Pendules coniques : décomposer la tension et le poids en physique HSC

Une masse se déplace au bout d’un fil en décrivant un cercle parfaitement horizontal. Sa hauteur reste constante, même si la gravité l’attire vers le bas pendant tout le mouvement.

Voici donc le problème : si la masse n’a aucune accélération verticale, qu’est-ce qui l’empêche de tomber ? Et si le fil est incliné, quelle force fait réellement tourner la masse en cercle ?

Avant de poursuivre, faites cette prédiction : la tension du fil est-elle égale à la force centripète ?

Non. Cette idée tentante est à l’origine de la plupart des erreurs dans ce modèle.

01Une seule force de tension remplit deux rôles

Imaginez la masse vue de côté. Le fil monte en diagonale depuis la masse jusqu’au point de suspension fixe.

Il n’y a que deux forces qui agissent sur la masse :

• son poids, \(mg\), verticalement vers le bas
• la tension, \(F_T\), le long du fil en direction du point de suspension

Il n’existe pas de force distincte appelée « force centripète ». La force centripète est le nom donné à la force résultante dirigée vers le centre d’une trajectoire circulaire. Si cette distinction n’est pas claire, consultez Force centripète : comment identifier la force réelle en physique HSC.

Supposons que le fil fasse un angle \(\theta\) par rapport à la verticale.

La tension est dirigée en diagonale, donc nous pouvons la décomposer en deux composantes perpendiculaires :

• \(F_T\cos\theta\) verticalement vers le haut
• \(F_T\sin\theta\) horizontalement vers le centre du cercle

La composante verticale empêche la masse de tomber. La composante horizontale la fait tourner.

C’est un peu comme tirer une valise à roulettes avec une poignée inclinée vers le haut. Une seule traction peut avoir à la fois une composante vers le haut et une composante vers l’avant. L’analogie s’arrête là, car la valise subit aussi des forces exercées par le sol, tandis que notre masse ne subit que la tension et le poids.

02Commencez par les accélérations, pas par les forces

L’expression « cercle horizontal » vous donne une information essentielle sur l’accélération.

La masse ne se déplace ni vers le haut ni vers le bas. Son accélération verticale est donc nulle.

Mais la direction de sa vitesse horizontale change constamment, donc elle possède une accélération centripète dirigée vers le centre :

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

où :

• \(a_c\) est l’accélération centripète en \(\text{m s}^{-2}\)
• \(v\) est la vitesse en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(r\) est le rayon du cercle horizontal en mètres

On peut maintenant appliquer séparément la deuxième loi de Newton dans les directions verticale et horizontale.

Cette paire d’équations constitue le cœur du modèle.

Remarquez ce qu’elles signifient physiquement. Ce n’est pas toute la tension qui produit l’accélération centripète. Seule sa composante horizontale le fait.

03Pourquoi la tension est supérieure à la force centripète

Une première tentative fréquente consiste à écrire

\[ F_T=\frac{mv^2}{r} \]

mais cela ne peut pas être correct pour le fil incliné représenté ci-dessus.

Si toute la tension agissait horizontalement, il n’y aurait aucune force vers le haut pour équilibrer \(mg\). La masse accélérerait vers le bas, et sa trajectoire ne pourrait donc pas rester dans un même plan horizontal.

À la place,

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

et

\[ F_T\cos\theta=mg \]

Comme \(F_T\) doit fournir les deux composantes,

\[ F_T=\sqrt{\left(\frac{mv^2}{r}\right)^2+(mg)^2} \]

Ainsi, \(F_T\) est supérieure à la fois à \(mg\) et à la force centripète horizontale nécessaire.

Il existe une autre relation utile. Divisez l’équation horizontale par l’équation verticale :

\[ \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg} \]

donc

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

La masse s’élimine. Pour une vitesse et un rayon donnés, modifier la masse ne change pas l’angle requis. En revanche, cela modifie la tension.

04Le rayon n’est généralement pas égal à la longueur du fil

Supposons maintenant que le fil ait une longueur \(L\).

Il est tentant d’écrire \(r=L\). Cela ne serait vrai que si le fil était horizontal.

Pour un pendule conique, le rayon horizontal correspond à la composante horizontale de la longueur du fil :

\[ r=L\sin\theta \]

La distance verticale entre le point de suspension et le plan du cercle est

\[ L\cos\theta \]

Cette géométrie devient importante chaque fois qu’une question donne la longueur du fil plutôt que le rayon.

05Une relation utile pour un pendule conique

Il existe une autre manière de décrire le mouvement à l’aide de la vitesse angulaire.

La vitesse angulaire est

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

où \(\omega\) est mesurée en \(\text{rad s}^{-1}\).

L’équation de la force horizontale devient

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

et puisque \(r=L\sin\theta\),

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2L\sin\theta \]

Pour une véritable trajectoire circulaire, \(\sin\theta\neq0\), donc

\[ F_T=m\omega^2L \]

Combinez cela avec

\[ F_T\cos\theta=mg \]

pour obtenir

\[ m\omega^2L\cos\theta=mg \]

et donc

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

Puisque \(P=2\pi/\omega\),

\[ P=2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}} \]

Cette relation contient un résultat légèrement surprenant : la période dépend de la distance verticale \(L\cos\theta\) entre le point de suspension et la trajectoire circulaire, et non directement du rayon.

Cette observation devient importante dans la dernière question ci-dessous.

06Une règle de décision concise

Lorsque vous voyez une masse se déplacer sur un cercle horizontal au bout d’un fil incliné :

1. Représentez uniquement les forces réelles : la tension et le poids.
2. Choisissez les directions verticale et horizontale vers l’intérieur.
3. Utilisez une accélération verticale nulle :

\[ F_T\cos\theta=mg \]

1. Utilisez l’accélération centripète horizontalement :

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

1. Si la longueur du fil est donnée, reliez le modèle des forces à la géométrie :

\[ r=L\sin\theta \]

Ces équations supposent que \(\theta\) est mesuré à partir de la verticale. Si une question mesure l’angle à partir de l’horizontale, les composantes en sinus et en cosinus s’échangent. Redessinez le triangle au lieu d’essayer de mémoriser un deuxième ensemble d’équations.

07Questions et solutions

Question 1

Une masse de \(0.30\ \text{kg}\) se déplace à \(3.0\ \text{m s}^{-1}\) sur un cercle horizontal de rayon \(0.80\ \text{m}\). Déterminez :

a. la composante horizontale de la tension
b. la composante verticale de la tension
c. la tension totale
d. l’angle du fil par rapport à la verticale

Utilisez \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solution 1

Les composantes horizontale et verticale valent respectivement \(3.38\ \text{N}\) et \(2.94\ \text{N}\), ce qui donne une tension totale de \(4.48\ \text{N}\) à un angle de \(48.9^\circ\) par rapport à la verticale.

Dans la direction horizontale,

\[ F_{T,x} = \frac{mv^2}{r} = \frac{(0.30)(3.0)^2}{0.80} = 3.375\ \text{N} \]

donc

\[ F_{T,x}=3.38\ \text{N} \]

Verticalement, l’accélération est nulle :

\[ F_{T,y}=mg=(0.30)(9.8)=2.94\ \text{N} \]

La tension totale est la norme du vecteur :

\[ F_T = \sqrt{(3.375)^2+(2.94)^2} = 4.48\ \text{N} \]

Enfin,

\[ \tan\theta=\frac{3.375}{2.94} \]

donc

\[ \theta=48.9^\circ \]

Un raccourci tentant consiste à appeler \(3.38\ \text{N}\) la tension parce que cette valeur est égale à \(mv^2/r\). Il ne s’agit que de la composante horizontale de la tension. Le même vecteur tension doit également fournir la composante de \(2.94\ \text{N}\) dirigée vers le haut qui équilibre le poids.

Question 2

Une masse de \(0.20\ \text{kg}\) est suspendue à un fil de \(1.00\ \text{m}\) et se déplace comme un pendule conique. Le fil est incliné de \(50^\circ\) par rapport à la verticale.

Calculez :

a. le rayon de la trajectoire circulaire
b. la tension du fil
c. la vitesse de la masse
d. la période

Utilisez \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solution 2

Le rayon vaut \(0.766\ \text{m}\), la tension \(3.05\ \text{N}\), la vitesse \(2.99\ \text{m s}^{-1}\) et la période \(1.61\ \text{s}\).

Commencez par utiliser la géométrie du fil :

\[ r=L\sin\theta =(1.00)\sin50^\circ =0.766\ \text{m} \]

Verticalement,

\[ F_T\cos50^\circ=mg \]

donc

\[ F_T = \frac{(0.20)(9.8)}{\cos50^\circ} = 3.05\ \text{N} \]

Sa composante horizontale est

\[ F_T\sin50^\circ = (3.05)\sin50^\circ = 2.34\ \text{N} \]

Par conséquent,

\[ 2.34=\frac{(0.20)v^2}{0.766} \]

ce qui donne

\[ v = \sqrt{\frac{(2.34)(0.766)}{0.20}} = 2.99\ \text{m s}^{-1} \]

La période vaut

\[ P = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi(0.766)}{2.99} = 1.61\ \text{s} \]

L’erreur tentante consiste à prendre \(r=1.00\ \text{m}\). La longueur du fil est l’hypoténuse du triangle géométrique ; le rayon du cercle correspond à sa composante horizontale, \(L\sin\theta\).

Question 3

Une masse se déplace comme un pendule conique avec une période de \(1.80\ \text{s}\).

Initialement, son fil a une longueur de \(1.00\ \text{m}\).

a. Déterminez l’angle du fil par rapport à la verticale et le rayon du cercle.

Le fil est ensuite raccourci à \(0.70\ \text{m}\), tandis qu’un mécanisme tente de maintenir la période exactement à \(1.80\ \text{s}\).

b. La masse peut-elle se stabiliser dans un mouvement de pendule conique de rayon non nul avec cette période ? Justifiez votre réponse physiquement et mathématiquement.

Utilisez \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solution 3

Initialement, l’angle est de \(36.5^\circ\) et le rayon de \(0.594\ \text{m}\). Après que le fil a été raccourci à \(0.70\ \text{m}\), aucun état de pendule conique de rayon non nul avec une période de \(1.80\ \text{s}\) n’est possible.

La vitesse angulaire correspondant à la période est

\[ \omega = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{1.80} = 3.49\ \text{rad s}^{-1} \]

Pour un pendule conique,

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

donc

\[ \cos\theta=\frac{g}{\omega^2L} \]

Pour \(L=1.00\ \text{m}\),

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(1.00)} = 0.804 \]

Par conséquent,

\[ \theta=36.5^\circ \]

et

\[ r=L\sin\theta = (1.00)\sin36.5^\circ = 0.594\ \text{m} \]

Raccourcissons maintenant le fil à \(0.70\ \text{m}\) tout en conservant la même valeur de \(\omega\) :

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(0.70)} = 1.15 \]

Mais aucun angle réel ne peut avoir \(\cos\theta>1\).

Le mouvement circulaire uniforme demandé est donc impossible.

L’idée tentante serait que le système puisse simplement augmenter la tension jusqu’à ce que le fil plus court fonctionne. La tension ne peut pas ajuster librement toutes les contraintes de manière indépendante. L’équilibre vertical, l’accélération centripète horizontale, la vitesse angulaire imposée et la géométrie fixe du fil doivent tous être satisfaits simultanément. Ici, ils exigent une valeur impossible de \(\cos\theta\).

De manière équivalente, pour cette vitesse angulaire, il existe une longueur minimale possible du fil :

\[ L_{\min}=\frac{g}{\omega^2} = \frac{9.8}{(3.49)^2} = 0.804\ \text{m} \]

Le fil proposé de \(0.70\ \text{m}\) est plus court que cette limite.

Question 4

Une masse de \(0.40\ \text{kg}\) se déplace comme un pendule conique au bout d’un fil de \(1.00\ \text{m}\). Sa trajectoire circulaire se trouve à \(1.25\ \text{m}\) au-dessus d’un sol horizontal.

Le fil se rompt soudainement. Négligez la résistance de l’air. La masse atterrit à \(1.10\ \text{m}\) horizontalement du point du sol situé directement sous la position où le fil s’est rompu.

Déterminez :

a. la vitesse immédiatement avant la rupture du fil
b. l’angle que le fil faisait avec la verticale
c. la tension du fil immédiatement avant sa rupture

Utilisez \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solution 4

Immédiatement avant la rupture, la masse se déplaçait à \(2.18\ \text{m s}^{-1}\), le fil était incliné de \(38.1^\circ\) par rapport à la verticale et sa tension valait \(4.98\ \text{N}\).

À l’instant où le fil se rompt, la masse conserve sa vitesse instantanée. Cette vitesse est horizontale et tangente à la trajectoire circulaire.

Sa vitesse verticale initiale est donc nulle.

Pour la chute de \(1.25\ \text{m}\),

\[ h=\frac{1}{2}gt^2 \]

donc

\[ 1.25=\frac{1}{2}(9.8)t^2 \]

et

\[ t = \sqrt{\frac{2(1.25)}{9.8}} = 0.505\ \text{s} \]

Horizontalement,

\[ v=\frac{d}{t} = \frac{1.10}{0.505} = 2.18\ \text{m s}^{-1} \]

Avant la rupture, la relation du pendule conique était

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

mais le rayon n’est pas encore connu. Comme le fil a une longueur \(L=1.00\ \text{m}\),

\[ r=L\sin\theta \]

Par conséquent,

\[ v^2 = gL\sin\theta\tan\theta = gL\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \]

Posons \(c=\cos\theta\). Puisque \(\sin^2\theta=1-c^2\),

\[ \frac{v^2}{gL} = \frac{1-c^2}{c} \]

En utilisant \(v=2.18\ \text{m s}^{-1}\),

\[ \frac{(2.18)^2}{(9.8)(1.00)} = 0.484 \]

donc

\[ 0.484=\frac{1-c^2}{c} \]

et ainsi

\[ c^2+0.484c-1=0 \]

La racine physiquement pertinente est

\[ c=0.787 \]

donc

\[ \cos\theta=0.787 \]

et

\[ \theta=38.1^\circ \]

Enfin, l’équilibre vertical avant la rupture du fil donne

\[ F_T\cos\theta=mg \]

donc

\[ F_T = \frac{(0.40)(9.8)}{\cos38.1^\circ} = 4.98\ \text{N} \]

Une méthode tentante consiste à traiter le déplacement horizontal de \(1.10\ \text{m}\) du projectile comme le rayon du cercle d’origine. Ce n’est pas le cas. Une fois le fil rompu, la masse se déplace initialement suivant une tangente à son ancienne trajectoire. Le mouvement de projectile permet de déterminer la vitesse tangentielle ; le rayon initial doit ensuite être retrouvé à partir de la géométrie du fil et des équations du mouvement circulaire.

Question 5

Deux pendules coniques différents ont leurs points de suspension au même niveau horizontal.

Pour le pendule A, la longueur du fil est de \(1.20\ \text{m}\). Pour le pendule B, la longueur du fil est de \(0.80\ \text{m}\).

Dans les deux cas, la trajectoire circulaire horizontale se trouve exactement à \(0.60\ \text{m}\) verticalement sous le point de suspension. Les masses ne sont pas nécessairement égales.

Un élève affirme :

Le pendule A a un rayon circulaire plus grand, donc il doit mettre plus de temps à effectuer chaque révolution.

Déterminez si les périodes sont réellement différentes. Calculez ensuite le rayon et la vitesse linéaire de chaque masse.

Utilisez \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solution 5

Les deux pendules ont exactement la même période, \(1.55\ \text{s}\), même si le pendule A a un rayon plus grand et se déplace avec une vitesse linéaire plus élevée.

Notons \(h\) la distance verticale entre le point de suspension et le plan du cercle.

D’après la géométrie,

\[ h=L\cos\theta \]

Pour l’équilibre des forces,

\[ F_T\cos\theta=mg \]

et

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

Divisez l’équation horizontale par l’équation verticale :

\[ \tan\theta=\frac{\omega^2r}{g} \]

Mais la géométrie du fil donne également

\[ \tan\theta=\frac{r}{h} \]

Par conséquent,

\[ \frac{r}{h} = \frac{\omega^2r}{g} \]

Les deux pendules ont des rayons non nuls, donc \(r\) s’élimine :

\[ \omega^2=\frac{g}{h} \]

C’est la contrainte essentielle. Le rayon semble important, mais dès que les équations des forces et la géométrie du fil doivent être satisfaites simultanément, il disparaît de l’expression de la vitesse angulaire.

Avec \(h=0.60\ \text{m}\),

\[ \omega = \sqrt{\frac{9.8}{0.60}} = 4.04\ \text{rad s}^{-1} \]

Ainsi,

\[ P = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4.04} = 1.55\ \text{s} \]

pour les deux pendules.

Déterminons maintenant les rayons.

Pour le pendule A,

\[ r_A = \sqrt{L_A^2-h^2} = \sqrt{(1.20)^2-(0.60)^2} = 1.04\ \text{m} \]

Pour le pendule B,

\[ r_B = \sqrt{L_B^2-h^2} = \sqrt{(0.80)^2-(0.60)^2} = 0.529\ \text{m} \]

La vitesse linéaire est \(v=\omega r\).

Par conséquent,

\[ v_A = (4.04)(1.04) = 4.20\ \text{m s}^{-1} \]

et

\[ v_B = (4.04)(0.529) = 2.14\ \text{m s}^{-1} \]

Le pendule A parcourt bien une circonférence plus grande, mais il se déplace également plus vite, exactement dans la proportion nécessaire pour que la période reste inchangée.

L’argument de l’élève traite le rayon et la vitesse comme si l’un pouvait varier tandis que l’autre restait constant. Dans un pendule conique, ils sont liés par l’équilibre des forces et la géométrie. Lorsque la distance verticale \(h=L\cos\theta\) est la même, la vitesse angulaire est fixée par

\[ \omega=\sqrt{\frac{g}{h}} \]

indépendamment de la masse ou du rayon.

08Ce que ce modèle vous permet de faire ensuite

L’habitude importante ici n’est pas de mémoriser deux équations de composantes. Il s’agit de déterminer dans quelle direction il y a réellement une accélération.

Pour une trajectoire circulaire horizontale, l’accélération verticale est nulle, donc les forces verticales s’équilibrent. Horizontalement, il existe une accélération dirigée vers l’intérieur, donc les composantes horizontales des forces réelles doivent produire \(mv^2/r\).

La même approche s’applique aux problèmes plus difficiles de mouvement circulaire. Si le cercle est incliné, vertical ou soutenu par plusieurs forces, les équations des composantes changent, mais la méthode reste la même : choisissez la direction radiale, identifiez les forces réelles, décomposez-les, puis seulement après écrivez la deuxième loi de Newton.