تداخل الشقين ودليل الأهداب في فيزياء HSC
تعرّف على كيفية تكوّن الأهداب المضيئة والمظلمة في تداخل الشقين، وكيفية استخدام دليل الأهداب مع العلاقة d sin theta = m lambda. يتضمن المورد أمثلة محلولة ومفاهيم خاطئة شائعة وأسئلة متقدمة بأسلوب HSC.
سلِّط ليزرًا على شقين ضيقين وضع شاشة خلفهما. ماذا ينبغي أن يظهر؟ إذا تصورت الضوء على أنه مقذوفات صغيرة تسير في خطوط مستقيمة عبر كل فتحة، فقد يبدو ظهور شريطين مضيئين هو التوقع المنطقي.
لكن هذا ليس ما تحصل عليه. بل تحصل على صف من الأهداب المضيئة والمظلمة.
الأهداب المظلمة هي الجزء الغريب. ففتح شق ثانٍ يمكن أن يجعل بعض المواضع على الشاشة تستقبل ضوءًا أقل مما تستقبله عندما يكون شق واحد فقط مفتوحًا. وأي نموذج للضوء يجب أن يفسر ذلك.
01ما الذي يُنشئ الأهداب المضيئة والمظلمة؟
ينتشر الضوء الساقط عند مروره عبر كل شق ضيق. يُسمى هذا الانتشار بالحيود، وهو ما يسمح للضوء القادم من الشقين بالتراكب على امتداد الشاشة.
عند أي نقطة تتراكب فيها الموجتان، تتجمع مجالاتهما الكهربائية.
قبل أن نتابع، توقّع ما يحدث عند المركز الدقيق للشاشة. هذه النقطة تبعد المسافة نفسها عن كلا الشقين، ولذلك تقطع الموجتان مسافتين متساويتين. إذا أُضيء الشقان وهما في الطور نفسه، فستصل الموجتان أيضًا وهما في الطور نفسه. تتطابق القمم مع القمم والقيعان مع القيعان، فيكون المركز مضيئًا.
لكن إذا تحركت قليلًا إلى الجانب، يصبح أحد الشقين أبعد عن نقطة الرصد من الشق الآخر. وعندها تقطع إحدى الموجتين مسافة إضافية.
تُسمى هذه المسافة الإضافية فرق المسار.
من الطرق المفيدة لتصور عملية الجمع أن تتخيل شخصين يدفعان أرجوحة. إذا دفع الاثنان في المرحلة نفسها من حركة الأرجوحة، فإن تأثيريهما يعزز أحدهما الآخر. أما إذا دفع أحدهما في اللحظة التي يكون فيها تأثير الآخر في الاتجاه المعاكس تمامًا، فإن تأثيريهما يتعارضان.
بالنسبة للضوء، فإن «الدفعات» هي مجالات كهربائية متذبذبة. وهنا تنتهي فائدة التشبيه: فالضوء ليس أرجوحة مادية، وتعتمد شدته على مربع سعة الموجة الناتجة.
النمط المهم هو:
| فرق المسار \(\Delta\) | كيفية وصول الموجتين | النتيجة |
|---|---|---|
| \(0\) | في الطور نفسه | مضيء |
| \(\lambda\) | في الطور نفسه مرة أخرى | مضيء |
| \(2\lambda\) | في الطور نفسه مرة أخرى | مضيء |
| \(\frac{1}{2}\lambda\) | متعاكستان في الطور | مظلم |
| \(\frac{3}{2}\lambda\) | متعاكستان في الطور | مظلم |
| أي قيمة بين هذه القيم | تعزيز أو إلغاء جزئي | شدة متوسطة |
هنا، تمثل \(\lambda\) الطول الموجي للضوء.
وهذا يفسر مباشرة سبب ظهور سلسلة كاملة من الأهداب. فكلما تحركت عبر الشاشة، يتغير فرق المسار تدريجيًا. وتنتقل الموجتان مرارًا من التعزيز إلى الإلغاء ثم إلى التعزيز من جديد.
02تحويل فرق المسار إلى \(d\sin\theta=m\lambda\)
توضح لنا الفكرة السابقة لماذا تظهر الأهداب. والآن نحتاج إلى طريقة نتنبأ بها بدقة بمواضع الأهداب المضيئة.
لنعرّف:
| الرمز | المعنى |
|---|---|
| \(d\) | المسافة الفاصلة بين الشقين، بالمتر |
| \(\theta\) | الزاوية من المحور المركزي إلى هدب |
| \(\lambda\) | الطول الموجي للضوء، بالمتر |
| \(m\) | رتبة الهدب: \(0,\pm1,\pm2,\ldots\) |
عندما تكون الشاشة بعيدة عن الشقين مقارنةً بالمسافة الفاصلة بينهما، يكون الشعاعان المتجهان نحو نقطة واحدة متوازيين تقريبًا. وتعطي الهندسة عندئذٍ فرق المسار
\[ \Delta=d\sin\theta \]
يظهر هدب مضيء عندما يكون فرق المسار عددًا صحيحًا من الأطوال الموجية:
\[ \Delta=m\lambda \]
وبالجمع بين العلاقتين نحصل على معادلة تداخل الشقين المستخدمة للأهداب المضيئة:
\[ d\sin\theta=m\lambda \]
تكون الرتبة العظمى المركزية \(m=0\). والهدب المضيء الأول على أي من الجانبين له \(|m|=1\)، والثاني له \(|m|=2\)، وهكذا.
لاحظ ما الذي يمثله \(m\). فهو ليس مسافة، ولا يُقاس بالأمتار. وإنما يعد ببساطة عدد الأطوال الموجية الكاملة التي يحتوي عليها فرق المسار.
أما الهدب المظلم، فيتطلب أن تصل الموجتان وبينهما فرق قدره نصف دورة. وعلى أحد جانبي المركز،
\[ d\sin\theta=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \]
حيث \(m=0,1,2,\ldots\).
مثال محلول: إيجاد زاوية هدب مضيء
يسقط ليزر بطول موجي \(600\text{ nm}\) على شقين تفصل بينهما مسافة \(0.250\text{ mm}\). احسب الزاوية بين المحور المركزي والهدب المضيء من الرتبة الأولى.
الخطوة 1
للقيمة العظمى من الرتبة الأولى \(m=1\)، لذلك
\[ d\sin\theta=m\lambda \]
الخطوة 2
\[ \lambda=600\text{ nm}=600\times10^{-9}\text{ m} \]
\[ d=0.250\text{ mm}=2.50\times10^{-4}\text{ m} \]
الخطوة 3
\[ \begin{aligned} (2.50\times10^{-4})\sin\theta &=(1)(600\times10^{-9})\\ \sin\theta &=2.40\times10^{-3}\\ \theta &=\sin^{-1}(2.40\times10^{-3})\\ &=0.138^\circ \end{aligned} \]
الخطوة 4
يبعد الهدب المضيء الأول عن المحور المركزي بمقدار \(0.138^\circ\) فقط. هذه الزاوية الصغيرة طبيعية لأن الأطوال الموجية للضوء صغيرة جدًا مقارنةً بالمسافات المعتادة بين الشقوق.
03ربط الزاوية بموضع على الشاشة
قد تعطيك أسئلة الامتحان أحيانًا المسافة بين الشقين والشاشة بدلًا من زاوية الهدب.
إذا كانت الشاشة على مسافة عمودية \(L\) من الشقين وكان الهدب على مسافة \(y\) من المركز، فإن هندسة المثلث القائم العادية تعطينا
\[ \tan\theta=\frac{y}{L} \]
يمكنك أولًا إيجاد \(\theta\)، ثم استخدام \(d\sin\theta=m\lambda\).
بالنسبة للزوايا الصغيرة جدًا، تكون \(\sin\theta\) و\(\tan\theta\) متقاربتين جدًا عندما تُقاس \(\theta\) بالراديان. ويؤدي ذلك إلى التقريب المألوف
\[ y\approx\frac{m\lambda L}{d} \]
وهو مفيد، لكنه يبقى تقريبًا. إذا أعطاك السؤال معلومات كافية لإيجاد الزاوية مباشرة، فإن استخدام العلاقات المثلثية يجعل الاستدلال أوضح.
مثال محلول: استخدام الأهداب المقاسة لإيجاد الطول الموجي
يفصل بين شقين \(0.200\text{ mm}\). وتبعد الشاشة مسافة \(2.00\text{ m}\). قيس الهدب المضيء من الرتبة الثانية على مسافة \(12.0\text{ mm}\) من المركز. أوجد الطول الموجي للضوء.
الخطوة 1
لدينا هنا،
\[ y=12.0\text{ mm}=0.0120\text{ m} \]
و
\[ L=2.00\text{ m} \]
إذن
\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{0.0120}{2.00}\\ \theta&=\tan^{-1}(0.00600)\\ &=0.3438^\circ \end{aligned} \]
الخطوة 2
ينص السؤال على أن هذا هو الهدب المضيء من الرتبة الثانية، لذا \(m=2\).
الخطوة 3
\[ \lambda=\frac{d\sin\theta}{m} \]
مع
\[ d=0.200\text{ mm}=2.00\times10^{-4}\text{ m} \]
ولذلك،
\[ \begin{aligned} \lambda &=\frac{(2.00\times10^{-4})\sin(0.3438^\circ)}{2}\\ &=6.00\times10^{-7}\text{ m}\\ &=600\text{ nm} \end{aligned} \]
الخطوة 4
تشير مواضع الأهداب المقاسة إلى طول موجي يبلغ نحو \(600\text{ nm}\). وهذا هو السبب في أن التداخل أكثر من مجرد نمط جميل: إذ يمكن استخدام هندسة الأهداب لقياس خاصية فيزيائية للضوء.
04ما الذي تمثل الأهداب دليلًا عليه؟
إن مجرد رؤية الضوء ينتشر بعد مروره عبر شقين لا يُعد دليلًا قويًا على التداخل. فكل شق منفرد يسبب الحيود أصلًا.
الدليل الأقوى هو التسلسل المنظم للمناطق المضيئة والمظلمة.
عند هدب مظلم، يمكن للضوء القادم من أي من الشقين منفردًا أن يصل إلى تلك النقطة. ومع ذلك، عندما تصل المساهمتان المترابطتان معًا بفرق الطور المناسب، تلغي مجالاتهما بعضها بعضًا. ولا يستطيع تصور بسيط للضوء بوصفه تيارين مستقلين أن يفسر هذا التناوب بين الإلغاء والتعزيز.
ولا يتنبأ النموذج الموجي بوجود الأهداب فقط. بل يتنبأ أيضًا بزواياها:
\[ d\sin\theta=m\lambda \]
غيّر الطول الموجي، فتتغير الزوايا. وغيّر المسافة الفاصلة بين الشقين، فتتغير الزوايا مرة أخرى. ويمكن بعد ذلك مقارنة القياسات بهذه التنبؤات.
إن هذا التوافق بين تنبؤ كمي والنمط المرصود هو الدليل المهم.
وهناك جزء آخر من التجربة يكمن وراء ذلك. يجب أن ينتشر الضوء القادم من كل شق بما يكفي حتى تتراكب المساهمتان. ولهذا يرتبط حيود الضوء بتداخل الشقين. ويتكون نمط الشقين الحقيقي عادةً من مجموعة من أهداب التداخل الواقعة داخل غلاف حيود أوسع.
05ما الذي يغيّر تباعد الأهداب؟
تمنحنا المعادلة طريقة مفيدة للاستدلال قبل استخدام الآلة الحاسبة.
لرتبة معينة \(m\)،
\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d} \]
لذلك يؤدي الطول الموجي الأكبر إلى زاوية هدب أكبر. فينتشر النمط على نطاق أوسع.
أما زيادة المسافة الفاصلة بين الشقين فتؤدي إلى العكس. فهي تقلل الزاوية اللازمة لإنتاج فرق المسار نفسه، فتتقارب الأهداب.
هذه النتيجة الثانية تربك كثيرين. فمن المغري أن تعتقد أن زيادة المسافة بين الشقين يجب أن تزيد أيضًا المسافة بين الأهداب. لكن نمط الشاشة تتحكم فيه فروق المسار، وليس مجرد نسخ المسافة الفيزيائية بين الشقين على الشاشة.
وهناك أيضًا حد صارم ضمن دالة الجيب. لأن
\[ |\sin\theta|\leq1 \]
فلا يمكن أن توجد رتبة مضيئة إلا إذا
\[ |m|\lambda\leq d \]
لذلك لا تضمن المعادلة وجود عدد لا نهائي من الرتب القابلة للرصد.
06الافتراضات الكامنة داخل الصيغة
إن التعبير المألوف
\[ d\sin\theta=m\lambda \]
ليس قاعدة سحرية تعمل كلما وُجد شقان.
فهو يفترض أن الموجات الخارجة من الشقين لها فرق طور نسبي ثابت، وأنها، في ترتيب شقي يونغ القياسي، تكون فعليًا في الطور نفسه مع بعضها بعضًا. ويتحقق ذلك عادةً بإضاءة الشقين بالمصدر المترابط نفسه.
تحافظ المصادر المترابطة على علاقة طور مستقرة.
لماذا يهم ذلك؟ افترض أن فرق الطور النسبي كان يتغير عشوائيًا. فقد تكون نقطة على الشاشة مضيئة في لحظة ومظلمة في لحظة أخرى. وخلال زمن تعريض طويل، قد يتلاشى نمط التداخل المستقر.
وهناك افتراض دقيق آخر. إذا أُعطي أحد الشقين عمدًا إزاحة طور ثابتة مقدارها نصف دورة قبل أن يغادره الضوء، فلن تؤدي المسارات المتساوية في الطول إلى تداخل بنّاء. ويمكن أن يصبح المركز مظلمًا رغم أن فرق المسار الهندسي يساوي صفرًا.
ولا يعني ذلك أن التداخل قد فشل. بل يعني أن فرق المسار ليس سوى مساهمة واحدة في فرق الطور الكلي.
07أخطاء شائعة
| الفكرة المغرية | ما الذي يهم فعليًا |
|---|---|
| «يجب أن يُنتج شقان خطين مضيئين.» | يسبب كل شق حيودًا، ولذلك تتراكب الموجات وتتداخل عبر الشاشة. |
| «المركز مضيء لأنه الأقرب إلى الشقين.» | هو مضيء لأن طولي المسارين متساويان، ما يعطي فرق مسار يساوي صفرًا عندما يكون الشقان في الطور نفسه. |
| «أول هدب مضيء ألاحظه يجب أن يكون \(m=1\).» | قد تكون بعض الأهداب محجوبة أو ضعيفة أو خارج المنطقة المقاسة. ويجب تبرير الرتبة. |
| «زيادة \(d\) تؤدي إلى زيادة تباعد الأهداب.» | بما أن \(\sin\theta=m\lambda/d\)، فإن زيادة \(d\) تقرّب الأهداب الزاوية بعضها من بعض. |
| «تعمل \(d\sin\theta=m\lambda\) عند كل نقطة.» | تعطي هذه العلاقة مواضع التداخل البنّاء في ترتيب الشقين القياسي المتوافق في الطور. |
| «يعني الهدب المظلم أن أيًا من الشقين لا يرسل ضوءًا إلى هناك.» | يمكن لكل شق منفرد أن يساهم بضوء عند تلك النقطة. وينتج الظلام من التراكب الهدام للموجتين. |
08الأسئلة والحلول
السؤال 1
يضيء ليزر بطول موجي \(600\text{ nm}\) شقين ضيقين تفصل بينهما مسافة \(0.300\text{ mm}\). احسب الزاوية من المحور المركزي إلى الهدب المضيء من الرتبة الأولى.
الحل 1
يقع الهدب المضيء من الرتبة الأولى عند زاوية تقارب \(0.115^\circ\) من المحور المركزي.
بالنسبة إلى هدب مضيء،
\[ d\sin\theta=m\lambda \]
هنا،
\[ d=0.300\text{ mm}=3.00\times10^{-4}\text{ m} \]
\[ \lambda=600\text{ nm}=6.00\times10^{-7}\text{ m} \]
و\(m=1\). لذلك،
\[ \begin{aligned} \sin\theta &=\frac{(1)(6.00\times10^{-7})}{3.00\times10^{-4}}\\ &=2.00\times10^{-3}\\ \theta &=\sin^{-1}(2.00\times10^{-3})\\ &=0.1146^\circ \end{aligned} \]
إذن،
\[ \theta\approx0.115^\circ \]
من الأخطاء الشائعة قسمة \(600\) على \(0.300\) دون تحويل الطول الموجي والمسافة بين الشقين أولًا إلى وحدات متوافقة. فالمعادلة تقارن بين طولين، ولذلك يجب أن تكون وحداتهما متسقة.
السؤال 2
تفصل بين شقين مسافة \(0.250\text{ mm}\)، وتبعد الشاشة \(1.80\text{ m}\). ويقع الهدب المضيء من الرتبة الثالثة على مسافة \(11.23\text{ mm}\) من المركز.
احسب الطول الموجي للضوء، ثم أوجد موضع الهدب المظلم التالي الأبعد عن المركز.
الحل 2
يبلغ الطول الموجي نحو \(520\text{ nm}\)، ويقع الهدب المظلم التالي على مسافة تقارب \(13.1\text{ mm}\) من المركز.
أوجد أولًا الزاوية إلى القيمة العظمى من الرتبة الثالثة:
\[ \begin{aligned} \tan\theta &=\frac{0.01123}{1.80}\\ \theta &\approx0.3575^\circ \end{aligned} \]
بالنسبة إلى الهدب المضيء من الرتبة الثالثة، \(m=3\)، لذا
\[ \lambda=\frac{d\sin\theta}{m} \]
مع
\[ d=0.250\text{ mm}=2.50\times10^{-4}\text{ m} \]
ولذلك،
\[ \begin{aligned} \lambda &=\frac{(2.50\times10^{-4})\sin(0.3575^\circ)}{3}\\ &\approx5.20\times10^{-7}\text{ m}\\ &=520\text{ nm} \end{aligned} \]
والآن لنتناول الهدب المظلم التالي الأبعد عن المركز.
للّهدب المضيء الثالث فرق مسار مقداره \(3\lambda\). ويحدث الشرط الهدام التالي عند
\[ \Delta=3.5\lambda \]
لذلك
\[ d\sin\theta_{\text{dark}}=3.5\lambda \]
ومن ثم،
\[ \begin{aligned} \sin\theta_{\text{dark}} &=\frac{3.5(520\times10^{-9})}{2.50\times10^{-4}}\\ \theta_{\text{dark}} &\approx0.4171^\circ \end{aligned} \]
ويكون الموضع على الشاشة
\[ \begin{aligned} y &=L\tan\theta_{\text{dark}}\\ &=(1.80)\tan(0.4171^\circ)\\ &=1.31\times10^{-2}\text{ m}\\ &=13.1\text{ mm} \end{aligned} \]
الخطأ المغري هو استخدام \(m=4\) للهدب المظلم التالي. فالرتب الصحيحة تصف الأهداب المضيئة. ويقع الهدب المظلم بين القيمتين العظميين الثالثة والرابعة عند فرق مسار مقداره \(3.5\lambda\).
السؤال 3
تستخدم التجربة A ضوءًا بطول موجي \(450\text{ nm}\) ومسافة بين الشقين مقدارها \(0.300\text{ mm}\).
أما التجربة B فتستخدم مصدر ضوء أحادي اللون مختلفًا ومسافة بين الشقين مقدارها \(0.400\text{ mm}\). وتظهر الأهداب المضيئة في التجربة B عند الزوايا نفسها تمامًا التي تظهر عندها الأهداب المضيئة المناظرة في التجربة A.
حدّد الطول الموجي المستخدم في التجربة B. ثم اشرح لماذا لا يثبت رصد نمط أهداب زاوي متماثل، بمفرده، أن مصدرين لهما الطول الموجي نفسه.
الحل 3
تستخدم التجربة B ضوءًا بطول موجي \(600\text{ nm}\)، ولا تحدد مواضع الأهداب الزاوية المتطابقة الطول الموجي تحديدًا فريدًا ما لم تكن المسافة بين الشقين معلومة أيضًا.
لرتبة معينة،
\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d} \]
إذا ظهرت كل رتبة متناظرة عند الزاوية نفسها، فيجب أن تكون النسبة \(\lambda/d\) متساوية في التجربتين:
\[ \frac{\lambda_A}{d_A}=\frac{\lambda_B}{d_B} \]
بالتعويض،
\[ \frac{450\times10^{-9}}{0.300\times10^{-3}} = \frac{\lambda_B}{0.400\times10^{-3}} \]
ولذلك،
\[ \begin{aligned} \lambda_B &=(0.400\times10^{-3}) \frac{450\times10^{-9}}{0.300\times10^{-3}}\\ &=600\times10^{-9}\text{ m}\\ &=600\text{ nm} \end{aligned} \]
النقطة الأساسية هي أن زوايا التداخل تعتمد على النسبة
\[ \frac{\lambda}{d} \]
وليس على \(\lambda\) وحدها.
الاستنتاج المغري هو أن تطابق الأنماط يعني تطابق الأطوال الموجية. لكن هذا لا يصح إلا إذا كانت المسافات بين الشقين متطابقة أيضًا. وهنا ازداد كل من الطول الموجي والمسافة بين الشقين بالعامل نفسه، ولذلك بقيت نسبتهما دون تغير.
وهذه نقطة مهمة تتعلق بالأدلة التجريبية: يدعم النمط نموذجًا من خلال الكميات التي يربطها النموذج بالفعل. وتحتاج إلى عدد كافٍ من القياسات المستقلة لتحديد الكمية المجهولة تحديدًا فريدًا.
السؤال 4
يمر مصدر مرئي أحادي اللون عبر شقين تفصل بينهما مسافة \(0.400\text{ mm}\). ويسجل كاشف قمم تداخل مضيئة عند زوايا تحقق
\[ \sin\theta=0.0030,\qquad 0.0045,\qquad 0.0075 \]
بعض الأجزاء الأخرى من الكاشف محجوبة، ولذلك فهذه ليست بالضرورة رتب أهداب متتالية.
من المعروف أن الطول الموجي يقع بين \(400\text{ nm}\) و\(700\text{ nm}\).
حدّد الطول الموجي والرتبة \(m\) لكل قمة مسجلة. ثم تنبأ بزوايا القيمتين العظميين المفقودتين الواقعتين بين المركز وأكبر قمة مسجلة من حيث الزاوية.
الحل 4
الطول الموجي هو \(600\text{ nm}\)؛ والقمم المسجلة هي \(m=2\)، و\(m=3\)، و\(m=5\). أما القيمتان العظميان المفقودتان فهما \(m=1\) عند نحو \(0.0859^\circ\)، و\(m=4\) عند نحو \(0.3438^\circ\).
بدلًا من افتراض أن أول قمة مسجلة هي \(m=1\)، احسب فرق المسار الموافق لكل قياس:
\[ \Delta=d\sin\theta \]
باستخدام
\[ d=0.400\text{ mm}=4.00\times10^{-4}\text{ m} \]
نحصل على
\[ \begin{aligned} \Delta_1 &=(4.00\times10^{-4})(0.0030) =1.20\times10^{-6}\text{ m} =1200\text{ nm}\\ \Delta_2 &=(4.00\times10^{-4})(0.0045) =1800\text{ nm}\\ \Delta_3 &=(4.00\times10^{-4})(0.0075) =3000\text{ nm} \end{aligned} \]
يجب أن يحقق كل هدب مضيء
\[ \Delta=m\lambda \]
ولذلك يجب أن يقسم الطول الموجي المرئي نفسه فروق المسار الثلاثة جميعها إلى رتب صحيحة.
يعطي طول موجي مقداره \(600\text{ nm}\)
\[ 1200\text{ nm}=2(600\text{ nm}) \]
\[ 1800\text{ nm}=3(600\text{ nm}) \]
\[ 3000\text{ nm}=5(600\text{ nm}) \]
لذلك تكون رتب القمم المسجلة \(2\)، و\(3\)، و\(5\).
تحقق القيمة العظمى \(m=1\)
\[ \begin{aligned} \sin\theta_1 &=\frac{600\times10^{-9}}{4.00\times10^{-4}}\\ &=0.0015 \end{aligned} \]
ومن ثم
\[ \theta_1=\sin^{-1}(0.0015)\approx0.0859^\circ \]
أما القيمة العظمى المفقودة \(m=4\) فتحقق
\[ \begin{aligned} \sin\theta_4 &=\frac{4(600\times10^{-9})}{4.00\times10^{-4}}\\ &=0.0060 \end{aligned} \]
ولذلك
\[ \theta_4\approx0.3438^\circ \]
المسار المغري هو افتراض أن أول قمة مرصودة يجب أن تكون \(m=1\). وهذا سيعني
\[ \lambda=1200\text{ nm} \]
وهو بالفعل خارج النطاق المرئي المذكور. والأهم من ذلك أن تعيين الرتب يجب أن يجعل جميع المشاهدات متوافقة مع طول موجي واحد. وتعني معلومات الأهداب المفقودة أن ترتيب الرصد ورتبة الهدب ليسا الشيء نفسه.
السؤال 5
يحتوي جهاز شقين على مسافة فاصلة بين الشقين \(d=0.250\text{ mm}\)، ويستخدم ضوءًا بطول موجي \(500\text{ nm}\). ويستقبل الشقان موجتين مترابطتين متساويتين في السعة.
في الإعداد A، تكون الموجتان الواصلتان إلى الشقين في الطور نفسه.
في الإعداد B، يستقبل أحد الشقين موجة أُعطيت إزاحة طور ثابتة مقدارها نصف دورة بالنسبة إلى الموجة عند الشق الآخر.
في الإعداد C، يبدّل الجهاز بسرعة بين علاقة الطور في الإعداد A وعلاقة الطور في الإعداد B، ويقضي زمنًا متساويًا في كل حالة. ولا يسجل الكاشف إلا الشدة المتوسطة زمنيًا.
لكل إعداد، حدّد ما يحدث على المحور المركزي. وبالنسبة إلى الإعداد B، احسب زاوية أقرب هدب مضيء. وأخيرًا، حدّد ما إذا كان الإعداد C ينتج مجموعة مستقرة من أهداب التداخل الدقيقة في الصورة المتوسطة زمنيًا. افترض شدتين مثاليتين ومتساويتين للشقين، وتجاهل غلاف الحيود العريض عند مناقشة الأهداب الدقيقة.
الحل 5
للإعداد A هدب مركزي مضيء؛ وللإعداد B مركز مظلم، ويقع أقرب هدب مضيء له عند نحو \(0.0573^\circ\)؛ أما الإعداد C فلا تظهر فيه أهداب تداخل دقيقة مستقرة في الصورة المتوسطة زمنيًا.
في الإعداد A، يُضاء الشقان وهما في الطور نفسه. وعلى المحور المركزي، يكون طول المسارين متماثلًا، ولذلك
\[ \Delta=0 \]
ومن ثم تصل الموجتان بفرق طور كلي يساوي صفرًا وتتداخلان تداخلًا بنّاءً. وهذه هي القيمة العظمى المركزية العادية \(m=0\).
في الإعداد B، يظل فرق المسار الهندسي على المحور المركزي مساويًا للصفر. غير أن إحدى الموجتين تبدأ أصلًا متأخرة أو متقدمة عن الأخرى بمقدار نصف دورة.
لذلك تحافظ المسارات المتساوية في الطول على فرق نصف الدورة هذا. وتصبح النقطة المركزية الآن موضع تداخل هدام.
ولتحويل هذا الاختلاف الابتدائي البالغ نصف دورة إلى تداخل بنّاء، يجب أن يضيف فرق المسار نصف طول موجي آخر. ولذلك يحقق أقرب هدب مضيء
\[ d\sin\theta=\frac{\lambda}{2} \]
بالتعويض
\[ d=2.50\times10^{-4}\text{ m} \]
و
\[ \lambda=5.00\times10^{-7}\text{ m} \]
نحصل على
\[ \begin{aligned} \sin\theta &=\frac{5.00\times10^{-7}} {2(2.50\times10^{-4})}\\ &=1.00\times10^{-3}\\ \theta &=\sin^{-1}(1.00\times10^{-3})\\ &\approx0.0573^\circ \end{aligned} \]
إذن يكون النمط في الإعداد B مزاحًا: فالمواضع التي كانت قيمًا عظمى في الإعداد A تصبح قيمًا صغرى، وتقع القيم العظمى الجديدة في منتصف المسافة بين القيم الأصلية.
أما الإعداد C فهو أكثر دقة.
خلال نصف زمن التعريض، يستقبل الكاشف النمط العادي من الإعداد A. وخلال النصف الآخر، يستقبل النمط المزاح من الإعداد B. ومع تساوي شدتي الشقين، يكون النمط الثاني مكملًا للأول: ففي المواضع التي ترفع فيها مساهمة التداخل الشدة في إحدى الحالتين، تخفضها بالمقدار المناظر في الحالة الأخرى.
وبأخذ متوسط الحالتين بالتساوي، تُزال مساهمة التداخل المعتمدة على الزاوية. ولذلك لا يسجل الكاشف أهدابًا دقيقة مضيئة ومظلمة مستقرة. وإذا أُخذ العرض المحدود لكل شق في الحسبان، فقد يظل غلاف حيود الشق الواحد الأوسع موجودًا.
الحجة المغرية هي أن \(d\) و\(\lambda\) لم يتغيرا أبدًا، ولذلك فإن
\[ d\sin\theta=m\lambda \]
يجب أن تفرض النمط نفسه في الإعدادات الثلاثة كلها.
لكن القيد المفقود هو فرق الطور النسبي بين الموجتين قبل إدخال فرق المسار الإضافي. تفترض المعادلة القياسية ترتيب الشقين المعتاد الذي تكون فيه الموجتان في الطور نفسه. ويعتمد التداخل على فرق الطور الكلي، وليس على فرق المسار الهندسي وحده.
وهذا هو الدرس الأعمق من تجربة الشقين: لا ينشأ نمط الأهداب لأن الشقين يوجهان الضوء ببساطة نحو مواضع معينة، بل ينشأ من تجمع مساهمات موجية مترابطة عند كل موضع.
09ما الذي تتيحه لك هذه الفكرة بعد ذلك؟
بمجرد أن تتمكن من قراءة نمط الشقين من حيث فرق المسار، لا يعود التداخل مجرد شيء تتعرف إليه من شكله. يمكنك استخدام مواضع الأهداب لاستنتاج الطول الموجي، واختبار ما إذا كانت القياسات تتوافق مع نموذج موجي، والتنبؤ بكيفية تغيّر النمط عند تعديل الجهاز، والتعرف إلى الحالات التي تُخرق فيها افتراضات الصيغة القياسية.
والخطوة المفيدة التالية هي ربط نمط التداخل هذا بالحيود الذي ينتجه كل شق منفرد. يحدث التأثيران معًا: يحدد الحيود المواضع التي يمكن أن ينتشر إليها الضوء من كل شق، بينما يحدد التداخل كيفية تعزيز المساهمات المتراكبة وإلغائها داخل تلك المنطقة.