فرق الجهد والشغل الكهربائي: حساب الطاقة المنقولة
تعرّف إلى كيفية قياس فرق الجهد للطاقة المنقولة لكل وحدة شحنة، وكيفية استخدام العلاقة بين الشغل والشحنة والجهد في مسائل فيزياء HSC.
يمكن لكلٍّ من بطارية جهدها \(9\ \text{V}\) وخلية جهدها \(1.5\ \text{V}\) أن تحرّك الشحنة عبر دائرة كهربائية. لكن افترض أن مقدارًا قدره بالضبط \(2.0\ \text{C}\) من الشحنة يمر عبر كلٍّ منهما. أي المصدرين ينقل طاقة أكبر إلى هذه الشحنة؟
توقّع الإجابة قبل إجراء الحساب. يتحرك المقدار نفسه من الشحنة في الحالتين، لذا لا بد أن يأتي الفرق من الجهد. تنقل البطارية ذات الجهد \(9\ \text{V}\) مقدار \(18\ \text{J}\)، بينما تنقل الخلية ذات الجهد \(1.5\ \text{V}\) مقدار \(3.0\ \text{J}\) فقط.
هذا هو ما يخبرك به فرق الجهد: مقدار الطاقة الكهربائية المنقولة لكل وحدة شحنة.
01ماذا يخبرك الجهد فعليًا؟
قد يقرأ الفولتميتر \(6.0\ \text{V}\) عبر بطارية. ومن السهل أن تظن أن «6 فولت» تمثل مقدارًا من الطاقة. لكنها ليست كذلك.
الجهد كمية تعبّر عن الطاقة لكل وحدة شحنة.
\[
1\ \text{V} = 1\ \text{J C}^{-1}
\]
إذن، فرق جهد مقداره \(6.0\ \text{V}\) يعني أن \(6.0\ \text{J}\) من الطاقة تنتقل مقابل كل \(1.0\ \text{C}\) من الشحنة التي تتحرك عبر فرق الجهد هذا.
يمكن البدء بنموذج مفيد يشبه الشراء بسعر الوحدة:
- الجهد يشبه السعر لكل كيلوغرام،
- الشحنة تشبه عدد الكيلوغرامات،
- الطاقة المنقولة تشبه التكلفة الإجمالية.
إذا كان سعر التفاح $6 لكل كيلوغرام، فإن شراء \(3\ \text{kg}\) يكلّف ثلاثة أضعاف شراء \(1\ \text{kg}\). وبالطريقة نفسها، إذا كان فرق الجهد ينقل \(6\ \text{J}\) لكل كولوم، فإن تحريك \(3\ \text{C}\) ينقل ثلاثة أضعاف الطاقة التي ينقلها تحريك \(1\ \text{C}\).
هذا التشبيه رياضي فقط. فالبطارية لا «تبيع» الطاقة للشحنات، والشحنة لا تُستهلك كما يُستهلك التفاح. تتحرك الشحنة عبر الدائرة بينما تنتقل الطاقة بين الصورة الكهربائية وصور أخرى للطاقة.
02من الطاقة لكل شحنة إلى \(W=qV\)
يُعرَّف فرق الجهد باستخدام العلاقة
\[
V = \frac{W}{q}
\]
حيث:
- \(V\) هو فرق الجهد بوحدة الفولت (\(\text{V}\))،
- \(W\) هو الشغل الكهربائي المبذول، أو الطاقة المنقولة، بوحدة الجول (\(\text{J}\))،
- \(q\) هي الشحنة المنقولة بوحدة الكولوم (\(\text{C}\)).
وبإعادة ترتيب العلاقة نحصل على الصيغة التي ستستخدمها كثيرًا في الحسابات:
\[
W = qV
\]
تعبر هذه المعادلة عن فكرة بسيطة:
الطاقة المنقولة = الشحنة المنقولة × الطاقة المنقولة لكل كولوم.
وتؤكد الوحدات هذه الفكرة:
\[
\text{C} \times \frac{\text{J}}{\text{C}} = \text{J}
\]
تُختصر وحدتا الكولوم، فتبقى وحدة الجول.
ماذا يعني فولت واحد؟
إذا تحركت شحنة مقدارها \(1.0\ \text{C}\) عبر فرق جهد مقداره \(1.0\ \text{V}\)،
\[
W = qV = (1.0)(1.0) = 1.0\ \text{J}
\]
إذن:
\[
1\ \text{V} = 1\ \text{J C}^{-1}
\]
هذا التفسير أكثر فائدة من حفظ المعادلة وحدها.
إذا كنت تعرف فرق الجهد، فأنت تعرف مقدار الطاقة المنقولة لكل كولوم من الشحنة.
03مثال محلول: الطاقة التي تنقلها بطارية
تحرّك بطارية جهدها \(12\ \text{V}\) شحنة مقدارها \(3.5\ \text{C}\) عبر البطارية. احسب الطاقة المنقولة إلى الشحنة.
الخطوة 1
فرق جهد مقداره \(12\ \text{V}\) يعني أن \(12\ \text{J}\) من الطاقة تنتقل لكل كولوم من الشحنة.
الخطوة 2
\[
W = qV
\]
الخطوة 3
\[
W = (3.5\ \text{C})(12\ \text{V}) = 42\ \text{J}
\]
الخطوة 4
تنقل البطارية \(42\ \text{J}\) من الطاقة إلى الشحنة البالغة \(3.5\ \text{C}\).
لاحظ أن البطارية لم تزوّد الدائرة بإجمالي \(12\ \text{J}\). بل تزودها بـ \(12\ \text{J}\) لكل كولوم.
04فرق الجهد يحتاج إلى نقطتين
الجهد الكهربائي في حد ذاته يصف نقطة واحدة. أما فرق الجهد فيقارن بين نقطتين.
ولهذا يُقاس الجهد عبر أحد مكونات الدائرة.
افترض أن فرق الجهد عبر مصباح هو \(5.0\ \text{V}\). إذا مر \(1.0\ \text{C}\) من الشحنة عبر المصباح، فإن \(5.0\ \text{J}\) من الطاقة الكهربائية تنتقل من الشحنات إلى المصباح.
وقد تظهر هذه الطاقة في النهاية أساسًا في صورة طاقة حرارية وضوء.
إذا مر بدلًا من ذلك \(4.0\ \text{C}\)، فهذا لا يعني بالضرورة أن الجهد قد تغيّر. بل يوجد ببساطة مقدار أكبر من الشحنة ينقل الطاقة:
\[
W = (4.0\ \text{C})(5.0\ \text{V}) = 20\ \text{J}
\]
وهذا تمييز مهم:
- الجهد يخبرك بالطاقة المنقولة لكل كولوم،
- الشحنة تخبرك بمقدار الشحنة التي تحركت،
- حاصل ضربهما يعطي إجمالي الطاقة المنقولة.
إذا كنت بحاجة إلى مراجعة ما الذي يتحرك فعليًا عبر موصل فلزي، فانظر إلى التيار الكهربائي في الفلزات: حوامل الشحنة والانجراف.
05إلى أين تذهب الطاقة؟
فكّر في دائرة بسيطة تحتوي على بطارية ومقاومة.
داخل البطارية، تنقل العمليات الكيميائية الطاقة إلى الشحنات. ومع تحرك هذه الشحنات عبر الدائرة الخارجية، ينقل المجال الكهربائي هذه الطاقة إلى مكونات الدائرة.
وعبر المقاومة، تتحول الطاقة الكهربائية أساسًا إلى طاقة حرارية.
لذلك، إذا مر \(50\ \text{C}\) عبر مقاومة فرق الجهد عبرها \(8.0\ \text{V}\)،
\[
W = qV = (50\ \text{C})(8.0\ \text{V}) = 400\ \text{J}
\]
تستقبل المقاومة \(400\ \text{J}\) من الطاقة من النظام الكهربائي.
أما الشحنة نفسها فلا تُستهلك. بل تواصل حركتها حول الدائرة.
هذه النقطة الأخيرة مهمة. فمن الأخطاء الشائعة تخيّل أن المقاومة «تستهلك الإلكترونات». وهي لا تفعل ذلك. بل تستقبل الطاقة من الشحنات المتحركة.
06مثال محلول: إيجاد فرق الجهد
يستقبل عنصر تسخين \(1.8\ \text{kJ}\) من الطاقة الكهربائية بينما تمر عبره شحنة مقدارها \(150\ \text{C}\). احسب فرق الجهد عبر العنصر.
الخطوة 1
\[
1.8\ \text{kJ} = 1.8 \times 10^3\ \text{J}
\]
الخطوة 2
\[
V = \frac{W}{q}
\]
الخطوة 3
\[
V = \frac{1.8\times10^3\ \text{J}}{150\ \text{C}}
= 12\ \text{J C}^{-1}
= 12\ \text{V}
\]
الخطوة 4
فرق الجهد هو \(12\ \text{V}\). وهذا يعني أن العنصر يستقبل \(12\ \text{J}\) من الطاقة الكهربائية مقابل كل كولوم من الشحنة يمر عبره.
07صورة أكثر دقة: الشحنات الموجبة والسالبة
حتى الآن، تحدثنا في الغالب عن مقدار الطاقة المنقولة. وهذا عادةً ما تطلبه المسائل البسيطة التي تستخدم \(W=qV\).
لكن هناك مستوى آخر من الفكرة.
يمكن أن تكون الشحنة موجبة أو سالبة. للبروتون شحنة موجبة، بينما للإلكترون شحنة سالبة:
\[
q_{\text{electron}} = -1.602\times10^{-19}\ \text{C}
\]
ولأن \(q\) يمكن أن تحمل إشارة، فإن المعادلات التي تتضمن الجهد الكهربائي يمكن أن تتضمن إشارات أيضًا.
فعلى سبيل المثال، يمكن كتابة التغير في طاقة الوضع الكهربائية لشحنة على الصورة
\[
\Delta U = q\Delta V
\]
حيث:
- \(\Delta U\) هو التغير في طاقة الوضع الكهربائية،
- \(q\) هي الشحنة،
- \(\Delta V = V_{\text{final}}-V_{\text{initial}}\).
إليك تنبؤًا مهمًا.
افترض أن إلكترونًا يتحرك إلى نقطة ذات جهد كهربائي أعلى. هل تزداد طاقة وضعه الكهربائية أم تنخفض؟
تنخفض.
بالنسبة إلى الإلكترون، تكون \(q\) سالبة. وإذا كانت \(\Delta V\) موجبة، فإن
\[
\Delta U = q\Delta V
\]
تكون سالبة.
ولهذا فإن القول دون تفكير إن «الانتقال إلى جهد أعلى يعني دائمًا اكتساب طاقة وضع» غير صحيح. تصح هذه العبارة لشحنة اختبار موجبة، لكن الإلكترون يحمل الإشارة المعاكسة.
ومع ذلك، في كثير من مسائل دوائر HSC، يُطلب منك إيجاد مقدار الطاقة المنقولة. وفي هذه الحالة، تكون علاقة المقدار غالبًا أوضح صيغة:
\[
W = |q|\,|\Delta V|
\]
اقرأ صياغة السؤال بعناية قبل أن تقرر ما إذا كانت الإشارات مهمة من الناحية الفيزيائية.
08مثال محلول: الطاقة المنقولة إلى إلكترون واحد
يتحرك إلكترون عبر فرق جهد مقداره \(250\ \text{V}\). احسب مقدار الطاقة المنقولة.
الخطوة 1
\[
|q| = 1.602\times10^{-19}\ \text{C}
\]
الخطوة 2
\[
W = |q|V
\]
الخطوة 3
\[
W
= (1.602\times10^{-19}\ \text{C})(250\ \text{V})
= 4.005\times10^{-17}\ \text{J}
\]
وباستخدام عدد مناسب من الأرقام المعنوية،
\[
W = 4.01\times10^{-17}\ \text{J}
\]
الخطوة 4
ينقل إلكترون واحد مقدارًا ضئيلًا جدًا من الطاقة لأن شحنته صغيرة للغاية.
تتضمن عمليات نقل الطاقة الكهربائية الكبيرة أعدادًا هائلة من الإلكترونات. ويقابل كولوم واحد نحو \(6.24\times10^{18}\) شحنة أولية.
09الفكرة الخاطئة التي يجب تجنبها: «الجهد الأعلى يعني شحنة أكبر»
تخيّل دائرتين. بطارية إحداهما جهدها \(3.0\ \text{V}\)، وبطارية الأخرى جهدها \(12\ \text{V}\).
قد يتوقع طالب أن البطارية ذات الجهد \(12\ \text{V}\) لا بد أن تحرك أربعة أضعاف مقدار الشحنة.
قد يبدو هذا التوقع منطقيًا لأن الجهد الأكبر يوحي بوجود «كهرباء أكثر». لكن الجهد لا يخبرك بمقدار الشحنة التي تتحرك.
بل يخبرك بمقدار الطاقة المنقولة لكل كولوم.
تنقل بطارية جهدها \(12\ \text{V}\) طاقة لكل كولوم تساوي أربعة أضعاف ما تنقله بطارية جهدها \(3.0\ \text{V}\):
\[
12\ \text{J C}^{-1}
\quad\text{مقارنةً بـ}\quad
3.0\ \text{J C}^{-1}
\]
أما مقدار الشحنة التي تمر فعليًا فيعتمد على شدة التيار والزمن الذي تعمل خلاله الدائرة.
إليك قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار:
| إذا كان السؤال يطلب… | فكّر في… | العلاقة المفيدة |
|---|---|---|
| الطاقة المنقولة | إجمالي الطاقة | \(W=qV\) |
| فرق الجهد | الطاقة لكل شحنة | \(V=\frac{W}{q}\) |
| الشحنة المنقولة | مقدار الشحنة المعنية | \(q=\frac{W}{V}\) |
| معنى \(1\ \text{V}\) | جول لكل كولوم | \(1\ \text{V}=1\ \text{J C}^{-1}\) |
10ما الذي لا تخبرك به \(W=qV\)؟
تربط المعادلة بين الطاقة والشحنة وفرق الجهد. لكنها لا تخبرك بسرعة حدوث انتقال الطاقة.
قارن بين جهازين يستقبل كل منهما \(600\ \text{J}\).
قد يستقبل أحدهما هذه الطاقة خلال \(2\ \text{s}\)، بينما يستغرق الآخر \(30\ \text{s}\). انتقال الطاقة متساوٍ في الحالتين، لكن معدلي انتقال الطاقة مختلفان جدًا.
وهذه الفكرة التالية هي القدرة:
\[
P = \frac{W}{t}
\]
يؤدي الجمع بين الشغل الكهربائي وتدفق الشحنة في النهاية إلى علاقات مثل \(P=VI\). لكن \(W=qV\) هي الأساس: فالجهد يخبرك بالطاقة المنقولة لكل كولوم قبل أن تفكر في سرعة حركة هذه الكولومات.
11أسئلة وحلول
السؤال 1
ينقل مصدر قدرة جهده \(7.5\ \text{V}\) شحنة مقدارها \(4.0\ \text{C}\) عبر أحد مكونات الدائرة. احسب الطاقة المنقولة.
الحل 1
الطاقة المنقولة هي \(30\ \text{J}\).
فرق الجهد هو الطاقة المنقولة لكل وحدة شحنة، لذا استخدم
\[
W=qV
\]
بالتعويض،
\[
W=(4.0\ \text{C})(7.5\ \text{V})
=30\ \text{J}
\]
إذن يستقبل المكوّن \(30\ \text{J}\) من الطاقة عندما تتحرك شحنة مقدارها \(4.0\ \text{C}\) عبر فرق جهد مقداره \(7.5\ \text{V}\).
السؤال 2
يستقبل محرك \(540\ \text{J}\) من الطاقة الكهربائية بينما تمر عبره شحنة مقدارها \(45\ \text{C}\). حدّد فرق الجهد عبر المحرك واشرح ما تعنيه إجابتك من الناحية الفيزيائية.
الحل 2
فرق الجهد هو \(12\ \text{V}\)، ما يعني أن \(12\ \text{J}\) من الطاقة تنتقل مقابل كل كولوم من الشحنة يمر عبر المحرك.
استخدم
\[
V=\frac{W}{q}
\]
بالتعويض،
\[
V=\frac{540\ \text{J}}{45\ \text{C}}
=12\ \text{J C}^{-1}
=12\ \text{V}
\]
القيمة \(12\ \text{V}\) ليست إجمالي الطاقة التي يستخدمها المحرك. بل هي الطاقة المنقولة لكل كولوم.
السؤال 3
ينقل مكوّنان، X وY، المقدار الإجمالي نفسه من الطاقة الكهربائية. فرق الجهد عبر المكوّن X هو \(6.0\ \text{V}\)، بينما فرق الجهد عبر المكوّن Y هو \(18\ \text{V}\).
يدّعي طالب أن المقدار نفسه من الشحنة لا بد أن يكون قد مر عبر كلا المكوّنين لأنهما نقلا المقدار نفسه من الطاقة.
هل الطالب على صواب؟ إذا لم يكن كذلك، فحدّد النسبة \(q_X\:q_Y\).
الحل 3
الطالب ليس على صواب. نسبة الشحنتين هي \(q_X\:q_Y=3:1\).
الطاقة المنقولة هي
\[
W=qV
\]
ينقل كلا المكوّنين المقدار نفسه من \(W\)، لذا
\[
q_XV_X=q_YV_Y
\]
عوّض بفرقي الجهد:
\[
q_X(6.0\ \text{V})=q_Y(18\ \text{V})
\]
ومن ثم،
\[
\frac{q_X}{q_Y}
=
\frac{18}{6.0}
=3
\]
إذن
\[
q_X\:q_Y=3:1
\]
ينقل المكوّن X مقدار \(6.0\ \text{J}\) فقط لكل كولوم، بينما ينقل المكوّن Y مقدار \(18\ \text{J}\) لكل كولوم. لذلك يحتاج X إلى ثلاثة أضعاف مقدار الشحنة لنقل إجمالي الطاقة نفسه.
المشكلة تكمن في افتراض أن تساوي الطاقة يعني تساوي الشحنة. وهذا غير صحيح عندما تكون فروق الجهد مختلفة.
السؤال 4
يتحرك جسيم مشحون شحنته \(+3.2\times10^{-19}\ \text{C}\) من نقطة جهدها \(20\ \text{V}\) إلى نقطة جهدها \(65\ \text{V}\).
احسب التغير في طاقة وضعه الكهربائية. واذكر ما إذا كانت طاقة الوضع تزداد أم تنخفض.
الحل 4
تزداد طاقة الوضع الكهربائية للجسيم بمقدار \(1.44\times10^{-17}\ \text{J}\).
احسب أولًا التغير في الجهد:
\[
\Delta V
=
V_{\text{final}}-V_{\text{initial}}
=
65\ \text{V}-20\ \text{V}
=
45\ \text{V}
\]
استخدم
\[
\Delta U=q\Delta V
\]
بالتعويض،
\[
\Delta U
=
(3.2\times10^{-19}\ \text{C})(45\ \text{V})
=
1.44\times10^{-17}\ \text{J}
\]
النتيجة موجبة، لذا تزداد طاقة الوضع الكهربائية.
وهذا منطقي بالنسبة إلى شحنة موجبة تتحرك إلى جهد كهربائي أعلى. ولا يمكن تطبيق المنطق نفسه دون تغيير على شحنة سالبة، لأن إشارة \(q\) ستعكس إشارة \(\Delta U\).
السؤال 5
يتحرك إلكترون من النقطة A ذات الجهد \(10\ \text{V}\) إلى النقطة B ذات الجهد \(70\ \text{V}\).
يقول أحد الطلاب: «ينتقل الإلكترون إلى جهد أعلى، لذلك لا بد أن تزداد طاقة وضعه الكهربائية».
ويقول طالب آخر: «فرق الجهد هو \(60\ \text{V}\)، لذا تتغير طاقة وضع الإلكترون بمقدار \(+60\ \text{J}\)».
قيّم كلا الادعاءين واحسب التغير الفعلي في طاقة الوضع الكهربائية للإلكترون.
استخدم \(q_{\text{electron}}=-1.602\times10^{-19}\ \text{C}\).
الحل 5
كلا الادعاءين غير صحيح. تنخفض طاقة الوضع الكهربائية للإلكترون بمقدار \(9.61\times10^{-18}\ \text{J}\).
احسب أولًا التغير في الجهد:
\[
\Delta V
=
70\ \text{V}-10\ \text{V}
=
60\ \text{V}
\]
والآن استخدم
\[
\Delta U=q\Delta V
\]
بالتعويض بشحنة الإلكترون السالبة،
\[
\Delta U
=
(-1.602\times10^{-19}\ \text{C})(60\ \text{V})
=
-9.612\times10^{-18}\ \text{J}
\]
ومن ثم،
\[
\Delta U\approx-9.61\times10^{-18}\ \text{J}
\]
تعني النتيجة السالبة أن الإلكترون يفقد طاقة وضع كهربائية.
خطأ الطالب الأول هو تعامله مع الإلكترون كما لو كان شحنة موجبة. يرتبط الجهد الكهربائي الأعلى بطاقة وضع أعلى للشحنة الموجبة، لكن الإلكترون يحمل شحنة سالبة.
وخطأ الطالب الثاني هو التعامل مع الفولت كما لو كان جولًا. الفولت هو جول لكل كولوم، لذا يجب تضمين الشحنة. فرق جهد مقداره \(60\ \text{V}\) لا يعني تغيرًا في الطاقة مقداره \(60\ \text{J}\) إلا إذا كان مقدار الشحنة المعنية يساوي بالضبط \(1\ \text{C}\).
الخطوة المهمة التالية هي ربط فكرة الطاقة لكل شحنة هذه بـ التيار والقدرة. فعندما تعرف مقدار الطاقة التي ينقلها كل كولوم ومقدار الشحنة التي تمر كل ثانية، يمكنك تحديد مدى سرعة الجهاز الكهربائي في نقل الطاقة.