التصادمات المرنة: الزخم والطاقة الحركية في فيزياء HSC
تعلّم كيفية حل مسائل التصادمات المرنة باستخدام قانوني حفظ الزخم والطاقة الحركية، مع أمثلة محلولة وأخطاء شائعة وتدريبات على نمط HSC.
تصادمات مرنة: الزخم والطاقة الحركية في فيزياء HSC
تعلّم كيفية حل مسائل التصادمات المرنة باستخدام مبدأ حفظ كلٍّ من الزخم والطاقة الحركية، مع أمثلة محلولة، والأخطاء الشائعة، وتدريبات على نمط HSC.
يتصادم عربتان على مسار يكاد يخلو من الاحتكاك. قبل التصادم، يمكنك حساب الزخم الكلي لهما. وبعد التصادم، يبقى الزخم الكلي كما هو. حتى الآن، كل شيء واضح.
لكن إليك اللغز: أحيانًا ترتد العربتان مبتعدتين إحداهما عن الأخرى، وأحيانًا تتصادمان فتتجعدان وتتحركان معًا. يمكن أن يكون الزخم محفوظًا في كلتا الحالتين. فما الشرط الإضافي الذي يجعل التصادم مرنًا؟
قبل المتابعة في القراءة، توقّع ما سيحدث. لدينا عربتان متماثلتان. تتحرك العربة A باتجاه العربة B الساكنة. تتصادمان تصادمًا مرنًا تمامًا. ماذا يحدث بعد ذلك؟
من التخمينات الشائعة أن تتحرك العربتان إلى الأمام معًا، بسرعة أقل لكل منهما من سرعة العربة A قبل التصادم. يمكن لهذا أن يحقق حفظ الزخم، لكنه لا يستطيع تحقيق حفظ الطاقة الحركية في الوقت نفسه. ففي التصادم المرن تمامًا بين كتلتين متماثلتين، تتوقف العربة A، وتنطلق العربة B بالسرعة الابتدائية نفسها التي كانت للعربة A.
قانون الحفظ الثاني هذا هو المفتاح.
01ما الذي يجب أن يحافظ عليه التصادم المرن؟
تخيّل التصادم على ثلاث مراحل.
- يقترب الجسمان أحدهما من الآخر.
- يتفاعلان خلال فترة زمنية قصيرة جدًا، وينضغطان أو يتشوهان قليلًا أثناء تأثير كل منهما في الآخر بقوة.
- ينفصل الجسمان أحدهما عن الآخر.
إذا كان الدفع الناتج عن القوى الخارجية ضئيلًا أثناء التصادم، فإن الزخم الكلي للنظام يكون محفوظًا.
بالنسبة إلى جسمين يتحركان على خط مستقيم واحد،
\[ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2 \]
حيث:
- \(m_1\) و\(m_2\) هما الكتلتان بالكيلوغرام.
- \(u_1\) و\(u_2\) هما السرعتان المتجهتان الابتدائيتان بالمتر لكل ثانية.
- \(v_1\) و\(v_2\) هما السرعتان المتجهتان النهائيتان بالمتر لكل ثانية.
للسرعة المتجهة اتجاه، لذا فإن الإشارات مهمة. يمكنك اختيار الاتجاه نحو اليمين موجبًا، والاتجاه نحو اليسار سالبًا.
حفظ الزخم وحده لا يجعل التصادم مرنًا.
في التصادم المرن تمامًا، لا تتغير أيضًا الطاقة الحركية الكلية للنظام:
\[ \frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2 \]
تُقاس الطاقة الحركية بالجول (J).
لاحظ فرقًا مهمًا. تحتفظ السرعة المتجهة بإشارتها في معادلة الزخم، لكن السرعة المتجهة تُربَّع في معادلة الطاقة الحركية. فالجسم الذي يتحرك بسرعة متجهة مقدارها \(-4.0\text{ m s}^{-1}\) يمتلك زخمًا سالبًا إذا كان الاتجاه نحو اليمين موجبًا، لكن طاقته الحركية تظل موجبة.
02لماذا لا يكفي حفظ الزخم؟
افترض أن جسمين، كتلة كل منهما \(1.0\text{ kg}\)، يقترب أحدهما من الآخر بسرعتين متساويتين مقدارهما \(3.0\text{ m s}^{-1}\)، ثم يلتصقان معًا.
اختر الاتجاه نحو اليمين موجبًا:
\[ u_1=+3.0\text{ m s}^{-1},\qquad u_2=-3.0\text{ m s}^{-1} \]
الزخم الابتدائي لهما هو
\[ p_i=(1.0)(3.0)+(1.0)(-3.0)=0 \]
إذا التصق الجسمان وتوقفا، فسيكون زخمهما النهائي صفرًا أيضًا.
إذن، الزخم محفوظ تمامًا.
والآن، تحقّق من الطاقة الحركية:
\[ K_i=\frac{1}{2}(1.0)(3.0)^2+\frac{1}{2}(1.0)(3.0)^2=9.0\text{ J} \]
أما الطاقة الحركية النهائية فهي
\[ K_f=0 \]
إذًا، هذا التصادم ليس مرنًا.
لم تختفِ الطاقة البالغة \(9.0\text{ J}\). فالطاقة الكلية لا تزال محفوظة. لكن جزءًا من الطاقة الحركية الابتدائية تحوّل إلى طاقة داخلية، وتشوه، وصوت، وتسخين، وأشكال أخرى من الطاقة.
هذا هو الاعتقاد الخاطئ المغري الذي ينبغي تجنبه:
حفظ الزخم لا يعني حفظ الطاقة الحركية.
في تصادم نظام معزول، يكون الزخم محفوظًا سواء أكان التصادم مرنًا أم غير مرن. أما المرونة فتحدد ما يحدث للطاقة الحركية للنظام.
03نموذج فيزيائي مفيد
تخيّل عربتين مزودتين بنوابض تتصادمان.
عندما تتلامسان، تنضغط النوابض. ويتحول جزء من الطاقة الحركية مؤقتًا إلى طاقة وضع مرونية. إذا أعادت النوابض كل تلك الطاقة المخزنة إلى العربتين، من دون أن تبقى طاقة في صورة تشوه دائم أو تسخين أو تغيرات داخلية أخرى، فقد تصبح الطاقة الحركية الكلية بعد التصادم مساوية للطاقة الحركية الكلية قبله.
وهذا يقدم تصورًا مفيدًا للتصادم المرن تمامًا.
لكن هذا التصور مبسّط. فالأجسام الحقيقية تحتوي على أعداد هائلة من الجسيمات، ويمكن أن تنتقل طاقة التصادم إلى الاهتزاز والدوران والصوت والتشوه والحركة الحرارية. إن «التصادم المرن تمامًا» نموذج مثالي. وبعض التصادمات الحقيقية تقاربه بدرجة تكفي لجعل استخدام هذا النموذج مفيدًا.
04كيفية حل تصادم مرن أحادي البعد
يعطيك التصادم المرن معادلتي حفظ:
\[ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2 \]
و
\[ \frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2 \]
عادةً ما تكون الكتلتان والسرعتان الابتدائيتان معلومتين، بينما تكون السرعتان النهائيتان مجهولتين.
قد يبدو حل المسألة صعبًا لأن معادلة الطاقة الحركية تتضمن مربعات السرعات. لكن توجد نتيجة مفيدة يمكن اشتقاقها من الجمع بين قانونَي الحفظ.
في تصادم مرن تمامًا أحادي البعد،
\[ v_1-v_2=-(u_1-u_2) \]
وبعبارة أخرى:
السرعة النسبية للابتعاد = السرعة النسبية للاقتراب
على سبيل المثال، إذا كان أحد الجسمين يلحق بالآخر بسرعة نسبية مقدارها \(7.0\text{ m s}^{-1}\) قبل التصادم المرن، فإنهما يبتعدان أحدهما عن الآخر بسرعة نسبية مقدارها \(7.0\text{ m s}^{-1}\) بعده.
هذه العلاقة ليست قانونًا إضافيًا، بل تنتج عن حفظ كلٍّ من الزخم والطاقة الحركية.
كيف تُشتق علاقة السرعة النسبية؟
ابدأ بمعادلة حفظ الزخم:
\[ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2 \]
أعِد ترتيبها:
\[ m_1(u_1-v_1)=m_2(v_2-u_2) \]
والآن، ابدأ بمعادلة حفظ الطاقة الحركية. يُختزل العامل \(\frac12\):
\[ m_1u_1^2+m_2u_2^2=m_1v_1^2+m_2v_2^2 \]
أعِد ترتيب المعادلة وحلّل فروق مربعين:
\[ m_1(u_1-v_1)(u_1+v_1) = m_2(v_2-u_2)(v_2+u_2) \]
تخبرنا معادلة الزخم أن
\[ m_1(u_1-v_1)=m_2(v_2-u_2) \]
في تصادم فعلي تتغير فيه السرعات، يمكن اختزال هذين العاملين المتساويين. فنحصل على
\[ u_1+v_1=v_2+u_2 \]
وبالتالي
\[ v_1-v_2=-(u_1-u_2) \]
الإشارة السالبة مهمة. فالجسمان يقتربان أحدهما من الآخر قبل التصادم، ثم يبتعدان أحدهما عن الآخر بعده.
05مثال محلول: عربتان متماثلتان
تتحرك عربتان، كتلة كل منهما \(0.50\text{ kg}\)، على مسار مستقيم. تتحرك العربة A نحو اليمين بسرعة \(4.0\text{ m s}^{-1}\)، وتتصادم تصادمًا مرنًا مع العربة B الساكنة. أوجد سرعة كل عربة بعد التصادم.
الخطوة 1
اعتبر الاتجاه نحو اليمين موجبًا.
\[ m_1=m_2=0.50\text{ kg},\qquad u_1=4.0\text{ m s}^{-1},\qquad u_2=0 \]
الخطوة 2
\[ (0.50)(4.0)+(0.50)(0) = 0.50v_1+0.50v_2 \]
إذن
\[ 2.0=0.50v_1+0.50v_2 \]
وبالقسمة على \(0.50\)،
\[ v_1+v_2=4.0 \]
الخطوة 3
\[ v_1-v_2=-(u_1-u_2) \]
إذن،
\[ v_1-v_2=-(4.0-0)=-4.0 \]
الخطوة 4
لدينا
\[ \begin{aligned} v_1+v_2&=4.0\\ v_1-v_2&=-4.0 \end{aligned} \]
بجمع المعادلتين نحصل على
\[ 2v_1=0 \]
إذن
\[ v_1=0 \]
ثم
\[ v_2=4.0\text{ m s}^{-1} \]
الخطوة 5
تتوقف العربة A، وتتحرك العربة B نحو اليمين بسرعة \(4.0\text{ m s}^{-1}\).
لقد نقلت العربة المتحركة حركتها فعليًا إلى العربة المتماثلة الساكنة.
تحقّق من الطاقة الحركية:
\[ K_i=\frac12(0.50)(4.0)^2=4.0\text{ J} \]
و
\[ K_f=\frac12(0.50)(0)^2+\frac12(0.50)(4.0)^2=4.0\text{ J} \]
الزخم والطاقة الحركية محفوظان.
06ماذا يتغير عندما تختلف الكتل؟
إذا كانت الكتلتان متساويتين، يكون تبادل السرعتين نتيجة بسيطة وأنيقة. لكن حفظ هذه النتيجة عن ظهر قلب قد يكون خطيرًا، لأنها لا تنطبق إلا في هذه الحالة الخاصة.
توقّع ما يحدث إذا اصطدمت عربة خفيفة متحركة بعربة ساكنة أثقل منها بكثير، وكان التصادم مرنًا. هل تستمر العربة الخفيفة في الحركة إلى الأمام؟
يمكنها في الواقع أن ترتد إلى الخلف.
فكّر في كرة تنس الطاولة التي تصطدم بجسم أكبر منها كتلة بكثير. يتغير مقدار سرعة الجسم الضخم تغيرًا ضئيلًا جدًا، بينما يمكن للجسم الخفيف أن يعكس اتجاه حركته. يظل الزخم محفوظًا لأن التغير الصغير في سرعة الجسم الأثقل يمكن أن يقترن بزخم ملحوظ.
المعادلات، لا مجرد كلمة «ارتداد»، هي التي تحدد النتيجة.
مثال محلول: كتلتان مختلفتان تتحركان باتجاه بعضهما
تتحرك عربة كتلتها \(0.20\text{ kg}\) نحو اليمين بسرعة \(6.0\text{ m s}^{-1}\). وتتحرك عربة كتلتها \(0.30\text{ kg}\) نحو اليسار بسرعة \(2.0\text{ m s}^{-1}\). تتصادمان تصادمًا مرنًا أحادي البعد. أوجد السرعتين النهائيتين.
الخطوة 1
اعتبر الاتجاه نحو اليمين موجبًا.
\[ u_1=+6.0\text{ m s}^{-1},\qquad u_2=-2.0\text{ m s}^{-1} \]
الخطوة 2
\[ (0.20)(6.0)+(0.30)(-2.0) = 0.20v_1+0.30v_2 \]
إذن
\[ 1.20-0.60=0.20v_1+0.30v_2 \]
وبالتالي
\[ 0.60=0.20v_1+0.30v_2 \]
زخم النظام يساوي \(+0.60\text{ kg m s}^{-1}\)، لذا فإن الزخم المحصّل للنظام يتجه نحو اليمين.
الخطوة 3
\[ v_1-v_2=-(u_1-u_2) \]
بالتعويض:
\[ v_1-v_2=-[6.0-(-2.0)]=-8.0 \]
إذن
\[ v_2=v_1+8.0 \]
الخطوة 4
\[ 0.60=0.20v_1+0.30(v_1+8.0) \]
\[ 0.60=0.20v_1+0.30v_1+2.40 \]
\[ -1.80=0.50v_1 \]
إذن
\[ v_1=-3.6\text{ m s}^{-1} \]
ثم
\[ v_2=-3.6+8.0=4.4\text{ m s}^{-1} \]
الخطوة 5
في البداية،
\[ \begin{aligned} K_i &=\frac12(0.20)(6.0)^2+\frac12(0.30)(-2.0)^2\\ &=3.60+0.60\\ &=4.20\text{ J} \end{aligned} \]
وفي النهاية،
\[ \begin{aligned} K_f &=\frac12(0.20)(-3.6)^2+\frac12(0.30)(4.4)^2\\ &=1.296+2.904\\ &=4.20\text{ J} \end{aligned} \]
النتيجة متوافقة مع تصادم مرن تمامًا.
تعكس العربة التي كتلتها \(0.20\text{ kg}\) اتجاه حركتها، وتغادر بسرعة \(3.6\text{ m s}^{-1}\). أما العربة التي كتلتها \(0.30\text{ kg}\)، فتعكس اتجاه حركتها الأصلي وتغادر بسرعة \(4.4\text{ m s}^{-1}\).
07ثلاثة اختبارات تكشف معظم أخطاء مسائل التصادم
1. حدّد الاتجاه الموجب قبل التعويض
تكون السرعة القياسية موجبة دائمًا، لكن السرعة المتجهة قد تكون موجبة أو سالبة.
إذا كان الاتجاه نحو اليمين موجبًا، فإن جسمًا يتحرك نحو اليسار بسرعة \(5.0\text{ m s}^{-1}\) تكون سرعته المتجهة
\[ v=-5.0\text{ m s}^{-1} \]
إن وضع \(+5.0\) في معادلة الزخم سيصف حركة مختلفة تمامًا.
2. لا تُسنِد اتجاهًا إلى الطاقة الحركية
الطاقة الحركية كمية قياسية.
إذا كان
\[ v=-5.0\text{ m s}^{-1} \]
فإن
\[ v^2=(-5.0)^2=25\text{ m}^2\text{ s}^{-2} \]
وليس \(-25\text{ m}^2\text{ s}^{-2}\).
3. تحقّق من قانونَي الحفظ كليهما
قد تحقق إجابة مقترحة حفظ الزخم، ومع ذلك تكون مستحيلة في تصادم مرن تمامًا.
افترض أن السرعتين الابتدائيتين لعربتين متماثلتين هما \(4.0\text{ m s}^{-1}\) و\(0\)، ثم ادّعى شخص أن كلتيهما تتحركان بسرعة \(2.0\text{ m s}^{-1}\) بعد التصادم.
معادلة الزخم صحيحة:
\[ m(4.0)=m(2.0)+m(2.0) \]
لكن الطاقة الحركية ليست محفوظة.
في البداية،
\[ K_i=\frac12m(4.0)^2=8m \]
وفي النهاية،
\[ K_f=2\left(\frac12m(2.0)^2\right)=4m \]
نصف الطاقة الحركية مفقود من الحركة النهائية. قد تصف النتيجة المدعاة تفاعلًا غير مرن انتقلت فيه الطاقة إلى أشكال أخرى، لكنها لا تصف تصادمًا مرنًا تمامًا.
08ماذا عن التصادمات في بُعدين؟
الزخم كمية متجهة، لذا فإنك تحفظ مركبتيه كلًّا على حدة في بُعدين:
\[ p_{x,i}=p_{x,f} \]
و
\[ p_{y,i}=p_{y,f} \]
وفي التصادم المرن تمامًا، يجب عليك أيضًا حفظ الطاقة الحركية الكلية.
لا تحتاج معادلة الطاقة الحركية إلى صيغتين منفصلتين للمركبتين \(x\) و\(y\). فالطاقة الحركية لكل جسم تعتمد على مقدار سرعته الكلية:
\[ K=\frac12mv^2 \]
حيث
\[ v^2=v_x^2+v_y^2 \]
إذن، يعطيك التصادم المرن ثنائي البعد عادةً ما يلي:
- حفظ الزخم في اتجاه \(x\).
- حفظ الزخم في اتجاه \(y\).
- حفظ الطاقة الحركية الكلية.
ينبغي عدم تطبيق اختصار «السرعة النسبية للاقتراب تساوي السرعة النسبية للابتعاد» الخاص ببُعد واحد بصورة عمياء على أي حركة عشوائية في بُعدين. في بُعدين، تعامل مع مركبات الزخم والطاقة الحركية، ما لم تسمح لك هندسة المسألة باتباع طريقة أبسط.
09الأسئلة والحلول
السؤال 1
تتحرك عربة كتلتها \(0.40\text{ kg}\) نحو اليمين بسرعة \(5.0\text{ m s}^{-1}\)، وتتصادم مع عربة ساكنة كتلتها \(0.40\text{ kg}\). بعد التصادم، تصبح العربة الأولى ساكنة، بينما تتحرك الثانية نحو اليمين بسرعة \(5.0\text{ m s}^{-1}\).
بيّن ما إذا كان التصادم متوافقًا مع كونه مرنًا تمامًا.
الحل 1
نعم. يحفظ التصادم كلًّا من الزخم الكلي والطاقة الحركية الكلية، لذا فإن الحركة المذكورة متوافقة مع تصادم مرن تمامًا.
اعتبر الاتجاه نحو اليمين موجبًا.
الزخم الابتدائي:
\[ \begin{aligned} p_i &=(0.40)(5.0)+(0.40)(0)\\ &=2.0\text{ kg m s}^{-1} \end{aligned} \]
الزخم النهائي:
\[ \begin{aligned} p_f &=(0.40)(0)+(0.40)(5.0)\\ &=2.0\text{ kg m s}^{-1} \end{aligned} \]
إذن، الزخم محفوظ.
الطاقة الحركية الابتدائية:
\[ \begin{aligned} K_i &=\frac12(0.40)(5.0)^2\\ &=5.0\text{ J} \end{aligned} \]
الطاقة الحركية النهائية:
\[ \begin{aligned} K_f &=\frac12(0.40)(0)^2+\frac12(0.40)(5.0)^2\\ &=5.0\text{ J} \end{aligned} \]
إذن، الطاقة الحركية محفوظة أيضًا.
هذه هي حالة تبادل السرعتين عند تساوي الكتلتين. ولم يكن التحقق من الزخم وحده كافيًا لإثبات أن التصادم مرن.
السؤال 2
يتحرك قرص كتلته \(0.30\text{ kg}\) نحو اليمين بسرعة \(4.0\text{ m s}^{-1}\)، ويتصادم تصادمًا مرنًا وجهاً لوجه مع قرص كتلته \(0.10\text{ kg}\) كان ساكنًا في البداية.
احسب السرعة النهائية لكل قرص.
الحل 2
يتحرك القرص الذي كتلته \(0.30\text{ kg}\) نحو اليمين بسرعة \(2.0\text{ m s}^{-1}\)، ويتحرك القرص الذي كتلته \(0.10\text{ kg}\) نحو اليمين بسرعة \(6.0\text{ m s}^{-1}\).
اعتبر الاتجاه نحو اليمين موجبًا.
يعطي حفظ الزخم
\[ (0.30)(4.0)+(0.10)(0) = 0.30v_1+0.10v_2 \]
إذن
\[ 1.20=0.30v_1+0.10v_2 \]
في تصادم مرن أحادي البعد،
\[ v_1-v_2=-(u_1-u_2) \]
وبالتالي،
\[ v_1-v_2=-(4.0-0)=-4.0 \]
إذن
\[ v_2=v_1+4.0 \]
عوّض بهذه العلاقة في معادلة الزخم:
\[ \begin{aligned} 1.20 &=0.30v_1+0.10(v_1+4.0)\\ &=0.40v_1+0.40 \end{aligned} \]
وعليه،
\[ 0.80=0.40v_1 \]
ومن ثم
\[ v_1=2.0\text{ m s}^{-1} \]
ثم
\[ v_2=2.0+4.0=6.0\text{ m s}^{-1} \]
ينتهي الأمر بالقرص الأخف وهو يتحرك بسرعة أكبر من سرعة القرص القادم في البداية. ولا ينتهك ذلك قانون حفظ الطاقة، لأن كتلته لا تتجاوز ثلث كتلة القرص القادم.
يؤكد التحقق من الطاقة الحركية صحة النتيجة:
\[ K_i=\frac12(0.30)(4.0)^2=2.4\text{ J} \]
و
\[ \begin{aligned} K_f &=\frac12(0.30)(2.0)^2+\frac12(0.10)(6.0)^2\\ &=0.60+1.80\\ &=2.40\text{ J} \end{aligned} \]
السؤال 3
يحلل طالب تصادمًا بين عربتين، ويحسب
\[ p_i=1.8\text{ kg m s}^{-1},\qquad p_f=1.8\text{ kg m s}^{-1} \]
و
\[ K_i=3.6\text{ J},\qquad K_f=2.9\text{ J} \]
ويستنتج الطالب: «لا بد أن يكون الحساب خاطئًا لأن الطاقة لم تُحفظ».
قيّم هذا الاستنتاج.
الحل 3
هذا الاستنتاج غير مبرر. تُظهر البيانات أن الزخم محفوظ، لكن الطاقة الحركية غير محفوظة، وهذا ممكن في تصادم غير مرن.
لقد خلط الطالب بين الطاقة الحركية والطاقة الكلية.
قيمتا الزخم متساويتان:
\[ p_i=p_f=1.8\text{ kg m s}^{-1} \]
لذا فإن القياسات متوافقة مع نظام معزول أثناء التصادم.
مقدار التغير في الطاقة الحركية هو
\[ \Delta K=K_f-K_i=2.9-3.6=-0.7\text{ J} \]
إذن، انتقلت طاقة حركية مقدارها \(0.7\text{ J}\) إلى أشكال أخرى من الطاقة.
على سبيل المثال، ربما تحولت إلى طاقة داخلية مرتبطة بالتشوه أو التسخين أو الاهتزاز أو الصوت.
تظل الطاقة الكلية محفوظة. لكن التصادم ليس مرنًا تمامًا.
يكمن الخطأ في افتراض أن حفظ الزخم يستلزم تلقائيًا حفظ الطاقة الحركية. وهذا غير صحيح.
السؤال 4
تتصادم عربة كتلتها \(0.20\text{ kg}\)، تتحرك نحو اليمين بسرعة \(3.0\text{ m s}^{-1}\)، تصادمًا مباشرًا مع عربة ساكنة كتلتها \(0.50\text{ kg}\). التصادم مرن تمامًا.
احسب السرعتين النهائيتين من دون افتراض أن العربة الأولى ستواصل الحركة نحو اليمين، واشرح اتجاه حركة العربة الأولى.
الحل 4
ترتد العربة التي كتلتها \(0.20\text{ kg}\) نحو اليسار بسرعة \(1.29\text{ m s}^{-1}\)، بينما تتحرك العربة التي كتلتها \(0.50\text{ kg}\) نحو اليمين بسرعة \(1.71\text{ m s}^{-1}\).
اعتبر الاتجاه نحو اليمين موجبًا.
يعطي حفظ الزخم
\[ (0.20)(3.0)+(0.50)(0) = 0.20v_1+0.50v_2 \]
إذن
\[ 0.60=0.20v_1+0.50v_2 \]
في التصادم المرن،
\[ v_1-v_2=-(u_1-u_2) \]
إذن
\[ v_1-v_2=-3.0 \]
وبالتالي
\[ v_2=v_1+3.0 \]
عوّض في معادلة الزخم:
\[ \begin{aligned} 0.60 &=0.20v_1+0.50(v_1+3.0)\\ &=0.70v_1+1.50 \end{aligned} \]
إذن
\[ -0.90=0.70v_1 \]
وبالتالي
\[ v_1=-1.29\text{ m s}^{-1} \]
ثم
\[ v_2=-1.29+3.0=1.71\text{ m s}^{-1} \]
تعني الإشارة السالبة في \(v_1\) أن العربة الأولى ترتد نحو اليسار.
كتلة العربة الأولى أقل من كتلة العربة المستهدفة الساكنة. في تصادم مرن مباشر، يمكن للعربة الأثقل أن تعكس اتجاه سرعة الجسم الأخف القادم، مع اكتساب زخم كافٍ للتحرك إلى الأمام.
النقطة المهمة هي أن الحساب هو الذي يجب أن يحدد الاتجاه. إن افتراض أن السرعتين النهائيتين موجبتان سيستبعد نتيجة ممكنة فيزيائيًا قبل أن تتاح لقوانين الحفظ فرصة تحديدها.
السؤال 5
يتصادم قرصان أملسان متماثلان تصادمًا مرنًا على سطح أفقي. قبل التصادم، يتحرك القرص A شرقًا بسرعة مقدارها \(u\)، بينما يكون القرص B ساكنًا. بعد التصادم، يتحرك القرصان، وتكون سرعة A المتجهة \(\vec v_A\)، وسرعة B المتجهة \(\vec v_B\).
أثبت أن متجهي السرعة النهائيين متعامدان.
الحل 5
متجها السرعة النهائيان متعامدان: \(\vec v_A\cdot\vec v_B=0\).
لتكن كتلة كل قرص \(m\).
الزخم الكلي في البداية هو
\[ m\vec u \]
حيث \(\vec u\) هي السرعة المتجهة الابتدائية للقرص A.
بعد التصادم، يعطي حفظ الزخم
\[ m\vec u=m\vec v_A+m\vec v_B \]
نختزل \(m\):
\[ \vec u=\vec v_A+\vec v_B \]
والآن، خذ مربع مقدار طرفي المعادلة:
\[ u^2=\left|\vec v_A+\vec v_B\right|^2 \]
وباستخدام هوية المتجهات الخاصة بمربع مقدار مجموع متجهين،
\[ u^2=v_A^2+v_B^2+2\vec v_A\cdot\vec v_B \]
بما أن التصادم مرن، فإن الطاقة الحركية محفوظة أيضًا:
\[ \frac12mu^2 = \frac12mv_A^2+\frac12mv_B^2 \]
نختزل \(\frac12m\):
\[ u^2=v_A^2+v_B^2 \]
قارن التعبيرين اللذين يساويان \(u^2\):
\[ v_A^2+v_B^2+2\vec v_A\cdot\vec v_B = v_A^2+v_B^2 \]
إذن
\[ 2\vec v_A\cdot\vec v_B=0 \]
وبالتالي
\[ \vec v_A\cdot\vec v_B=0 \]
يعني حاصل الضرب القياسي الصفري أن متجهي السرعة متعامدان.
تعتمد هذه النتيجة على عدة شروط ضمنية: الكتلتان متماثلتان، وأحد القرصين ساكن في البداية، والتصادم مرن. إذا أزلت أحد هذه الشروط، فلن تكون نتيجة الزاوية \(90^\circ\) صحيحة عمومًا.
السؤال 6
تتحرك عربة كتلتها \(m\) نحو اليمين بسرعة \(u\)، وتتصادم تصادمًا مرنًا مباشرًا مع عربة ساكنة كتلتها \(M\).
بالنسبة إلى العربة المتحركة بعد التصادم،
\[ v=\frac{m-M}{m+M}u \]
استخدم هذه النتيجة لتحديد ما يحدث عندما:
- \(M=m\)
- \(M>m\)
- تصبح \(M\) كبيرة للغاية مقارنةً بـ \(m\)
اشرح لماذا تكون الحالة الحدية منطقية من الناحية الفيزيائية.
الحل 6
عندما \(M=m\)، تتوقف العربة القادمة. وعندما \(M>m\)، ترتد إلى الخلف. ومع ازدياد \(M\) كثيرًا مقارنةً بـ \(m\)، تقترب سرعتها النهائية من \(-u\).
السرعة النهائية هي
\[ v=\frac{m-M}{m+M}u \]
عندما \(M=m\)،
\[ v=\frac{m-m}{m+m}u=0 \]
إذن تتوقف العربة القادمة. وهذا يتفق مع نتيجة انتقال الحركة عند تساوي الكتلتين.
عندما \(M>m\)، يكون البسط \(m-M\) سالبًا، بينما يكون المقام \(m+M\) موجبًا. لذلك،
\[ v<0 \]
وتعكس العربة القادمة اتجاه حركتها.
والآن، لننظر في الحالة التي تكون فيها \(M\) أكبر بكثير من \(m\). اقسم البسط والمقام في الكسر على \(M\):
\[ v= \frac{\frac{m}{M}-1}{\frac{m}{M}+1}u \]
كلما أصبحت \(M\) أكبر للغاية،
\[ \frac{m}{M}\rightarrow 0 \]
إذن
\[ v\rightarrow\frac{-1}{1}u=-u \]
تقترب العربة الصغيرة بسرعة \(u\)، ثم تغادر في الاتجاه المعاكس بسرعة تكاد تساوي السرعة نفسها.
وهذا منطقي فيزيائيًا. فالجسم المستهدف الذي تبلغ كتلته قيمة هائلة يتغير مقدار سرعته تغيرًا ضئيلًا للغاية، لذا فإنه يبدو للعربة الصغيرة أشبه بجدار صلب. وفي الحد المثالي للتصادم المرن، ترتد العربة من دون أن تفقد طاقتها الحركية.
لكن النقطة الدقيقة هنا هي أن الجسم المستهدف الضخم لا يبقى متأثرًا تمامًا ما لم تُعامل كتلته على أنها لا نهائية. فعندما تكون \(M\) محدودة، مهما كانت كبيرة، فإنه يكتسب بعض الزخم والطاقة الحركية.
10إلى أين تقودنا هذه الفكرة بعد ذلك؟
تفرض التصادمات المرنة مجموعة قوية على نحو غير معتاد من القيود. يوضح حفظ الزخم كيفية إعادة توزيع حركة النظام، بينما يستبعد حفظ الطاقة الحركية النتائج التي تتطلب بقاء جزء من طاقة الحركة في صورة تشوه أو حرارة أو طاقة داخلية أخرى.
وهذا يهيئك لطريقة أكثر عمومية لتصنيف التصادمات. في نظام معزول، نتوقع حفظ الزخم. أما القرار التالي فيتعلق بما يحدث للطاقة الحركية: إذا كانت محفوظة أيضًا، فالتصادم مرن؛ وإذا انخفضت، فالتصادم غير مرن.
عندما يصبح هذا التمييز واضحًا، تتوقف مسائل التصادم عن كونها بحثًا عن «المعادلة الصحيحة». وتصبح مسألة اختيار النظام، وتحديد اصطلاح الاتجاهات، والبت بدقة في قوانين الحفظ التي تسمح الظروف الفيزيائية باستخدامها.