حيث \(\omega\) هي السرعة الزاوية بوحدة الراديان في الثانية.
في البداية،
\[ E_{k,i} =\frac{1}{2}(0.040)(50)^2 =50\text{ J} \]
وفي النهاية،
\[ E_{k,f} =\frac{1}{2}(0.040)(20)^2 =8.0\text{ J} \]
إذن مقدار الانخفاض هو
\[ \Delta E_k =50-8.0 =42\text{ J} \]
من هذه الطاقة، تتحول \(36\text{ J}\) إلى طاقة حرارية في القرص. ويكون انتقال الطاقة المتبقي
\[ 42-36=6.0\text{ J} \]
يمكن أن تنتقل هذه الـ \(6.0\text{ J}\) من خلال عمليات مثل مقاومة الهواء، أو احتكاك المحامل، أو التسخين في أجزاء أخرى من الجهاز.
الادعاء المغري هو أنه ما دام المغناطيس قد تسبب في قوة الكبح، فلا بد أن يمتص المغناطيس الطاقة الحركية المفقودة. لكن ذلك لا يلزم.
في الكبح الطبيعي بالتيارات الدوامية، تبدد التيارات المستحثة الطاقة الميكانيكية على هيئة طاقة حرارية. ولا يتطلب حفظ الطاقة إلا توازن جميع انتقالات الطاقة؛ ولا يتطلب أن يعمل المغناطيس الدائم مخزنًا للطاقة.
السؤال 4
يبدأ قرصان موصلان متماثلان بالسرعة الزاوية نفسها. القرص A متصل من دون شقوق. أما القرص B ففيه عدة شقوق شعاعية ضيقة مقطوعة عبره.
يمر كلاهما عبر منطقتين متماثلتين من المجال المغناطيسي. أهمل الفرق الصغير في عزمي قصورهما الذاتي الناتج عن إزالة المادة.
خلال الفترة التي يتباطأ فيها كل قرص من السرعة الزاوية \(\omega_1\) إلى السرعة الزاوية الأقل نفسها \(\omega_2\):
a. أي القرصين يُتوقع أن يتعرض لعزم كبح مغناطيسي أقوى؟
b. إذا كان الكبح بالتيارات الدوامية هو عملية انتقال الطاقة المهمة الوحيدة خلال تلك الفترة، فأي القرصين يحول مقدارًا أكبر من الطاقة الميكانيكية إلى طاقة حرارية في المجموع؟
c. اشرح كيف يمكن أن تكون إجابتك عن a. وb. صحيحتين معًا.
الحل 4
يتعرض القرص A لعزم كبح أقوى، لكن كلا القرصين يحول المقدار الكلي نفسه من الطاقة الميكانيكية إلى طاقة حرارية أثناء التباطؤ بين السرعتين الزاويتين نفسيهما.
إجابة أولى شائعة هي أن المكبح الأقوى لا بد أن ينتج حرارة أكثر في المجموع. وهذا يخلط بين معدل انتقال الطاقة وإجمالي الطاقة المنتقلة.
القرص A متصل، ولذلك تتوافر فيه مسارات كبيرة للتيارات الدوامية الدائرية. أما الشقوق الشعاعية في القرص B فتقطع كثيرًا من هذه المسارات، فترفع مقاومتها الفعالة أو تمنعها تمامًا.
لذلك تتولد في القرص A تيارات دوامية أكبر وعزم كبح مغناطيسي أقوى.
لكن كلا القرصين يبدأ عند \(\omega_1\) وينتهي عند \(\omega_2\)، وقد طُلب منا اعتبار عزمي قصورهما الذاتي متساويين.
لذلك يكون فقدهما للطاقة الحركية الدورانية متساويًا:
\[ \Delta E_k =\frac{1}{2}I_{\text{rot}}\left(\omega_1^2-\omega_2^2\right) \]
إذا كان التسخين الناتج عن التيارات الدوامية هو عملية انتقال الطاقة المهمة الوحيدة، فإن حفظ الطاقة يقتضي أن تتحول قيمة \(\Delta E_k\) نفسها إلى طاقة حرارية في كل حالة.
ينقل القرص A الطاقة بمعدل أكبر، ولذلك يصل إلى \(\omega_2\) في وقت أقصر.
أما القرص B فكبحه أضعف، ولذلك يحدث انتقال مقدار الطاقة نفسه على مدى زمن أطول.
القيد الأساسي هو ثبات الطاقتين الميكانيكيتين الابتدائية والنهائية. فقوة المكبح تتحكم في سرعة إزالة الطاقة، لا في مقدار الطاقة الذي يجب إزالته للوصول إلى السرعة النهائية المحددة.
السؤال 5
تُسحب حلقة موصلة مستطيلة إلى اليمين بسرعة ثابتة عبر منطقة محدودة من مجال مغناطيسي منتظم متجه إلى داخل الصفحة.
تدخل الحلقة المجال أولًا، ثم تصبح لاحقًا محاطة بالكامل بمنطقة المجال المنتظم، وأخيرًا تخرج منه.
عرض الحلقة \(0.40\text{ m}\) في اتجاه الحركة. وطول جانبها الرأسي \(0.25\text{ m}\). شدة المجال \(0.80\text{ T}\)، ومقاومة الحلقة \(0.20\,\Omega\)، وتُحافظ على سرعتها ثابتة عند \(3.0\text{ m s}^{-1}\).
افترض حدودًا حادة للمجال وأهمل الحث الذاتي.
a. اذكر اتجاه التيار المستحث أثناء دخول الحلقة المجال.
b. اذكر قيمة التيار عندما تكون الحلقة بالكامل داخل المجال المنتظم.
c. اذكر اتجاه التيار المستحث أثناء خروج الحلقة من المجال.
d. حدد قوة السحب المغناطيسي أثناء الدخول أو الخروج.
e. احسب إجمالي الطاقة الحرارية المنتجة خلال عبور الحدين.
f. يجادل طالب: «ينعكس التيار عند الخروج، ولذلك لا بد أن تنعكس القوة المغناطيسية أيضًا. يعيد المجال الطاقة التي أزالها أثناء الدخول». اشرح بدقة لماذا هذا خطأ.
الحل 5
يكون التيار عكس اتجاه عقارب الساعة عند الدخول، وصفرًا عندما تكون الحلقة بالكامل داخل المجال المنتظم المثالي، وفي اتجاه عقارب الساعة عند الخروج؛ ومع ذلك تعارض القوة المغناطيسية الحركة أثناء كل من الدخول والخروج. قوة السحب \(0.60\text{ N}\)، وإجمالي الطاقة الحرارية المنتجة \(0.48\text{ J}\).
تركز الحجة المغرية على انعكاس التيار، لكنها تنسى أن جانبًا مختلفًا من الحلقة هو الذي يتفاعل مع المجال أثناء الخروج. فكل من اتجاه التيار والهندسة ذات الصلة مهمان.
أثناء الدخول، يزداد الفيض المغناطيسي المتجه إلى داخل الصفحة. يقتضي قانون لنز مجالًا مستحثًا متجهًا إلى خارج الصفحة، ولذلك يكون التيار عكس اتجاه عقارب الساعة.
بمجرد أن تتحرك الحلقة بأكملها داخل المجال المنتظم، تصبح مساحتها واتجاهها والمجال المغناطيسي ثابتة. لذلك،
\[ \frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}=0 \]
وتكون القوة الدافعة الكهربائية المستحثة والتيار في النموذج المثالي مساويين للصفر.
أثناء الخروج، ينخفض الفيض المتجه إلى داخل الصفحة. يجب أن يشير المجال المستحث الآن إلى داخل الصفحة لمعارضة هذا الانخفاض، مما يتطلب تيارًا في اتجاه عقارب الساعة.
في أي من عبوري الحد، يكون مقدار القوة الدافعة الكهربائية الحركية
\[ \varepsilon =B\ell v =(0.80)(0.25)(3.0) =0.60\text{ V} \]
مقدار التيار المستحث هو
\[ I =\frac{\varepsilon}{R} =\frac{0.60}{0.20} =3.0\text{ A} \]
مقدار القوة المغناطيسية هو
\[ F =BI\ell =(0.80)(3.0)(0.25) =0.60\text{ N} \]
تؤثر القوة إلى اليسار، عكس حركة الحلقة إلى اليمين، أثناء كل من الدخول والخروج.
يستغرق كل عبور للحد الزمن اللازم لمرور عرض الحلقة البالغ \(0.40\text{ m}\) عبر الحد:
\[ t =\frac{d}{v} =\frac{0.40}{3.0} =0.133\text{ s} \]
معدل إنتاج الطاقة الحرارية هو
\[ P =I^2R =(3.0)^2(0.20) =1.8\text{ W} \]
إذن الطاقة الحرارية المنتجة أثناء عبور واحد هي
\[ E =Pt =(1.8)(0.133) \approx0.24\text{ J} \]
وهناك عبوران، ولذلك
\[ E_{\text{الكلي}} =2(0.24) =0.48\text{ J} \]
تفشل حجة الطالب لأن عكس تيار الحلقة لا يؤدي تلقائيًا إلى عكس القوة المحصلة.
عند الدخول، يكون أحد الجانبين الرأسيين للحلقة هو الجزء المهم الحامل للتيار الموجود داخل المجال. وعند الخروج، يكون الجانب الرأسي المقابل هو الجزء الذي يظل داخل المجال. ينعكس التيار حول الحلقة كلها، لكن اجتماع اتجاه التيار مع هندسة المجال المغناطيسي يظل ينتج قوة معاكسة للحركة.
يوجد أيضًا قيد متعلق بالطاقة. تُسحب الحلقة بسرعة ثابتة، ولذلك يجب أن يبذل مؤثر خارجي شغلًا موجبًا ضد السحب المغناطيسي. ويتحول هذا الشغل إلى طاقة حرارية في الحلقة.
ولو كانت القوة المغناطيسية، بدلًا من ذلك، تسرّع الحلقة أثناء الخروج بدرجة تكفي لإعادة كل الطاقة التي أُزيلت أثناء الدخول بينما تستمر المقاومة في إنتاج الحرارة، لفشل توازن الطاقة.
وهذا هو السبب الأعمق وراء موثوقية قانون لنز: فالاستجابة المستحثة مقيدة بقانون حفظ الطاقة.
11إلى أين تقود هذه الفكرة بعد ذلك
الكبح بالتيارات الدوامية مثال على قاعدة أوسع: كلما أنشأ الحث تيارًا، دفع التأثير المستحث في اتجاه يعارض التغير الذي أنشأه.
يظهر منطق الطاقة نفسه في محرك التيار المستمر. فعندما يدور المحرك، تتولد فيه قوة دافعة كهربائية عكسية تعارض الجهد المطبق. كما يظهر في مولد التيار المتردد، حيث تؤدي التغيرات المستمرة في الفيض المغناطيسي إلى إنتاج قوة دافعة كهربائية مترددة.
لذلك فإن الخطوة المفيدة التالية ليست تعلم قاعدة أخرى للاتجاه. بل هي تعلم رؤية قانون فاراداي وقانون لنز والقوة المغناطيسية وحفظ الطاقة بوصفها نموذجًا مترابطًا واحدًا، بدلًا من اعتبارها أربع حقائق منفصلة.