Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας για τη Φυσική HSC: Ένας σαφής οδηγός με λυμένα παραδείγματα

Ένα διαστημόπλοιο περνά από τη Γη με ταχύτητα \(0.80c\). Η Γη αποδίδει μεγαλύτερο χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο χτύπους του ρολογιού του διαστημοπλοίου απ’ ό,τι ο αστροναύτης. Ο αστροναύτης, εν τω μεταξύ, λέει ότι τα ρολόγια στη Γη πηγαίνουν αργά. Πριν συνεχίσεις την ανάγνωση, κάνε μια πρόβλεψη: κάνει απλώς λάθος ένας από τους δύο παρατηρητές; Όχι. Ο καθένας χρησιμοποιεί διαφορετικό αδρανειακό σύστημα αναφοράς και η διαφωνία προκύπτει από τον τρόπο με τον οποίο μετρώνται ο χρόνος και ο χώρος σε υψηλές ταχύτητες.

01Συστήματα αναφοράς: τι μετρά στην πραγματικότητα κάθε παρατηρητής;

Ένα σύστημα αναφοράς είναι ένα σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται για να αποδίδονται θέσεις και χρόνοι στα γεγονότα. Μπορεί να αναπαρασταθεί με χάρακες και ένα δίκτυο συγχρονισμένων ρολογιών.

Ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι ένα σύστημα που δεν επιταχύνεται ούτε περιστρέφεται. Για τους σκοπούς αυτού του οδηγού, υποθέτουμε ότι η βαρύτητα είναι αμελητέα και ότι το διαστημόπλοιο και η Γη κινούνται με σταθερή σχετική ταχύτητα κάθε φορά που τα συγκρίνουμε.

Στην καθημερινή ζωή, μπορούμε συνήθως να θεωρούμε τον χρόνο σαν να ήταν καθολικός. Αν δύο γεγονότα συμβαίνουν ταυτόχρονα για εσένα, περιμένεις να συμβαίνουν ταυτόχρονα και για όλους τους άλλους.

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας αμφισβητεί αυτή την παραδοχή. Βασίζεται σε δύο κανόνες:

• Οι νόμοι της φυσικής είναι ίδιοι σε κάθε αδρανειακό σύστημα αναφοράς.
• Κάθε αδρανειακός παρατηρητής μετρά την ίδια ταχύτητα του φωτός στο κενό, ανεξάρτητα από την κίνηση της πηγής του φωτός ή του παρατηρητή.

Η ταχύτητα του φωτός είναι

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

Ας υποθέσουμε ότι κινείσαι προς μια δέσμη φωτός. Θα μπορούσες να περιμένεις ότι θα μετρήσεις την ταχύτητά της ως \(c+v\), όπου \(v\) είναι η ταχύτητά σου προς τη δέσμη. Όμως, δεν συμβαίνει αυτό. Εξακολουθείς να μετράς \(c\).

Για να ισχύει αυτό, οι παρατηρητές που κινούνται ο ένας ως προς τον άλλον δεν μπορούν να συμφωνούν πάντοτε για τα χρονικά διαστήματα, τα μήκη ή για το ποια απομακρυσμένα γεγονότα συνέβησαν ταυτόχρονα.

Αυτό δεν αφορά το τι τυχαίνει να βλέπουν τα μάτια τους. Οι σχετικιστικές μετρήσεις χρησιμοποιούν συγχρονισμένα ρολόγια και λαμβάνουν υπόψη τον χρόνο που χρειάζεται το φως για να διαδοθεί. Η διαφωνία παραμένει ακόμη και μετά από αυτή τη διόρθωση.

02Ταυτοχρονία: δύο γεγονότα μπορούν να συμβούν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς

Φαντάσου δύο λαμπτήρες, τους A και B, στα αντίθετα άκρα μιας μακριάς πλατφόρμας. Τα ρολόγια που είναι ακίνητα ως προς την πλατφόρμα είναι συγχρονισμένα και οι δύο λαμπτήρες αναβοσβήνουν τη χρονική στιγμή \(t=0\), σύμφωνα με το σύστημα αναφοράς της πλατφόρμας.

Πριν συνεχίσεις, κάνε μια πρόβλεψη: πρέπει ένας πύραυλος που περνά από την πλατφόρμα να συμφωνεί ότι οι λάμψεις συνέβησαν ταυτόχρονα;

Όχι. Ο πύραυλος μπορεί να αποδώσει διαφορετικούς χρόνους στις δύο λάμψεις.

Ταυτόχρονα σημαίνει ότι δύο γεγονότα έχουν την ίδια χρονική συντεταγμένη σε ένα συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς. Αυτό δεν σημαίνει αυτομάτως ότι κάθε αδρανειακό σύστημα αναφοράς τους αποδίδει τον ίδιο χρόνο.

Για να περιγράψουμε με ακρίβεια την κατάσταση, ας υποθέσουμε ότι:

• Ο λαμπτήρας A βρίσκεται στη θέση \(x=0\).
• Ο λαμπτήρας B βρίσκεται στη θέση \(x=600\text{ m}\).
• Η πλατφόρμα είναι ακίνητη στο σύστημα αναφοράς \(S\).
• Το σύστημα αναφοράς \(S'\) του πυραύλου κινείται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα \(x\), με ταχύτητα \(v\) ως προς το \(S\).

Στο σύστημα αναφοράς της πλατφόρμας, οι λάμψεις είναι ταυτόχρονες. Στο σύστημα αναφοράς του πυραύλου, η λάμψη στο B συμβαίνει νωρίτερα από τη λάμψη στο A.

Γιατί συμβαίνει αυτό με αυτή τη σειρά; Ο μετασχηματισμός της χρονικής συντεταγμένης για αυτά τα δύο γεγονότα είναι

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

όπου

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

Εδώ, οι ποσότητες \(\Delta t=t_B-t_A\) και \(\Delta x=x_B-x_A\) είναι οι διαφορές χρόνου και θέσης που μετρώνται στο σύστημα αναφοράς \(S\). Η διαφορά χρόνου με τόνο μετράται στο σύστημα \(S'\), το οποίο κινείται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα \(x\) ως προς το \(S\).

Για τις ταυτόχρονες λάμψεις της πλατφόρμας,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

Επομένως,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η λάμψη του B συμβαίνει νωρίτερα στο σύστημα αναφοράς του πυραύλου.

Μια σημαντική διευκρίνιση: η σειρά με την οποία ένας παρατηρητής λαμβάνει δύο λάμψεις δεν αποδεικνύει από μόνη της τις χρονικές στιγμές των γεγονότων. Το φως πρέπει να φτάσει στον παρατηρητή και οι αποστάσεις μπορεί να διαφέρουν. Η σχετικότητα της ταυτοχρονίας αφορά τους χρόνους που αποδίδονται από συγχρονισμένα ρολόγια, αφού ληφθεί υπόψη ο χρόνος διάδοσης του φωτός.

Αυτή η διάκριση γίνεται ιδιαίτερα χρήσιμη όταν μια άσκηση αφορά δύο απομακρυσμένα γεγονότα και όχι δύο χτύπους του ίδιου ρολογιού.

03Διαστολή του χρόνου: ένα κινούμενο ρολόι έχει μεγαλύτερο μετρούμενο χρονικό διάστημα ανάμεσα στους χτύπους του

Ας εξετάσουμε τώρα δύο χτύπους ενός ρολογιού που είναι προσαρτημένο σε ένα διαστημόπλοιο.

Οι δύο χτύποι συμβαίνουν στην ίδια θέση στο σύστημα ηρεμίας του διαστημοπλοίου. Ο χρόνος που μετρά αυτό το ρολόι ανάμεσα στους δύο χτύπους ονομάζεται ιδιοχρόνος και συμβολίζεται με \(\Delta\tau\).

Ένας παρατηρητής σε άλλο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, στο οποίο το διαστημόπλοιο κινείται με ταχύτητα \(v\), αποδίδει μεγαλύτερο χρονικό διάστημα στα ίδια δύο γεγονότα. Αυτό είναι το φαινόμενο της διαστολής του χρόνου.

Η εξίσωση είναι

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

όπου:

• \(\Delta t\) είναι το χρονικό διάστημα που μετράται στο σύστημα αναφοράς όπου το ρολόι κινείται.
• \(\Delta\tau\) είναι ο ιδιοχρόνος που μετρά το ρολόι στο δικό του σύστημα ηρεμίας.
• \(\gamma\) είναι ο παράγοντας Lorentz.
• \(v\) είναι η σχετική ταχύτητα μεταξύ των συστημάτων αναφοράς.
• \(c\) είναι η ταχύτητα του φωτός.

Εφόσον \(\gamma\geq1\), το χρονικό διάστημα ανάμεσα στους χτύπους του κινούμενου ρολογιού δεν είναι ποτέ μικρότερο από το αντίστοιχο διάστημα ιδιοχρόνου.

Για παράδειγμα, όταν \(v=0.80c\),

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

Το άλλο σύστημα αναφοράς μετρά χρονικό διάστημα \(1.67\) φορές μεγαλύτερο από το χρονικό διάστημα που μετρά το ίδιο το ρολόι.

Γιατί μπορούν και οι δύο παρατηρητές να λένε ότι το ρολόι του άλλου πηγαίνει αργά;

Αυτό ακούγεται αντιφατικό, αλλά οι παρατηρητές δεν συγκρίνουν άμεσα το ίδιο ζεύγος χτύπων και στα δύο ρολόγια.

Η Γη χρησιμοποιεί το δικό της δίκτυο συγχρονισμένων ρολογιών για να αποδώσει χρόνους στους χτύπους του ρολογιού του διαστημοπλοίου. Ο αστροναύτης χρησιμοποιεί ένα διαφορετικό δίκτυο συγχρονισμένων ρολογιών για να αποδώσει χρόνους στους χτύπους των απομακρυσμένων ρολογιών της Γης. Επειδή η ταυτοχρονία εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς, οι δύο συγκρίσεις δεν χρησιμοποιούν τις ίδιες χρονικές αποδόσεις για τα απομακρυσμένα γεγονότα.

Αν ο αστροναύτης κάνει αναστροφή πορείας και αργότερα ξανασυναντήσει τη Γη, η κατάσταση αλλάζει και πάλι. Το ταξίδι περιλαμβάνει αλλαγή αδρανειακού συστήματος αναφοράς, επομένως οι συνολικές διαδρομές των δύο παρατηρητών δεν είναι πλέον ισοδύναμες. Μπορούν να συσσωρεύσουν διαφορετικά ποσά ιδιοχρόνου.

Ο βασικός κανόνας είναι απλός: η διαστολή του χρόνου εφαρμόζεται στα ίδια δύο γεγονότα, με το χρονικό διάστημα ιδιοχρόνου να μετράται στο σύστημα αναφοράς όπου αυτά τα γεγονότα συμβαίνουν στην ίδια θέση.

04Συστολή μήκους: το μετρούμενο μήκος ενός κινούμενου αντικειμένου αλλάζει

Η διαστολή του χρόνου αφορά το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε γεγονότα. Η συστολή μήκους αφορά την απόσταση ανάμεσα στα άκρα ενός αντικειμένου.

Φαντάσου ένα διαστημόπλοιο ακίνητο. Μετράς το μήκος του με έναν χάρακα και βρίσκεις \(150\text{ m}\). Αυτό είναι το ιδιομήκος του, \(L_0\), επειδή η μέτρηση γίνεται στο σύστημα ηρεμίας του διαστημοπλοίου.

Τώρα, ας υποθέσουμε ότι το διαστημόπλοιο περνά μπροστά από τη Γη με μεγάλη ταχύτητα. Η Γη μετρά το μήκος του καταγράφοντας τις θέσεις του εμπρόσθιου και του οπίσθιου άκρου του την ίδια χρονική στιγμή στο σύστημα αναφοράς της Γης.

Αυτή η τελευταία προϋπόθεση είναι σημαντική. Για να μετρήσεις ένα μήκος σε ένα συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς, πρέπει να καταγράψεις ταυτόχρονα σε αυτό το σύστημα τις θέσεις και των δύο άκρων.

Το μετρούμενο μήκος του κινούμενου διαστημοπλοίου είναι

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

ή, ισοδύναμα,

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

όπου:

• \(L\) είναι το μήκος που μετράται στο σύστημα αναφοράς όπου το αντικείμενο κινείται.
• \(L_0\) είναι το ιδιομήκος του αντικειμένου, μετρημένο στο σύστημα ηρεμίας του.
• \(v\) είναι η ταχύτητα του αντικειμένου ως προς το σύστημα αναφοράς στο οποίο γίνεται η μέτρηση.
• \(\gamma\) είναι ο παράγοντας Lorentz.

Συστέλλεται μόνο η διάσταση που είναι παράλληλη προς την κίνηση. Οι διαστάσεις του αντικειμένου που είναι κάθετες στην κίνηση δεν αλλάζουν σύμφωνα με αυτή τη σχέση συστολής μήκους.

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να φανταζόμαστε ότι το διαστημόπλοιο αισθάνεται πως συμπιέζεται φυσικά. Δεν μετρά μικρότερο μήκος στο δικό του σύστημα ηρεμίας. Η διαφορά προκύπτει επειδή οι μετρήσεις μήκους σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς χρησιμοποιούν διαφορετικά σύνολα ταυτόχρονων θέσεων των άκρων.

05Μάζα και ενέργεια: τι σημαίνει πραγματικά το \(E=mc^2\);

Ας εξετάσουμε τον σχηματισμό ενός πυρήνα από ξεχωριστά πρωτόνια και νετρόνια. Αφού σχηματιστεί ο πυρήνας, η μάζα ηρεμίας του είναι ελαφρώς μικρότερη από το άθροισμα των μαζών ηρεμίας των χωριστών σωματιδίων.

Έχει απλώς εξαφανιστεί κάποια ύλη;

Όχι. Το σύστημα έχει απελευθερώσει ενέργεια και η ενέργεια που απομακρύνθηκε πρέπει να συμπεριληφθεί στον ενεργειακό απολογισμό. Η μάζα και η ενέργεια συνδέονται μεταξύ τους.

Η ενέργεια ηρεμίας ενός αντικειμένου είναι

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

όπου:

• \(E_0\) είναι η ενέργεια ηρεμίας.
• \(m\) είναι η αναλλοίωτη μάζα, δηλαδή η μάζα ηρεμίας.
• \(c\) είναι η ταχύτητα του φωτός.

Για μια μεταβολή της μάζας ηρεμίας, η αντίστοιχη μεταβολή της ενέργειας ηρεμίας είναι

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

Ο παράγοντας \(c^2\) είναι τεράστιος. Μια διαφορά μάζας μόλις \(1.0\text{ g}\) αντιστοιχεί σε διαφορά ενέργειας ηρεμίας

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

Πρόκειται για τεράστια ποσότητα ενέργειας σε σχέση με μια τόσο μικρή διαφορά μάζας.

Τι αλλάζει όταν ενέργεια εισέρχεται σε ένα σύστημα ή εξέρχεται από αυτό;

Αν ενέργεια διαφύγει από ένα σύστημα, η μάζα ηρεμίας του συστήματος που απομένει μπορεί να είναι μικρότερη. Αν προστεθεί ενέργεια σε ένα σύστημα και παραμείνει αποθηκευμένη στο εσωτερικό του, η μάζα ηρεμίας του αυξάνεται, εφόσον το σύστημα συγκρίνεται σε κατάσταση ηρεμίας πριν και μετά.

Αυτό δεν σημαίνει ότι η ενέργεια καταστρέφεται όταν μειώνεται η μάζα. Σε ένα απομονωμένο σύστημα, η συνολική ενέργεια διατηρείται. Η ενέργεια μπορεί να έχει απομακρυνθεί από το αντικείμενο που απομένει ως ακτινοβολία ή κινητική ενέργεια, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει.

Ένας δεσμευμένος πυρήνας αποτελεί χρήσιμο παράδειγμα. Η διαφορά ανάμεσα στο συνολικό άθροισμα των μαζών ηρεμίας των ελεύθερων νουκλεονίων και στη μάζα ηρεμίας του δεσμευμένου πυρήνα ονομάζεται έλλειμμα μάζας. Η αντίστοιχη διαφορά ενέργειας είναι η ενέργεια σύνδεσης.

Μια απαραίτητη διευκρίνιση: η μάζα ηρεμίας δεν είναι το ίδιο με τη συνολική ενέργεια

Η εξίσωση \(E_0=mc^2\) δίνει την ενέργεια ηρεμίας. Για ένα αντικείμενο που κινείται με ταχύτητα \(v\), η συνολική του ενέργεια είναι

\[ E=\gamma mc^2, \]

και η κινητική του ενέργεια είναι

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

Εδώ, το \(m\) παραμένει η αναλλοίωτη μάζα ηρεμίας του αντικειμένου. Ο παράγοντας \(\gamma\) μεταβάλλει τη συνολική ενέργεια του αντικειμένου, όχι την αναλλοίωτη μάζα του.

Ορισμένες παλαιότερες προσεγγίσεις χρησιμοποιούν τον όρο σχετικιστική μάζα για το \(\gamma m\). Η σύγχρονη σύμβαση διατηρεί γενικά τη μάζα ως αναλλοίωτο μέγεθος και περιγράφει την αύξηση με όρους ενέργειας και ορμής.

Τα φωτόνια, για παράδειγμα, μεταφέρουν ενέργεια και ορμή, παρόλο που έχουν μηδενική μάζα ηρεμίας. Επομένως, η εξίσωση \(E=mc^2\) δεν πρέπει να ερμηνεύεται ως δήλωση ότι κάθε μορφή ενέργειας πρέπει να ανήκει σε ένα σωματίδιο με μη μηδενική μάζα ηρεμίας.

06Επιλογή της κατάλληλης σχέσης

Ο πιο αξιόπιστος τρόπος για να λύσεις μια άσκηση ειδικής σχετικότητας είναι να προσδιορίσεις τι μετράται πριν επιλέξεις έναν τύπο.

Τέσσερις έλεγχοι βοηθούν να εντοπίσεις πολλά συνηθισμένα λάθη:

• Έλεγξε τον παράγοντα Lorentz. Για \(0\leq v<c\), ισχύει \(\gamma\geq1\).
• Έλεγξε τα γεγονότα. Η διαστολή του χρόνου δεν είναι ένας κανόνας που εφαρμόζεται σε κάθε ζεύγος γεγονότων. Η προϋπόθεση του ιδιοχρόνου έχει σημασία.
• Έλεγξε τη μέτρηση. Η συστολή μήκους εφαρμόζεται κατά τη διεύθυνση της κίνησης και η μέτρηση ενός μήκους απαιτεί ταυτόχρονες θέσεις των άκρων στο σύστημα αναφοράς όπου γίνεται η μέτρηση.
• Έλεγξε τον ενεργειακό απολογισμό. Η μείωση της μάζας ηρεμίας ενός αντικειμένου δεν σημαίνει ότι έχει εξαφανιστεί η συνολική ενέργεια ενός απομονωμένου συστήματος.

07Ερωτήσεις και λύσεις

Ερώτηση 1

Ένα ρολόι στερεωμένο σε έναν ανιχνευτή μετρά \(3.0\text{ s}\) ανάμεσα σε δύο χτύπους. Ο ανιχνευτής κινείται με ταχύτητα \(0.60c\) ως προς ένα εργαστήριο.

Υπολόγισε το χρονικό διάστημα που αποδίδει το εργαστήριο στους ίδιους δύο χτύπους.

Λύση 1

Το εργαστήριο αποδίδει χρονικό διάστημα \(3.75\text{ s}\), ή \(3.8\text{ s}\) με δύο σημαντικά ψηφία.

Το ρολόι του ανιχνευτή μετρά τον ιδιοχρόνο, επειδή και οι δύο χτύποι συμβαίνουν στην ίδια θέση στο σύστημα ηρεμίας του ανιχνευτή.

Βήμα 1: Υπολόγισε τον παράγοντα Lorentz.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

Βήμα 2: Εφάρμοσε τη διαστολή του χρόνου.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

Το εργαστήριο μετρά μεγαλύτερο χρονικό διάστημα από εκείνο που μετρά το ρολόι του ανιχνευτή. Το αποτέλεσμα συμφωνεί με τη διαστολή του χρόνου.

Ερώτηση 2

Ένα διαστημικό σκάφος έχει ιδιομήκος \(80\text{ m}\). Ένα υπόστεγο έχει μήκος \(60\text{ m}\) στο δικό του σύστημα ηρεμίας. Το σκάφος περνά από το υπόστεγο με ταχύτητα \(0.80c\).

Ένας μηχανικός υποστηρίζει ότι το σκάφος μπορεί να βρεθεί ολόκληρο μέσα στο υπόστεγο σε μία χρονική στιγμή, επειδή το συσταλμένο μήκος του είναι μικρότερο από το μήκος του υπόστεγου. Ο πιλότος υποστηρίζει ότι αυτό είναι αδύνατο, επειδή το υπόστεγο είναι μικρότερο από το σκάφος στο δικό του σύστημα αναφοράς.

Υπέθεσε ότι οι ιδανικές πόρτες μπορούν να ανοίγουν και να κλείνουν ακαριαία και αγνόησε τις υλικές ζημιές.

Είναι σωστοί και οι δύο υπολογισμοί μήκους; Μπορεί το σκάφος να βρίσκεται ολόκληρο μέσα στο υπόστεγο σε μία χρονική στιγμή; Εξήγησε πώς συμφωνούν οι δύο περιγραφές.

Λύση 2

Και οι δύο υπολογισμοί μήκους είναι σωστοί. Η διαφωνία αφορά το αν το σκάφος βρίσκεται ολόκληρο μέσα στο υπόστεγο σε μία χρονική στιγμή, επειδή η ταυτοχρονία εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς.

Βήμα 1: Υπολόγισε τον παράγοντα Lorentz.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

Βήμα 2: Υπολόγισε το μήκος του σκάφους στο σύστημα αναφοράς του υπόστεγου.

Το ιδιομήκος του σκάφους είναι \(L_0=80\text{ m}\).

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

Εφόσον \(48\text{ m}<60\text{ m}\), ο μηχανικός έχει δίκιο ότι το σκάφος μπορεί να χωρέσει ολόκληρο μέσα στο υπόστεγο σε μία χρονική στιγμή του συστήματος αναφοράς του υπόστεγου, εφόσον βρίσκεται στην κατάλληλη θέση.

Βήμα 3: Υπολόγισε το μήκος του υπόστεγου στο σύστημα αναφοράς του σκάφους.

Το ιδιομήκος του υπόστεγου είναι \(60\text{ m}\). Στο σύστημα αναφοράς του σκάφους, το υπόστεγο κινείται, επομένως το μετρούμενο μήκος του είναι

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

Ο πιλότος έχει επίσης δίκιο: το κινούμενο υπόστεγο έχει μήκος μόλις \(36\text{ m}\) στο σύστημα αναφοράς του σκάφους, ενώ το ιδιομήκος του σκάφους παραμένει \(80\text{ m}\).

Βήμα 4: Επίλυσε την φαινομενική αντίφαση.

Η φράση «ολόκληρο μέσα σε μία χρονική στιγμή» σημαίνει ότι οι θέσεις και των δύο άκρων του σκάφους βρίσκονται μέσα στο υπόστεγο την ίδια χρονική στιγμή, σε ένα συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς.

Στο σύστημα αναφοράς του υπόστεγου, υπάρχει μια χρονική στιγμή κατά την οποία και τα δύο άκρα βρίσκονται μέσα σε αυτό. Στο σύστημα αναφοράς του σκάφους, δεν υπάρχει χρονική στιγμή κατά την οποία ολόκληρο το σκάφος μήκους \(80\text{ m}\) χωρά στο υπόστεγο μήκους \(36\text{ m}\).

Το βασικό σημείο είναι ότι τα δύο γεγονότα κλεισίματος των θυρών, τα οποία είναι ταυτόχρονα στο σύστημα αναφοράς του υπόστεγου, δεν είναι ταυτόχρονα στο σύστημα αναφοράς του σκάφους. Οι παρατηρητές δεν περιγράφουν το ίδιο ζεύγος ταυτόχρονων γεγονότων. Καμία από τις δύο περιγραφές δεν απαιτεί να καταστραφεί ή να συμπιεστεί φυσικά το σκάφος στο δικό του σύστημα ηρεμίας.

Ερώτηση 3

Η μάζα ηρεμίας ενός δεσμευμένου πυρήνα είναι κατά \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) μικρότερη από το συνολικό άθροισμα των μαζών ηρεμίας των ελεύθερων νουκλεονίων του.

Υπέθεσε ότι και οι δύο καταστάσεις συγκρίνονται σε ηρεμία και ότι η ενέργεια που απελευθερώνεται κατά τη σύνδεση διαφεύγει από τον πυρήνα.

Υπολόγισε την ενέργεια σύνδεσης που απελευθερώνεται, σε joule, και εξήγησε γιατί η μικρότερη μάζα ηρεμίας του τελικού πυρήνα δεν παραβιάζει τη διατήρηση της ενέργειας.

Λύση 3

Η ενέργεια σύνδεσης που αντιστοιχεί στη διαφορά μάζας είναι \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). Η μικρότερη μάζα ηρεμίας είναι συμβατή με τη διατήρηση της ενέργειας, επειδή η ενέργεια που απελευθερώνεται απομακρύνεται από το σύστημα.

Βήμα 1: Προσδιόρισε τη διαφορά μάζας.

Το μέτρο του ελλείμματος μάζας είναι

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

Βήμα 2: Εφάρμοσε την ισοδυναμία μάζας και ενέργειας.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

Βήμα 3: Εξήγησε τον ενεργειακό απολογισμό.

Ο δεσμευμένος πυρήνας έχει μικρότερη ενέργεια ηρεμίας από τα ελεύθερα νουκλεόνια. Η διαφορά εμφανίζεται ως ενέργεια που απελευθερώνεται κατά τη σύνδεση, όπως ακτινοβολία ή κινητική ενέργεια που μεταφέρεται από άλλα προϊόντα.

Ο τελικός πυρήνας έχει μικρότερη μάζα ηρεμίας επειδή ενέργεια έχει απομακρυνθεί από αυτόν. Όταν συμπεριληφθεί η ενέργεια που απελευθερώθηκε, η συνολική ενέργεια εξακολουθεί να διατηρείται.

Ερώτηση 4

Ένα διαστημόπλοιο έχει αναλλοίωτη μάζα ηρεμίας \(1.0\text{ kg}\) και κινείται με ταχύτητα \(0.80c\) ως προς τη Γη.

Ένας μαθητής υπολογίζει \(\gamma=1.67\) και ισχυρίζεται ότι η μάζα του διαστημοπλοίου έχει αυξηθεί στα \(1.67\text{ kg}\).

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

υπολόγισε την ενέργεια ηρεμίας, τη συνολική ενέργεια και την κινητική ενέργεια του διαστημοπλοίου. Αξιολόγησε τον ισχυρισμό του μαθητή.

Λύση 4

Η ενέργεια ηρεμίας είναι \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), η συνολική ενέργεια είναι \(1.5\times10^{17}\text{ J}\) και η κινητική ενέργεια είναι \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Σύμφωνα με τη σύμβαση της αναλλοίωτης μάζας, η μάζα ηρεμίας του διαστημοπλοίου παραμένει \(1.0\text{ kg}\).

Βήμα 1: Υπολόγισε την ενέργεια ηρεμίας.

Η μάζα ηρεμίας είναι \(m=1.0\text{ kg}\).

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Βήμα 2: Υπολόγισε τη συνολική ενέργεια.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

Βήμα 3: Υπολόγισε την κινητική ενέργεια.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Τα αποτελέσματα είναι συνεπή, επειδή η συνολική ενέργεια είναι το άθροισμα της ενέργειας ηρεμίας και της κινητικής ενέργειας:

\[ E=E_0+K. \]

Βήμα 4: Αξιολόγησε τον ισχυρισμό του μαθητή.

Ο μαθητής έχει καταλάβει σωστά ότι ο παράγοντας \(\gamma\) πολλαπλασιάζει την ενέργεια ηρεμίας για να δώσει τη συνολική ενέργεια. Το λάθος είναι ότι ερμηνεύει αυτόν τον παράγοντα ως αύξηση της αναλλοίωτης μάζας ηρεμίας.

Η κινητική ενέργεια του διαστημοπλοίου αυξάνεται με την ταχύτητα, αλλά η αναλλοίωτη μάζα ηρεμίας του παραμένει \(1.0\text{ kg}\). Αυτή η διάκριση είναι σημαντική κάθε φορά που μια άσκηση συνδυάζει την ισοδυναμία μάζας και ενέργειας με την ενέργεια ενός κινούμενου αντικειμένου.

Ερώτηση 5

Μια πλατφόρμα έχει μήκος \(600\text{ m}\) στο σύστημα ηρεμίας της \(S\). Δύο λαμπτήρες, οι A και B, είναι τοποθετημένοι στα άκρα της, με τον A στη θέση \(x=0\) και τον B στη θέση \(x=+600\text{ m}\). Αναβοσβήνουν ταυτόχρονα τη χρονική στιγμή \(t=0\) στο σύστημα \(S\).

Κάθε λάμψη εκπέμπει έναν φωτεινό παλμό προς το μέσο της πλατφόρμας. Στο σύστημα \(S\), οι δύο παλμοί συναντώνται στο μέσο.

Το σύστημα ηρεμίας \(S'\) ενός πυραύλου κινείται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα \(x\), με ταχύτητα \(0.80c\) ως προς το \(S\).

Για αυτή την ερώτηση, χρησιμοποίησε τη σχέση για τη χρονική συντεταγμένη

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

όπου οι ποσότητες \(\Delta t=t_B-t_A\) και \(\Delta x=x_B-x_A\) μετρώνται στο \(S\).

(α) Ποια λάμψη συμβαίνει πρώτη στο \(S'\) και κατά πόσο;

(β) Το μήκος της πλατφόρμας στο \(S'\) είναι \(360\text{ m}\). Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι, επομένως, η χρονική διαφορά ανάμεσα στις λάμψεις πρέπει να είναι \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Εξήγησε το ακριβές λάθος.

(γ) Πρέπει οι δύο φωτεινοί παλμοί να εξακολουθούν να συναντώνται στο ίδιο γεγονός στο \(S'\); Εξήγησε πώς είναι δυνατόν να συμβαίνει αυτό, παρόλο που οι λάμψεις δεν είναι πλέον ταυτόχρονες.

Λύση 5

Η λάμψη B συμβαίνει πρώτη στο \(S'\), κατά \(2.67\,\mu\text{s}\). Οι παλμοί εξακολουθούν να συναντώνται στο ίδιο γεγονός, επειδή όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς συμφωνούν ως προς το σημείο τομής των δύο φωτεινών παλμών, ακόμη και όταν αποδίδουν διαφορετικούς χρόνους στα γεγονότα εκπομπής τους.

Βήμα 1: Υπολόγισε τον παράγοντα Lorentz και προσδιόρισε τις διαφορές των γεγονότων.

Η σχετική ταχύτητα είναι \(v=0.80c\), επομένως

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

Οι λάμψεις είναι ταυτόχρονες στο \(S\) και το B βρίσκεται στη μεγαλύτερη θέση. Επομένως,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

Βήμα 2: Υπολόγισε τη χρονική διαφορά στο \(S'\).

Αντικατάστησε τις τιμές στη δοσμένη σχέση για τη χρονική συντεταγμένη:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

Το αρνητικό αποτέλεσμα σημαίνει ότι \(t'_B<t'_A\). Η λάμψη B συμβαίνει \(2.67\,\mu\text{s}\) πριν από τη λάμψη A στο σύστημα αναφοράς του πυραύλου.

Βήμα 3: Εξήγησε γιατί αποτυγχάνει ο υπολογισμός \(360\text{ m}/c\).

Ο υπολογισμός του μαθητή δίνει

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

Η αριθμητική είναι σωστή, αλλά απαντά σε λάθος ερώτηση.

Τα \(360\text{ m}\) είναι το μήκος της πλατφόρμας όπως μετράται στο \(S'\), μετρώντας ταυτόχρονα τα δύο άκρα της σύμφωνα με τον χρόνο του πυραύλου. Τα δύο γεγονότα των λάμψεων δεν είναι ταυτόχρονα στο \(S'\), επομένως οι θέσεις τους δεν μπορούν να θεωρηθούν τα άκρα εκείνης της μέτρησης μήκους που απαιτεί ταυτόχρονη καταγραφή.

Η χρονική διαφορά ανάμεσα σε δύο γεγονότα δεν ισούται γενικά με το μετρούμενο μήκος διαιρεμένο με \(c\). Ο μαθητής έχει συνδυάσει ένα μήκος που μετράται με ταυτόχρονες θέσεις των άκρων με δύο γεγονότα που συμβαίνουν σε διαφορετικούς χρόνους στο ίδιο σύστημα αναφοράς.

Βήμα 4: Εξήγησε γιατί οι παλμοί εξακολουθούν να συναντώνται.

Στο \(S\), κάθε παλμός διανύει \(300\text{ m}\) μέχρι το μέσο της πλατφόρμας. Επομένως, το γεγονός της συνάντησης συμβαίνει τη χρονική στιγμή

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

Αυτό είναι ένα συγκεκριμένο γεγονός στον χωροχρόνο. Κάθε αδρανειακό σύστημα αναφοράς συμφωνεί ότι οι δύο παλμοί συναντώνται σε αυτό το γεγονός, παρόλο που οι συντεταγμένες που του αποδίδει είναι διαφορετικές.

Μπορούμε να ελέγξουμε τον χρονισμό στο σύστημα αναφοράς του πυραύλου. Εφαρμόζοντας τη δοσμένη σχέση ανάμεσα στη λάμψη A και στο γεγονός της συνάντησης, παίρνουμε

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

Η λάμψη A συμβαίνει τη χρονική στιγμή \(t'_A=0\), επομένως ο παλμός της χρειάζεται \(0.333\,\mu\text{s}\) χρόνου σύμφωνα με τις χρονικές συντεταγμένες του πυραύλου για να φτάσει στο γεγονός της συνάντησης.

Η λάμψη B συμβαίνει τη χρονική στιγμή \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), επομένως ο παλμός της χρειάζεται

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

για να φτάσει στο ίδιο γεγονός.

Οι διαφορετικοί χρόνοι εκπομπής και τα διαφορετικά χρονικά διαστήματα διάδοσης είναι συμβατά με το ίδιο γεγονός συνάντησης. Το λάθος θα ήταν να υποθέσουμε ότι η ταυτόχρονη εκπομπή σε ένα σύστημα αναφοράς πρέπει να παραμένει ταυτόχρονη σε κάθε σύστημα αναφοράς.

Το επόμενο χρήσιμο βήμα είναι να μάθεις πώς αναπαριστώνται τα γεγονότα σε ένα διάγραμμα χωροχρόνου. Για τις ασκήσεις HSC, ξεκίνα προσδιορίζοντας το σύστημα αναφοράς και εξετάζοντας αν τα γεγονότα συμβαίνουν στην ίδια θέση σε αυτό το σύστημα. Αυτή η απόφαση σε βοηθά να επιλέξεις ανάμεσα στη διαστολή του χρόνου, τη συστολή μήκους και τη σχετικότητα της ταυτοχρονίας πριν αρχίσεις τους υπολογισμούς.