نسبیت خاص در فیزیک HSC: راهنمایی روشن همراه با مثال‌های حل‌شده
نسبیت خاص را بدون ابهام‌های رازآلود درک کنید. این راهنمای فیزیک HSC، چارچوب‌های مرجع، نسبیت هم‌زمانی، اتساع زمان، انقباض طول و هم‌ارزی جرم و انرژی را با توضیح‌های روشن و مثال‌های حل‌شده شرح می‌دهد.
یک فضاپیما با سرعت \(0.80c\) از کنار زمین عبور می‌کند. زمین برای فاصلهٔ زمانی میان دو تیک ساعت فضاپیما، بازه‌ای طولانی‌تر از آنچه فضانورد اندازه می‌گیرد، تعیین می‌کند. در همین حال، فضانورد می‌گوید ساعت‌های زمین کند کار می‌کنند. پیش از ادامهٔ خواندن، پیش‌بینی کنید: آیا یکی از ناظران به‌سادگی اشتباه می‌کند؟ خیر. هرکدام از یک چارچوب لخت متفاوت استفاده می‌کنند و این اختلاف از چگونگی اندازه‌گیری زمان و مکان در سرعت‌های بالا ناشی می‌شود.
همان دو تیک، بازه‌های زمانی متفاوت
| چارچوب سکون فضانورد | Δτ = 3.0 s هر دو تیک در مکان یکسانی داخل کابین رخ می‌دهند. ساعت کابین زمان ویژه را اندازه می‌گیرد. |
|---|---|
| چارچوب زمین | Δt = γΔτ = 5.0 s ساعت‌های همگام‌شدهٔ زمین این بازه را تعیین می‌کنند. همان دو رویداد؛ هیچ‌یک از ساعت‌ها خراب نیست. |
01چارچوب‌ها: هر ناظر دقیقاً چه چیزی را اندازه‌گیری می‌کند؟
چارچوب مرجع، یک دستگاه مختصات برای تعیین مکان‌ها و زمان‌های رویدادهاست. این چارچوب را می‌توان با استفاده از خط‌کش‌ها و شبکه‌ای از ساعت‌های همگام‌شده نمایش داد.
یک چارچوب لخت چارچوبی است که شتاب نمی‌گیرد و نمی‌چرخد. در این راهنما فرض کنید گرانش ناچیز است و هرگاه زمین و فضاپیما را با هم مقایسه می‌کنیم، با سرعت نسبی ثابتی نسبت به یکدیگر حرکت می‌کنند.
در زندگی روزمره، معمولاً می‌توانیم زمان را چنان در نظر بگیریم که گویی برای همه یکسان است. اگر دو رویداد از نظر شما هم‌زمان اتفاق بیفتند، انتظار دارید که از نظر همهٔ افراد دیگر نیز هم‌زمان باشند.
نسبیت خاص این فرض را به چالش می‌کشد. این نظریه بر دو اصل استوار است:
- قوانین فیزیک در تمام چارچوب‌های لخت یکسان‌اند.
- همهٔ ناظران لخت، صرف‌نظر از حرکت منبع نور یا ناظر، سرعت یکسانی را برای نور در خلأ اندازه می‌گیرند.
سرعت نور برابر است با
\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
فرض کنید به‌سمت یک پرتو نور حرکت می‌کنید. ممکن است انتظار داشته باشید سرعت آن را به‌صورت \(c+v\) اندازه بگیرید که در آن \(v\) سرعت شما در جهت پرتو است. اما چنین نیست؛ شما همچنان سرعت \(c\) را اندازه می‌گیرید.
برای آنکه این اصل برقرار باشد، ناظرانی که نسبت به یکدیگر حرکت می‌کنند، نمی‌توانند همیشه دربارهٔ بازه‌های زمانی، طول‌ها یا اینکه کدام رویدادهای دوردست به‌طور هم‌زمان رخ داده‌اند، توافق داشته باشند.
این موضوع به آنچه چشم‌های آن‌ها اتفاقاً می‌بینند مربوط نیست. اندازه‌گیری‌های نسبیتی از ساعت‌های همگام‌شده استفاده می‌کنند و مدت‌زمانی را که نور برای پیمودن مسیر نیاز دارد، در نظر می‌گیرند. حتی پس از اعمال این تصحیح نیز اختلاف باقی می‌ماند.
رویدادهای یکسان، مختصات متفاوت
| چارچوب سکو S | A (0 s, 0 m); B (0 s, 600 m) ساعت‌های همگام‌شده و مقیاس مکانی مخصوص خود. رویدادهای A و B هم‌زمان‌اند. |
|---|---|
| چارچوب موشک S′ | A (0 s, 0 m); B (−2.67 μs, 1000 m) ساعت‌های همگام‌شده و مقیاس مکانی مخصوص خود. رویداد B زودتر از A رخ می‌دهد. |
02هم‌زمانی: دو رویداد می‌توانند در چارچوب‌های مختلف در زمان‌های متفاوتی رخ دهند
دو چراغ، A و B، را در دو انتهای مخالف یک سکوی طولانی تصور کنید. ساعت‌هایی که نسبت به سکو ساکن‌اند، با یکدیگر همگام شده‌اند و هر دو چراغ در زمان \(t=0\) در چارچوب سکو چشمک می‌زنند.
پیش از ادامهٔ خواندن، پیش‌بینی کنید: آیا موشکی که از کنار سکو عبور می‌کند، حتماً باید با این نظر موافق باشد که دو فلاش هم‌زمان رخ داده‌اند؟
خیر. موشک می‌تواند برای دو فلاش، زمان‌های متفاوتی تعیین کند.
هم‌زمان به این معناست که دو رویداد در یک چارچوب مشخص، مختصات زمانی یکسانی دارند. این اصطلاح به‌خودی‌خود به این معنا نیست که تمام چارچوب‌های لخت، زمان یکسانی برای آن‌ها تعیین می‌کنند.
برای مشخص‌کردن دقیق وضعیت، فرض کنید:
- چراغ A در \(x=0\) قرار دارد.
- چراغ B در \(x=600\text{ m}\) قرار دارد.
- سکو در چارچوب \(S\) ساکن است.
- چارچوب موشک، \(S'\)، با سرعت \(v\) نسبت به \(S\) در جهت مثبت محور \(x\) حرکت می‌کند.
در چارچوب سکو، فلاش‌ها هم‌زمان‌اند. اما در چارچوب موشک، فلاش چراغ B زودتر از فلاش چراغ A رخ می‌دهد.
چرا ترتیب رویدادها به این صورت است؟ تبدیل مختصات زمانی برای این دو رویداد برابر است با
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
که در آن
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]
در اینجا، \(\Delta t=t_B-t_A\) و \(\Delta x=x_B-x_A\)، به‌ترتیب اختلاف زمان و اختلاف مکان اندازه‌گیری‌شده در چارچوب \(S\) هستند. اختلاف زمانی پریم‌دار در چارچوب \(S'\) اندازه‌گیری می‌شود که نسبت به \(S\) در جهت مثبت محور \(x\) حرکت می‌کند.
برای فلاش‌هایی که در چارچوب سکو هم‌زمان‌اند،
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]
بنابراین،
\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]
علامت منفی نشان می‌دهد که فلاش B در چارچوب موشک زودتر رخ می‌دهد.
نسبیت هم‌زمانی: ساختار الزامی نمودار زمانی
| چارچوب سکو S | Δt = 0 رویدادهای A و B مختصات زمانی یکسانی دارند. |
|---|---|
| چارچوب موشک S′ | Δt′ < 0 رویداد B زودتر از رویداد A رخ می‌دهد. |
یک نکتهٔ مهم: ترتیبی که یک ناظر دو فلاش را دریافت می‌کند، به‌تنهایی اثبات نمی‌کند که رویدادهای مربوط به آن‌ها در چه زمانی رخ داده‌اند. نور باید تا ناظر سفر کند و فاصله‌ها ممکن است متفاوت باشند. نسبیت هم‌زمانی به زمان‌هایی مربوط می‌شود که ساعت‌های همگام‌شده پس از درنظرگرفتن زمان سفر نور به رویدادها نسبت می‌دهند.
این تمایز به‌ویژه زمانی مفید است که مسئله به دو رویداد دور از یکدیگر مربوط باشد، نه به دو تیک از یک ساعت.
03اتساع زمان: بازهٔ زمانی اندازه‌گیری‌شده برای تیک‌های یک ساعت متحرک طولانی‌تر است
اکنون دو تیک از یک ساعت را در نظر بگیرید که به فضاپیما متصل است.
این دو تیک در یک مکان یکسان در چارچوب سکون فضاپیما رخ می‌دهند. زمان سپری‌شده‌ای که آن ساعت اندازه می‌گیرد، زمان ویژه نامیده می‌شود و با \(\Delta\tau\) نشان داده می‌شود.
ناظری در چارچوب لخت دیگری که فضاپیما در آن با سرعت \(v\) حرکت می‌کند، برای همان دو رویداد بازهٔ زمانی طولانی‌تری تعیین می‌کند. این پدیده اتساع زمان نام دارد.
رابطهٔ آن عبارت است از
\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]
که در آن:
- \(\Delta t\) بازهٔ زمانی اندازه‌گیری‌شده در چارچوبی است که ساعت در آن حرکت می‌کند.
- \(\Delta\tau\) زمان ویژه‌ای است که ساعت در چارچوب سکون خود اندازه می‌گیرد.
- \(\gamma\) ضریب لورنتس است.
- \(v\) سرعت نسبی بین دو چارچوب است.
- \(c\) سرعت نور است.
از آنجا که \(\gamma\geq1\)، بازهٔ زمانی میان تیک‌های ساعت متحرک هیچ‌گاه از بازهٔ زمان ویژهٔ آن کوتاه‌تر نیست.
برای مثال، در سرعت \(v=0.80c\)، داریم:
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]
چارچوب دیگر، بازه‌ای را اندازه می‌گیرد که \(1.67\) برابر بازهٔ زمانی اندازه‌گیری‌شده توسط خود ساعت است.
یک ساعت، دو بازهٔ زمانی اندازه‌گیری‌شده
| چارچوب فضاپیما | Δτ = 10.0 min هر دو تیک در مکان یکسانی داخل کابین رخ می‌دهند. ساعت کابین زمان ویژه را اندازه می‌گیرد. |
|---|---|
| چارچوب آزمایشگاه | Δt = γΔτ = 16.7 min ساعت کابین با سرعت 0.80c حرکت می‌کند. ساعت‌های همگام‌شدهٔ آزمایشگاه بازه‌ای طولانی‌تر تعیین می‌کنند. |
مثال حل‌شده: ساعتی در یک فضاپیمای پرسرعت
فضاپیمایی با سرعت \(0.80c\) نسبت به زمین حرکت می‌کند. ساعت داخل فضاپیما، فاصلهٔ زمانی بین دو تیک را \(10.0\text{ min}\) اندازه می‌گیرد. زمین برای همین دو تیک چه بازهٔ زمانی‌ای تعیین می‌کند؟
گام ۱: زمان ویژه را مشخص کنید.
دو تیک در یک مکان یکسان در چارچوب سکون فضاپیما رخ می‌دهند؛ بنابراین، عدد نشان‌داده‌شده توسط ساعت داخل فضاپیما همان زمان ویژه است:
\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]
گام ۲: ضریب لورنتس را محاسبه کنید.
\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]
گام ۳: رابطهٔ اتساع زمان را به کار ببرید.
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]
زمین بازه‌ای برابر با \(16.7\text{ min}\) تعیین می‌کند، درحالی‌که ساعت فضاپیما \(10.0\text{ min}\) را نشان می‌دهد. ساعت فضانورد در چارچوب سکون خودش به‌طور عادی کار می‌کند؛ تفاوت به بازه‌های زمانی‌ای مربوط است که دو چارچوب تعیین می‌کنند.
چرا هر دو ناظر می‌توانند بگویند ساعت دیگری کند کار می‌کند؟
این موضوع متناقض به نظر می‌رسد، اما ناظران در حال مقایسهٔ مستقیم یک جفت تیک یکسان از هر دو ساعت نیستند.
زمین از شبکهٔ ساعت‌های همگام‌شدهٔ خودش برای تعیین زمان تیک‌های فضاپیما استفاده می‌کند. فضانورد نیز از شبکهٔ متفاوتی از ساعت‌های همگام‌شده برای تعیین زمان تیک‌های ساعت‌های دوردست زمین استفاده می‌کند. چون هم‌زمانی به چارچوب وابسته است، این دو مقایسه از زمان‌بندی یکسانی برای رویدادهای دوردست استفاده نمی‌کنند.
اگر فضانورد تغییر جهت دهد و بعداً دوباره به زمین برسد، وضعیت بار دیگر تغییر می‌کند. سفر شامل تغییر چارچوب لخت است؛ بنابراین، مسیرهای کامل دو ناظر دیگر معادل یکدیگر نیستند. آن‌ها ممکن است در طول سفرهای خود مقادیر متفاوتی از زمان ویژه را تجربه کنند.
قاعدهٔ اصلی ساده است: اتساع زمان به همان دو رویداد مربوط می‌شود، به‌شرط آنکه بازهٔ زمان ویژه در چارچوبی اندازه‌گیری شود که این دو رویداد در آن در یک مکان رخ می‌دهند.
04انقباض طول: طول اندازه‌گیری‌شدهٔ یک جسم متحرک تغییر می‌کند
اتساع زمان به فاصلهٔ زمانی بین رویدادها مربوط است. انقباض طول به فاصلهٔ میان دو انتهای یک جسم مربوط می‌شود.
فضاپیمایی را تصور کنید که ساکن است. طول آن را با خط‌کش اندازه می‌گیرید و \(150\text{ m}\) به دست می‌آورید. این مقدار، طول ویژه آن، \(L_0\)، است؛ زیرا اندازه‌گیری در چارچوب سکون فضاپیما انجام شده است.
اکنون فرض کنید فضاپیما با سرعتی زیاد از کنار زمین عبور می‌کند. زمین طول آن را با ثبت مکان جلو و عقب فضاپیما در یک زمان یکسان در چارچوب زمین اندازه می‌گیرد.
این شرط آخر اهمیت دارد. برای اندازه‌گیری طول در یک چارچوب مشخص، باید مکان هر دو انتهای جسم را به‌طور هم‌زمان در همان چارچوب ثبت کنید.
طول اندازه‌گیری‌شدهٔ فضاپیمای متحرک برابر است با
\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]
یا به‌طور معادل،
\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]
که در آن:
- \(L\) طول اندازه‌گیری‌شده در چارچوبی است که جسم در آن حرکت می‌کند.
- \(L_0\) طول ویژهٔ جسم است که در چارچوب سکون آن اندازه‌گیری می‌شود.
- \(v\) سرعت جسم نسبت به چارچوب اندازه‌گیری است.
- \(\gamma\) ضریب لورنتس است.
فقط بُعدی که در راستای حرکت قرار دارد، منقبض می‌شود. ابعاد جسم در راستاهای عمود بر حرکت، طبق این رابطهٔ انقباض طول، تغییر نمی‌کنند.
انقباض طول فقط در راستای حرکت رخ می‌دهد
| فضاپیمای ساکن | L = L₀ L₀ طول ویژه است. بُعد عمود بر حرکت: h₀. |
|---|---|
| فضاپیما در حال حرکت با سرعت v | L = L₀/γ طول در راستای حرکت منقبض می‌شود. بُعد عمود بر حرکت همچنان h₀ باقی می‌ماند. |
یک اشتباه رایج این است که تصور کنیم فضاپیما از نظر خودش تحت فشار قرار می‌گیرد و فشرده می‌شود. چنین نیست؛ فضاپیما در چارچوب سکون خودش طول کوتاه‌تری اندازه نمی‌گیرد. این تفاوت از آنجا ناشی می‌شود که اندازه‌گیری طول در چارچوب‌های مختلف از مجموعه‌های متفاوتی از مکان‌های هم‌زمان دو انتها استفاده می‌کند.
مثال حل‌شده: عبور یک فضاپیما از کنار آشکارساز
یک کاوشگر طول ویژهٔ \(150\text{ m}\) دارد و با سرعت \(0.80c\) از کنار آشکارسازی ساکن عبور می‌کند.
موارد زیر را محاسبه کنید:
- طولی که زمین اندازه می‌گیرد؛
- زمان بین عبور دماغه و انتهای عقب کاوشگر از آشکارساز، در چارچوب زمین؛
- زمان بین همان دو رویداد، در چارچوب کاوشگر.
گام ۱: ضریب لورنتس را محاسبه کنید.
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
گام ۲: طول اندازه‌گیری‌شده توسط زمین را محاسبه کنید.
\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]
زمین طول کاوشگر متحرک را \(90.0\text{ m}\) اندازه می‌گیرد.
گام ۳: بازهٔ زمانی در چارچوب زمین را محاسبه کنید.
سرعت کاوشگر برابر است با
\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
فاصلهٔ میان دماغه و انتهای عقب کاوشگر در چارچوب زمین \(90.0\text{ m}\) است. بنابراین، زمان بین عبور این دو بخش از آشکارساز ساکن برابر است با
\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
گام ۴: بازهٔ زمانی را در چارچوب کاوشگر محاسبه کنید.
در چارچوب کاوشگر، آشکارساز در طول کامل طول ویژهٔ \(150\text{ m}\) کاوشگر حرکت می‌کند و همان سرعت نسبی را دارد. بنابراین،
\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
دو رویداد عبور در چارچوب زمین در یک مکان یکسان رخ می‌دهند؛ بنابراین، بازهٔ زمانی \(0.375\,\mu\text{s}\) اندازه‌گیری‌شده توسط آشکارساز، یک بازهٔ زمان ویژه است. در چارچوب کاوشگر، آشکارساز متحرک است و بازهٔ زمانی طولانی‌تر می‌شود:
\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]
محاسبات با یکدیگر سازگارند. یک جفت رویداد یکسان در دو چارچوب، بازه‌های زمانی متفاوتی دارد؛ درحالی‌که طول اندازه‌گیری‌شدهٔ کاوشگر به چارچوبی بستگی دارد که در آن مکان هر دو انتها به‌طور هم‌زمان ثبت می‌شود.
رویدادهای عبور یکسان، بازه‌های زمانی متفاوت
| چارچوب زمین | A → B: 0.375 μs طول کاوشگر: 90 m؛ آشکارساز ساکن است. |
|---|---|
| چارچوب کاوشگر | A → B: 0.625 μs طول کاوشگر: 150 m؛ آشکارساز از کنار آن عبور می‌کند. |
05جرم و انرژی: رابطهٔ \(E=mc^2\) واقعاً چه معنایی دارد؟
هسته‌ای را در نظر بگیرید که از پروتون‌ها و نوترون‌های جداگانه تشکیل می‌شود. پس از تشکیل هسته، جرم سکون آن اندکی کمتر از مجموع جرم سکون ذرات جدا از یکدیگر است.
آیا بخشی از ماده صرفاً ناپدید شده است؟
خیر. سامانه انرژی آزاد کرده است و انرژی‌ای که از آن خارج شده، باید در محاسبات انرژی در نظر گرفته شود. جرم و انرژی با یکدیگر مرتبط‌اند.
انرژی سکون یک جسم برابر است با
\[ \boxed{E_0=mc^2} \]
که در آن:
- \(E_0\) انرژی سکون است.
- \(m\) جرم ناوردا یا جرم سکون است.
- \(c\) سرعت نور است.
برای تغییر در جرم سکون، تغییر متناظر در انرژی سکون برابر است با
\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]
ضریب \(c^2\) بسیار بزرگ است. اختلاف جرمی به‌اندازهٔ فقط \(1.0\text{ g}\)، با اختلاف انرژی سکونی برابر با مقدار زیر متناظر است:
\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]
این مقدار انرژی برای چنین اختلاف جرم کوچکی بسیار زیاد است.
جرم کاهش می‌یابد؛ انرژی کل پایسته می‌ماند
| پیش از خروج انرژی | Rest mass = m انرژی سکون اولیه: E₀ = mc². |
|---|---|
| پس از خروج تابش | Remaining mass = m − Δm تابش انرژی ΔE = Δmc² را با خود حمل می‌کند. انرژی سکون باقی‌مانده + انرژی تابش = انرژی اولیه. |
وقتی انرژی وارد یک سامانه می‌شود یا از آن خارج می‌شود، چه تغییری رخ می‌دهد؟
اگر انرژی از یک سامانه خارج شود، جرم سکون باقی‌ماندهٔ آن سامانه می‌تواند کاهش یابد. اگر انرژی به سامانه افزوده شود و درون آن باقی بماند، جرم سکون آن افزایش می‌یابد؛ مشروط بر آنکه سامانه پیش و پس از این تغییر، در حالت سکون مقایسه شود.
این موضوع به معنای نابودشدن انرژی هنگام کاهش جرم نیست. در یک سامانهٔ منزوی، انرژی کل پایسته است. ممکن است انرژی به شکل تابش یا انرژی جنبشی از جسم باقی‌مانده خارج شده باشد، اما همچنان وجود دارد.
یک هستهٔ مقید نمونهٔ مناسبی برای این موضوع است. اختلاف میان مجموع جرم سکون نوکلئون‌های جدا از یکدیگر و جرم سکون هستهٔ مقید، نقص جرم نامیده می‌شود. اختلاف انرژی متناظر با آن، انرژی بستگی است.
یک نکتهٔ ضروری: جرم سکون با انرژی کل یکسان نیست
رابطهٔ \(E_0=mc^2\) انرژی سکون را بیان می‌کند. برای جسمی که با سرعت \(v\) حرکت می‌کند، انرژی کل برابر است با
\[ E=\gamma mc^2, \]
و انرژی جنبشی آن برابر است با
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]
در اینجا، \(m\) همچنان جرم سکون ناوردای جسم است. ضریب \(\gamma\) انرژی کل جسم را تغییر می‌دهد، نه جرم ناوردای آن را.
در برخی منابع قدیمی‌تر، از اصطلاح جرم نسبیتی برای \(\gamma m\) استفاده می‌شود. در قرارداد امروزی، معمولاً جرم را ناوردا در نظر می‌گیرند و افزایش انرژی را به‌جای افزایش جرم، با استفاده از مفاهیم انرژی و تکانه توصیف می‌کنند.
برای مثال، فوتون‌ها با وجود داشتن جرم سکون صفر، انرژی و تکانه دارند. بنابراین، نباید رابطهٔ \(E=mc^2\) را به این معنا تفسیر کرد که هر نوع انرژی الزاماً باید متعلق به ذره‌ای با جرم سکون غیرصفر باشد.
مثال حل‌شده: محاسبهٔ انرژی از اختلاف جرم
یک منبع ساکن تابش آزاد می‌کند و جرم سکون باقی‌ماندهٔ آن به‌اندازهٔ \(0.50\text{ mg}\) کاهش می‌یابد. با فرض اینکه کل اختلاف جرم متناظر با انرژی‌ای است که تابش با خود حمل می‌کند، انرژی آزادشده را تخمین بزنید.
گام ۱: اختلاف جرم را به کیلوگرم تبدیل کنید.
\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]
گام ۲: هم‌ارزی جرم و انرژی را به کار ببرید.
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]
گام ۳: نتیجه را تفسیر کنید.
انرژی آزادشده برابر با \(4.5\times10^{10}\text{ J}\) است. اختلاف جرمی به‌اندازهٔ تنها \(0.50\text{ mg}\)، با مقدار بسیار بزرگی از انرژی متناظر است.
جرم سکون باقی‌ماندهٔ منبع کاهش یافته است، اما انرژی ناپدید نشده است. با درنظرگرفتن تابش گسیل‌شده، محاسبات انرژی کل همچنان سازگار می‌مانند.
06انتخاب رابطهٔ مناسب
مطمئن‌ترین روش برای حل یک مسئلهٔ نسبیت خاص این است که پیش از انتخاب فرمول، مشخص کنید چه چیزی اندازه‌گیری می‌شود.
| شرح مسئله | رابطهٔ مربوط | پیش از جای‌گذاری بررسی کنید |
|---|---|---|
| زمان بین دو تیک یک ساعت متحرک | \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\) | آیا دو رویداد در یک مکان در چارچوب سکون ساعت رخ می‌دهند؟ |
| طول جسمی که نسبت به ناظر حرکت می‌کند | \(L=L_0/\gamma\) | آیا \(L_0\) طول ویژه است و آیا مکان هر دو انتها به‌طور هم‌زمان در چارچوب ناظر اندازه‌گیری می‌شود؟ |
| دو رویداد در مکان‌های متفاوت | نسبیت هم‌زمانی | آیا رویدادها در چارچوبی که زمان‌هایشان با یکدیگر مقایسه می‌شوند، در مکان‌های متفاوت رخ می‌دهند؟ |
| تغییر در انرژی سکون یک سامانه | \(\Delta E_0=\Delta m c^2\) | کدام سامانه را در نظر گرفته‌اید و انرژی به کجا رفته است؟ |
چهار بررسی زیر بسیاری از اشتباهات رایج را آشکار می‌کنند:
- ضریب لورنتس را بررسی کنید. برای \(0\leq v<c\)، داریم \(\gamma\geq1\).
- رویدادها را بررسی کنید. اتساع زمان قاعده‌ای برای هر جفت رویداد دلخواه نیست. شرط مربوط به زمان ویژه اهمیت دارد.
- اندازه‌گیری را بررسی کنید. انقباض طول در راستای حرکت اعمال می‌شود و اندازه‌گیری طول به ثبت هم‌زمان مکان دو انتها در چارچوب اندازه‌گیری نیاز دارد.
- حساب‌وکتاب انرژی را بررسی کنید. کاهش جرم سکون یک جسم به این معنا نیست که انرژی کل یک سامانهٔ منزوی ناپدید شده است.
07پرسش‌ها و پاسخ‌های تشریحی
پرسش ۱
ساعتی که به یک کاوشگر ثابت شده است، فاصلهٔ زمانی بین دو تیک را \(3.0\text{ s}\) اندازه می‌گیرد. کاوشگر با سرعت \(0.60c\) نسبت به یک آزمایشگاه حرکت می‌کند.
بازهٔ زمانی‌ای را محاسبه کنید که آزمایشگاه برای همان دو تیک تعیین می‌کند.
پاسخ ۱
آزمایشگاه بازه‌ای برابر با \(3.75\text{ s}\)، یا با گردکردن به دو رقم معنادار، \(3.8\text{ s}\)، تعیین می‌کند.
ساعت داخل کاوشگر زمان ویژه را اندازه می‌گیرد؛ زیرا هر دو تیک در یک مکان یکسان در چارچوب سکون کاوشگر رخ می‌دهند.
گام ۱: ضریب لورنتس را محاسبه کنید.
\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]
گام ۲: رابطهٔ اتساع زمان را به کار ببرید.
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]
آزمایشگاه بازهٔ زمانی طولانی‌تری از آنچه ساعت کاوشگر اندازه می‌گیرد، ثبت می‌کند. این نتیجه با اتساع زمان سازگار است.
پرسش ۲
یک کاوشگر طول ویژهٔ \(80\text{ m}\) دارد. طول یک آشیانه در چارچوب سکون خودش \(60\text{ m}\) است. کاوشگر با سرعت \(0.80c\) از کنار آشیانه عبور می‌کند.
مهندسی استدلال می‌کند که کاوشگر می‌تواند در یک لحظه به‌طور کامل داخل آشیانه قرار بگیرد، زیرا طول منقبض‌شدهٔ آن از طول آشیانه کمتر است. خلبان استدلال می‌کند که این امر ناممکن است، زیرا آشیانه در چارچوب خلبان کوتاه‌تر از کاوشگر است.
فرض کنید درهای ایدئال می‌توانند به‌صورت آنی باز و بسته شوند و از آسیب مادی صرف‌نظر کنید.
آیا محاسبات طول هر دو ناظر درست است؟ آیا کاوشگر می‌تواند در یک لحظه به‌طور کامل داخل آشیانه قرار بگیرد؟ توضیح دهید که چگونه این دو توصیف با یکدیگر سازگارند.
پاسخ ۲
محاسبات طول هر دو ناظر درست است. اختلاف بر سر این است که آیا کاوشگر در یک لحظه به‌طور کامل داخل آشیانه قرار دارد یا نه؛ زیرا هم‌زمانی به چارچوب وابسته است.
گام ۱: ضریب لورنتس را محاسبه کنید.
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
گام ۲: طول کاوشگر را در چارچوب آشیانه محاسبه کنید.
طول ویژهٔ کاوشگر برابر است با \(L_0=80\text{ m}\).
\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]
از آنجا که \(48\text{ m}<60\text{ m}\)، مهندس درست می‌گوید که کاوشگر می‌تواند در یک لحظه از چارچوب آشیانه به‌طور کامل داخل آشیانه قرار بگیرد، مشروط بر اینکه موقعیت آن مناسب باشد.
گام ۳: طول آشیانه را در چارچوب کاوشگر محاسبه کنید.
طول ویژهٔ آشیانه \(60\text{ m}\) است. در چارچوب کاوشگر، آشیانه حرکت می‌کند؛ بنابراین، طول اندازه‌گیری‌شدهٔ آن برابر است با
\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]
خلبان نیز درست می‌گوید: طول آشیانهٔ متحرک در چارچوب کاوشگر فقط \(36\text{ m}\) است، درحالی‌که طول ویژهٔ کاوشگر همچنان \(80\text{ m}\) باقی می‌ماند.
گام ۴: تناقض ظاهری را برطرف کنید.
عبارت «به‌طور کامل داخل آشیانه در یک لحظه» به این معناست که مکان هر دو انتهای کاوشگر، در یک زمان یکسان و در چارچوب مشخص، داخل آشیانه باشد.
در چارچوب آشیانه، لحظه‌ای وجود دارد که هر دو انتهای کاوشگر داخل آشیانه‌اند. در چارچوب کاوشگر، هیچ لحظه‌ای وجود ندارد که کاوشگر کامل \(80\text{ m}\) در آشیانهٔ \(36\text{ m}\) جای بگیرد.
نکتهٔ اصلی این است که دو رویداد بسته‌شدن درها که در چارچوب آشیانه هم‌زمان‌اند، در چارچوب کاوشگر هم‌زمان نیستند. ناظران در حال توصیف یک جفت رویداد هم‌زمان یکسان نیستند. هیچ‌یک از این دو توصیف مستلزم آن نیست که کاوشگر در چارچوب سکون خودش از نظر فیزیکی نابود یا فشرده شود.
پرسش ۳
جرم سکون یک هستهٔ مقید، \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) کمتر از مجموع جرم سکون نوکلئون‌های جدا از یکدیگر است.
فرض کنید هر دو حالت در حالت سکون مقایسه می‌شوند و انرژی آزادشده هنگام تشکیل پیوند از هسته خارج می‌شود.
انرژی بستگی آزادشده را برحسب ژول محاسبه کنید و توضیح دهید که چرا جرم سکون کمترِ هستهٔ نهایی، قانون پایستگی انرژی را نقض نمی‌کند.
پاسخ ۳
انرژی بستگی متناظر با اختلاف جرم برابر با \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\) است. کمتر بودن جرم سکون با پایستگی انرژی سازگار است؛ زیرا انرژی آزادشده از سامانه خارج می‌شود.
گام ۱: اختلاف جرم را مشخص کنید.
اندازهٔ نقص جرم برابر است با
\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]
گام ۲: هم‌ارزی جرم و انرژی را به کار ببرید.
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]
گام ۳: حساب‌وکتاب انرژی را توضیح دهید.
انرژی سکون هستهٔ مقید کمتر از انرژی سکون نوکلئون‌های جدا از یکدیگر است. این اختلاف به شکل انرژی آزادشده هنگام تشکیل پیوند ظاهر می‌شود؛ برای مثال، به صورت تابش یا انرژی جنبشی که محصولات دیگر با خود حمل می‌کنند.
جرم سکون هستهٔ نهایی کمتر است، زیرا انرژی از هسته خارج شده است. با درنظرگرفتن انرژی آزادشده، انرژی کل همچنان پایسته می‌ماند.
پرسش ۴
جرم سکون ناوردای یک فضاپیما \(1.0\text{ kg}\) است و فضاپیما با سرعت \(0.80c\) نسبت به زمین حرکت می‌کند.
دانش‌آموزی \(\gamma=1.67\) را محاسبه می‌کند و ادعا می‌کند که جرم فضاپیما به \(1.67\text{ kg}\) افزایش یافته است.
با استفاده از روابط
\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]
انرژی سکون، انرژی کل و انرژی جنبشی فضاپیما را محاسبه کنید. ادعای دانش‌آموز را ارزیابی کنید.
پاسخ ۴
انرژی سکون برابر با \(9.0\times10^{16}\text{ J}\)، انرژی کل برابر با \(1.5\times10^{17}\text{ J}\) و انرژی جنبشی برابر با \(6.0\times10^{16}\text{ J}\) است. طبق قرارداد جرم ناوردا، جرم سکون فضاپیما همچنان \(1.0\text{ kg}\) باقی می‌ماند.
گام ۱: انرژی سکون را محاسبه کنید.
جرم سکون برابر است با \(m=1.0\text{ kg}\).
\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
گام ۲: انرژی کل را محاسبه کنید.
\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]
گام ۳: انرژی جنبشی را محاسبه کنید.
\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
نتایج با یکدیگر سازگارند؛ زیرا انرژی کل برابر مجموع انرژی سکون و انرژی جنبشی است:
\[ E=E_0+K. \]
گام ۴: ادعای دانش‌آموز را ارزیابی کنید.
دانش‌آموز به‌درستی تشخیص داده است که \(\gamma\) انرژی سکون را در خود ضرب می‌کند تا انرژی کل به دست آید. اشتباه او این است که این ضریب را به‌عنوان افزایش جرم سکون ناوردا تفسیر می‌کند.
انرژی جنبشی فضاپیما با افزایش سرعت بیشتر می‌شود، اما جرم سکون ناوردای آن همچنان \(1.0\text{ kg}\) باقی می‌ماند. این تمایز زمانی اهمیت دارد که مسئله‌ای هم‌زمان شامل هم‌ارزی جرم و انرژی و انرژی یک جسم متحرک باشد.
پرسش ۵
طول یک سکو در چارچوب سکون آن، \(S\)، برابر با \(600\text{ m}\) است. دو چراغ A و B در دو انتهای سکو نصب شده‌اند؛ چراغ A در \(x=0\) و چراغ B در \(x=+600\text{ m}\) قرار دارد. این دو چراغ در \(t=0\) در چارچوب \(S\) به‌طور هم‌زمان چشمک می‌زنند.
هر فلاش، یک پالس نور را به‌سمت نقطهٔ میانی سکو می‌فرستد. در چارچوب \(S\)، دو پالس در نقطهٔ میانی به یکدیگر می‌رسند.
چارچوب سکون موشک، \(S'\)، با سرعت \(0.80c\) نسبت به \(S\) در جهت مثبت محور \(x\) حرکت می‌کند.
برای این پرسش، از رابطهٔ مختصات زمانی زیر استفاده کنید:
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
که در آن \(\Delta t=t_B-t_A\) و \(\Delta x=x_B-x_A\) در چارچوب \(S\) اندازه‌گیری می‌شوند.
(الف) کدام فلاش در چارچوب \(S'\) زودتر رخ می‌دهد و اختلاف زمانی چقدر است؟
(ب) طول سکو در چارچوب \(S'\) برابر با \(360\text{ m}\) است. دانش‌آموزی ادعا می‌کند که اختلاف زمانی میان فلاش‌ها باید برابر با \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) باشد. اشتباه دقیق او را توضیح دهید.
(ج) آیا دو پالس نور همچنان باید در چارچوب \(S'\) در همان رویداد به یکدیگر برسند؟ توضیح دهید که چگونه این امر با وجود هم‌زمان نبودن فلاش‌ها امکان‌پذیر است.
پاسخ ۵
فلاش B در چارچوب \(S'\)، به‌اندازهٔ \(2.67\,\mu\text{s}\) زودتر رخ می‌دهد. پالس‌ها همچنان در همان رویداد به یکدیگر می‌رسند؛ زیرا تمام چارچوب‌های لخت دربارهٔ محل تقاطع دو پالس نور توافق دارند، حتی اگر زمان‌های متفاوتی برای رویدادهای گسیل آن‌ها تعیین کنند.
گام ۱: ضریب لورنتس را محاسبه کنید و اختلاف‌های مربوط به رویدادها را مشخص کنید.
سرعت نسبی برابر با \(v=0.80c\) است؛ بنابراین،
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]
فلاش‌ها در چارچوب \(S\) هم‌زمان‌اند و مکان B دارای مختصات بزرگ‌تری است. بنابراین،
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]
گام ۲: اختلاف زمانی را در چارچوب \(S'\) محاسبه کنید.
مقادیر را در رابطهٔ ارائه‌شده برای تبدیل مختصات زمانی جای‌گذاری کنید:
\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]
نتیجهٔ منفی به این معناست که \(t'_B<t'_A\). فلاش B در چارچوب موشک، \(2.67\,\mu\text{s}\) پیش از فلاش A رخ می‌دهد.
گام ۳: توضیح دهید چرا محاسبهٔ \(360\text{ m}/c\) نادرست است.
محاسبهٔ دانش‌آموز چنین است:
\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]
محاسبات ریاضی درست است، اما به پرسش نادرستی پاسخ می‌دهد.
مقدار \(360\text{ m}\)، طول سکو در چارچوب \(S'\) است که با اندازه‌گیری هم‌زمان دو انتهای آن در یک زمان یکسان در چارچوب موشک به دست آمده است. دو رویداد فلاش در چارچوب \(S'\) هم‌زمان نیستند؛ بنابراین، مکان‌های این دو رویداد را نمی‌توان به‌عنوان دو انتهای اندازه‌گیری طولی در نظر گرفت که بر پایهٔ اندازه‌گیری هم‌زمان انجام شده است.
اختلاف زمانی بین دو رویداد، به‌طور کلی برابر با طول اندازه‌گیری‌شده تقسیم بر \(c\) نیست. دانش‌آموز طولی را که با استفاده از مکان‌های هم‌زمان دو انتها اندازه‌گیری شده است، با دو رویدادی ترکیب کرده که در یک چارچوب واحد در زمان‌های متفاوتی رخ می‌دهند.
گام ۴: توضیح دهید چرا پالس‌ها همچنان به یکدیگر می‌رسند.
در چارچوب \(S\)، هر پالس مسافت \(300\text{ m}\) را تا نقطهٔ میانی طی می‌کند. بنابراین، رویداد رسیدن دو پالس به یکدیگر در نقطهٔ زیر رخ می‌دهد:
\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]
این یک رویداد در فضازمان است. تمام چارچوب‌های لخت توافق دارند که هر دو پالس در همان رویداد به یکدیگر می‌رسند، هرچند مختصات متفاوتی به آن نسبت می‌دهند.
می‌توانیم زمان‌بندی را در چارچوب موشک بررسی کنیم. با استفاده از رابطهٔ ارائه‌شده برای تبدیل مختصات زمانی، برای رویداد فلاش A و رویداد رسیدن دو پالس به یکدیگر داریم:
\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
فلاش A در \(t'_A=0\) رخ می‌دهد؛ بنابراین، پالس آن در چارچوب موشک، طی \(0.333\,\mu\text{s}\) زمان مختصاتی به رویداد رسیدن دو پالس به یکدیگر می‌رسد.
فلاش B در \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\) رخ می‌دهد؛ بنابراین، زمان لازم برای رسیدن پالس آن به همان رویداد برابر است با
\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s}. \]
زمان‌های متفاوت گسیل و بازه‌های زمانی متفاوت حرکت نور، با وقوع یک رویداد یکسان برای رسیدن دو پالس به یکدیگر سازگارند. اشتباه این است که فرض کنیم گسیل هم‌زمان در یک چارچوب، باید در تمام چارچوب‌ها نیز هم‌زمان باقی بماند.
گام مفید بعدی، یادگیری نحوهٔ نمایش رویدادها روی نمودار فضازمان است. برای حل مسائل HSC، ابتدا چارچوب را مشخص کنید و بپرسید آیا رویدادها در آن چارچوب در یک مکان یکسان رخ می‌دهند یا خیر. این تصمیم به شما کمک می‌کند پیش از شروع محاسبات، بین اتساع زمان، انقباض طول و نسبیت هم‌زمانی، رابطهٔ مناسب را انتخاب کنید.