La relativité restreinte en physique HSC : guide clair avec exemples résolus
Comprenez la relativité restreinte sans mystère. Ce guide de physique HSC explique les référentiels, la relativité de la simultanéité, la dilatation du temps, la contraction des longueurs et l’équivalence masse-énergie à l’aide d’explications claires et d’exemples résolus.
Un vaisseau spatial passe près de la Terre à \(0.80c\). Pour deux tics de l’horloge du vaisseau, la Terre attribue un intervalle de temps plus long que celui mesuré par l’astronaute. L’astronaute, quant à lui, affirme que les horloges terrestres retardent. Avant de poursuivre, faites une prédiction : l’un des deux observateurs a-t-il simplement tort ? Non. Chacun utilise un référentiel inertiel différent, et leur désaccord vient de la manière dont le temps et l’espace sont mesurés à grande vitesse.
Les mêmes deux tics, des intervalles de temps différents
| Référentiel de repos de l’astronaute | Δτ = 3.0 s Les deux tics se produisent au même endroit dans la cabine. L’horloge de bord mesure le temps propre. |
|---|---|
| Référentiel terrestre | Δt = γΔτ = 5.0 s Les horloges terrestres synchronisées attribuent cet intervalle. Les mêmes deux événements ; aucune horloge n’est défectueuse. |
01Référentiels : que mesure réellement chaque observateur ?
Un référentiel est un système de coordonnées permettant d’attribuer des positions et des temps aux événements. Il peut être représenté par des règles graduées et un réseau d’horloges synchronisées.
Un référentiel inertiel est un référentiel qui n’est ni en accélération ni en rotation. Dans ce guide, supposons que la gravité est négligeable et que le vaisseau spatial et la Terre se déplacent à vitesse relative constante lorsque nous les comparons.
Dans la vie quotidienne, nous pouvons généralement considérer le temps comme s’il était universel. Si deux événements se produisent au même moment pour vous, vous vous attendez à ce qu’ils se produisent au même moment pour tout le monde.
La relativité restreinte remet cette hypothèse en question. Elle repose sur deux principes :
- Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels.
- Tout observateur inertiel mesure la même vitesse de la lumière dans le vide, indépendamment du mouvement de la source lumineuse ou de l’observateur.
La vitesse de la lumière est
\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
Supposons que vous vous déplaciez vers un faisceau lumineux. Vous pourriez vous attendre à mesurer sa vitesse comme étant \(c+v\), où \(v\) est votre vitesse en direction du faisceau. Ce n’est pas le cas. Vous mesurez toujours \(c\).
Pour que cela soit possible, des observateurs en mouvement relatif ne peuvent pas toujours être d’accord sur les intervalles de temps, les longueurs ou les événements distants qui se sont produits simultanément.
Il ne s’agit pas de ce que leurs yeux voient à un instant donné. Les mesures relativistes utilisent des horloges synchronisées et tiennent compte du temps que met la lumière à se déplacer. Le désaccord persiste même après cette correction.
Mêmes événements, coordonnées différentes
| Référentiel du quai S | A (0 s, 0 m); B (0 s, 600 m) Horloges synchronisées et échelle des positions propres au référentiel. Les événements A et B sont simultanés. |
|---|---|
| Référentiel de la fusée S′ | A (0 s, 0 m); B (−2.67 μs, 1000 m) Horloges synchronisées et échelle des positions propres au référentiel. L’événement B se produit avant A. |
02Simultanéité : deux événements peuvent se produire à des moments différents selon le référentiel
Imaginez deux lampes, A et B, placées aux extrémités opposées d’un long quai. Les horloges immobiles par rapport au quai sont synchronisées, et les deux lampes s’allument à l’instant \(t=0\) selon le temps du quai.
Avant de poursuivre, faites une prédiction : une fusée passant devant le quai doit-elle nécessairement considérer que les deux éclairs se sont produits simultanément ?
Non. La fusée peut attribuer des instants différents aux deux éclairs.
Simultanés signifie que deux événements ont la même coordonnée temporelle dans un référentiel donné. Cela ne signifie pas automatiquement que tous les référentiels inertiels leur attribuent le même instant.
Pour décrire précisément la situation, supposons que :
- La lampe A se trouve en \(x=0\).
- La lampe B se trouve en \(x=600\text{ m}\).
- Le quai est immobile dans le référentiel \(S\).
- Le référentiel \(S'\) de la fusée se déplace dans le sens positif de l’axe \(x\), à la vitesse \(v\) par rapport à \(S\).
Dans le référentiel du quai, les éclairs sont simultanés. Dans le référentiel de la fusée, l’éclair en B se produit avant celui en A.
Pourquoi dans cet ordre ? La transformation de la coordonnée temporelle pour ces deux événements est
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
où
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]
Ici, \(\Delta t=t_B-t_A\) et \(\Delta x=x_B-x_A\) représentent les différences de temps et de position mesurées dans le référentiel \(S\). La différence de temps primée est mesurée dans le référentiel \(S'\), qui se déplace dans le sens positif de l’axe \(x\) par rapport à \(S\).
Pour les éclairs simultanés dans le référentiel du quai,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]
Par conséquent,
\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]
Le signe négatif indique que l’éclair en B se produit plus tôt dans le référentiel de la fusée.
Relativité de la simultanéité : structure requise de la chronologie
| Référentiel du quai S | Δt = 0 Les événements A et B ont la même coordonnée temporelle. |
|---|---|
| Référentiel de la fusée S′ | Δt′ < 0 L’événement B se produit avant l’événement A. |
Une précision importante : l’ordre dans lequel un observateur reçoit deux éclairs ne prouve pas, à lui seul, à quels instants les événements se sont produits. La lumière doit parvenir jusqu’à l’observateur, et les distances peuvent être différentes. La relativité de la simultanéité concerne les instants attribués par des horloges synchronisées après prise en compte du temps de propagation de la lumière.
Cette distinction devient particulièrement utile lorsqu’un problème porte sur deux événements distants plutôt que sur deux tics d’une même horloge.
03Dilatation du temps : une horloge en mouvement présente un intervalle plus long entre deux tics
Considérons maintenant deux tics d’une même horloge fixée à un vaisseau spatial.
Les deux tics se produisent au même endroit dans le référentiel où le vaisseau est au repos. Le temps écoulé mesuré par cette horloge est appelé le temps propre, noté \(\Delta\tau\).
Un observateur dans un autre référentiel inertiel, où le vaisseau se déplace à la vitesse \(v\), attribue un intervalle de temps plus long à ces mêmes événements. C’est la dilatation du temps.
L’équation est
\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]
où :
- \(\Delta t\) est l’intervalle de temps mesuré dans le référentiel où l’horloge est en mouvement.
- \(\Delta\tau\) est le temps propre mesuré par l’horloge dans son référentiel de repos.
- \(\gamma\) est le facteur de Lorentz.
- \(v\) est la vitesse relative entre les référentiels.
- \(c\) est la vitesse de la lumière.
Puisque \(\gamma\geq1\), l’intervalle entre deux tics de l’horloge en mouvement n’est jamais inférieur à son intervalle de temps propre.
Par exemple, pour \(v=0.80c\),
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]
L’autre référentiel mesure un intervalle 1.67 fois plus long que celui mesuré par l’horloge elle-même.
Une horloge, deux intervalles de temps mesurés
| Référentiel du vaisseau spatial | Δτ = 10.0 min Les deux tics se produisent au même endroit dans la cabine. L’horloge de bord mesure le temps propre. |
|---|---|
| Référentiel du laboratoire | Δt = γΔτ = 16.7 min L’horloge de bord est en mouvement à 0.80c. Les horloges synchronisées du laboratoire attribuent un intervalle plus long. |
Exemple résolu : une horloge à bord d’un vaisseau spatial rapide
Un vaisseau spatial se déplace à \(0.80c\) par rapport à la Terre. Son horloge embarquée mesure \(10.0\text{ min}\) entre deux tics. Quel intervalle de temps la Terre attribue-t-elle à ces mêmes tics ?
Étape 1
Les deux tics se produisent au même endroit dans le référentiel de repos du vaisseau. La valeur indiquée par l’horloge embarquée est donc le temps propre :
\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]
Étape 2
\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]
Étape 3
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]
La Terre attribue un intervalle de \(16.7\text{ min}\), contre \(10.0\text{ min}\) pour l’horloge du vaisseau spatial. L’horloge de l’astronaute fonctionne normalement dans son propre référentiel de repos ; la différence vient des intervalles de temps attribués par les deux référentiels.
Pourquoi les deux observateurs peuvent-ils affirmer que l’horloge de l’autre retarde ?
Cela semble contradictoire, mais les observateurs ne comparent pas directement les mêmes deux tics sur les deux horloges.
La Terre utilise son propre réseau d’horloges synchronisées pour attribuer des instants aux tics du vaisseau spatial. L’astronaute utilise un autre réseau d’horloges synchronisées pour attribuer des instants aux tics des horloges terrestres distantes. Comme la simultanéité dépend du référentiel, les deux comparaisons n’utilisent pas les mêmes attributions temporelles pour les événements distants.
Si l’astronaute fait demi-tour et rejoint ensuite la Terre, la situation change de nouveau. Le voyage comporte un changement de référentiel inertiel : les parcours complets des deux observateurs ne sont donc plus équivalents. Ils peuvent accumuler des durées de temps propre différentes.
La règle essentielle est simple : la dilatation du temps s’applique aux mêmes deux événements, le temps propre étant mesuré dans le référentiel où ces événements se produisent au même endroit.
04Contraction des longueurs : la longueur mesurée d’un objet en mouvement change
La dilatation du temps concerne l’intervalle entre des événements. La contraction des longueurs concerne la distance entre les extrémités d’un objet.
Imaginez un vaisseau spatial au repos. Vous mesurez sa longueur avec une règle et trouvez \(150\text{ m}\). Il s’agit de sa longueur propre, \(L_0\), car la mesure est effectuée dans le référentiel de repos du vaisseau.
Supposons maintenant que le vaisseau passe devant la Terre à grande vitesse. La Terre mesure sa longueur en relevant les positions de son avant et de son arrière au même instant selon le temps terrestre.
Cette dernière condition est importante. Pour mesurer une longueur dans un référentiel donné, vous devez relever simultanément, dans ce référentiel, les positions des deux extrémités.
La longueur mesurée du vaisseau en mouvement est
\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]
ou, de manière équivalente,
\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]
où :
- \(L\) est la longueur mesurée dans le référentiel où l’objet est en mouvement.
- \(L_0\) est la longueur propre de l’objet, mesurée dans son référentiel de repos.
- \(v\) est la vitesse de l’objet par rapport au référentiel de mesure.
- \(\gamma\) est le facteur de Lorentz.
Seule la dimension parallèle au mouvement se contracte. Les dimensions perpendiculaires de l’objet restent inchangées selon cette relation de contraction des longueurs.
La contraction des longueurs ne concerne que la direction du mouvement
| Vaisseau spatial au repos | L = L₀ L₀ est la longueur propre. Dimension perpendiculaire : h₀. |
|---|---|
| Vaisseau spatial en mouvement à la vitesse v | L = L₀/γ La longueur se contracte parallèlement au mouvement. La dimension perpendiculaire reste h₀. |
Une erreur fréquente consiste à imaginer que le vaisseau spatial se sent physiquement comprimé. Ce n’est pas le cas : il ne mesure pas une longueur plus courte dans son propre référentiel de repos. La différence apparaît parce que les mesures de longueur dans des référentiels différents utilisent des ensembles différents de positions simultanées des extrémités.
Exemple résolu : un vaisseau spatial passant devant un détecteur
Une sonde possède une longueur propre de \(150\text{ m}\) et passe devant un détecteur immobile à \(0.80c\).
Calculez :
- la longueur mesurée par la Terre ;
- le temps écoulé entre le passage du nez et celui de la queue de la sonde devant le détecteur, dans le référentiel terrestre ;
- le temps écoulé entre ces mêmes événements dans le référentiel de la sonde.
Étape 1
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Étape 2
\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]
La Terre mesure la longueur de la sonde en mouvement comme étant \(90.0\text{ m}\).
Étape 3
La sonde se déplace à
\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
Le nez et la queue sont séparés de \(90.0\text{ m}\) dans le référentiel terrestre. Par conséquent, le temps écoulé entre leurs passages devant le détecteur immobile est
\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Étape 4
Dans le référentiel de la sonde, le détecteur passe devant toute la longueur propre de \(150\text{ m}\) de la sonde à la même vitesse relative. Ainsi,
\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Les deux événements de passage se produisent au même endroit dans le référentiel terrestre. L’intervalle de \(0.375\,\mu\text{s}\) mesuré par le détecteur est donc un intervalle de temps propre. Dans le référentiel de la sonde, le détecteur est en mouvement et l’intervalle est plus long :
\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]
Les calculs concordent. Une même paire d’événements présente des intervalles de temps différents dans les deux référentiels, tandis que la longueur mesurée de la sonde dépend du référentiel dans lequel les deux extrémités sont relevées simultanément.
Mêmes événements de passage, intervalles de temps différents
| Référentiel terrestre | A → B: 0.375 μs Longueur de la sonde : 90 m ; le détecteur est immobile. |
|---|---|
| Référentiel de la sonde | A → B: 0.625 μs Longueur de la sonde : 150 m ; le détecteur passe devant elle. |
05Masse-énergie : que signifie réellement \(E=mc^2\) ?
Considérons un noyau qui se forme à partir de protons et de neutrons séparés. Après la formation du noyau, sa masse au repos est légèrement inférieure à la somme des masses au repos des particules séparées.
Une partie de la matière a-t-elle simplement disparu ?
Non. Le système a libéré de l’énergie, et l’énergie emportée doit être prise en compte dans le bilan. La masse et l’énergie sont liées.
L’énergie de repos d’un objet est
\[ \boxed{E_0=mc^2} \]
où :
- \(E_0\) est l’énergie de repos.
- \(m\) est la masse invariante, ou masse au repos.
- \(c\) est la vitesse de la lumière.
Pour une variation de masse au repos, la variation correspondante de l’énergie de repos est
\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]
Le facteur \(c^2\) est énorme. Une différence de masse de seulement \(1.0\text{ g}\) correspond à une différence d’énergie de repos de
\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]
Cela représente une quantité d’énergie considérable pour une différence de masse minuscule.
La masse diminue ; l’énergie totale se conserve
| Avant que l’énergie ne s’échappe | Rest mass = m Énergie de repos initiale : E₀ = mc². |
|---|---|
| Après l’émission du rayonnement | Remaining mass = m − Δm Le rayonnement emporte ΔE = Δmc². Énergie de repos restante + énergie du rayonnement = énergie initiale. |
Que se passe-t-il lorsque de l’énergie entre dans un système ou en sort ?
Si de l’énergie quitte un système, la masse au repos du système restant peut diminuer. Si de l’énergie est apportée à un système et conservée à l’intérieur de celui-ci, sa masse au repos augmente, à condition de comparer le système au repos avant et après.
Cela ne signifie pas que l’énergie est détruite lorsque la masse diminue. Pour un système isolé, l’énergie totale se conserve. L’énergie a pu quitter l’objet restant sous forme de rayonnement ou d’énergie cinétique, mais elle existe toujours.
Un noyau lié constitue un exemple utile. La différence entre la somme des masses au repos de ses nucléons séparés et la masse au repos du noyau lié est appelée le défaut de masse. La différence d’énergie correspondante est l’énergie de liaison.
Une précision nécessaire : la masse au repos n’est pas la même chose que l’énergie totale
L’équation \(E_0=mc^2\) donne l’énergie de repos. Pour un objet se déplaçant à la vitesse \(v\), son énergie totale est
\[ E=\gamma mc^2, \]
et son énergie cinétique est
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]
Ici, \(m\) reste la masse invariante au repos de l’objet. Le facteur \(\gamma\) modifie l’énergie totale de l’objet, et non sa masse invariante.
Certains ouvrages plus anciens utilisent le terme masse relativiste pour désigner \(\gamma m\). La convention moderne consiste généralement à conserver une masse invariante et à décrire l’augmentation en termes d’énergie et de quantité de mouvement.
Les photons, par exemple, transportent de l’énergie et une quantité de mouvement bien que leur masse au repos soit nulle. Il ne faut donc pas interpréter \(E=mc^2\) comme signifiant que toute forme d’énergie doit appartenir à une particule dont la masse au repos est non nulle.
Exemple résolu : calculer l’énergie à partir d’une différence de masse
Une source immobile émet un rayonnement, et sa masse au repos restante diminue de \(0.50\text{ mg}\). En supposant que la totalité de la différence de masse correspond à l’énergie emportée par le rayonnement, estimez l’énergie libérée.
Étape 1
\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]
Étape 2
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]
Étape 3
L’énergie libérée est de \(4.5\times10^{10}\text{ J}\). Une différence de masse de seulement \(0.50\text{ mg}\) correspond à une quantité d’énergie considérable.
La masse au repos restante de la source a diminué, mais l’énergie n’a pas disparu. Lorsque le rayonnement émis est pris en compte, le bilan énergétique total reste cohérent.
06Choisir la relation appropriée
La méthode la plus fiable pour résoudre un problème de relativité restreinte consiste à déterminer ce qui est mesuré avant de choisir une formule.
| Ce que décrit l’énoncé | Relation pertinente | Vérification à effectuer avant de remplacer les variables |
|---|---|---|
| Temps écoulé entre deux tics d’une horloge en mouvement | \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\) | Les deux événements se produisent-ils au même endroit dans le référentiel de repos de l’horloge ? |
| Longueur d’un objet en mouvement par rapport à l’observateur | \(L=L_0/\gamma\) | \(L_0\) est-elle la longueur propre, et les deux extrémités sont-elles mesurées simultanément dans le référentiel de l’observateur ? |
| Deux événements en des positions différentes | Relativité de la simultanéité | Les événements se produisent-ils en des endroits différents dans le référentiel où leurs instants sont comparés ? |
| Variation de l’énergie de repos d’un système | \(\Delta E_0=\Delta m c^2\) | Quel système est considéré, et où l’énergie est-elle passée ? |
Quatre vérifications permettent d’éviter de nombreuses erreurs courantes :
- Vérifiez le facteur de Lorentz. Pour \(0\leq v<c\), \(\gamma\geq1\).
- Vérifiez les événements. La dilatation du temps ne s’applique pas à n’importe quelle paire d’événements. La condition relative au temps propre est importante.
- Vérifiez la mesure. La contraction des longueurs s’applique dans la direction du mouvement, et une mesure de longueur exige que les positions des deux extrémités soient relevées simultanément dans le référentiel de mesure.
- Vérifiez le bilan énergétique. Une diminution de la masse au repos d’un objet ne signifie pas que l’énergie totale d’un système isolé a disparu.
07Questions et solutions
Question 1
Une horloge fixée à une sonde mesure \(3.0\text{ s}\) entre deux tics. La sonde se déplace à \(0.60c\) par rapport à un laboratoire.
Calculez l’intervalle de temps que le laboratoire attribue à ces mêmes deux tics.
Solution 1
Le laboratoire attribue un intervalle de \(3.75\text{ s}\), soit \(3.8\text{ s}\) à deux chiffres significatifs.
L’horloge embarquée mesure le temps propre, car les deux tics se produisent au même endroit dans le référentiel de repos de la sonde.
Étape 1 : Calculer le facteur de Lorentz.
\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]
Étape 2 : Appliquer la dilatation du temps.
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]
Le laboratoire mesure un intervalle plus long que celui mesuré par l’horloge de la sonde. Le résultat est conforme à la dilatation du temps.
Question 2
Une sonde possède une longueur propre de \(80\text{ m}\). Un hangar mesure \(60\text{ m}\) dans son propre référentiel de repos. La sonde passe devant le hangar à \(0.80c\).
Un ingénieur affirme que la sonde peut se trouver entièrement à l’intérieur du hangar à un instant donné, car sa longueur contractée est inférieure à celle du hangar. Le pilote affirme que cela est impossible, car le hangar est plus court que la sonde dans le référentiel du pilote.
Supposez que les portes idéales puissent s’ouvrir et se fermer instantanément, et négligez les dégâts matériels.
Les calculs de longueur des deux observateurs sont-ils corrects ? La sonde peut-elle se trouver entièrement à l’intérieur du hangar à un instant donné ? Expliquez pourquoi les deux descriptions sont cohérentes.
Solution 2
Les deux calculs de longueur sont corrects. Le désaccord porte sur le fait de savoir si la sonde se trouve entièrement à l’intérieur du hangar à un instant donné, car la simultanéité dépend du référentiel.
Étape 1 : Calculer le facteur de Lorentz.
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Étape 2 : Calculer la longueur de la sonde dans le référentiel du hangar.
La longueur propre de la sonde est \(L_0=80\text{ m}\).
\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]
Puisque \(48\text{ m}<60\text{ m}\), l’ingénieur a raison : la sonde peut se trouver entièrement à l’intérieur du hangar à un instant donné dans le référentiel du hangar, à condition d’être positionnée convenablement.
Étape 3 : Calculer la longueur du hangar dans le référentiel de la sonde.
La longueur propre du hangar est de \(60\text{ m}\). Dans le référentiel de la sonde, le hangar est en mouvement ; sa longueur mesurée est donc
\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]
Le pilote a également raison : le hangar en mouvement ne mesure que \(36\text{ m}\) dans le référentiel de la sonde, tandis que la longueur propre de la sonde reste de \(80\text{ m}\).
Étape 4 : Résoudre la contradiction apparente.
L’expression « entièrement à l’intérieur à un instant donné » signifie que les positions des deux extrémités de la sonde se trouvent à l’intérieur du hangar au même instant dans un référentiel donné.
Dans le référentiel du hangar, il existe un instant où les deux extrémités se trouvent à l’intérieur. Dans le référentiel de la sonde, il n’existe aucun instant où la sonde de \(80\text{ m}\) tient entièrement dans le hangar de \(36\text{ m}\).
La clé est que les deux événements de fermeture des portes, simultanés dans le référentiel du hangar, ne sont pas simultanés dans le référentiel de la sonde. Les observateurs ne décrivent pas la même paire d’événements simultanés. Aucune des deux descriptions n’exige que la sonde soit physiquement détruite ou comprimée dans son propre référentiel de repos.
Question 3
La masse au repos d’un noyau lié est inférieure de \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) à la somme des masses au repos de ses nucléons séparés.
Supposez que les deux états soient comparés au repos et que l’énergie libérée lors de la formation de la liaison quitte le noyau.
Calculez l’énergie de liaison libérée, en joules, et expliquez pourquoi la masse au repos plus faible du noyau final ne viole pas le principe de conservation de l’énergie.
Solution 3
L’énergie de liaison équivalente à la différence de masse est de \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). La masse au repos plus faible est compatible avec la conservation de l’énergie, car l’énergie libérée quitte le système.
Étape 1 : Identifier la différence de masse.
La valeur absolue du défaut de masse est
\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]
Étape 2 : Appliquer l’équivalence masse-énergie.
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]
Étape 3 : Expliquer le bilan énergétique.
L’énergie de repos du noyau lié est inférieure à celle des nucléons séparés. La différence correspond à l’énergie libérée lors de la formation de la liaison, par exemple sous forme de rayonnement ou d’énergie cinétique emportée par d’autres produits.
La masse au repos du noyau final est plus faible parce que de l’énergie a quitté le noyau. Lorsque l’énergie libérée est prise en compte, l’énergie totale reste conservée.
Question 4
Un vaisseau spatial possède une masse invariante au repos de \(1.0\text{ kg}\) et se déplace à \(0.80c\) par rapport à la Terre.
Un élève calcule \(\gamma=1.67\) et affirme que la masse du vaisseau a augmenté pour atteindre \(1.67\text{ kg}\).
En utilisant
\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]
calculez l’énergie de repos, l’énergie totale et l’énergie cinétique du vaisseau. Évaluez l’affirmation de l’élève.
Solution 4
L’énergie de repos est de \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), l’énergie totale est de \(1.5\times10^{17}\text{ J}\) et l’énergie cinétique est de \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Selon la convention de la masse invariante, la masse au repos du vaisseau reste de \(1.0\text{ kg}\).
Étape 1 : Calculer l’énergie de repos.
La masse au repos est \(m=1.0\text{ kg}\).
\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Étape 2 : Calculer l’énergie totale.
\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]
Étape 3 : Calculer l’énergie cinétique.
\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Les résultats sont cohérents, car l’énergie totale est la somme de l’énergie de repos et de l’énergie cinétique :
\[ E=E_0+K. \]
Étape 4 : Évaluer l’affirmation de l’élève.
L’élève a correctement identifié que \(\gamma\) multiplie l’énergie de repos pour donner l’énergie totale. Son erreur consiste à interpréter ce facteur comme une augmentation de la masse invariante au repos.
L’énergie cinétique du vaisseau augmente avec sa vitesse, mais sa masse invariante reste de \(1.0\text{ kg}\). Cette distinction est importante lorsqu’un problème combine l’équivalence masse-énergie et l’énergie d’un objet en mouvement.
Question 5
Un quai mesure \(600\text{ m}\) dans son référentiel de repos \(S\). Deux lampes, A et B, sont installées à ses extrémités, A en \(x=0\) et B en \(x=+600\text{ m}\). Elles s’allument simultanément à \(t=0\) dans \(S\).
Chaque éclair déclenche une impulsion lumineuse en direction du milieu du quai. Dans le référentiel \(S\), les deux impulsions se rencontrent au milieu.
Le référentiel de repos \(S'\) d’une fusée se déplace dans le sens positif de l’axe \(x\) à \(0.80c\) par rapport à \(S\).
Pour cette question, utilisez la relation de transformation de la coordonnée temporelle
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
où \(\Delta t=t_B-t_A\) et \(\Delta x=x_B-x_A\) sont mesurés dans \(S\).
(a) Quel éclair se produit en premier dans \(S'\), et avec quelle avance ?
(b) La longueur du quai dans \(S'\) est de \(360\text{ m}\). Un élève affirme que le décalage temporel entre les éclairs doit donc être égal à \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Expliquez précisément son erreur.
(c) Les deux impulsions lumineuses doivent-elles toujours se rencontrer au même événement dans \(S'\) ? Expliquez comment cela est possible même si les éclairs ne sont plus simultanés.
Solution 5
L’éclair B se produit en premier dans \(S'\), avec une avance de \(2.67\,\mu\text{s}\). Les impulsions se rencontrent toujours au même événement, car tous les référentiels inertiels s’accordent sur le point d’intersection des deux impulsions lumineuses, même lorsqu’ils attribuent des instants différents aux événements d’émission.
Étape 1 : Calculer le facteur de Lorentz et identifier les différences entre les événements.
La vitesse relative est \(v=0.80c\), donc
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]
Les éclairs sont simultanés dans \(S\), et B possède la coordonnée de position la plus grande. Par conséquent,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]
Étape 2 : Calculer la différence de temps dans \(S'\).
Remplaçons les variables dans la relation de transformation temporelle fournie :
\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]
Le résultat négatif signifie que \(t'_B<t'_A\). Dans le référentiel de la fusée, l’éclair B se produit \(2.67\,\mu\text{s}\) avant l’éclair A.
Étape 3 : Expliquer pourquoi le calcul \(360\text{ m}/c\) est incorrect.
Le calcul de l’élève donne
\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]
Le calcul arithmétique est correct, mais il répond à la mauvaise question.
La valeur \(360\text{ m}\) est la longueur du quai mesurée dans \(S'\), obtenue en mesurant les deux extrémités au même instant dans le référentiel de la fusée. Les deux événements d’émission des éclairs ne sont pas simultanés dans \(S'\). Leurs positions ne peuvent donc pas être considérées comme les extrémités d’une longueur mesurée simultanément dans ce référentiel.
La différence de temps entre deux événements n’est généralement pas égale à la longueur mesurée divisée par \(c\). L’élève a mélangé une longueur mesurée à partir de positions simultanées des extrémités avec deux événements qui se produisent à des instants différents dans un même référentiel.
Étape 4 : Expliquer pourquoi les impulsions se rencontrent toujours.
Dans \(S\), chaque impulsion parcourt \(300\text{ m}\) jusqu’au milieu du quai. L’événement de rencontre se produit donc à
\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]
Il s’agit d’un événement unique dans l’espace-temps. Tous les référentiels inertiels s’accordent sur le fait que les deux impulsions se rencontrent lors de cet événement, même si les coordonnées qu’ils lui attribuent diffèrent.
Nous pouvons vérifier les temps dans le référentiel de la fusée. En appliquant la relation fournie entre l’éclair A et l’événement de rencontre, nous obtenons
\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
L’éclair A se produit à \(t'_A=0\). Son impulsion met donc \(0.333\,\mu\text{s}\) de temps coordonné dans le référentiel de la fusée pour atteindre l’événement de rencontre.
L’éclair B se produit à \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\). Son impulsion met donc
\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]
pour atteindre ce même événement.
Les instants d’émission et les durées de propagation différents sont compatibles avec un même événement de rencontre. L’erreur consisterait à supposer qu’une émission simultanée dans un référentiel doit rester simultanée dans tous les référentiels.
La prochaine étape utile consiste à apprendre à représenter les événements sur un diagramme d’espace-temps. Pour les problèmes du HSC, commencez par identifier le référentiel et demandez-vous si les événements se produisent au même endroit dans ce référentiel. Cette décision vous aidera à choisir entre la dilatation du temps, la contraction des longueurs et la relativité de la simultanéité avant de commencer les calculs.