لماذا يحتاج نظام GPS إلى كلٍّ من النسبية الخاصة والنسبية العامة؟
تتأثر ساعات أقمار GPS بالحركة المدارية وتمدد الزمن الثقالي، ويعمل التأثيران في اتجاهين متعاكسين. تعرّف إلى كيفية اختبار تجارب الساعات الذرية للنسبية، واحسب أخطاء التوقيت الناتجة، واكتشف لماذا يجب على GPS تصحيح التأثيرين لقياس المسافات بدقة.
يحوّل جهاز استقبال GPS الطابع الزمني الوارد من قمر صناعي إلى مسافة. إذا كان هذا التوقيت خاطئًا بمقدار \(1\ \mu\text{s}\) فقط، فإن المسافة المستنتجة تكون خاطئة بنحو \(300\ \text{m}\). فلماذا يضبط المهندسون ساعات أقمار GPS عمدًا لتعمل ببطء طفيف قبل إطلاقها؟
توقّع أي التأثيرين ينبغي أن يكون هو الغالب: سرعة القمر الصناعي أم ارتفاعه. تكمن المفاجأة في أن كليهما يؤثر في الساعة، لكنهما يدفعان معدلها في اتجاهين متعاكسين. ويتطلب فهم السبب دراسة جزأين من النسبية، بالإضافة إلى تجربة اختبرت ما إذا كانت الساعات الذرية الحقيقية تتصرف فعلًا كما تنبأ أينشتاين.
01تحويل الزمن إلى مسافة
يبث قمر GPS إشارات راديوية باستمرار، تتضمن معلومات عن التوقيت. ويسجّل جهاز الاستقبال وقت وصول الإشارة، ثم يقارنه بوقت إرسالها.
في نموذج مبسّط، يتيح زمن انتقال الإشارة تحديد المسافة:
\[
d\approx c\Delta t
\]
هنا، تمثّل \(d\) المسافة التي قطعتها الإشارة، ويمثّل \(c\) سرعة الضوء، التي تبلغ نحو \(3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)، بينما تمثّل \(\Delta t\) زمن انتقال الإشارة.
تخيّل أن نظام GPS يستخدم ساعة إيقاف بوصفها مسطرة. فبدلًا من قياس الطول مباشرةً، يقيس المدة التي يستغرقها الضوء لقطع ذلك الطول.
لكن لهذا التشبيه حدودًا: إذ يجب أن تكون ساعة الإيقاف متزامنة بدقة مع الطابع الزمني المرسل. كما يجب على أجهزة استقبال GPS الحقيقية مراعاة انحرافات الساعات، وحركة الأقمار الصناعية، وتأثيرات انتشار الإشارة.
لنفترض وجود خطأ في التوقيت مقداره ميكروثانية واحدة. بما أن \(1\ \mu\text{s}=10^{-6}\ \text{s}\)، فإن:
\[
\begin{aligned}
\Delta d&=c\Delta t\\
&=(3.00\times10^8)(1.0\times10^{-6})\\
&=300\ \text{m}.
\end{aligned}
\]
يتحوّل خطأ ضئيل في الساعة إلى خطأ كبير في المسافة.
كيف يحوّل GPS الطوابع الزمنية إلى موقع
- يبث القمر الصناعي طابعًا زمنيًا
تحمل الإشارة وقت إرسالها.
- يسجّل جهاز الاستقبال وقت الوصول
قارن الأوقات لتقدير زمن انتقال الإشارة؛ مع مراعاة انحيازات الساعات.
- حوّل الزمن إلى مسافة
d ≈ cΔt
يؤدي خطأ توقيت قدره 1 μs إلى انحياز في المسافة بمقدار 300 m.
- اجمع قياسات الأقمار الصناعية
تتيح أربعة قياسات مدى زائف أو أكثر تحديد الموقع ثلاثي الأبعاد وانحياز ساعة جهاز الاستقبال.
لماذا نحتاج إلى أربعة أقمار صناعية على الأقل؟ يحتاج جهاز الاستقبال إلى تحديد ثلاثة إحداثيات للموقع، بالإضافة إلى انحياز ساعته الخاصة. وتوفّر القياسات المأخوذة من أربعة أقمار صناعية المعلومات اللازمة لحل هذه المجهولات الأربعة في حساب تحديد الموقع المعتاد في نظام GPS.
غالبًا ما تُسمّى المسافات المستنتجة المديات الزائفة، لأنها تتضمن أخطاء الساعات وتأثيرات أخرى، إلى جانب المسافات الهندسية الفعلية.
وهذا يجعل ضبط الوقت بدقة أمرًا أساسيًا، كما يتيح لنا اختبار أهمية النسبية في نظام قياس عملي.
02كيف اختبر العلماء الساعات المتحركة؟
في أكتوبر 1971، بحث الفيزيائيان جوزيف هافيله وريتشارد كيتنغ سؤالًا يبدو بسيطًا: إذا سافرت ساعة ذرية حول العالم وعادت إلى نقطة انطلاقها، فهل ستعرض بالضبط المدة الزمنية نفسها التي تعرضها ساعة مماثلة بقيت في مكانها؟
استخدمت التجربة أربع ساعات ذرية محمولة تعمل بحزمة السيزيوم. وتقيس هذه الساعات الزمن من خلال عدّ الدورات المرتبطة بانتقال ذري مستقر.
اتّبعت التجربة تسلسلًا واضحًا:
- قورنت الساعات المحمولة بالساعات المرجعية في المرصد البحري الأمريكي في واشنطن العاصمة.
- سافرت الساعات على متن رحلات جوية تجارية منتظمة حول العالم، مرةً باتجاه الشرق ومرةً باتجاه الغرب.
- قورئت الساعات وقورنت بالمقياس الزمني المرجعي بعد انتهاء الرحلات.
- قورنت فروق الزمن المقاسة بالتنبؤات المحسوبة باستخدام مسارات الرحلات الفعلية للطائرات.
كيف اختبر هافيله وكيتنغ الساعات المتحركة
- مقارنة الساعات
تُقارَن أربع ساعات محمولة تعمل بالسيزيوم بالمقياس الزمني المرجعي للمرصد البحري الأمريكي.
- التحليق باتجاه الشرق
تسافر الساعات على متن طائرات تجارية حول العالم.
- التحليق باتجاه الغرب
تقوم الساعات برحلة منفصلة حول العالم باتجاه الغرب.
- المقارنة والتحقق
قارن القراءات بعد العودة بالقيم المرجعية والتنبؤات النسبية.
قبل الاطلاع على النتائج، توقّع ما سيحدث. إذا كانت الساعات المتحركة تعمل ببطء وفقًا للنسبية الخاصة، فهل ينبغي بالضرورة أن تفقد كلتا مجموعتي الساعات المحمولة جوًا وقتًا مقارنةً بالساعات المرجعية؟
ليس بالضرورة. فالساعات المرجعية مرتبطة بالأرض، التي تدور حول محورها. وتتحرك الطائرة المتجهة شرقًا بسرعة أكبر، بالنسبة إلى إطار مرجعي غير دوّار ومتمركز حول الأرض، من طائرة متجهة غربًا وتتحرك بسرعة مماثلة بالنسبة إلى سطح الأرض. وهذا يغيّر مساهمة النسبية الخاصة. كما أن ارتفاع الطائرات مهم، لأن تمدد الزمن الثقالي يؤثر في ساعاتها.
لذلك اختبرت التجربة التأثيرين المشتركين للحركة والجاذبية، وليس الحركة وحدها.
ماذا أظهرت الساعات؟
كانت التنبؤات والقياسات المنشورة كما يلي:
| الرحلة | فرق الزمن المتوقّع | فرق الزمن المرصود |
|---|---|---|
| باتجاه الشرق | \(-40\pm23\ \text{ns}\) | \(-59\pm10\ \text{ns}\) |
| باتجاه الغرب | \(+275\pm21\ \text{ns}\) | \(+273\pm7\ \text{ns}\) |
هذه الفروق محسوبة بالنسبة إلى المقياس الزمني المرجعي للمرصد البحري الأمريكي. وتعني القيمة السالبة أن الساعات المسافرة فقدت وقتًا مقارنةً بالساعات المرجعية، بينما تعني القيمة الموجبة أنها اكتسبت وقتًا.
نُشرت القيم المتوقعة في بحث هافيله وكيتنغ حول المكاسب الزمنية النسبية المتوقعة، وظهرت القياسات في تقريرهِما عن المكاسب الزمنية المرصودة.
- المتوقع
- المرصود
توافقت فروق الزمن المقاسة مع التنبؤات النسبية المشتركة ضمن حدود عدم اليقين التجريبي.
وكان هذا دليلًا مهمًا على أن الساعات الذرية الحقيقية تراكم مددًا زمنية مختلفة عندما تسلك مسارات مختلفة. لكنه لم يكن اختبارًا خالصًا للنسبية الخاصة وحدها؛ فقد تعرضت الساعات لحالات مختلفة من الحركة والجاذبية، ولذلك كان لا بد من أخذ التأثيرين في الحسبان.
وهناك درس آخر مفيد هنا: ليس من الضروري أن تتحرك الساعة بسرعة تقترب من سرعة الضوء حتى تصبح النسبية مهمة. فقد تكون الفروق ضئيلة خلال بضع ساعات، لكن الساعات الذرية الدقيقة بما يكفي تستطيع قياسها.
بالنسبة إلى فيزياء HSC، تتمثل الصلة الأساسية في تمدد الزمن وفقًا للنسبية الخاصة: فالساعة المتحركة تراكم زمنًا خاصًا أقل من الزمن المنقضي الذي يحدده إطار مرجعي عطالي مناسب. أما المساهمة الثقالية التي نناقشها أدناه، فهي امتداد يتجاوز منهج HSC المقدم.
03لماذا تجعل حركة الأقمار الصناعية الساعات تعمل ببطء؟
تتنبأ النسبية الخاصة بأن الساعة المتحركة تراكم زمنًا أقل بالنسبة إلى إطار مرجعي عطالي مقارنةً بساعة ساكنة في ذلك الإطار.
يُسمّى الزمن الذي تقيسه الساعة المتحركة الزمن الخاص، ويرمز إليه بـ \(\Delta\tau\). أما الزمن المنقضي في الإطار المرجعي فيُكتب \(\Delta t\).
العلاقة بينهما هي:
\[
\Delta t=\gamma\Delta\tau
\]
حيث:
\[
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
\]
هنا، تمثّل \(v\) سرعة الساعة بالنسبة إلى الإطار المرجعي، وتمثّل \(c\) سرعة الضوء.
عندما تكون \(v\) أصغر بكثير من \(c\)، يمكن تقريب الكسر الذي يعبّر عن فقدان الساعة للزمن بالعلاقة:
\[
\frac{\Delta t-\Delta\tau}{\Delta t}
\approx\frac{v^2}{2c^2}.
\]
كلما ازدادت سرعة الساعة، ازداد فرق الزمن.
تدور أقمار GPS على ارتفاع يقارب \(20\,200\ \text{km}\) فوق سطح الأرض، وبسرعة تبلغ نحو \(3.87\ \text{km s}^{-1}\). وتُعدّ سرعتها صغيرة مقارنةً بسرعة الضوء، لكن التأثير يتراكم باستمرار.
مثال محلول: تقدير فقدان الساعة وفقًا للنسبية الخاصة
يتحرك قمر GPS بسرعة \(3.87\ \text{km s}^{-1}\). قدّر مقدار الزمن الأقل الذي تراكمه ساعته خلال يوم واحد بسبب النسبية الخاصة وحدها. استخدم \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)، وافترض أن الساعة المرجعية على الأرض ساكنة تقريبًا لأغراض هذا التقدير.
الخطوة 1
\[
v=3.87\times10^3\ \text{m s}^{-1}.
\]
عندما تكون السرعة أصغر بكثير من \(c\)، يكون الكسر التقريبي لفقدان الزمن هو \(v^2/(2c^2)\).
الخطوة 2
\[
\begin{aligned}
\frac{v^2}{2c^2}
&=\frac{(3.87\times10^3)^2}
{2(3.00\times10^8)^2}\\
&\approx8.32\times10^{-11}.
\end{aligned}
\]
الخطوة 3
يحتوي اليوم على \(86\,400\ \text{s}\)، ولذلك:
\[
\begin{aligned}
\Delta t_{\text{lag}}
&\approx(8.32\times10^{-11})(86\,400\ \text{s})\\
&=7.19\times10^{-6}\ \text{s}\\
&\approx7.2\ \mu\text{s}.
\end{aligned}
\]
تتأخر ساعة القمر الصناعي بنحو \(7.2\ \mu\text{s}\) يوميًا بسبب حركته المدارية.
هذه هي مساهمة النسبية الخاصة. لكنها لا تحدد الفرق الكلي في معدل الساعة، لأن القمر الصناعي يقع أيضًا على مسافة أبعد بكثير من الأرض مقارنةً بساعة موجودة على سطحها.
04امتداد يتجاوز منهج HSC المقدم: تمدد الزمن الثقالي
تصف النسبية الخاصة تأثيرات الحركة النسبية، لكنها لا تأخذ في الحسبان الاختلافات في الجهد الثقالي.
تتنبأ النسبية العامة بأن الساعات عند جهد ثقالي أقل تعمل ببطء أكبر من الساعات عند جهد ثقالي أعلى. وبالقرب من الأرض، تعمل الساعة الموجودة على ارتفاع أكبر بسرعة أعلى من ساعة مماثلة على سطح الأرض.
وهذا التمييز أدق من القول إن الجاذبية أضعف ببساطة في الفضاء. فالكمية ذات الصلة هي الفرق في الجهد الثقالي بين الموقعين.
بالنسبة إلى قمر صناعي فوق الأرض، يعطي تقريب المجال الضعيف فرق معدل الساعة النسبي الآتي:
\[
\frac{\Delta f}{f}\approx\frac{\Delta\Phi}{c^2},
\]
حيث تمثّل \(f\) معدل دقات الساعة، وتمثّل \(\Delta\Phi\) فرق الجهد الثقالي بين القمر الصناعي والساعة المرجعية على الأرض.
إذا قرّبنا الأرض على أنها كتلة كروية، فإن:
\[
\Delta\Phi
=GM\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right).
\]
هنا، يمثّل \(G\) ثابت الجاذبية، وتمثّل \(M\) كتلة الأرض، ويمثّل \(R_E\) نصف قطر الأرض، بينما تمثّل \(r\) المسافة بين القمر الصناعي ومركز الأرض.
بالنسبة إلى قمر صناعي فوق سطح الأرض، يكون \(r>R_E\)، ولذلك تكون قيمة التعبير موجبة. ومن ثم تجعل المساهمة الثقالية ساعة القمر الصناعي تعمل بسرعة أكبر مقارنةً بساعة سطح الأرض.
وهذا هو الاتجاه المعاكس لمساهمة النسبية الخاصة الناجمة عن حركة القمر الصناعي.
مثال محلول: تقدير المكسب الزمني الناتج عن الجاذبية
يقع قمر GPS على ارتفاع \(20\,200\ \text{km}\) فوق سطح الأرض. قدّر المكسب الزمني الناتج عن الجاذبية خلال يوم واحد مقارنةً بساعة على سطح الأرض.
استخدم \(R_E=6.37\times10^6\ \text{m}\)، و\(GM=3.99\times10^{14}\ \text{m}^3\text{s}^{-2}\)، و\(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\).
الخطوة 1
الارتفاع ليس هو نصف قطر المدار؛ إذ يجب أن نضيف نصف قطر الأرض:
\[
\begin{aligned}
r&=R_E+h\\
&=6.37\times10^6+2.02\times10^7\\
&=2.66\times10^7\ \text{m}.
\end{aligned}
\]
الخطوة 2
باستخدام التقريب الخاص بتمدد الزمن الثقالي:
\[
\frac{\Delta f}{f}
\approx\frac{GM}{c^2}
\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right).
\]
وباستخدام القيم المعطاة:
\[
\frac{GM}{c^2}\approx4.43\times10^{-3}\ \text{m}
\]
و
\[
\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}
\approx1.19\times10^{-7}\ \text{m}^{-1}.
\]
إذًا:
\[
\begin{aligned}
\frac{\Delta f}{f}
&\approx(4.43\times10^{-3})(1.19\times10^{-7})\\
&\approx5.27\times10^{-10}.
\end{aligned}
\]
الخطوة 3
\[
\begin{aligned}
\Delta t_{\text{gain}}
&\approx(5.27\times10^{-10})(86\,400\ \text{s})\\
&\approx4.55\times10^{-5}\ \text{s}\\
&\approx45.5\ \mu\text{s}.
\end{aligned}
\]
تكتسب ساعة القمر الصناعي نحو \(45.7\ \mu\text{s}\) يوميًا بسبب تمدد الزمن الثقالي، وينشأ الفرق الطفيف عن تقريب القيم الوسيطة.
يمثّل هذا امتدادًا يتجاوز منهج HSC المقدم. والفكرة الفيزيائية المهمة هي أن الارتفاع الأكبر يجعل ساعة القمر الصناعي تعمل بسرعة أكبر، مما يعوّض جزئيًا فقدان الزمن الناتج عن الحركة المدارية.
05يحتاج نظام GPS إلى التأثيرين معًا
يمكننا الآن جمع المساهمتين.
لماذا يحتاج GPS إلى تصحيحي النسبية معًا
| النسبية الخاصة | −7.2 μs/day تجعل الحركة المدارية ساعة القمر الصناعي تعمل ببطء أكبر. |
|---|---|
| النسبية العامة | +45.7 μs/day يجعل الجهد الثقالي الأعلى ساعة القمر الصناعي تعمل بسرعة أكبر. |
| التأثير الصافي | −7.2 + 45.7 = +38.5 μs/day تكتسب ساعة القمر الصناعي وقتًا إجمالًا. |
المساهمات اليومية التقريبية هي:
| التأثير | مساهمة التأثير في معدل الساعة |
|---|---|
| النسبية الخاصة: الحركة المدارية | \(-7.2\ \mu\text{s/day}\) |
| النسبية العامة: الجهد الثقالي الأعلى | \(+45.7\ \mu\text{s/day}\) |
| التأثير الصافي | نحو \(+38.5\ \mu\text{s/day}\) |
تقرّب ملخصات نظام GPS النتيجة الصافية عادةً إلى نحو \(+38\ \mu\text{s/day}\). وتعتمد القيمة الدقيقة المذكورة على الاصطلاحات المرجعية المستخدمة وطريقة التقريب.
التأثير الثقالي أكبر من تأثير النسبية الخاصة. ولا يلغي التأثيران أحدهما الآخر. فمن دون التعويض، ستكتسب ساعات الأقمار الصناعية نحو \(38\ \mu\text{s}\) مقارنةً بزمن نظام GPS كل يوم.
يقدّم المعهد الوطني الأمريكي للمعايير والتقنية (NIST) نظرة عامة مفيدة على النسبية وتصحيحات الساعات في نظام GPS.
لماذا تُضبط الساعات لتعمل ببطء قبل الإطلاق؟
يأخذ مهندسو GPS متوسط الفرق النسبي في معدل الساعة بالحسبان عن طريق تعديل تردد مذبذب ساعة القمر الصناعي قبل إطلاقه. ويُضبط التردد ليكون أقل قليلًا من تردده الاسمي على الأرض.
وبمجرد وصول القمر الصناعي إلى مداره، تجعل التأثيرات النسبية مجتمعةً ساعته تدق بالمعدل المقصود بالنسبة إلى زمن نظام GPS.
ولا يعني ذلك إضافة مقدار ثابت من الزمن إلى الطابع الزمني مرة واحدة يوميًا. بل صُمّم الضبط للتعويض عن فرق مستمر في معدل الساعة.
ويتطلب نظام GPS الحقيقي أيضًا تصحيحات إضافية. فساعات الأقمار الصناعية تنحرف بمرور الوقت، ويقدّر النظام انحيازاتها ومعدلاتها. ولأن مدارات الأقمار الصناعية ليست دائرية تمامًا، يلزم إجراء تصحيح نسبي دوري أصغر مع تغيّر سرعة القمر الصناعي وجهده الثقالي أثناء دورانه في مداره.
كما يؤدي دوران الأرض إلى تأثير آخر يُسمّى تأثير ساغناك. ويغيّر هذا التأثير حساب زمن انتقال الإشارة في إطار مرجعي دوّار. وهو تصحيح لانتشار الإشارة، وليس مساهمة أخرى في متوسط معدل ساعة القمر الصناعي.
مثال محلول: تحويل خطأ الساعة الصافي إلى مسافة
لنفترض أن متوسط الفرق النسبي في معدل الساعة لم يُعوَّض عنه، وأن ساعة القمر الصناعي تكتسب \(38.5\ \mu\text{s}\) مقارنةً بزمن نظام GPS خلال يوم واحد. قدّر خطأ قياس المدى المكافئ في اتجاه واحد.
الخطوة 1
\[
\Delta t=38.5\times10^{-6}\ \text{s}.
\]
الخطوة 2
\[
\begin{aligned}
\Delta d&=c\Delta t\\
&=(3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1})
(38.5\times10^{-6}\ \text{s})\\
&=1.155\times10^4\ \text{m}\\
&\approx11.6\ \text{km}.
\end{aligned}
\]
يبلغ خطأ قياس المدى المكافئ في اتجاه واحد نحو \(11.6\ \text{km}\) بعد يوم واحد.
وباستخدام القيمة المقربة الشائعة، وهي \(38\ \mu\text{s/day}\)، نحصل على \(11.4\ \text{km/day}\). ولهذا يُوصف الحجم العملي للتأثير غالبًا بأنه نحو \(11\ \text{km}\) يوميًا.
هذا خطأ مكافئ في قياس المدى ناتج عن التوقيت، وليس ضمانًا بأن الموقع الذي تعرضه شاشة الهاتف سيتحرك بهذه المسافة بالضبط. إذ يعتمد خطأ الموقع الفعلي على هندسة الأقمار الصناعية، وتقدير ساعة جهاز الاستقبال، والتصحيحات الأخرى. ومع ذلك، فإن خطأ التوقيت غير المعوَّض يتراكم بسرعة كافية لجعل الملاحة الدقيقة مستحيلة.
الفكرة الأساسية هي أن نظام GPS لا يحتاج إلى ساعات دقيقة فحسب، بل يحتاج إلى ساعات تتوافق معدلاتها مع الزمن المرجعي المستخدم لتفسير إشارات الأقمار الصناعية.
- انحياز الساعة غير المصحح
06أسئلة وحلول
السؤال 1
تكتسب ساعة أحد أقمار GPS مقدار \(38\ \mu\text{s}\) مقارنةً بزمن نظام GPS خلال يوم واحد، إذا أُهمل متوسط التصحيح النسبي.
احسب خطأ قياس المدى المكافئ بعد يوم واحد. استخدم \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\).
الحل 1
يبلغ خطأ قياس المدى المكافئ نحو \(11.4\ \text{km}\).
يغيّر خطأ التوقيت زمن انتقال الإشارة المستنتج، ولذلك يكون خطأ المسافة المقابل:
\[
\begin{aligned}
\Delta d&=c\Delta t\\
&=(3.00\times10^8)(38\times10^{-6})\\
&=1.14\times10^4\ \text{m}\\
&=11.4\ \text{km}.
\end{aligned}
\]
المبدأ المهم هو أن المسافة تُستنتج من زمن انتقال الإشارة. ولذلك يتحول خطأ معدل الساعة إلى خطأ في قياس المدى. وتمثل النتيجة خطأً مكافئًا في المدى، وليس بالضرورة الإزاحة الدقيقة للموقع المحسوب.
السؤال 2
يقول أحد الطلاب إن النسبية الخاصة تجعل ساعة قمر GPS تعمل ببطء أكبر، ولذلك لا بد أن تتأخر الساعة عن ساعة على الأرض.
باستخدام مساهمة للنسبية الخاصة مقدارها \(-7.2\ \mu\text{s/day}\)، ومساهمة للجاذبية مقدارها \(+45\ \mu\text{s/day}\):
- احسب الفرق الصافي في معدل الساعة.
- وضّح لماذا لا يكتمل توقّع الطالب.
الحل 2
تكتسب ساعة القمر الصناعي نحو \(37.8\ \mu\text{s}\) يوميًا مقارنةً بساعة الأرض؛ أي إن التأثير الصافي هو مكسب يقارب \(38\ \mu\text{s/day}\).
إذا اعتبرنا القيمة الموجبة دلالةً على أن ساعة القمر الصناعي تكتسب وقتًا، فإن:
\[
\begin{aligned}
\Delta t_{\text{net}}
&=\Delta t_{\text{SR}}+\Delta t_{\text{GR}}\\
&=-7.2+45\\
&=+37.8\ \mu\text{s/day}.
\end{aligned}
\]
يتمثل خطأ الطالب في التعامل مع النسبية الخاصة كما لو كانت المساهمة الوحيدة. فالحركة المدارية تجعل ساعة القمر الصناعي تفقد وقتًا بالنسبة إلى الإطار المرجعي المختار، لكن المجال الثقالي الأضعف على ارتفاع المدار يجعلها تكتسب وقتًا. ولأن المساهمة الثقالية أكبر، يكون التأثير الصافي مكسبًا زمنيًا.
يجب جمع التأثيرين مع مراعاة إشارتيهما. ولا يجوز إهمال أيٍّ منهما لمجرد وجود التأثير الآخر.
السؤال 3
خلال تجربة هافيله وكيتنغ، كانت فروق الساعة المتوقعة بالنسبة إلى المرصد البحري الأمريكي \(-40\pm23\ \text{ns}\) للرحلة باتجاه الشرق، و\(+275\pm21\ \text{ns}\) للرحلة باتجاه الغرب.
أما الفروق المرصودة فكانت \(-59\pm10\ \text{ns}\) باتجاه الشرق، و\(+273\pm7\ \text{ns}\) باتجاه الغرب.
اشرح ما الذي تخبرنا به النتائج عن النسبية، ولماذا لا تختبر النسبية الخاصة وحدها، ثم احسب المسافة المكافئة التي يقطعها الضوء خلال فرق الزمن المرصود البالغ \(273\ \text{ns}\) للرحلة باتجاه الغرب.
الحل 3
تتفق القياسات مع التنبؤات النسبية المشتركة، ويقابل فرق الزمن البالغ \(273\ \text{ns}\) مسافة يقطعها الضوء تبلغ نحو \(82\ \text{m}\).
أولًا، قارن القيم المقاسة بالقيم المتوقعة. أظهرت نتيجة الرحلة باتجاه الشرق فقدانًا قدره \(59\ \text{ns}\)، مقارنةً بفقدان متوقع قدره \(40\ \text{ns}\). أما نتيجة الرحلة باتجاه الغرب، فأظهرت مكسبًا قدره \(273\ \text{ns}\)، وهو قريب جدًا من المكسب المتوقع البالغ \(275\ \text{ns}\). وتتفق المقارنتان مع التنبؤات ضمن حدود عدم اليقين المعلنة.
لا تعزل التجربة النسبية الخاصة، لأن الساعات تعرضت للحركة ولظروف جاذبية مختلفة. كما أثّر دوران الأرض في سرعات الطائرات بالنسبة إلى إطار مرجعي غير دوّار ومتمركز حول الأرض. ولذلك اختبرت الفروق المرصودة التنبؤ المشترك للتأثيرين.
لحساب المسافة المكافئة التي يقطعها الضوء خلال فرق الزمن المرصود للرحلة باتجاه الغرب:
\[
\begin{aligned}
\Delta d&=c\Delta t\\
&=(3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1})
(273\times10^{-9}\ \text{s})\\
&=81.9\ \text{m}.
\end{aligned}
\]
توضح النتيجة مدى الدقة التي تستطيع الساعات الذرية بها قياس فروق الزمن المنقضي. وتمثل قيمة \(81.9\ \text{m}\) مسافة مكافئة لفرق التوقيت؛ أما التجربة نفسها فقد قاست فروق الساعات، لا مواقع GPS.
السؤال 4
يستخدم جهاز استقبال GPS أربعة أقمار صناعية لتحديد موقعه ثلاثي الأبعاد وانحياز ساعته الخاصة.
لنفترض أنه في لحظة معينة، تحتوي الطوابع الزمنية للأقمار الصناعية الأربعة على الخطأ غير المصحح نفسه، وهو \(+20\ \text{ns}\)، مما يجعل جميع المديات المستنتجة أطول من قيمها الصحيحة بالمقدار نفسه.
احسب خطأ المدى المشترك، واشرح ما إذا كان يجب أن يتغير الموقع الذي يحسبه جهاز الاستقبال. وكيف يختلف الوضع إذا كان قمر صناعي واحد فقط يعاني خطأ قدره \(20\ \text{ns}\)؟
افترض حلًا مثاليًا لتحديد الموقع، وأهمل جميع الأخطاء الأخرى.
الحل 4
يبلغ خطأ المدى المشترك \(6.0\ \text{m}\)، لكن ليس من الضروري أن يتغير الموقع الذي يحسبه جهاز الاستقبال إذا كانت الأخطاء في المديات الأربعة متساوية.
يُحسب خطأ المدى كما يلي:
\[
\begin{aligned}
\Delta d&=c\Delta t\\
&=(3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1})
(20\times10^{-9}\ \text{s})\\
&=6.0\ \text{m}.
\end{aligned}
\]
القيد الأساسي هو أن جهاز الاستقبال يحسب أيضًا انحياز ساعته الخاصة. فإذا احتوى مدى كل قمر صناعي على انحياز متطابق تمامًا، أمكن لجهاز الاستقبال استيعاب هذا الخطأ المشترك ضمن تقديره لانحياز الساعة. وفي هذه الحالة المثالية المبسطة، يمكن أن يبقى الموقع دون تغيير رغم أن تقدير التوقيت غير صحيح.
أما إذا كان الخطأ موجودًا في قمر صناعي واحد فقط، فإن الوضع يختلف. فعادةً لا يستطيع جهاز الاستقبال استيعاب خطأ قمر صناعي واحد ضمن انحياز مشترك واحد للساعة من دون التأثير في حل الموقع. ويؤدي المدى غير المتسق إلى تشويه الموقع المحسوب، ويتوقف حجم الإزاحة واتجاهها على هندسة الأقمار الصناعية.
ولهذا لا يساوي خطأ المدى المكافئ تلقائيًا خطأ الموقع الفعلي. فنمط الأخطاء عبر قياسات الأقمار الصناعية هو ما يهم.
السؤال 5
يقترح مهندس وضع قمر صناعي شبيه بأقمار GPS في مدار دائري، بحيث يعوّض متوسط المكسب الزمني الناتج عن الجاذبية فقدان الزمن الناتج عن النسبية الخاصة تمامًا. ويستنتج المهندس أن النسبية لن تعود مهمة عندئذٍ.
استخدم العلاقتين المبسّطتين الآتيتين، اللتين تصفان فروق معدل الساعة النسبي بالنسبة إلى ساعة مثالية على سطح الأرض في تقريب المجال الضعيف:
\[
\delta_{\text{GR}}
=\frac{GM}{c^2}
\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right)
\]
و
\[
\delta_{\text{SR}}=-\frac{v^2}{2c^2}.
\]
هنا، يمثّل \(R_E\) نصف قطر الأرض، ويمثّل \(r\) نصف قطر المدار مقاسًا من مركز الأرض، وتعني القيم الموجبة أن ساعة القمر الصناعي تعمل بسرعة أكبر مقارنةً بساعة سطح الأرض. وبالنسبة إلى مدار دائري، استخدم العلاقة \(v^2=GM/r\).
أهمل دوران الأرض ومجال جاذبيتها غير الكروي في هذا الحساب.
(أ) أوجد نصف قطر المدار الذي تتعادل عنده مساهمتا معدل الساعة.
(ب) قدّر الارتفاع المقابل باستخدام \(R_E=6.37\times10^6\ \text{m}\).
(ج) وضّح لماذا يظل استنتاج المهندس غير صحيح. فكّر فيما يحدث إذا كان المدار إهليلجيًا قليلًا، وفيما يحدث لإشارات الراديو التي تنتقل ضمن الإطار المرجعي الدوّار للأرض.
الحل 5
تتعادل مساهمتا معدل الساعة عند نصف قطر مداري يساوي \(1.5R_E\)، وهو ما يقابل ارتفاعًا يبلغ نحو \(3.2\times10^3\ \text{km}\). ومع ذلك، لا يعني هذا أن القمر الصناعي أو إشاراته أصبحا خاليين من التأثيرات النسبية.
الخطوة 1: اجعل الفرق الصافي في معدل الساعة النسبي مساويًا للصفر.
يتطلب التعادل أن يكون:
\[
\delta_{\text{GR}}+\delta_{\text{SR}}=0.
\]
عوّض بالعلاقتين المعطاتين:
\[
\begin{aligned}
0={}&\frac{GM}{c^2}
\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right)\\
&-\frac{v^2}{2c^2}.
\end{aligned}
\]
الخطوة 2: استخدم العلاقة الخاصة بالمدار الدائري.
بما أن \(v^2=GM/r\)، فإن:
\[
0=\frac{GM}{c^2}
\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right)
-\frac{GM}{2rc^2}.
\]
اقسم طرفي المعادلة على \(GM/c^2\):
\[
\begin{aligned}
0&=\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}-\frac{1}{2r}\\
&=\frac{1}{R_E}-\frac{3}{2r}.
\end{aligned}
\]
إذًا:
\[
\frac{1}{R_E}=\frac{3}{2r}
\]
ومن ثم:
\[
r=\frac{3}{2}R_E.
\]
الخطوة 3: حوّل نصف قطر المدار إلى ارتفاع.
الارتفاع يساوي نصف قطر المدار ناقص نصف قطر الأرض:
\[
\begin{aligned}
h&=r-R_E\\
&=\frac{3}{2}R_E-R_E\\
&=\frac{1}{2}R_E\\
&=3.185\times10^6\ \text{m}\\
&\approx3\,190\ \text{km}.
\end{aligned}
\]
الخطوة 4: حدّد ما الذي لا يثبته هذا التعادل.
الاستنتاج المغري هو أن تساوي التأثيرين النسبيين المتعاكسين يعني اختفاء النسبية. لكن هذا غير صحيح لسببين.
أولًا، ينطبق التعادل على متوسط معدل الساعة فقط، ضمن نموذج المدار الدائري المبسّط. وتظل مساهمتا الجاذبية والنسبية الخاصة غير صفريتين كلٌّ على حدة. وإذا أصبح المدار إهليلجيًا قليلًا، فسيتغير ارتفاع القمر الصناعي وسرعته أثناء دورانه. ولذلك سيتغير كل من المكسب الثقالي والفقدان المرتبط بالحركة، وقد لا يكفي ضبط ثابت واحد للمعدل لإزالة جميع الفروق المتغيرة مع الزمن.
ثانيًا، لا تؤدي مطابقة متوسط معدل ساعة القمر الصناعي مع الساعة المرجعية إلى إزالة تأثير ساغناك. إذ يغيّر دوران الأرض حساب زمن انتقال الإشارة في الإطار المرجعي الدوّار. وهذا تأثير مستقل يتعلق بانتشار الإشارة، وليس فرقًا متبقيًا في متوسط معدل الساعة.
والتمييز الأساسي هنا هو الفرق بين جعل ساعتين متوافقتين في المتوسط، وضمان صحة كل طابع زمني وكل حساب لزمن انتقال الإشارة. فالأول لا يحقق الثاني تلقائيًا.
المفهوم المفيد التالي هو تأثير ساغناك، إذ يوضّح لماذا لا يعادل تصحيح معدل الساعة تصحيح مسار الإشارة وزمن انتقالها. وفي نظام GPS، يجب التعامل مع الساعة ونموذج انتشار الإشارة بطريقة متسقة.