Relatividad especial para Física HSC: una guía clara con ejemplos resueltos
Comprende la relatividad especial sin misterios. Esta guía de Física HSC explica los sistemas de referencia, la relatividad de la simultaneidad, la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud y la equivalencia entre masa y energía mediante explicaciones claras y ejemplos resueltos.
Una nave espacial pasa junto a la Tierra a \(0.80c\). La Tierra asigna un intervalo más largo entre dos pulsos del reloj de la nave espacial que el que mide el astronauta. Mientras tanto, el astronauta afirma que los relojes de la Tierra funcionan más despacio. Antes de seguir leyendo, haz una predicción: ¿significa esto que uno de los observadores está simplemente equivocado? No. Cada uno utiliza un sistema de referencia inercial diferente, y el desacuerdo se debe a cómo se miden el tiempo y el espacio a velocidades elevadas.
Los mismos dos pulsos, distintos tiempos transcurridos
| Sistema de referencia de reposo del astronauta | Δτ = 3.0 s Ambos pulsos ocurren en el mismo lugar de la cabina. El reloj de la cabina mide el tiempo propio. |
|---|---|
| Sistema de referencia de la Tierra | Δt = γΔτ = 5.0 s Los relojes sincronizados de la Tierra asignan el intervalo. Los mismos dos sucesos; ninguno de los relojes está averiado. |
01Sistemas de referencia: ¿qué está midiendo realmente cada observador?
Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas que permite asignar posiciones y tiempos a los sucesos. Puede representarse mediante reglas y una red de relojes sincronizados.
Un sistema de referencia inercial es aquel que no está acelerando ni girando. Para esta guía, supongamos que la gravedad es despreciable y que la nave espacial y la Tierra se mueven con velocidad relativa constante siempre que las comparemos.
En la vida cotidiana, normalmente podemos tratar el tiempo como si fuera universal. Si dos sucesos ocurren al mismo tiempo para ti, esperas que ocurran al mismo tiempo para cualquier otra persona.
La relatividad especial cuestiona esta suposición. Parte de dos principios:
- Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales.
- Todos los observadores inerciales miden la misma velocidad de la luz en el vacío, independientemente del movimiento de la fuente luminosa o del observador.
La velocidad de la luz es
\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
Supongamos que te mueves hacia un haz de luz. Podrías esperar medir su velocidad como \(c+v\), donde \(v\) es tu velocidad hacia el haz. Pero no es así. Sigues midiendo \(c\).
Para que esto sea posible, los observadores que se mueven unos respecto a otros no siempre pueden estar de acuerdo sobre los intervalos de tiempo, las longitudes o qué sucesos distantes ocurrieron simultáneamente.
Esto no tiene que ver con lo que sus ojos ven en un momento determinado. Las mediciones relativistas utilizan relojes sincronizados y tienen en cuenta el tiempo que tarda la luz en viajar. El desacuerdo persiste incluso después de aplicar esa corrección.
Mismos sucesos, distintas coordenadas
| Sistema de referencia de la plataforma S | A (0 s, 0 m); B (0 s, 600 m) Relojes sincronizados y escala de posiciones propios. Los sucesos A y B son simultáneos. |
|---|---|
| Sistema de referencia del cohete S′ | A (0 s, 0 m); B (−2.67 μs, 1000 m) Relojes sincronizados y escala de posiciones propios. El suceso B ocurre antes que A. |
02Simultaneidad: dos sucesos pueden ocurrir en momentos diferentes en distintos sistemas de referencia
Imagina dos lámparas, A y B, situadas en los extremos opuestos de una plataforma larga. Los relojes que están en reposo respecto a la plataforma están sincronizados, y ambas lámparas emiten un destello en el instante \(t=0\) según el tiempo de la plataforma.
Antes de seguir leyendo, haz una predicción: ¿debe un cohete que pasa junto a la plataforma estar de acuerdo en que los destellos ocurrieron simultáneamente?
No. El cohete puede asignar tiempos diferentes a los dos destellos.
Simultáneo significa que dos sucesos tienen la misma coordenada temporal en un sistema de referencia especificado. Esto no significa automáticamente que todos los sistemas de referencia inerciales les asignen el mismo tiempo.
Para describir la situación con precisión, supongamos que:
- La lámpara A está en \(x=0\).
- La lámpara B está en \(x=600\text{ m}\).
- La plataforma está en reposo en el sistema de referencia \(S\).
- El sistema de referencia \(S'\) del cohete se mueve en la dirección positiva del eje \(x\), con velocidad \(v\) respecto a \(S\).
En el sistema de referencia de la plataforma, los destellos son simultáneos. En el sistema de referencia del cohete, el destello de B ocurre antes que el de A.
¿Por qué en ese orden? La transformación de la coordenada temporal para estos dos sucesos es
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
donde
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]
Aquí, \(\Delta t=t_B-t_A\) y \(\Delta x=x_B-x_A\) son las diferencias de tiempo y posición medidas en el sistema de referencia \(S\). La diferencia temporal con prima se mide en el sistema de referencia \(S'\), que se mueve en la dirección positiva del eje \(x\) respecto a \(S\).
Para los destellos simultáneos de la plataforma,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]
Por tanto,
\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]
El signo negativo nos indica que el destello de B ocurre antes en el sistema de referencia del cohete.
Relatividad de la simultaneidad: estructura requerida de las líneas de tiempo
| Sistema de referencia de la plataforma S | Δt = 0 Los sucesos A y B tienen la misma coordenada temporal. |
|---|---|
| Sistema de referencia del cohete S′ | Δt′ < 0 El suceso B ocurre antes que el suceso A. |
Hay una precisión importante: el orden en que un observador recibe dos destellos no demuestra, por sí solo, cuándo ocurrieron los sucesos. La luz debe viajar hasta el observador, y las distancias pueden ser diferentes. La relatividad de la simultaneidad se refiere a los tiempos asignados por relojes sincronizados después de tener en cuenta el tiempo de propagación de la luz.
Esta distinción resulta especialmente útil cuando una pregunta incluye dos sucesos distantes, en lugar de dos pulsos de un mismo reloj.
03Dilatación del tiempo: un reloj en movimiento tiene un intervalo de tic más largo según la medición externa
Consideremos ahora dos pulsos de un mismo reloj fijado a una nave espacial.
Los dos pulsos ocurren en el mismo lugar del sistema de referencia en el que la nave está en reposo. El tiempo transcurrido medido por ese reloj se denomina tiempo propio y se representa mediante \(\Delta\tau\).
Un observador situado en otro sistema de referencia inercial, en el que la nave se mueve con velocidad \(v\), asigna un intervalo de tiempo más largo a esos mismos dos sucesos. Este fenómeno se denomina dilatación del tiempo.
La ecuación es
\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]
donde:
- \(\Delta t\) es el intervalo de tiempo medido en el sistema de referencia en el que el reloj está en movimiento.
- \(\Delta\tau\) es el tiempo propio medido por el reloj en su sistema de referencia de reposo.
- \(\gamma\) es el factor de Lorentz.
- \(v\) es la velocidad relativa entre los sistemas de referencia.
- \(c\) es la velocidad de la luz.
Como \(\gamma\geq1\), el intervalo entre los pulsos del reloj en movimiento nunca es menor que su intervalo de tiempo propio.
Por ejemplo, para \(v=0.80c\),
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]
El otro sistema de referencia mide un intervalo \(1.67\) veces más largo que el intervalo registrado por el propio reloj.
Un reloj, dos intervalos de tiempo medidos
| Sistema de referencia de la nave espacial | Δτ = 10.0 min Ambos tics ocurren en el mismo lugar de la cabina. El reloj de la cabina mide el tiempo propio. |
|---|---|
| Sistema de referencia del laboratorio | Δt = γΔτ = 16.7 min El reloj de la cabina se mueve a 0.80c. Los relojes sincronizados del laboratorio asignan un intervalo más largo. |
Ejemplo resuelto: un reloj a bordo de una nave espacial rápida
Una nave espacial se mueve a \(0.80c\) respecto a la Tierra. Su reloj de a bordo mide \(10.0\text{ min}\) entre dos pulsos. ¿Qué intervalo de tiempo asigna la Tierra a esos mismos pulsos?
Paso 1
Los dos pulsos ocurren en el mismo lugar del sistema de referencia en el que la nave está en reposo, por lo que la lectura del reloj de a bordo es el tiempo propio:
\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]
Paso 2
\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]
Paso 3
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]
La Tierra asigna un intervalo de \(16.7\text{ min}\), frente a los \(10.0\text{ min}\) del reloj de la nave espacial. El reloj del astronauta funciona con normalidad en su propio sistema de referencia de reposo; la diferencia está en los intervalos de tiempo que asignan los dos sistemas de referencia.
¿Por qué pueden afirmar ambos observadores que el reloj del otro funciona más despacio?
Esto parece contradictorio, pero los observadores no están haciendo una comparación directa del mismo par de pulsos de ambos relojes.
La Tierra utiliza su propia red de relojes sincronizados para asignar tiempos a los pulsos del reloj de la nave. El astronauta utiliza una red de relojes sincronizados diferente para asignar tiempos a los pulsos de los relojes distantes de la Tierra. Como la simultaneidad depende del sistema de referencia, las dos comparaciones no utilizan las mismas asignaciones temporales para los sucesos distantes.
Si el astronauta da la vuelta y se reúne de nuevo con la Tierra más adelante, la situación vuelve a cambiar. El viaje incluye un cambio de sistema de referencia inercial, por lo que las trayectorias completas de los dos observadores ya no son equivalentes. Pueden acumular cantidades diferentes de tiempo propio.
La regla fundamental es sencilla: la dilatación del tiempo se aplica a los mismos dos sucesos, y el intervalo de tiempo propio se mide en el sistema de referencia en el que esos sucesos ocurren en un mismo lugar.
04Contracción de la longitud: la longitud medida de un objeto en movimiento cambia
La dilatación del tiempo se refiere al intervalo entre sucesos. La contracción de la longitud se refiere a la distancia entre los extremos de un objeto.
Imagina una nave espacial en reposo. Mides su longitud con una regla y obtienes \(150\text{ m}\). Esta es su longitud propia, \(L_0\), porque la medición se realiza en el sistema de referencia en el que la nave está en reposo.
Ahora supongamos que la nave pasa junto a la Tierra a gran velocidad. La Tierra mide su longitud registrando las posiciones de la parte delantera y la parte trasera en el mismo instante según el tiempo terrestre.
Esta última condición es importante. Para medir una longitud en un sistema de referencia determinado, debes registrar simultáneamente en ese sistema las posiciones de ambos extremos.
La longitud medida de la nave espacial en movimiento es
\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]
o, de forma equivalente,
\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]
donde:
- \(L\) es la longitud medida en el sistema de referencia en el que el objeto se mueve.
- \(L_0\) es la longitud propia del objeto, medida en su sistema de referencia de reposo.
- \(v\) es la velocidad del objeto respecto al sistema de referencia en el que se realiza la medición.
- \(\gamma\) es el factor de Lorentz.
Solo se contrae la dimensión paralela al movimiento. Las dimensiones del objeto perpendiculares al movimiento no cambian según esta relación de contracción de la longitud.
La contracción de la longitud solo afecta a la dirección del movimiento
| Nave espacial en reposo | L = L₀ L₀ es la longitud propia. Dimensión perpendicular: h₀. |
|---|---|
| Nave espacial en movimiento a velocidad v | L = L₀/γ La longitud se contrae en la dirección del movimiento. La dimensión perpendicular permanece en h₀. |
Un error frecuente consiste en imaginar que la nave espacial siente que está siendo comprimida físicamente. No es así. En su propio sistema de referencia de reposo, no mide una longitud menor. La diferencia surge porque las mediciones de longitud en distintos sistemas de referencia utilizan conjuntos diferentes de posiciones simultáneas de los extremos.
Ejemplo resuelto: una nave espacial que pasa junto a un detector
Una sonda tiene una longitud propia de \(150\text{ m}\) y pasa junto a un detector estacionario a \(0.80c\).
Calcula:
- la longitud que mide la Tierra,
- el tiempo entre el paso de la parte delantera y la parte trasera de la sonda por el detector, según el sistema de referencia terrestre, y
- el tiempo entre esos mismos sucesos, según el sistema de referencia de la sonda.
Paso 1
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Paso 2
\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]
La Tierra mide la longitud de la sonda en movimiento como \(90.0\text{ m}\).
Paso 3
La sonda se mueve a
\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
En el sistema de referencia terrestre, la parte delantera y la parte trasera están separadas \(90.0\text{ m}\). Por tanto, el tiempo entre sus respectivos pasos por el detector estacionario es
\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Paso 4
En el sistema de referencia de la sonda, el detector pasa a lo largo de toda su longitud propia de \(150\text{ m}\) a la misma velocidad relativa. Por tanto,
\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Los dos sucesos de paso ocurren en el mismo lugar del sistema de referencia terrestre, por lo que el intervalo de \(0.375\,\mu\text{s}\) medido por el detector es un intervalo de tiempo propio. En el sistema de referencia de la sonda, el detector está en movimiento y el intervalo es más largo:
\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]
Los cálculos concuerdan. El mismo par de sucesos tiene intervalos de tiempo diferentes en los dos sistemas de referencia, mientras que la longitud medida de la sonda depende del sistema en el que se registran simultáneamente ambos extremos.
Mismos sucesos de paso, distintos intervalos de tiempo
| Sistema de referencia de la Tierra | A → B: 0.375 μs Longitud de la sonda: 90 m; el detector está en reposo. |
|---|---|
| Sistema de referencia de la sonda | A → B: 0.625 μs Longitud de la sonda: 150 m; el detector pasa junto a ella. |
05Masa y energía: ¿qué significa realmente \(E=mc^2\)?
Considera la formación de un núcleo a partir de protones y neutrones separados. Después de formarse el núcleo, su masa en reposo es ligeramente menor que la suma de las masas en reposo de las partículas separadas.
¿Ha desaparecido simplemente parte de la materia?
No. El sistema ha liberado energía, y la energía transportada al exterior debe incluirse en el balance. La masa y la energía están relacionadas.
La energía en reposo de un objeto es
\[ \boxed{E_0=mc^2} \]
donde:
- \(E_0\) es la energía en reposo.
- \(m\) es la masa invariante, o masa en reposo.
- \(c\) es la velocidad de la luz.
Para un cambio en la masa en reposo, el cambio correspondiente en la energía en reposo es
\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]
El factor \(c^2\) es enorme. Una diferencia de masa de tan solo \(1.0\text{ g}\) corresponde a una diferencia de energía en reposo de
\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]
Es una cantidad enorme de energía para una diferencia de masa tan pequeña.
La masa disminuye; la energía total se conserva
| Antes de que escape la energía | Rest mass = m Energía en reposo inicial: E₀ = mc². |
|---|---|
| Después de que escape la radiación | Remaining mass = m − Δm La radiación transporta ΔE = Δmc². Energía en reposo restante + energía de la radiación = energía inicial. |
¿Qué cambia cuando la energía entra o sale de un sistema?
Si la energía sale de un sistema, el sistema restante puede tener una masa en reposo menor. Si se añade energía a un sistema y esta queda almacenada internamente, su masa en reposo aumenta, siempre que el sistema se compare en reposo antes y después.
Esto no significa que la energía se destruya cuando disminuye la masa. En un sistema aislado, la energía total se conserva. La energía puede haber salido del objeto restante en forma de radiación o energía cinética, pero sigue existiendo.
Un núcleo ligado ofrece un ejemplo útil. La diferencia entre la suma de las masas en reposo de sus nucleones separados y la masa en reposo del núcleo ligado se denomina defecto de masa. La diferencia de energía correspondiente es la energía de enlace.
Una precisión necesaria: la masa en reposo no es lo mismo que la energía total
La ecuación \(E_0=mc^2\) proporciona la energía en reposo. Para un objeto que se mueve a velocidad \(v\), su energía total es
\[ E=\gamma mc^2, \]
y su energía cinética es
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]
Aquí, \(m\) sigue siendo la masa invariante en reposo del objeto. El factor \(\gamma\) modifica la energía total del objeto, no su masa invariante.
Algunos textos antiguos utilizan el término masa relativista para referirse a \(\gamma m\). La convención moderna suele mantener la masa como una magnitud invariante y describir el aumento en términos de energía y cantidad de movimiento.
Los fotones, por ejemplo, transportan energía y cantidad de movimiento a pesar de tener masa en reposo nula. Por tanto, \(E=mc^2\) no debe interpretarse como si toda forma de energía tuviera que pertenecer a una partícula con masa en reposo distinta de cero.
Ejemplo resuelto: calcular la energía a partir de una diferencia de masa
Una fuente en reposo emite radiación y su masa en reposo restante disminuye en \(0.50\text{ mg}\). Suponiendo que toda la diferencia de masa corresponde a la energía transportada por la radiación emitida, estima la energía liberada.
Paso 1
\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]
Paso 2
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]
Paso 3
La energía liberada es \(4.5\times10^{10}\text{ J}\). Una diferencia de masa de tan solo \(0.50\text{ mg}\) corresponde a una cantidad enorme de energía.
La masa en reposo restante de la fuente ha disminuido, pero la energía no ha desaparecido. Al incluir la radiación emitida, el balance de energía total sigue siendo coherente.
06Cómo elegir la relación adecuada
La forma más fiable de resolver una pregunta de relatividad especial consiste en identificar qué se está midiendo antes de elegir una fórmula.
| Qué describe la pregunta | Relación pertinente | Qué comprobar antes de sustituir valores |
|---|---|---|
| Tiempo entre dos pulsos de un reloj en movimiento | \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\) | ¿Ocurren los dos sucesos en el mismo lugar del sistema de referencia en el que el reloj está en reposo? |
| Longitud de un objeto que se mueve respecto al observador | \(L=L_0/\gamma\) | ¿Es \(L_0\) la longitud propia y se miden ambos extremos simultáneamente en el sistema de referencia del observador? |
| Dos sucesos en posiciones diferentes | Relatividad de la simultaneidad | ¿Ocurren los sucesos en lugares diferentes del sistema de referencia en el que se comparan sus tiempos? |
| Cambio en la energía en reposo de un sistema | \(\Delta E_0=\Delta m c^2\) | ¿Qué sistema se está considerando y adónde ha ido la energía? |
Cuatro comprobaciones permiten detectar muchos errores frecuentes:
- Comprueba el factor de Lorentz. Para \(0\leq v<c\), se cumple \(\gamma\geq1\).
- Comprueba los sucesos. La dilatación del tiempo no es una regla aplicable a cualquier par de sucesos. La condición del tiempo propio es importante.
- Comprueba la medición. La contracción de la longitud se aplica en la dirección del movimiento, y medir una longitud exige registrar simultáneamente las posiciones de los extremos en el sistema de referencia utilizado para la medición.
- Comprueba el balance de energía. Una disminución de la masa en reposo de un objeto no significa que haya desaparecido la energía total de un sistema aislado.
07Preguntas y soluciones
Pregunta 1
Un reloj fijado a una sonda mide \(3.0\text{ s}\) entre dos pulsos. La sonda se mueve a \(0.60c\) respecto a un laboratorio.
Calcula el intervalo de tiempo que el laboratorio asigna a esos mismos dos pulsos.
Solución 1
El laboratorio asigna un intervalo de \(3.75\text{ s}\), o \(3.8\text{ s}\) con dos cifras significativas.
El reloj de a bordo mide el tiempo propio porque ambos pulsos ocurren en el mismo lugar del sistema de referencia en el que la sonda está en reposo.
Paso 1: Calcular el factor de Lorentz.
\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]
Paso 2: Aplicar la dilatación del tiempo.
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]
El laboratorio mide un intervalo más largo que el registrado por el reloj de la sonda. El resultado concuerda con la dilatación del tiempo.
Pregunta 2
Una sonda tiene una longitud propia de \(80\text{ m}\). Un hangar tiene una longitud de \(60\text{ m}\) en su propio sistema de referencia de reposo. La sonda pasa junto al hangar a \(0.80c\).
Un ingeniero sostiene que la sonda puede caber completamente dentro del hangar en un mismo instante porque su longitud contraída es menor que la del hangar. El piloto sostiene que esto es imposible porque el hangar es más corto que la sonda en el sistema de referencia del piloto.
Supón que hay puertas ideales que pueden abrirse y cerrarse instantáneamente, e ignora los daños materiales.
¿Son correctos los cálculos de longitud de ambos observadores? ¿Puede estar la sonda completamente dentro del hangar en un mismo instante? Explica cómo son compatibles las dos descripciones.
Solución 2
Ambos cálculos de longitud son correctos. El desacuerdo se refiere a si la sonda está completamente dentro del hangar en un mismo instante, porque la simultaneidad depende del sistema de referencia.
Paso 1: Calcular el factor de Lorentz.
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Paso 2: Calcular la longitud de la sonda en el sistema de referencia del hangar.
La longitud propia de la sonda es \(L_0=80\text{ m}\).
\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]
Como \(48\text{ m}<60\text{ m}\), el ingeniero tiene razón: la sonda puede caber completamente dentro del hangar en un mismo instante según el sistema de referencia del hangar, siempre que esté colocada adecuadamente.
Paso 3: Calcular la longitud del hangar en el sistema de referencia de la sonda.
La longitud propia del hangar es \(60\text{ m}\). En el sistema de referencia de la sonda, el hangar está en movimiento, por lo que su longitud medida es
\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]
El piloto también tiene razón: el hangar en movimiento mide solo \(36\text{ m}\) en el sistema de referencia de la sonda, mientras que la longitud propia de la sonda sigue siendo \(80\text{ m}\).
Paso 4: Resolver la aparente contradicción.
La expresión «completamente dentro en un mismo instante» significa que las posiciones de ambos extremos de la sonda están dentro del hangar al mismo tiempo en un sistema de referencia especificado.
En el sistema de referencia del hangar, existe un instante en el que ambos extremos están dentro. En el sistema de referencia de la sonda, no existe ningún instante en el que la sonda de \(80\text{ m}\) quepa por completo dentro del hangar de \(36\text{ m}\).
La clave está en que los dos sucesos de cierre de las puertas, que son simultáneos en el sistema de referencia del hangar, no son simultáneos en el sistema de referencia de la sonda. Los observadores no están describiendo el mismo par de sucesos simultáneos. Ninguna de las dos descripciones implica que la sonda sea destruida físicamente o comprimida en su propio sistema de referencia de reposo.
Pregunta 3
La masa en reposo de un núcleo ligado es \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) menor que la suma de las masas en reposo de sus nucleones separados.
Supón que ambos estados se comparan en reposo y que la energía liberada durante la formación del enlace escapa del núcleo.
Calcula la energía de enlace liberada, en julios, y explica por qué la menor masa en reposo del núcleo final no infringe el principio de conservación de la energía.
Solución 3
La energía de enlace equivalente a la diferencia de masa es \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). La menor masa en reposo es compatible con la conservación de la energía porque la energía liberada sale del sistema.
Paso 1: Identificar la diferencia de masa.
La magnitud del defecto de masa es
\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]
Paso 2: Aplicar la equivalencia entre masa y energía.
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]
Paso 3: Explicar el balance de energía.
El núcleo ligado tiene menos energía en reposo que los nucleones separados. La diferencia aparece como energía liberada durante la formación del enlace, por ejemplo, en forma de radiación o de energía cinética transportada por otros productos.
El núcleo final tiene una masa en reposo menor porque la energía ha salido del núcleo. Al incluir la energía liberada, la energía total sigue conservándose.
Pregunta 4
Una nave espacial tiene una masa invariante en reposo de \(1.0\text{ kg}\) y se mueve a \(0.80c\) respecto a la Tierra.
Un estudiante calcula \(\gamma=1.67\) y afirma que la masa de la nave espacial ha aumentado hasta \(1.67\text{ kg}\).
Utilizando
\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]
calcula la energía en reposo, la energía total y la energía cinética de la nave espacial. Evalúa la afirmación del estudiante.
Solución 4
La energía en reposo es \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), la energía total es \(1.5\times10^{17}\text{ J}\) y la energía cinética es \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Según la convención de masa invariante, la masa en reposo de la nave espacial sigue siendo \(1.0\text{ kg}\).
Paso 1: Calcular la energía en reposo.
La masa en reposo es \(m=1.0\text{ kg}\).
\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Paso 2: Calcular la energía total.
\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]
Paso 3: Calcular la energía cinética.
\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Los resultados son coherentes porque la energía total es la suma de la energía en reposo y la energía cinética:
\[ E=E_0+K. \]
Paso 4: Evaluar la afirmación del estudiante.
El estudiante ha identificado correctamente que \(\gamma\) multiplica la energía en reposo para obtener la energía total. El error consiste en interpretar este factor como un aumento de la masa invariante en reposo.
La energía cinética de la nave espacial aumenta con la velocidad, pero su masa invariante en reposo sigue siendo \(1.0\text{ kg}\). Esta distinción es importante cuando una pregunta combina la equivalencia entre masa y energía con la energía de un objeto en movimiento.
Pregunta 5
Una plataforma tiene una longitud de \(600\text{ m}\) en su sistema de referencia de reposo \(S\). Dos lámparas, A y B, están instaladas en sus extremos, con A en \(x=0\) y B en \(x=+600\text{ m}\). Emiten destellos simultáneamente en \(t=0\) según \(S\).
Cada destello genera un pulso de luz que se dirige hacia el punto medio de la plataforma. En el sistema de referencia \(S\), los dos pulsos se encuentran en el punto medio.
El sistema de referencia de reposo \(S'\) de un cohete se mueve en la dirección positiva del eje \(x\) a \(0.80c\) respecto a \(S\).
Para esta pregunta, utiliza la relación de transformación de la coordenada temporal
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
donde \(\Delta t=t_B-t_A\) y \(\Delta x=x_B-x_A\) se miden en \(S\).
(a) ¿Qué destello ocurre primero en \(S'\) y con cuánto adelanto?
(b) La longitud de la plataforma en \(S'\) es \(360\text{ m}\). Un estudiante afirma que la diferencia de tiempo entre los destellos debe ser, por tanto, \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Explica el error exacto.
(c) ¿Deben seguir encontrándose los dos pulsos de luz en el mismo suceso en \(S'\)? Explica cómo es posible, aunque los destellos ya no sean simultáneos.
Solución 5
El destello B ocurre primero en \(S'\), con un adelanto de \(2.67\,\mu\text{s}\). Los pulsos siguen encontrándose en el mismo suceso, porque todos los sistemas de referencia inerciales coinciden en el punto de intersección de los dos pulsos de luz, aunque asignen tiempos diferentes a los sucesos de emisión.
Paso 1: Calcular el factor de Lorentz e identificar las diferencias entre los sucesos.
La velocidad relativa es \(v=0.80c\), por lo que
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]
Los destellos son simultáneos en \(S\), y B se encuentra en la posición de mayor coordenada. Por tanto,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]
Paso 2: Calcular la diferencia de tiempo en \(S'\).
Sustituimos los valores en la relación de transformación de la coordenada temporal proporcionada:
\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]
El resultado negativo significa que \(t'_B<t'_A\). El destello B ocurre \(2.67\,\mu\text{s}\) antes que el destello A en el sistema de referencia del cohete.
Paso 3: Explicar por qué falla el cálculo \(360\text{ m}/c\).
El cálculo del estudiante da
\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]
La aritmética es correcta, pero responde a una pregunta diferente.
Los \(360\text{ m}\) son la longitud de la plataforma medida en \(S'\), obtenida al medir ambos extremos en el mismo instante según el tiempo del cohete. Los dos destellos no son simultáneos en \(S'\), por lo que las posiciones de los sucesos de destello no pueden tratarse como los extremos de esa medición simultánea de longitud.
La diferencia de tiempo entre dos sucesos no es, en general, igual a la longitud medida dividida por \(c\). El estudiante ha combinado una longitud medida utilizando posiciones simultáneas de los extremos con dos sucesos que ocurren en momentos diferentes dentro del mismo sistema de referencia.
Paso 4: Explicar por qué los pulsos siguen encontrándose.
En \(S\), cada pulso recorre \(300\text{ m}\) hasta el punto medio. Por tanto, el suceso de encuentro ocurre en
\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]
Este es un único suceso en el espacio-tiempo. Todos los sistemas de referencia inerciales coinciden en que ambos pulsos se encuentran en ese suceso, aunque las coordenadas que le asignan sean diferentes.
Podemos comprobar los tiempos en el sistema de referencia del cohete. Al aplicar la relación proporcionada entre el destello A y el suceso de encuentro, obtenemos
\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
El destello A ocurre en \(t'_A=0\), por lo que su pulso tarda \(0.333\,\mu\text{s}\) de tiempo coordenado del sistema del cohete en llegar al suceso de encuentro.
El destello B ocurre en \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), por lo que su pulso tarda
\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]
en llegar al mismo suceso.
Los diferentes tiempos de emisión y los distintos intervalos de propagación son compatibles con un mismo suceso de encuentro. El error consistiría en suponer que una emisión simultánea en un sistema de referencia debe seguir siendo simultánea en todos los demás.
El siguiente paso útil es aprender a representar los sucesos en un diagrama espacio-temporal. Para los problemas del HSC, empieza por identificar el sistema de referencia y preguntarte si los sucesos ocurren en el mismo lugar dentro de ese sistema. Esa decisión te ayudará a elegir entre la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud y la relatividad de la simultaneidad antes de empezar a calcular.