Espesyal na Relatibidad para sa HSC Physics: Isang Malinaw na Gabay na may mga Halimbawang Solusyon

May sasakyang pangkalawakan na dumaraan sa Daigdig sa bilis na \(0.80c\). Itinatakda ng mga tagamasid sa Daigdig ang mas mahabang pagitan sa pagitan ng dalawang tik ng orasan ng sasakyang pangkalawakan kaysa sa sinusukat ng astronauta. Samantala, sinasabi ng astronauta na mabagal ang takbo ng mga orasan sa Daigdig. Bago magpatuloy sa pagbabasa, hulaan: may isa bang tagamasid na basta na lamang nagkakamali? Wala. Magkaibang inertial frame ang ginagamit nila, at nagmumula ang hindi nila pagkakasundo sa paraan ng pagsukat ng oras at espasyo sa matataas na bilis.

01Mga frame: ano ba talaga ang sinusukat ng bawat tagamasid?

Ang frame of reference ay isang sistema ng mga coordinate na ginagamit upang italaga ang mga posisyon at oras ng mga pangyayari. Maaari itong katawanin ng mga panukat na ruler at isang network ng mga orasan na magkakasabay ang pagkakasinkronisa.

Ang inertial frame ay isang frame na hindi bumibilis o umiikot. Para sa gabay na ito, ipagpalagay na bale-wala ang grabidad at gumagalaw ang sasakyang pangkalawakan at ang Daigdig nang may pare-parehong relatibong bilis sa tuwing inihahambing natin ang mga ito.

Sa pang-araw-araw na buhay, karaniwan nating itinuturing ang oras na para bang pare-pareho ito para sa lahat. Kung dalawang pangyayari ay naganap nang sabay para sa iyo, inaasahan mong sabay din ang mga ito para sa lahat ng iba pa.

Hinahamon ng espesyal na relatibidad ang palagay na ito. Nagsisimula ito sa dalawang tuntunin:

• Magkakapareho ang mga batas ng pisika sa bawat inertial frame.
• Sinusukat ng bawat inertial na tagamasid ang parehong bilis ng liwanag sa vacuum, anuman ang galaw ng pinagmumulan ng liwanag o ng tagamasid.

Ang bilis ng liwanag ay

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

Ipagpalagay na gumagalaw ka patungo sa isang sinag ng liwanag. Maaari mong asahang masusukat mo ang bilis nito bilang \(c+v\), kung saan ang \(v\) ay ang bilis mo patungo sa sinag. Ngunit hindi iyon ang mangyayari. \(c\) pa rin ang masusukat mo.

Upang maging posible ito, hindi maaaring palaging magkasundo ang mga tagamasid na gumagalaw nang magkakaugnay sa isa’t isa tungkol sa mga pagitan ng oras, mga haba, o kung aling malalayong pangyayari ang naganap nang sabay.

Hindi ito tungkol sa kung ano lamang ang nakikita ng kanilang mga mata. Gumagamit ang mga relativistikong pagsukat ng mga orasan na magkakasabay ang pagkakasinkronisa at isinasaalang-alang ang tagal ng paglalakbay ng liwanag. Nananatili ang hindi pagkakasundo kahit na naitama na ang epektong ito.

02Pagkakasabay: maaaring maganap ang dalawang pangyayari sa magkaibang oras sa magkaibang frame

Isipin ang dalawang ilawan, A at B, na nasa magkabilang dulo ng isang mahabang plataporma. Magkakasabay ang pagkakasinkronisa ng mga orasan na nakapirmi sa plataporma, at kumikislap ang dalawang ilawan sa oras na \(t=0\) ayon sa plataporma.

Bago magpatuloy sa pagbabasa, hulaan: kailangan bang sumang-ayon ang isang rocket na dumaraan sa plataporma na sabay naganap ang dalawang pagkislap?

Hindi. Maaaring magtakda ang rocket ng magkaibang oras para sa dalawang pagkislap.

Ang ibig sabihin ng magkasabay ay magkapareho ang coordinate ng oras ng dalawang pangyayari sa isang tinukoy na frame. Hindi nito awtomatikong nangangahulugan na itatalaga ng bawat inertial frame ang parehong oras sa mga pangyayaring iyon.

Upang maging tiyak ang sitwasyon, ipagpalagay na:

• Nasa \(x=0\) ang ilawang A.
• Nasa \(x=600\text{ m}\) ang ilawang B.
• Nakatigil ang plataporma sa frame \(S\).
• Gumagalaw ang frame \(S'\) ng rocket sa positibong direksiyon ng \(x\), sa bilis na \(v\) kaugnay ng \(S\).

Sa frame ng plataporma, sabay ang dalawang pagkislap. Sa frame ng rocket, mas maagang nagaganap ang pagkislap sa B kaysa sa pagkislap sa A.

Bakit ganoon ang pagkakasunod? Ang transformation ng coordinate ng oras para sa dalawang pangyayaring ito ay

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

kung saan

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

Dito, ang \(\Delta t=t_B-t_A\) at \(\Delta x=x_B-x_A\) ay ang mga pagkakaiba sa oras at posisyon na sinusukat sa frame \(S\). Ang primed na pagkakaiba sa oras ay sinusukat sa frame \(S'\), na gumagalaw sa positibong direksiyon ng \(x\) kaugnay ng \(S\).

Para sa magkasabay na pagkislap sa plataporma,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

Samakatuwid,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

Ipinakikita ng negatibong tanda na mas maagang nagaganap ang pagkislap sa B sa frame ng rocket.

Isang mahalagang paglilinaw: ang pagkakasunod-sunod ng pagtanggap ng isang tagamasid sa dalawang pagkislap ay hindi, sa ganang sarili nito, patunay ng oras ng mga pangyayari. Kailangang maglakbay ang liwanag patungo sa tagamasid, at maaaring magkaiba ang mga distansiya. Ang relatibidad ng pagkakasabay ay tumutukoy sa mga oras na itinatalaga ng mga orasan na magkakasabay ang pagkakasinkronisa, matapos isaalang-alang ang oras ng paglalakbay ng liwanag.

Lalong nagiging kapaki-pakinabang ang pagkakaibang ito kapag may dalawang malalayong pangyayari sa isang tanong, sa halip na dalawang tik ng iisang orasan.

03Paglawak ng oras: mas mahaba ang nasusukat na pagitan ng tik ng isang gumagalaw na orasan

Isaalang-alang naman ang dalawang tik ng iisang orasan na nakakabit sa isang sasakyang pangkalawakan.

Nagaganap ang dalawang tik sa iisang lokasyon sa rest frame ng sasakyang pangkalawakan. Ang lumipas na oras na sinusukat ng orasan ay tinatawag na proper time, na isinusulat bilang \(\Delta\tau\).

Itinatakda ng isang tagamasid sa ibang inertial frame, kung saan gumagalaw ang sasakyang pangkalawakan sa bilis na \(v\), ang mas mahabang pagitan ng oras para sa dalawang pangyayaring iyon. Ito ang paglawak ng oras.

Ang equation ay

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

kung saan:

• Ang \(\Delta t\) ay ang pagitan ng oras na sinusukat sa frame kung saan gumagalaw ang orasan.
• Ang \(\Delta\tau\) ay ang proper time na sinusukat ng orasan sa rest frame nito.
• Ang \(\gamma\) ay ang Lorentz factor.
• Ang \(v\) ay ang relatibong bilis sa pagitan ng mga frame.
• Ang \(c\) ay ang bilis ng liwanag.

Dahil \(\gamma\geq1\), hindi kailanman mas maikli ang pagitan ng mga tik ng gumagalaw na orasan kaysa sa pagitan ng mga ito ayon sa proper time.

Halimbawa, kapag \(v=0.80c\),

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

Sinusukat ng kabilang frame ang pagitan na \(1.67\) na beses ng haba ng pagitan ayon sa mismong orasan.

Bakit maaaring sabihin ng parehong tagamasid na mabagal ang takbo ng orasan ng isa’t isa?

Mukha itong magkasalungat, ngunit hindi direktang inihahambing ng mga tagamasid ang parehong pares ng mga tik sa dalawang orasan.

Ginagamit ng Daigdig ang sarili nitong network ng mga orasan na magkakasabay ang pagkakasinkronisa upang magtakda ng mga oras para sa mga tik ng sasakyang pangkalawakan. Gumagamit naman ang astronauta ng ibang network ng mga orasan na magkakasabay ang pagkakasinkronisa upang magtakda ng mga oras para sa mga tik ng malalayong orasan sa Daigdig. Dahil nakadepende sa frame ang pagkakasabay, hindi ginagamit ng dalawang paghahambing ang parehong pagtatalaga ng oras sa mga malalayong pangyayari.

Kung iikot ang astronauta at muling makakasama ang Daigdig sa bandang huli, magbabago muli ang sitwasyon. Kabilang sa paglalakbay ang pagpapalit ng inertial frame, kaya hindi na magkatumbas ang kabuuang paglalakbay ng dalawang tagamasid. Maaari silang makaipon ng magkaibang dami ng proper time.

Simple ang pangunahing tuntunin: naaangkop ang paglawak ng oras sa parehong dalawang pangyayari, kung saan sinusukat ang proper-time interval sa frame kung saan nagaganap ang dalawang pangyayari sa iisang lokasyon.

04Pag-ikli ng haba: nagbabago ang sinusukat na haba ng isang gumagalaw na bagay

Tumutukoy ang paglawak ng oras sa pagitan ng mga pangyayari. Tumutukoy naman ang pag-ikli ng haba sa distansiya sa pagitan ng mga dulo ng isang bagay.

Isipin ang isang sasakyang pangkalawakan na nakatigil. Sinusukat mo ang haba nito gamit ang ruler at nakakuha ka ng \(150\text{ m}\). Ito ang proper length nito, \(L_0\), dahil isinagawa ang pagsukat sa rest frame ng sasakyang pangkalawakan.

Ipagpalagay naman na dumaraan ang sasakyang pangkalawakan sa Daigdig sa mataas na bilis. Sinusukat ng Daigdig ang haba nito sa pamamagitan ng pagtatala sa mga posisyon ng unahan at hulihan nito sa iisang oras ayon sa frame ng Daigdig.

Mahalaga ang huling kondisyong iyon. Upang masukat ang haba sa isang partikular na frame, dapat mong itala nang sabay sa frame na iyon ang mga posisyon ng magkabilang dulo.

Ang sinusukat na haba ng gumagalaw na sasakyang pangkalawakan ay

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

o, sa katumbas na anyo,

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

kung saan:

• Ang \(L\) ay ang haba na sinusukat sa frame kung saan gumagalaw ang bagay.
• Ang \(L_0\) ay ang proper length ng bagay, na sinusukat sa rest frame nito.
• Ang \(v\) ay ang bilis ng bagay kaugnay ng frame na ginagamit sa pagsukat.
• Ang \(\gamma\) ay ang Lorentz factor.

Ang dimensiyong kahilera ng direksiyon ng galaw lamang ang umiikli. Hindi nagbabago ang mga dimensiyong patayo sa galaw dahil sa ugnayang ito para sa pag-ikli ng haba.

Karaniwang pagkakamali ang isipin na nararamdaman ng sasakyang pangkalawakan na pisikal itong naiipit. Hindi nito sinusukat ang mas maikling haba sa sarili nitong rest frame. Nagmumula ang pagkakaiba dahil gumagamit ang mga pagsukat ng haba sa magkaibang frame ng magkaibang hanay ng mga posisyon ng mga dulo na itinalagang sabay na naganap.

05Masa-enerhiya: ano ba talaga ang ibig sabihin ng \(E=mc^2\)?

Isaalang-alang ang isang nucleus na nabubuo mula sa magkakahiwalay na proton at neutron. Pagkabuo ng nucleus, bahagyang mas mababa ang rest mass nito kaysa sa pinagsamang rest mass ng mga particle na magkakahiwalay.

May materya bang basta na lamang naglaho?

Wala. Naglabas ng enerhiya ang sistema, at kailangang isama sa pagtutuos ang enerhiyang nailabas. Magkaugnay ang masa at enerhiya.

Ang rest energy ng isang bagay ay

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

kung saan:

• Ang \(E_0\) ay ang rest energy.
• Ang \(m\) ay ang invariant na masa, o rest mass.
• Ang \(c\) ay ang bilis ng liwanag.

Para sa pagbabago sa rest mass, ang katumbas na pagbabago sa rest energy ay

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

Napakalaki ng factor na \(c^2\). Ang pagkakaiba sa masa na \(1.0\text{ g}\) lamang ay tumutugma sa pagkakaiba sa rest energy na

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

Napakalaking enerhiya nito para sa napakaliit na pagkakaiba sa masa.

Ano ang nagbabago kapag pumapasok o lumalabas ang enerhiya sa isang sistema?

Kapag lumalabas ang enerhiya sa isang sistema, maaaring bumaba ang rest mass ng natitirang sistema. Kapag idinagdag ang enerhiya sa isang sistema at nananatili ito sa loob, tumataas ang rest mass nito, basta’t inihahambing ang sistema habang nakatigil bago at pagkatapos.

Hindi ito nangangahulugang nawawasak ang enerhiya kapag bumababa ang masa. Para sa isang nakahiwalay na sistema, napapanatili ang kabuuang enerhiya. Maaaring umalis ang enerhiya sa natitirang bagay bilang radyasyon o kinetikong enerhiya, ngunit umiiral pa rin ito.

Nagbibigay ng kapaki-pakinabang na halimbawa ang isang nakabigkis na nucleus. Ang pagkakaiba sa pagitan ng pinagsamang rest mass ng mga nukleon kapag magkakahiwalay ang mga ito at ng rest mass ng nakabigkis na nucleus ay tinatawag na mass defect. Ang katumbas na pagkakaiba sa enerhiya ay ang binding energy.

Isang mahalagang paglilinaw: hindi katumbas ng kabuuang enerhiya ang rest mass

Ibinibigay ng equation na \(E_0=mc^2\) ang rest energy. Para sa isang bagay na gumagalaw sa bilis na \(v\), ang kabuuang enerhiya nito ay

\[ E=\gamma mc^2, \]

at ang kinetikong enerhiya nito ay

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

Dito, nananatiling invariant na rest mass ng bagay ang \(m\). Binabago ng factor na \(\gamma\) ang kabuuang enerhiya ng bagay, hindi ang invariant nitong masa.

Sa ilang mas lumang paliwanag, ginagamit ang terminong relativistic mass para sa \(\gamma m\). Sa makabagong kumbensiyon, karaniwang itinuturing na invariant ang masa at inilalarawan ang pagtaas sa pamamagitan ng enerhiya at momentum sa halip.

Halimbawa, nagdadala ng enerhiya at momentum ang mga photon kahit wala silang rest mass. Kaya hindi dapat ipakahulugan ang \(E=mc^2\) na nangangahulugang kailangang taglayin ng bawat anyo ng enerhiya ang isang partikulang may hindi serong rest mass.

06Pagpili ng tamang ugnayan

Ang pinakamapananaligang paraan upang lutasin ang isang tanong tungkol sa espesyal na relatibidad ay tukuyin muna kung ano ang sinusukat bago pumili ng pormula.

Nakakatulong ang apat na pagsusuring ito upang maiwasan ang maraming karaniwang pagkakamali:

• Suriin ang Lorentz factor. Para sa \(0\leq v<c\), \(\gamma\geq1\).
• Suriin ang mga pangyayari. Hindi tuntunin para sa bawat pares ng pangyayari ang paglawak ng oras. Mahalaga ang kondisyon para sa proper time.
• Suriin ang pagsukat. Ang pag-ikli ng haba ay naaangkop sa direksiyon ng galaw, at kailangang sabay na itala ang mga posisyon ng magkabilang dulo sa frame na ginagamit sa pagsukat ng haba.
• Suriin ang pagtutuos sa enerhiya. Ang pagbaba ng rest mass ng isang bagay ay hindi nangangahulugang naglaho ang kabuuang enerhiya ng isang nakahiwalay na sistema.

07Mga tanong at solusyon

Tanong 1

Sinusukat ng orasan na nakakabit sa isang probe ang \(3.0\text{ s}\) sa pagitan ng dalawang tik. Gumagalaw ang probe sa bilis na \(0.60c\) kaugnay ng isang laboratoryo.

Kalkulahin ang pagitan ng oras na itatalaga ng laboratoryo sa parehong dalawang tik.

Solusyon 1

Nagtatalaga ang laboratoryo ng pagitan na \(3.75\text{ s}\), o \(3.8\text{ s}\) kapag ni-round sa dalawang makabuluhang digit.

Sinusukat ng orasan sa probe ang proper time dahil nagaganap ang parehong tik sa iisang lokasyon sa rest frame ng probe.

Hakbang 1: Kalkulahin ang Lorentz factor.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

Hakbang 2: Gamitin ang paglawak ng oras.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

Mas mahabang pagitan ang sinusukat ng laboratoryo kaysa sa sinusukat ng orasan ng probe. Kaayon ng paglawak ng oras ang resultang ito.

Tanong 2

Ang isang probe ay may proper length na \(80\text{ m}\). Ang isang hangar ay may habang \(60\text{ m}\) sa sarili nitong rest frame. Dumaraan ang probe sa hangar sa bilis na \(0.80c\).

Iginigiit ng isang inhinyero na maaaring magkasya nang buo ang probe sa loob ng hangar sa isang iglap dahil mas maikli ang contracted length nito kaysa sa haba ng hangar. Iginigiit naman ng piloto na imposible ito dahil mas maikli ang hangar kaysa sa probe sa frame ng piloto.

Ipagpalagay na kayang bumukas at magsara agad ang mga pinto nang walang anumang pagitan ng oras, at huwag isaalang-alang ang pagkasira ng materyal.

Tama ba ang mga kalkulasyon ng haba ng parehong tagamasid? Maaari bang mapaloob nang buo ang probe sa hangar sa isang iglap? Ipaliwanag kung paano nagkakatugma ang dalawang paglalarawan.

Solusyon 2

Tama ang mga kalkulasyon ng haba ng parehong tagamasid. Ang hindi nila pagkakasundo ay tungkol sa kung mapaloob nang buo ang probe sa hangar sa isang iglap, dahil nakadepende sa frame ang pagkakasabay.

Hakbang 1: Kalkulahin ang Lorentz factor.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

Hakbang 2: Kalkulahin ang haba ng probe sa frame ng hangar.

Ang proper length ng probe ay \(L_0=80\text{ m}\).

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

Dahil \(48\text{ m}<60\text{ m}\), tama ang inhinyero na maaaring magkasya nang buo ang probe sa loob ng hangar sa isang iglap ayon sa frame ng hangar, basta’t nasa angkop na posisyon ito.

Hakbang 3: Kalkulahin ang haba ng hangar sa frame ng probe.

Ang proper length ng hangar ay \(60\text{ m}\). Sa frame ng probe, gumagalaw ang hangar, kaya ang sinusukat na haba nito ay

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

Tama rin ang piloto: \(36\text{ m}\) lamang ang haba ng gumagalaw na hangar sa frame ng probe, samantalang nananatiling \(80\text{ m}\) ang proper length ng probe.

Hakbang 4: Lutasin ang tila pagkakasalungatan.

Ang pariralang “lubos na nasa loob sa isang iglap” ay nangangahulugang nasa loob ng hangar ang mga posisyon ng magkabilang dulo ng probe sa iisang oras sa isang tinukoy na frame.

Sa frame ng hangar, may isang iglap kung kailan nasa loob ang magkabilang dulo. Sa frame ng probe, walang iglap kung kailan kasya nang buo ang \(80\text{ m}\) na probe sa \(36\text{ m}\) na hangar.

Ang mahalagang punto ay hindi sabay ang dalawang pangyayaring pagsasara ng mga pinto sa frame ng probe, kahit na sabay ang mga ito sa frame ng hangar. Hindi inilalarawan ng mga tagamasid ang parehong pares ng mga pangyayaring sabay na naganap. Hindi rin ipinahihiwatig ng alinmang paglalarawan na kailangang pisikal na masira o maipit ang probe sa sarili nitong rest frame.

Tanong 3

Ang rest mass ng isang nakabigkis na nucleus ay mas mababa nang \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) kaysa sa pinagsamang rest mass ng mga nukleon nito kapag magkakahiwalay ang mga ito.

Ipagpalagay na inihahambing ang dalawang kalagayan habang nakatigil ang mga ito at na lumalabas sa nucleus ang enerhiyang inilalabas sa proseso ng pagkakabigkis.

Kalkulahin ang binding energy na nailabas, sa joule, at ipaliwanag kung bakit hindi lumalabag sa konserbasyon ng enerhiya ang mas mababang rest mass ng panghuling nucleus.

Solusyon 3

Ang katumbas na binding energy ng pagkakaiba sa masa ay \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). Kaayon ng konserbasyon ng enerhiya ang mas mababang rest mass dahil umaalis sa sistema ang inilabas na enerhiya.

Hakbang 1: Tukuyin ang pagkakaiba sa masa.

Ang laki ng mass defect ay

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

Hakbang 2: Gamitin ang pagkakatumbas ng masa at enerhiya.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

Hakbang 3: Ipaliwanag ang pagtutuos sa enerhiya.

Mas mababa ang rest energy ng nakabigkis na nucleus kaysa sa rest energy ng magkakahiwalay na mga nukleon. Lumilitaw ang pagkakaiba bilang enerhiyang nailalabas sa proseso ng pagkakabigkis, gaya ng radyasyon o kinetikong enerhiyang dala ng iba pang produkto.

Mas mababa ang rest mass ng panghuling nucleus dahil umalis ang enerhiya sa nucleus. Kapag isinama ang inilabas na enerhiya, nananatiling napapanatili ang kabuuang enerhiya.

Tanong 4

Ang isang sasakyang pangkalawakan ay may invariant na rest mass na \(1.0\text{ kg}\) at gumagalaw sa bilis na \(0.80c\) kaugnay ng Daigdig.

Kinakalkula ng isang mag-aaral ang \(\gamma=1.67\) at sinasabing tumaas ang masa ng sasakyang pangkalawakan sa \(1.67\text{ kg}\).

Gamit ang

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

kalkulahin ang rest energy, kabuuang enerhiya, at kinetikong enerhiya ng sasakyang pangkalawakan. Suriin ang pahayag ng mag-aaral.

Solusyon 4

Ang rest energy ay \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), ang kabuuang enerhiya ay \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), at ang kinetikong enerhiya ay \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Sa ilalim ng kumbensiyon ng invariant na masa, nananatiling \(1.0\text{ kg}\) ang rest mass ng sasakyang pangkalawakan.

Hakbang 1: Kalkulahin ang rest energy.

Ang rest mass ay \(m=1.0\text{ kg}\).

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Hakbang 2: Kalkulahin ang kabuuang enerhiya.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

Hakbang 3: Kalkulahin ang kinetikong enerhiya.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Magkakatugma ang mga resulta dahil ang kabuuang enerhiya ay suma ng rest energy at kinetikong enerhiya:

\[ E=E_0+K. \]

Hakbang 4: Suriin ang pahayag ng mag-aaral.

Tama ang pagkilala ng mag-aaral na minumultiply ng \(\gamma\) ang rest energy upang makuha ang kabuuang enerhiya. Ang pagkakamali ay ang pagpapakahulugan sa factor na ito bilang pagtaas ng invariant na rest mass.

Tumataas kasabay ng bilis ang kinetikong enerhiya ng sasakyang pangkalawakan, ngunit nananatiling \(1.0\text{ kg}\) ang invariant nitong rest mass. Mahalaga ang pagkakaibang ito kapag pinagsasama sa isang tanong ang pagkakatumbas ng masa at enerhiya at ang enerhiya ng isang gumagalaw na bagay.

Tanong 5

Ang isang plataporma ay may habang \(600\text{ m}\) sa sarili nitong rest frame na \(S\). Nakakabit sa magkabilang dulo nito ang dalawang ilawan, A at B, kung saan nasa \(x=0\) ang A at nasa \(x=+600\text{ m}\) ang B. Sabay silang kumikislap sa \(t=0\) sa frame na \(S\).

Nagpapadala ang bawat pagkislap ng isang pulso ng liwanag patungo sa gitna ng plataporma. Sa frame na \(S\), nagtatagpo ang dalawang pulso sa gitna.

Gumagalaw ang rest frame na \(S'\) ng isang rocket sa positibong direksiyon ng \(x\), sa bilis na \(0.80c\) kaugnay ng \(S\).

Para sa tanong na ito, gamitin ang ugnayan ng coordinate ng oras

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

kung saan ang \(\Delta t=t_B-t_A\) at \(\Delta x=x_B-x_A\) ay sinusukat sa \(S\).

(a) Aling pagkislap ang unang nagaganap sa \(S'\), at gaano ito kaaga?

(b) Ang haba ng plataporma sa \(S'\) ay \(360\text{ m}\). Sinasabi ng isang mag-aaral na dapat na \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) ang pagitan ng oras ng dalawang pagkislap. Ipaliwanag ang eksaktong pagkakamali.

(c) Kailangan bang magtagpo pa rin ang dalawang pulso ng liwanag sa parehong pangyayari sa \(S'\)? Ipaliwanag kung paano ito maaaring mangyari kahit hindi na sabay ang mga pagkislap.

Solusyon 5

Mas maagang nagaganap ang pagkislap sa B sa \(S'\), nang \(2.67\,\mu\text{s}\). Nagtatagpo pa rin ang mga pulso sa parehong pangyayari dahil nagkakasundo ang lahat ng inertial frame tungkol sa puntong pinagtagpuan ng dalawang pulso ng liwanag, kahit magkaiba ang mga oras na itinatakda ng mga ito para sa mga pangyayaring pinagmulan ng mga pulso.

Hakbang 1: Kalkulahin ang Lorentz factor at tukuyin ang mga pagkakaiba ng mga pangyayari.

Ang relatibong bilis ay \(v=0.80c\), kaya

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

Sabay ang mga pagkislap sa \(S\), at mas malaki ang coordinate ng posisyon ng B. Samakatuwid,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

Hakbang 2: Kalkulahin ang pagkakaiba sa oras sa \(S'\).

Ipalit ang mga halaga sa ibinigay na ugnayan ng coordinate ng oras:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

Ipinakikita ng negatibong resulta na \(t'_B<t'_A\). Nagaganap ang pagkislap sa B nang \(2.67\,\mu\text{s}\) bago ang pagkislap sa A ayon sa frame ng rocket.

Hakbang 3: Ipaliwanag kung bakit mali ang kalkulasyong \(360\text{ m}/c\).

Ang kalkulasyon ng mag-aaral ay nagbibigay ng

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

Tama ang aritmetika, ngunit ibang tanong ang sinasagot nito.

Ang \(360\text{ m}\) ay ang haba ng plataporma na sinusukat sa \(S'\), na nakukuha sa pagsukat sa magkabilang dulo sa parehong oras ayon sa frame ng rocket. Hindi sabay ang dalawang pangyayaring pagkislap sa \(S'\), kaya hindi maaaring ituring ang mga posisyon ng mga ito bilang mga dulo ng haba na sinukat nang sabay sa frame na iyon.

Sa pangkalahatan, hindi katumbas ng sinusukat na haba na hinati sa \(c\) ang pagkakaiba sa oras sa pagitan ng dalawang pangyayari. Pinaghalo ng mag-aaral ang haba na sinusukat gamit ang mga posisyon ng mga dulo na sabay na naitala at ang dalawang pangyayaring nagaganap sa magkaibang oras sa iisang frame.

Hakbang 4: Ipaliwanag kung bakit nagtatagpo pa rin ang mga pulso.

Sa \(S\), naglalakbay ang bawat pulso nang \(300\text{ m}\) patungo sa gitna. Samakatuwid, ang pangyayari ng pagtatagpo ay nagaganap sa

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

Isa itong pangyayari sa espasyo-oras. Sumasang-ayon ang bawat inertial frame na nagtatagpo ang dalawang pulso sa pangyayaring iyon, kahit magkaiba ang mga coordinate na itinatalaga rito.

Maaari nating suriin ang tiyempo sa frame ng rocket. Ang paggamit sa ibinigay na ugnayan sa pagitan ng pagkislap sa A at ng pangyayari ng pagtatagpo ay nagbibigay ng

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

Nagaganap ang pagkislap sa A sa \(t'_A=0\), kaya inaabot ng \(0.333\,\mu\text{s}\) na coordinate time ayon sa frame ng rocket ang pulso nito upang marating ang pangyayari ng pagtatagpo.

Nagaganap ang pagkislap sa B sa \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), kaya ang tagal ng paglalakbay ng pulso nito patungo sa parehong pangyayari ay

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s}. \]

Magkakatugma ang magkaibang oras ng paglabas at mga pagitan ng paglalakbay sa iisang pangyayari ng pagtatagpo. Ang pagkakamali ay ang pag-aakalang kailangang manatiling sabay sa bawat frame ang mga pagkislap na sabay na naganap sa isang frame.

Ang susunod na kapaki-pakinabang na hakbang ay matutuhang katawanin ang mga pangyayari sa isang diagram ng espasyo-oras. Para sa mga tanong sa HSC, magsimula sa pagtukoy sa frame at itanong kung nagaganap ang mga pangyayari sa iisang lokasyon sa frame na iyon. Makakatulong ang pasyang ito upang mapili mo ang paglawak ng oras, pag-ikli ng haba, o relatibidad ng pagkakasabay bago ka magsimulang magkalkula.