مخططات القوة والزمن: الدفع والتغير في الزخم في فيزياء HSC
تعلّم كيفية تفسير المساحة تحت مخطط القوة والزمن بوصفها دفعًا، وربطها بالتغير في الزخم، وتجنّب الأخطاء الشائعة المتعلقة بالإشارات والقوة القصوى.
يسمح لنا مخطط القوة والزمن بفهم الدفع والتغير في الزخم في فيزياء HSC
يسجل مستشعر قوة تصادمين. تصل القوة القصوى في التصادم A إلى قيمة أعلى بكثير من القوة القصوى في التصادم B، لكن مدة التصادم A أقصر. أي التصادمين يُحدث تغيرًا أكبر في زخم الجسم؟
قد تميل إلى اختيار المخطط الأعلى. فالقوة الأكبر تعني تأثيرًا أكبر، أليس كذلك؟ ليس بالضرورة. في مخطط القوة والزمن، يعتمد التغير في الزخم على كلٍّ من القوة والمدة التي تؤثر خلالها. والكمية التي تأخذ العاملين معًا في الحسبان هي المساحة تحت المخطط.
تُسمّى هذه المساحة الدفع.
01لماذا لا تكفي القوة وحدها؟
تخيّل أنك تدفع عربة تسوق.
يمكن لدفعة قوية تستمر لجزء ضئيل جدًا من الثانية أن تجعلها تتحرك. ويمكن أيضًا لدفعة ألطف تستمر مدة أطول بكثير أن تحقق ذلك. إذا أردنا معرفة مقدار التغير في زخم العربة، فلن تكفي معرفة أكبر قوة فقط. بل نحتاج أيضًا إلى معرفة مدة تأثير الدفعة.
عندما تكون القوة ثابتة، يمكن كتابة قانون نيوتن الثاني على النحو الآتي:
\[ F_{\text{net}}=\frac{\Delta p}{\Delta t} \]
حيث:
- \(F_{\text{net}}\) هي القوة المحصلة بوحدة النيوتن (N).
- \(\Delta p\) هو التغير في الزخم بوحدة كيلوغرام متر لكل ثانية (\(\text{kg m s}^{-1}\)).
- \(\Delta t\) هي الفترة الزمنية بوحدة الثانية (s).
نعيد ترتيب المعادلة:
\[ F_{\text{net}}\Delta t=\Delta p \]
يُسمّى حاصل الضرب \(F\Delta t\) الدفع، ويرمز إليه بالرمز \(J\):
\[ J=F_{\text{net}}\Delta t=\Delta p \]
إذًا، يخبرنا الدفع بمقدار التغير في زخم الجسم.
وحدته هي نيوتن ثانية:
\[ \text{N s} \]
وبما أن
\[ 1\text{ N}=1\text{ kg m s}^{-2}, \]
فإن
\[ 1\text{ N s}=1\text{ kg m s}^{-1} \]
وهذا ليس من قبيل المصادفة. فالدفع والزخم لهما وحدات متكافئة لأن الدفع هو التغير في الزخم.
02لماذا تعطي المساحة تحت المخطط قيمة الدفع؟
لنبدأ بأبسط مخطط للقوة والزمن: مخطط تكون فيه القوة ثابتة.
افترض أن قوة مقدارها \(40\text{ N}\) تؤثر مدة \(0.20\text{ s}\).
ينتج عن ذلك مستطيل في مخطط القوة والزمن:
- الارتفاع = \(40\text{ N}\)
- العرض = \(0.20\text{ s}\)
المساحة هي
\[ A=40\times0.20=8.0\text{ N s} \]
لكن \(40\times0.20\) يساوي أيضًا \(F\Delta t\)، أي الدفع.
لذلك، في مخطط القوة والزمن المستطيل،
\[ \boxed{\text{المساحة تحت المخطط}=J} \]
لنفترض الآن أن القوة تتغير أثناء التصادم. يمكننا تخيل تقسيم المخطط إلى عدد كبير من الشرائط الرأسية الرفيعة جدًا. خلال فترة زمنية صغيرة جدًا \(\Delta t\)، تكون القوة ثابتة تقريبًا، ولذلك يسهم ذلك الشريط في الدفع بمقدار تقريبي يساوي \(F\Delta t\).
اجمع جميع هذه المساهمات الصغيرة، وستحصل على المساحة الكلية تحت المنحنى.
بالصيغة الرياضية الدقيقة،
\[ J=\int_{t_1}^{t_2}F_{\text{net}}\,dt=\Delta p \]
لا تحتاج عادةً إلى حساب التفاضل والتكامل لإيجاد مساحة المخططات البسيطة ذات الأضلاع المستقيمة المستخدمة في أسئلة HSC. بدلًا من ذلك، قسّم المخطط إلى مستطيلات ومثلثات وأشباه منحرفات.
03قاعدة اتخاذ القرار التي تحتاج إليها فعلًا
عندما ترى مخططًا للقوة والزمن، لا تبحث فورًا عن القوة القصوى.
اسأل نفسك:
ما المساحة الجبرية بين المنحنى ومحور الزمن؟
في مسألة أحادية البعد،
\[ \boxed{J=\text{المساحة الجبرية تحت مخطط القوة والزمن}=\Delta p} \]
كلمة جبرية مهمة هنا.
إذا اخترت اليمين اتجاهًا موجبًا:
- تعطي المساحة الواقعة فوق محور الزمن دفعًا موجبًا.
- تعطي المساحة الواقعة تحت محور الزمن دفعًا سالبًا.
يجب أن تختار اتجاهًا موجبًا وتحافظ على اتساقك معه.
مثال محلول: إيجاد الدفع الناتج عن نبضة قوة مثلثية
ترتفع القوة المؤثرة في عربة بانتظام من \(0\text{ N}\) إلى \(750\text{ N}\)، ثم تنخفض بانتظام حتى تعود إلى \(0\text{ N}\). تستمر عملية التفاعل بأكملها مدة \(8.0\text{ ms}\). أوجد الدفع المؤثر في العربة.
الخطوة 1
مخطط القوة والزمن مثلث. ومساحته هي
\[ A=\frac{1}{2}bh \]
هنا، تمثل القاعدة الفترة الزمنية، ويمثل الارتفاع القوة القصوى.
الخطوة 2
\[ 8.0\text{ ms}=8.0\times10^{-3}\text{ s} \]
الخطوة 3
\[ \begin{aligned} J&=\frac{1}{2}(8.0\times10^{-3})(750)\\ &=3.0\text{ N s} \end{aligned} \]
الخطوة 4
يتغير زخم العربة بمقدار
\[ \boxed{3.0\text{ kg m s}^{-1}} \]
في الاتجاه الموجب للقوة.
لاحظ أننا لم نضرب القوة القصوى في كامل مدة \(8.0\text{ ms}\). فالقوة لا تبلغ \(750\text{ N}\) إلا في لحظة واحدة. ولو تعاملنا معها على أنها \(750\text{ N}\) طوال التصادم، لكان الدفع المحسوب ضعف القيمة الصحيحة.
04القوة القصوى والدفع مفهومان مختلفان
تأمل مخططي قوة وزمن.
يحتوي المخطط A على نبضة مرتفعة جدًا وضيقة. أما المخطط B فيحتوي على نبضة أقل ارتفاعًا وأعرض.
أي المخططين له الدفع الأكبر؟
لا يمكنك معرفة ذلك من القوة القصوى وحدها. بل عليك مقارنة المساحتين.
وهذا أحد أكثر الأخطاء شيوعًا عند التعامل مع مخططات القوة والزمن:
لا تعني زيادة القوة القصوى بالضرورة زيادة التغير في الزخم.
قد يكون للدفع الناتج عن قوة مقدارها \(1000\text{ N}\) تؤثر مدة قصيرة القيمة نفسها للدفع الناتج عن قوة مقدارها \(200\text{ N}\) تؤثر مدة أطول بخمس مرات.
ويساعد هذا أيضًا في تفسير إحدى الخصائص المهمة لوسائل التوسيد. افترض أن جسمًا يجب أن يمر بتغير معين في الزخم، مثل التوقف عن الحركة. عندئذ يكون الدفع المطلوب محددًا:
\[ J=\Delta p \]
إذا زادت مدة التوقف، أمكن تحقيق الدفع نفسه باستخدام قوة متوسطة أصغر.
عندما تتغير القوة،
\[ J=F_{\text{avg}}\Delta t \]
حيث \(F_{\text{avg}}\) هي القوة المتوسطة خلال الفترة الزمنية.
يمكنك تصور \(F_{\text{avg}}\) على أنه ارتفاع مستطيل له المساحة نفسها التي لمخطط القوة والزمن الفعلي.
هذا التصور مفيد، لكن لا تبالغ في تفسيره. فالجسم لا يتعرض فعليًا للقوة المتوسطة في كل لحظة. قد ترتفع القوة الفعلية أو تنخفض أو يتغير اتجاهها.
05من الدفع إلى الزخم النهائي
غالبًا ما يكون إيجاد المساحة نصف المسألة فقط.
يخبرك الدفع عن التغير في الزخم:
\[ J=\Delta p=p_f-p_i \]
وبالتالي،
\[ p_f=p_i+J \]
وهنا تصبح الإشارات ضرورية.
فالدفع الموجب لا يعني تلقائيًا أن الجسم سينتهي به الأمر متحركًا في الاتجاه الموجب. بل يعني أن زخمه قد تغير في الاتجاه الموجب.
على سبيل المثال، قد يتلقى جسم يتحرك بسرعة كبيرة نحو اليسار دفعًا نحو اليمين، ومع ذلك يستمر في التحرك نحو اليسار، ولكن بسرعة أقل.
مثال محلول: هل يمكن للدفع أن يعكس اتجاه حركة العربة؟
تتحرك عربة كتلتها \(1.5\text{ kg}\) في البداية نحو اليسار بسرعة \(4.0\text{ m s}^{-1}\). اعتبر الاتجاه نحو اليمين موجبًا.
تؤثر في العربة قوة نحو اليمين وفقًا لما يأتي:
- من \(0\) إلى \(0.20\text{ s}\)، تزداد القوة بانتظام من \(0\) إلى \(12\text{ N}\).
- من \(0.20\) إلى \(0.50\text{ s}\)، تبقى القوة ثابتة عند \(12\text{ N}\).
- من \(0.50\) إلى \(0.60\text{ s}\)، تنخفض القوة بانتظام من \(12\text{ N}\) إلى \(0\).
أوجد الدفع وحدد السرعة المتجهة النهائية للعربة.
الخطوة 1
\[ J_1=\frac{1}{2}(0.20)(12)=1.2\text{ N s} \]
الخطوة 2
مدته الزمنية هي
\[ 0.50-0.20=0.30\text{ s} \]
لذلك،
\[ J_2=(12)(0.30)=3.6\text{ N s} \]
الخطوة 3
\[ J_3=\frac{1}{2}(0.10)(12)=0.60\text{ N s} \]
الدفع الكلي هو
\[ \begin{aligned} J&=J_1+J_2+J_3\\ &=1.2+3.6+0.60\\ &=5.4\text{ N s} \end{aligned} \]
إذًا، يتغير الزخم بمقدار \(+5.4\text{ kg m s}^{-1}\).
الخطوة 4
بما أن الاتجاه نحو اليسار سالب،
\[ \begin{aligned} p_i&=mv_i\\ &=(1.5)(-4.0)\\ &=-6.0\text{ kg m s}^{-1} \end{aligned} \]
الخطوة 5
\[ \begin{aligned} J&=p_f-p_i\\ 5.4&=p_f-(-6.0)\\ p_f&=-0.60\text{ kg m s}^{-1} \end{aligned} \]
الخطوة 6
\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{p_f}{m}\\ &=\frac{-0.60}{1.5}\\ &=-0.40\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]
إذًا،
\[ \boxed{v_f=-0.40\text{ m s}^{-1}} \]
لم يكن الدفع الموجب كبيرًا بما يكفي لعكس اتجاه حركة العربة. فهي لا تزال تتحرك نحو اليسار، ولكن بسرعة أقل بكثير.
من السهل إغفال هذا الفرق: تخبرك إشارة الدفع باتجاه التغير في الزخم، وليس بالضرورة باتجاه السرعة المتجهة النهائية.
06ماذا لو امتد المخطط إلى أسفل محور الزمن؟
افترض أن الاتجاه نحو اليمين موجب. يمثل المخطط الواقع فوق المحور قوة نحو اليمين، بينما يمثل المخطط الواقع أسفل المحور قوة نحو اليسار.
إذا حدث الأمران خلال الفترة الزمنية نفسها، فاحسب المساحتين الموجبة والسالبة كلًّا على حدة.
على سبيل المثال، افترض أن المخطط يتضمن:
- مساحة مقدارها \(+6.0\text{ N s}\) فوق المحور.
- مساحة مقدارها \(3.5\text{ N s}\) تحت المحور.
تمثل المساحة الثانية دفعًا مقداره \(-3.5\text{ N s}\).
لذلك،
\[ J_{\text{net}}=6.0-3.5=+2.5\text{ N s} \]
يتغير زخم الجسم بمقدار \(+2.5\text{ kg m s}^{-1}\).
لا تجمع المقدارين المطلقين لتحصل على \(9.5\text{ N s}\). فذلك من شأنه تجاهل الاتجاه.
07نقطة دقيقة مهمة: أي قوة يمثّلها المخطط؟
تستخدم العلاقة الدقيقة
\[ \Delta p=\int F_{\text{net}}\,dt \]
القوة المحصلة المؤثرة في الجسم.
أحيانًا يعرض السؤال مخططًا لقوة ناتجة عن تفاعل معين، مثل القوة التي يؤثر بها جدار في كرة. في هذه الحالة، تعطي المساحة الدفع الناتج عن تلك القوة.
إذا أثرت قوى أخرى خلال الفترة الزمنية نفسها، فإنها تسهم أيضًا في الدفع الكلي.
أثناء التصادم القصير جدًا، قد تكون قوى مثل الوزن صغيرة مقارنة بقوة التصادم، ولذلك قد يكون دفعها مهمَلًا. لكن هذا افتراض يتعلق بالحالة المدروسة، وليس قانونًا جديدًا في الفيزياء.
تُظهر الإجابة القوية إدراكًا لطبيعة القوة التي يمثّلها المخطط فعلًا.
08طريقة موجزة للتعامل مع مخططات القوة والزمن في HSC
عندما تواجه مخططًا للقوة والزمن:
- اختر اتجاهًا موجبًا.
- تحقق من وحدات الزمن. حوّل المللي ثانية إلى ثانية قبل حساب المساحات.
- قسّم المنطقة إلى أشكال بسيطة مثل المستطيلات والمثلثات وأشباه المنحرفات.
- انتبه إلى الإشارات. تكون المساحات الواقعة تحت محور الزمن سالبة إذا اخترت الاتجاه إلى أعلى بوصفه اتجاه القوة الموجب.
- اجمع المساحات الجبرية للحصول على الدفع.
- استخدم
\[ J=\Delta p=p_f-p_i \]
إذا كان المطلوب هو الزخم.
7. استخدم \(p=mv\) إذا طلب السؤال السرعة المتجهة.
8. فسّر الإشارة وتحقق من أن النتيجة منطقية من الناحية الفيزيائية.
ومن المفيد إجراء فحص نهائي للأبعاد:
\[ \text{القوة}\times\text{الزمن}=\text{N s}=\text{kg m s}^{-1} \]
إذا كانت وحدة «الدفع» التي حسبتها لا تزال نيوتن، فهذا يعني أنك لم تحسب مساحة.
09الأسئلة والحلول
السؤال 1
تؤثر قوة ثابتة مقدارها \(80\text{ N}\) نحو اليمين في عربة مدة \(0.15\text{ s}\).
أوجد الدفع المؤثر في العربة، واذكر التغير المقابل في زخمها.
الحل 1
الدفع هو \(+12\text{ N s}\)، ولذلك يتغير زخم العربة بمقدار \(+12\text{ kg m s}^{-1}\).
باعتبار الاتجاه نحو اليمين موجبًا،
\[ \begin{aligned} J&=F\Delta t\\ &=(80)(0.15)\\ &=12\text{ N s} \end{aligned} \]
وبما أن
\[ J=\Delta p \]
فإن التغير في الزخم هو
\[ \boxed{\Delta p=+12\text{ kg m s}^{-1}} \]
تشير الإشارة الموجبة إلى أن التغير في الزخم يكون نحو اليمين.
السؤال 2
تتعرض عربتان لنبضتي قوة مختلفتين مدة \(0.040\text{ s}\).
بالنسبة إلى العربة A، ترتفع القوة من الصفر إلى \(300\text{ N}\)، ثم تنخفض إلى الصفر، مكوّنةً مخطط قوة وزمن مثلثيًا.
أما العربة B، فتؤثر فيها قوة ثابتة مقدارها \(160\text{ N}\) طوال مدة \(0.040\text{ s}\).
أي العربتين تتلقى دفعًا أكبر؟
الحل 2
تتلقى العربة B دفعًا أكبر، على الرغم من أن العربة A تتعرض لقوة قصوى أكبر.
بالنسبة إلى العربة A، يكون المخطط مثلثيًا:
\[ \begin{aligned} J_A&=\frac{1}{2}(0.040)(300)\\ &=6.0\text{ N s} \end{aligned} \]
أما بالنسبة إلى العربة B، فيكون المخطط مستطيلًا:
\[ \begin{aligned} J_B&=(160)(0.040)\\ &=6.4\text{ N s} \end{aligned} \]
إذًا،
\[ \boxed{J_B>J_A} \]
ويكون التغير في زخم العربة B أكبر.
الخطأ المغري هو مقارنة \(300\text{ N}\) بـ \(160\text{ N}\) والتوقف عند ذلك. يعتمد الدفع على المساحة الكلية، وليس على الارتفاع الأقصى وحده.
السؤال 3
اعتبر الاتجاه نحو اليمين موجبًا. يمتلك جسم كتلته \(2.0\text{ kg}\) في البداية زخمًا مقداره
\[ p_i=-3.0\text{ kg m s}^{-1}. \]
ثم تؤثر فيه قوة ثابتة مقدارها \(+100\text{ N}\) مدة \(0.050\text{ s}\)، تتبعها مباشرةً قوة ثابتة مقدارها \(-40\text{ N}\) مدة \(0.10\text{ s}\).
أوجد الزخم النهائي والسرعة المتجهة النهائية. هل زادت السرعة أم انخفضت؟
الحل 3
الزخم النهائي هو \(-2.0\text{ kg m s}^{-1}\)، والسرعة المتجهة النهائية هي \(-1.0\text{ m s}^{-1}\)، وقد انخفضت سرعة الجسم.
الدفع الأول هو
\[ \begin{aligned} J_1&=(100)(0.050)\\ &=+5.0\text{ N s} \end{aligned} \]
القوة الثانية سالبة، ولذلك
\[ \begin{aligned} J_2&=(-40)(0.10)\\ &=-4.0\text{ N s} \end{aligned} \]
الدفع المحصل هو
\[ \begin{aligned} J&=J_1+J_2\\ &=5.0-4.0\\ &=+1.0\text{ N s} \end{aligned} \]
استخدم الآن العلاقة
\[ J=p_f-p_i \]
ومن ثم
\[ \begin{aligned} 1.0&=p_f-(-3.0)\\ p_f&=-2.0\text{ kg m s}^{-1} \end{aligned} \]
السرعة المتجهة النهائية هي
\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{p_f}{m}\\ &=\frac{-2.0}{2.0}\\ &=-1.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]
إذًا،
\[ \boxed{v_f=-1.0\text{ m s}^{-1}} \]
لا يزال الجسم يتحرك نحو اليسار. كانت سرعته الابتدائية
\[ \frac{3.0}{2.0}=1.5\text{ m s}^{-1}, \]
ولذلك انخفضت سرعته من \(1.5\text{ m s}^{-1}\) إلى \(1.0\text{ m s}^{-1}\).
لا يؤدي الدفع الموجب بالضرورة إلى زخم نهائي موجب. ففي هذه الحالة، جعل الزخم السالب أقل سلبية.
السؤال 4
لدى عربتين كتلتان مختلفتان، لكنهما تتعرضان لمخططي قوة وزمن متطابقين للقوة المحصلة.
كتلة العربة X هي \(1.0\text{ kg}\)، بينما كتلة العربة Y هي \(2.5\text{ kg}\).
يدّعي أحد الطلاب ما يأتي:
«بما أن مخططي القوة والزمن متطابقان، فلا بد أن يكون التغير في السرعة المتجهة للعربتين متساويًا».
هل هذا الادعاء صحيح؟ وضّح إجابتك.
الحل 4
لا. يتساوى التغير في زخم العربتين، لكن التغير في السرعة المتجهة ليس متساويًا.
تؤدي مخططات القوة والزمن المتطابقة إلى مساحات جبرية متطابقة، ولذلك تنتج الدفع نفسه:
\[ J_X=J_Y \]
وبما أن
\[ J=\Delta p, \]
فإن التغير في زخم العربتين متساوٍ:
\[ \Delta p_X=\Delta p_Y \]
لكن الزخم يُعطى بالعلاقة
\[ p=mv. \]
إذا بقيت الكتلة ثابتة،
\[ \Delta p=m\Delta v \]
ومن ثم
\[ \Delta v=\frac{\Delta p}{m}. \]
كتلة العربة Y أكبر، ولذلك يؤدي التغير نفسه في الزخم إلى تغير أصغر في السرعة المتجهة.
يكمن خطأ الطالب في التعامل مع «التغير نفسه في الزخم» و«التغير نفسه في السرعة المتجهة» على أنهما متكافئان. ولا يتكافأ الأمران إلا إذا كانت الكتلتان متساويتين أيضًا.
السؤال 5
يبدأ جسم من السكون. وخلال \(0.40\text{ s}\) التالية، تساوي المساحة الجبرية الواقعة فوق محور الزمن في مخطط القوة المحصلة والزمن المساحة الجبرية الواقعة تحت المحور من حيث المقدار.
يقول أحد الطلاب:
«بما أن الدفع الكلي يساوي صفرًا، فلا بد أن الجسم ظل ساكنًا طوال مدة \(0.40\text{ s}\)».
قيّم استدلال الطالب.
الحل 5
الاستنتاج غير صحيح. فالدفع المحصل الصفري يعني أن الزخم النهائي للجسم يساوي زخمه الابتدائي، وليس أن زخمه ظل ثابتًا طوال الفترة الزمنية.
تتلاشى المساحتان الموجبة والسالبة إحداهما مع الأخرى، ولذلك
\[ J_{\text{net}}=0. \]
وبما أن
\[ J_{\text{net}}=p_f-p_i, \]
ولأن الجسم يبدأ من السكون،
\[ \begin{aligned} 0&=p_f-0\\ p_f&=0. \end{aligned} \]
إذًا، يكون الجسم ساكنًا مرة أخرى عند نهاية الفترة الزمنية البالغة \(0.40\text{ s}\).
لكن الجزء الموجب من مخطط القوة والزمن يمنح الجسم زخمًا خلال مرحلة مبكرة من حركته. ويمكن للدفع السالب اللاحق أن يزيل هذا الزخم.
على سبيل المثال، قد يتسارع الجسم نحو اليمين ثم يتباطأ لاحقًا حتى يعود إلى السكون.
يكون زخمه النهائي صفرًا، لكنه قد يكون قد قطع مسافة كبيرة بينما كان زخمه غير صفري.
وهذا يوضح أحد القيود المهمة للدفع الكلي: فمعرفة المساحة المحصلة على امتداد فترة زمنية كاملة تخبرك بالتغير الإجمالي في الزخم، لكنها لا تخبرك بما كان يفعله الجسم في كل لحظة ضمن تلك الفترة.
10ما الذي يمكنك فهمه بعد ذلك؟
بمجرد أن تتمكن من قراءة الدفع من مخطط القوة والزمن، يصبح تنظيم مسائل التصادم أسهل بكثير. فالمساحة تعطيك \(\Delta p\)، ويخبرك الزخم بكيفية تغير السرعة المتجهة، ويساعد عرض المخطط على تفسير سبب إمكان تقليل القوة اللازمة لإحداث التغير نفسه في الزخم عن طريق زيادة مدة التوقف.
والخطوة المفيدة التالية هي ربط ذلك بـ حفظ الزخم. أثناء التصادم، يتعرض كل جسم لدفع ناتج عن الجسم الآخر. ويساعد تتبّع هذه الدفعات على تفسير سبب تغير الزخم الفردي لكل جسم، في حين يظل الزخم الكلي لنظام معزول ثابتًا.