HSC भौतिकी के लिए विशिष्ट सापेक्षता: स्पष्ट व्याख्या और हल सहित मार्गदर्शिका

एक अंतरिक्षयान पृथ्वी के पास से \(0.80c\) की चाल से गुजरता है। पृथ्वी के संदर्भ-तंत्र में अंतरिक्षयान की घड़ी के दो टिकों के बीच का समयांतराल, अंतरिक्षयात्री द्वारा मापे गए समयांतराल से अधिक होता है। वहीं अंतरिक्षयात्री कहता है कि पृथ्वी की घड़ियाँ धीमी चलती हैं। आगे पढ़ने से पहले अनुमान लगाएँ: क्या इनमें से कोई एक प्रेक्षक बस गलत है? नहीं। दोनों अलग-अलग जड़त्वीय संदर्भ-तंत्रों का उपयोग करते हैं, और यह असहमति इस बात से उत्पन्न होती है कि उच्च चालों पर समय और स्थान कैसे मापे जाते हैं।

01संदर्भ-तंत्र: प्रत्येक प्रेक्षक वास्तव में क्या माप रहा है?

संदर्भ-तंत्र घटनाओं के स्थान और समय निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली निर्देशांक-प्रणाली है। इसे पैमानों और समकालिक घड़ियों के एक नेटवर्क के रूप में दर्शाया जा सकता है।

जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र वह होता है जो न तो त्वरित हो रहा हो और न ही घूर्णन कर रहा हो। इस मार्गदर्शिका के लिए मान लें कि गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव नगण्य है और जब भी हम पृथ्वी तथा अंतरिक्षयान की तुलना करते हैं, वे एक-दूसरे के सापेक्ष नियत वेग से गति करते हैं।

दैनिक जीवन में हम आमतौर पर समय को ऐसा मान सकते हैं मानो वह सभी के लिए एक जैसा हो। यदि आपके लिए दो घटनाएँ एक ही समय पर होती हैं, तो आप अपेक्षा करते हैं कि वे अन्य सभी लोगों के लिए भी उसी समय पर होंगी।

विशिष्ट सापेक्षता इस धारणा को चुनौती देती है। यह दो नियमों से शुरू होती है:

• भौतिकी के नियम प्रत्येक जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र में समान होते हैं।
• प्रत्येक जड़त्वीय प्रेक्षक निर्वात में प्रकाश की चाल समान मापता है, चाहे प्रकाश-स्रोत या प्रेक्षक की गति कुछ भी हो।

प्रकाश की चाल है

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

मान लें कि आप प्रकाश की एक किरण की ओर बढ़ रहे हैं। आप सोच सकते हैं कि उसकी चाल आपको \(c+v\) मापनी चाहिए, जहाँ \(v\) किरण की ओर आपकी चाल है। लेकिन ऐसा नहीं होता। आप अब भी \(c\) ही मापते हैं।

ऐसा संभव होने के लिए, एक-दूसरे के सापेक्ष गति करने वाले प्रेक्षक हमेशा समयांतरालों, लंबाइयों या इस बात पर सहमत नहीं हो सकते कि दूर स्थित कौन-सी घटनाएँ एक साथ हुई थीं।

यह इस बात पर निर्भर नहीं करता कि उनकी आँखों को क्या दिखाई देता है। सापेक्षिक मापों में समकालिक घड़ियों का उपयोग किया जाता है और प्रकाश को यात्रा करने में लगने वाले समय का हिसाब रखा जाता है। इस सुधार के बाद भी असहमति बनी रहती है।

02समकालिकता: दो घटनाएँ अलग-अलग संदर्भ-तंत्रों में अलग समय पर हो सकती हैं

कल्पना करें कि एक लंबे प्लेटफ़ॉर्म के दोनों सिरों पर A और B नाम के दो लैम्प लगे हैं। प्लेटफ़ॉर्म के सापेक्ष स्थिर घड़ियाँ समकालिक हैं और दोनों लैम्प प्लेटफ़ॉर्म के समय \(t=0\) पर चमकते हैं।

आगे पढ़ने से पहले अनुमान लगाएँ: क्या प्लेटफ़ॉर्म के पास से गुजरता हुआ रॉकेट इस बात से सहमत होना चाहिए कि दोनों चमक एक साथ हुई थीं?

नहीं। रॉकेट दोनों चमकों के लिए अलग-अलग समय निर्धारित कर सकता है।

समकालिक होने का अर्थ है कि किसी निर्दिष्ट संदर्भ-तंत्र में दो घटनाओं के समय-निर्देशांक समान हों। इसका यह अर्थ अपने-आप नहीं होता कि प्रत्येक जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र भी उनके लिए वही समय निर्धारित करेगा।

स्थिति को स्पष्ट रूप से समझने के लिए मान लें कि:

• लैम्प A, \(x=0\) पर है।
• लैम्प B, \(x=600\text{ m}\) पर है।
• प्लेटफ़ॉर्म संदर्भ-तंत्र \(S\) में स्थिर है।
• रॉकेट का संदर्भ-तंत्र \(S'\), \(S\) के सापेक्ष धनात्मक \(x\)-दिशा में \(v\) चाल से गति करता है।

प्लेटफ़ॉर्म के संदर्भ-तंत्र में दोनों चमकें समकालिक हैं। रॉकेट के संदर्भ-तंत्र में B की चमक, A की चमक से पहले होती है।

ऐसा क्यों होता है? इन दो घटनाओं के लिए समय-निर्देशांक का रूपांतरण है

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

जहाँ

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

यहाँ, \(\Delta t=t_B-t_A\) और \(\Delta x=x_B-x_A\), समय तथा स्थिति के वे अंतर हैं जिन्हें संदर्भ-तंत्र \(S\) में मापा गया है। प्राइम चिह्न वाला समयांतर \(\Delta t'\), संदर्भ-तंत्र \(S'\) में मापा जाता है, जो \(S\) के सापेक्ष धनात्मक \(x\)-दिशा में गति करता है।

प्लेटफ़ॉर्म पर समकालिक चमकों के लिए,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

इसलिए,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

ऋणात्मक चिह्न बताता है कि रॉकेट के संदर्भ-तंत्र में B की चमक पहले होती है।

एक महत्त्वपूर्ण स्पष्टीकरण यह है कि किसी प्रेक्षक द्वारा दो चमकों को प्राप्त करने का क्रम अपने-आप में उनकी घटना के समय का प्रमाण नहीं है। प्रकाश को प्रेक्षक तक पहुँचने में समय लगता है और दोनों चमकों की दूरियाँ अलग-अलग हो सकती हैं। समकालिकता की सापेक्षता का संबंध उन समयों से है जो समकालिक घड़ियों द्वारा प्रकाश की यात्रा के समय का हिसाब रखने के बाद निर्धारित किए जाते हैं।

यह अंतर विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब किसी प्रश्न में एक ही घड़ी के दो टिकों के बजाय अलग-अलग स्थानों पर हुई दो घटनाएँ शामिल हों।

03समय-विस्तारण: गतिमान घड़ी के टिकों के बीच मापा गया समयांतराल अधिक होता है

अब अंतरिक्षयान से जुड़ी एक ही घड़ी के दो टिकों पर विचार करें।

दोनों टिक अंतरिक्षयान के विराम संदर्भ-तंत्र में एक ही स्थान पर होते हैं। उस घड़ी द्वारा मापा गया बीता हुआ समय स्व-समय कहलाता है और इसे \(\Delta\tau\) से दर्शाते हैं।

किसी दूसरे जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र में स्थित प्रेक्षक, जहाँ अंतरिक्षयान \(v\) चाल से गति कर रहा है, उन्हीं दो घटनाओं के लिए अधिक समयांतराल निर्धारित करता है। इसे समय-विस्तारण कहते हैं।

इसका समीकरण है

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

जहाँ:

• \(\Delta t\) वह समयांतराल है जिसे उस संदर्भ-तंत्र में मापा जाता है जिसमें घड़ी गति कर रही है।
• \(\Delta\tau\) घड़ी के अपने विराम संदर्भ-तंत्र में मापा गया स्व-समय है।
• \(\gamma\) लॉरेंट्ज़ गुणांक है।
• \(v\) दोनों संदर्भ-तंत्रों के बीच की सापेक्ष चाल है।
• \(c\) प्रकाश की चाल है।

चूँकि \(\gamma\geq1\), इसलिए गतिमान घड़ी के टिकों के बीच का समयांतराल उसके स्व-समय के अंतराल से कभी छोटा नहीं होता।

उदाहरण के लिए, जब \(v=0.80c\),

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

दूसरा संदर्भ-तंत्र उस घड़ी के अपने समयांतराल की तुलना में \(1.67\) गुना अधिक समयांतराल मापता है।

दोनों प्रेक्षक यह क्यों कह सकते हैं कि दूसरे की घड़ी धीमी चलती है?

यह विरोधाभासी लगता है, लेकिन दोनों प्रेक्षक अपनी-अपनी घड़ियों के उन्हीं दो टिकों की सीधे तुलना नहीं कर रहे होते हैं।

पृथ्वी अपनी समकालिक घड़ियों के नेटवर्क का उपयोग करके अंतरिक्षयान के टिकों के समय निर्धारित करती है। अंतरिक्षयात्री पृथ्वी की दूर स्थित घड़ियों के टिकों के समय निर्धारित करने के लिए समकालिक घड़ियों के एक अलग नेटवर्क का उपयोग करता है। चूँकि समकालिकता संदर्भ-तंत्र पर निर्भर करती है, इसलिए दोनों तुलनाओं में दूर स्थित घटनाओं के समय के लिए एक जैसे निर्धारण नहीं होते।

यदि अंतरिक्षयात्री मुड़कर बाद में पृथ्वी पर लौट आता है, तो स्थिति फिर बदल जाती है। यात्रा में जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र का परिवर्तन शामिल होता है, इसलिए दोनों प्रेक्षकों की पूरी यात्राएँ अब समतुल्य नहीं रहतीं। उनके द्वारा संचित स्व-समय की मात्राएँ अलग-अलग हो सकती हैं।

मुख्य नियम सरल है: समय-विस्तारण उन्हीं दो घटनाओं पर लागू होता है, जिनके लिए स्व-समय का अंतराल उस संदर्भ-तंत्र में मापा जाता है जहाँ दोनों घटनाएँ एक ही स्थान पर होती हैं।

04लंबाई-संकुचन: गतिमान वस्तु की मापी गई लंबाई बदल जाती है

समय-विस्तारण घटनाओं के बीच के समयांतराल से संबंधित है। लंबाई-संकुचन किसी वस्तु के दोनों सिरों के बीच की दूरी से संबंधित है।

कल्पना करें कि एक अंतरिक्षयान विराम अवस्था में है। आप एक पैमाने से उसकी लंबाई मापते हैं और \(150\text{ m}\) पाते हैं। यह उसकी विश्राम लंबाई \(L_0\) है, क्योंकि मापन अंतरिक्षयान के विराम संदर्भ-तंत्र में किया गया है।

अब मान लें कि अंतरिक्षयान तेज़ चाल से पृथ्वी के पास से गुजरता है। पृथ्वी उसके आगे और पीछे के सिरों की स्थितियाँ एक ही पृथ्वी-संदर्भ-तंत्र समय पर दर्ज करके उसकी लंबाई मापती है।

यह अंतिम शर्त महत्त्वपूर्ण है। किसी विशेष संदर्भ-तंत्र में लंबाई मापने के लिए, उस संदर्भ-तंत्र में दोनों सिरों की स्थितियाँ एक साथ दर्ज करनी आवश्यक हैं।

गतिमान अंतरिक्षयान की मापी गई लंबाई है

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

या, समतुल्य रूप से,

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

जहाँ:

• \(L\) उस संदर्भ-तंत्र में मापी गई लंबाई है जिसमें वस्तु गति कर रही है।
• \(L_0\) वस्तु की विश्राम लंबाई है, जिसे उसके विराम संदर्भ-तंत्र में मापा जाता है।
• \(v\) मापन करने वाले संदर्भ-तंत्र के सापेक्ष वस्तु की चाल है।
• \(\gamma\) लॉरेंट्ज़ गुणांक है।

केवल गति की दिशा के समानांतर आयाम में संकुचन होता है। लंबाई-संकुचन के इस संबंध के अनुसार, वस्तु के गति की दिशा के लंबवत आयाम अपरिवर्तित रहते हैं।

एक सामान्य गलती यह कल्पना करना है कि अंतरिक्षयान को ऐसा महसूस होता है मानो उसे भौतिक रूप से दबाकर छोटा कर दिया गया हो। ऐसा नहीं है। अपने विराम संदर्भ-तंत्र में वह अपनी लंबाई को कम नहीं मापता। यह अंतर इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि अलग-अलग संदर्भ-तंत्रों में लंबाई मापने के लिए सिरों की स्थितियों के अलग-अलग समकालिक समूहों का उपयोग किया जाता है।

05द्रव्यमान-ऊर्जा: \(E=mc^2\) का वास्तव में क्या अर्थ है?

कल्पना करें कि अलग-अलग प्रोटॉन और न्यूट्रॉन मिलकर एक नाभिक बनाते हैं। नाभिक बनने के बाद उसका विराम द्रव्यमान, अलग-अलग कणों के संयुक्त विराम द्रव्यमान से थोड़ा कम होता है।

क्या कुछ पदार्थ बस गायब हो गया है?

नहीं। इस निकाय ने ऊर्जा मुक्त की है और मुक्त हुई ऊर्जा को ऊर्जा के लेखे-जोखे में शामिल करना आवश्यक है। द्रव्यमान और ऊर्जा आपस में संबंधित हैं।

किसी वस्तु की विराम ऊर्जा है

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

जहाँ:

• \(E_0\) विराम ऊर्जा है।
• \(m\) अपरिवर्ती द्रव्यमान, अर्थात् विराम द्रव्यमान है।
• \(c\) प्रकाश की चाल है।

विराम द्रव्यमान में परिवर्तन के लिए, विराम ऊर्जा में संबंधित परिवर्तन है

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

गुणक \(c^2\) का मान बहुत बड़ा है। केवल \(1.0\text{ g}\) के द्रव्यमान-अंतर के अनुरूप विराम ऊर्जा का अंतर है

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

इतने छोटे द्रव्यमान-अंतर के लिए यह ऊर्जा की बहुत बड़ी मात्रा है।

जब ऊर्जा किसी निकाय में प्रवेश करती है या उससे बाहर निकलती है, तो क्या बदलता है?

यदि किसी निकाय से ऊर्जा बाहर निकल जाती है, तो शेष निकाय का विराम द्रव्यमान कम हो सकता है। यदि किसी निकाय में ऊर्जा जोड़ी जाती है और वह ऊर्जा आंतरिक रूप से बनी रहती है, तो उसका विराम द्रव्यमान बढ़ जाता है, बशर्ते निकाय की तुलना प्रारंभिक और अंतिम दोनों अवस्थाओं में विराम अवस्था में की जाए।

इसका अर्थ यह नहीं है कि द्रव्यमान घटने पर ऊर्जा नष्ट हो जाती है। किसी विलगित निकाय की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। ऊर्जा विकिरण या गतिज ऊर्जा के रूप में शेष वस्तु से बाहर निकल सकती है, लेकिन उसका अस्तित्व बना रहता है।

एक बद्ध नाभिक इसका उपयोगी उदाहरण है। उसके अलग-अलग न्यूक्लियॉनों के संयुक्त विराम द्रव्यमान और बद्ध नाभिक के विराम द्रव्यमान के बीच के अंतर को द्रव्यमान-दोष कहते हैं। इससे संबंधित ऊर्जा-अंतर बंधन ऊर्जा कहलाता है।

एक आवश्यक स्पष्टीकरण: विराम द्रव्यमान और कुल ऊर्जा एक ही चीज़ नहीं हैं

समीकरण \(E_0=mc^2\) विराम ऊर्जा देता है। \(v\) चाल से गति करने वाली किसी वस्तु की कुल ऊर्जा है

\[ E=\gamma mc^2, \]

और उसकी गतिज ऊर्जा है

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

यहाँ \(m\) वस्तु का अपरिवर्ती विराम द्रव्यमान ही रहता है। गुणक \(\gamma\) वस्तु की कुल ऊर्जा को बदलता है, उसके अपरिवर्ती द्रव्यमान को नहीं।

कुछ पुराने विवरणों में \(\gamma m\) के लिए सापेक्षिक द्रव्यमान शब्द का उपयोग किया जाता है। आधुनिक परिपाटी में सामान्यतः द्रव्यमान को अपरिवर्ती माना जाता है और इस वृद्धि का वर्णन ऊर्जा तथा संवेग के संदर्भ में किया जाता है।

उदाहरण के लिए, फोटॉन का विराम द्रव्यमान शून्य होने के बावजूद उनमें ऊर्जा और संवेग होता है। इसलिए \(E=mc^2\) का अर्थ यह नहीं समझना चाहिए कि ऊर्जा के प्रत्येक रूप का संबंध ऐसे कण से होना चाहिए जिसका विराम द्रव्यमान शून्य से अधिक हो।

06सही संबंध का चयन करना

विशिष्ट सापेक्षता के किसी प्रश्न को हल करने का सबसे विश्वसनीय तरीका है कि सूत्र चुनने से पहले यह पहचानें कि वास्तव में क्या मापा जा रहा है।

चार जाँचें कई सामान्य गलतियों को पकड़ सकती हैं:

• लॉरेंट्ज़ गुणांक की जाँच करें। \(0\leq v<c\) के लिए, \(\gamma\geq1\) होता है।
• घटनाओं की जाँच करें। समय-विस्तारण हर प्रकार की घटनाओं के जोड़े के लिए लागू होने वाला नियम नहीं है। स्व-समय की शर्त महत्त्वपूर्ण है।
• मापन की जाँच करें। लंबाई-संकुचन गति की दिशा में लागू होता है और लंबाई मापने के लिए मापन करने वाले संदर्भ-तंत्र में दोनों सिरों की स्थितियाँ एक साथ दर्ज करनी होती हैं।
• ऊर्जा के लेखे-जोखे की जाँच करें। किसी एक वस्तु के विराम द्रव्यमान में कमी का अर्थ यह नहीं है कि किसी विलगित निकाय की कुल ऊर्जा गायब हो गई है।

07प्रश्न और हल

प्रश्न 1

एक प्रोब से जुड़ी घड़ी दो टिकों के बीच \(3.0\text{ s}\) मापती है। प्रोब प्रयोगशाला के सापेक्ष \(0.60c\) चाल से गति करता है।

उन्हीं दो टिकों के लिए प्रयोगशाला द्वारा निर्धारित समयांतराल की गणना करें।

हल 1

प्रयोगशाला \(3.75\text{ s}\) का समयांतराल निर्धारित करती है, जो दो सार्थक अंकों तक \(3.8\text{ s}\) है।

प्रोब की आंतरिक घड़ी स्व-समय मापती है, क्योंकि दोनों टिक उसके विराम संदर्भ-तंत्र में एक ही स्थान पर होते हैं।

चरण 1: लॉरेंट्ज़ गुणांक की गणना करें।

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

चरण 2: समय-विस्तारण का उपयोग करें।

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

प्रयोगशाला, प्रोब की घड़ी की तुलना में अधिक समयांतराल मापती है। यह परिणाम समय-विस्तारण के अनुरूप है।

प्रश्न 2

एक प्रोब की विश्राम लंबाई \(80\text{ m}\) है। एक हैंगर की लंबाई उसके अपने विराम संदर्भ-तंत्र में \(60\text{ m}\) है। प्रोब हैंगर के पास से \(0.80c\) चाल से गुजरता है।

एक इंजीनियर का तर्क है कि प्रोब किसी एक क्षण में पूरी तरह हैंगर के भीतर आ सकता है, क्योंकि उसकी संकुचित लंबाई हैंगर की लंबाई से कम है। पायलट का तर्क है कि यह असंभव है, क्योंकि पायलट के संदर्भ-तंत्र में हैंगर, प्रोब से छोटा है।

मान लें कि आदर्श दरवाज़े तुरंत खुल और बंद हो सकते हैं तथा पदार्थ को होने वाली क्षति की उपेक्षा करें।

क्या दोनों प्रेक्षकों की लंबाई-संबंधी गणनाएँ सही हैं? क्या प्रोब किसी एक क्षण में पूरी तरह हैंगर के भीतर हो सकता है? समझाएँ कि दोनों विवरण एक-दूसरे के संगत कैसे हैं।

हल 2

दोनों की लंबाई-संबंधी गणनाएँ सही हैं। असहमति इस बात को लेकर है कि प्रोब किसी एक क्षण में पूरी तरह हैंगर के भीतर है या नहीं, क्योंकि समकालिकता संदर्भ-तंत्र पर निर्भर करती है।

चरण 1: लॉरेंट्ज़ गुणांक की गणना करें।

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

चरण 2: हैंगर के संदर्भ-तंत्र में प्रोब की लंबाई की गणना करें।

प्रोब की विश्राम लंबाई \(L_0=80\text{ m}\) है।

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

चूँकि \(48\text{ m}<60\text{ m}\), इसलिए इंजीनियर सही है कि उचित स्थिति में प्रोब किसी एक हैंगर-संदर्भ-तंत्र क्षण पर पूरी तरह हैंगर के भीतर आ सकता है।

चरण 3: प्रोब के संदर्भ-तंत्र में हैंगर की लंबाई की गणना करें।

हैंगर की विश्राम लंबाई \(60\text{ m}\) है। प्रोब के संदर्भ-तंत्र में हैंगर गति करता है, इसलिए उसकी मापी गई लंबाई है

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

पायलट भी सही है: गतिमान हैंगर की लंबाई प्रोब के संदर्भ-तंत्र में केवल \(36\text{ m}\) है, जबकि प्रोब की विश्राम लंबाई \(80\text{ m}\) ही रहती है।

चरण 4: प्रत्यक्ष विरोधाभास को सुलझाएँ।

“किसी एक क्षण में पूरी तरह भीतर” होने का अर्थ है कि प्रोब के दोनों सिरों की स्थितियाँ निर्दिष्ट संदर्भ-तंत्र में एक ही समय पर हैंगर के भीतर हों।

हैंगर के संदर्भ-तंत्र में एक ऐसा क्षण होता है जब दोनों सिरे भीतर होते हैं। प्रोब के संदर्भ-तंत्र में ऐसा कोई क्षण नहीं होता जब पूरा \(80\text{ m}\) लंबा प्रोब, \(36\text{ m}\) लंबे हैंगर के भीतर आ सके।

मुख्य बात यह है कि हैंगर के संदर्भ-तंत्र में दरवाज़े बंद होने की दोनों घटनाएँ समकालिक हैं, लेकिन प्रोब के संदर्भ-तंत्र में वे समकालिक नहीं हैं। दोनों प्रेक्षक समकालिक घटनाओं के एक ही जोड़े का वर्णन नहीं कर रहे हैं। किसी भी विवरण के अनुसार यह आवश्यक नहीं है कि प्रोब अपने विराम संदर्भ-तंत्र में भौतिक रूप से नष्ट हो जाए या दबकर छोटा हो जाए।

प्रश्न 3

एक बद्ध नाभिक का विराम द्रव्यमान उसके अलग-अलग न्यूक्लियॉनों के संयुक्त विराम द्रव्यमान से \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) कम है।

मान लें कि दोनों अवस्थाओं की तुलना विराम अवस्था में की जाती है और बंधन के दौरान मुक्त हुई ऊर्जा नाभिक से बाहर निकल जाती है।

जूल में मुक्त हुई बंधन ऊर्जा की गणना करें और समझाएँ कि अंतिम नाभिक का कम विराम द्रव्यमान ऊर्जा-संरक्षण के नियम का उल्लंघन क्यों नहीं करता।

हल 3

द्रव्यमान-अंतर के समतुल्य बंधन ऊर्जा \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\) है। कम विराम द्रव्यमान ऊर्जा-संरक्षण के अनुरूप है, क्योंकि मुक्त हुई ऊर्जा निकाय से बाहर निकल जाती है।

चरण 1: द्रव्यमान-अंतर की पहचान करें।

द्रव्यमान-दोष का परिमाण है

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

चरण 2: द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता का उपयोग करें।

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

चरण 3: ऊर्जा के लेखे-जोखे को समझाएँ।

बद्ध नाभिक की विराम ऊर्जा, अलग-अलग न्यूक्लियॉनों की विराम ऊर्जा से कम होती है। यह अंतर बंधन के दौरान मुक्त हुई ऊर्जा के रूप में दिखाई देता है, जैसे विकिरण या अन्य उत्पादों द्वारा ले जाई गई गतिज ऊर्जा।

नाभिक का अंतिम विराम द्रव्यमान कम होता है, क्योंकि ऊर्जा नाभिक से बाहर निकल गई है। मुक्त हुई ऊर्जा को शामिल करने पर कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

प्रश्न 4

एक अंतरिक्षयान का अपरिवर्ती विराम द्रव्यमान \(1.0\text{ kg}\) है और वह पृथ्वी के सापेक्ष \(0.80c\) चाल से गति करता है।

एक विद्यार्थी \(\gamma=1.67\) की गणना करता है और दावा करता है कि अंतरिक्षयान का द्रव्यमान बढ़कर \(1.67\text{ kg}\) हो गया है।

निम्नलिखित संबंधों का उपयोग करके

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

अंतरिक्षयान की विराम ऊर्जा, कुल ऊर्जा और गतिज ऊर्जा की गणना करें। विद्यार्थी के दावे का मूल्यांकन करें।

हल 4

विराम ऊर्जा \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), कुल ऊर्जा \(1.5\times10^{17}\text{ J}\) और गतिज ऊर्जा \(6.0\times10^{16}\text{ J}\) है। अपरिवर्ती द्रव्यमान की परिपाटी के अनुसार, अंतरिक्षयान का विराम द्रव्यमान \(1.0\text{ kg}\) ही रहता है।

चरण 1: विराम ऊर्जा की गणना करें।

विराम द्रव्यमान \(m=1.0\text{ kg}\) है।

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

चरण 2: कुल ऊर्जा की गणना करें।

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

चरण 3: गतिज ऊर्जा की गणना करें।

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

परिणाम एक-दूसरे के अनुरूप हैं, क्योंकि कुल ऊर्जा, विराम ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग होती है:

\[ E=E_0+K. \]

चरण 4: विद्यार्थी के दावे का मूल्यांकन करें।

विद्यार्थी ने सही पहचाना है कि कुल ऊर्जा प्राप्त करने के लिए विराम ऊर्जा को \(\gamma\) से गुणा किया जाता है। गलती यह है कि उसने इस गुणक को अपरिवर्ती विराम द्रव्यमान में वृद्धि के रूप में समझ लिया।

अंतरिक्षयान की चाल बढ़ने पर उसकी गतिज ऊर्जा बढ़ती है, लेकिन उसका अपरिवर्ती विराम द्रव्यमान \(1.0\text{ kg}\) ही रहता है। जब भी किसी प्रश्न में द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता को गतिमान वस्तु की ऊर्जा के साथ जोड़ा जाता है, तब यह अंतर महत्त्वपूर्ण होता है।

प्रश्न 5

एक प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई उसके विराम संदर्भ-तंत्र \(S\) में \(600\text{ m}\) है। उसके दोनों सिरों पर A और B नाम के दो लैम्प लगे हैं, जहाँ A की स्थिति \(x=0\) और B की स्थिति \(x=+600\text{ m}\) है। वे \(S\) में \(t=0\) पर समकालिक रूप से चमकते हैं।

प्रत्येक चमक प्लेटफ़ॉर्म के मध्य-बिंदु की ओर एक प्रकाश स्पंद भेजती है। संदर्भ-तंत्र \(S\) में दोनों स्पंद मध्य-बिंदु पर मिलते हैं।

रॉकेट का विराम संदर्भ-तंत्र \(S'\), \(S\) के सापेक्ष धनात्मक \(x\)-दिशा में \(0.80c\) चाल से गति करता है।

इस प्रश्न के लिए समय-निर्देशांक के निम्नलिखित संबंध का उपयोग करें:

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

जहाँ \(\Delta t=t_B-t_A\) और \(\Delta x=x_B-x_A\), \(S\) में मापे गए हैं।

(a) \(S'\) में कौन-सी चमक पहले होती है और कितने समय पहले?

(b) \(S'\) में प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई \(360\text{ m}\) है। एक विद्यार्थी दावा करता है कि चमकों के बीच का समयांतराल अनिवार्य रूप से \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) होना चाहिए। सटीक गलती समझाएँ।

(c) क्या दोनों प्रकाश स्पंद अब भी \(S'\) में उसी घटना पर मिलेंगे? समझाएँ कि यह कैसे संभव है, जबकि चमकें अब समकालिक नहीं हैं।

हल 5

\(S'\) में चमक B पहले होती है, और वह चमक A से \(2.67\,\mu\text{s}\) पहले होती है। दोनों प्रकाश स्पंद अब भी उसी घटना पर मिलते हैं, क्योंकि सभी जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र इस बात पर सहमत होते हैं कि दोनों प्रकाश स्पंदों का प्रतिच्छेदन एक ही घटना है, भले ही वे उत्सर्जन की घटनाओं के लिए अलग-अलग समय निर्धारित करें।

चरण 1: लॉरेंट्ज़ गुणांक की गणना करें और घटनाओं के अंतरों की पहचान करें।

सापेक्ष चाल \(v=0.80c\) है, इसलिए

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

\(S\) में दोनों चमकें समकालिक हैं और B का स्थिति-निर्देशांक अधिक है। इसलिए,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

चरण 2: \(S'\) में समयांतर की गणना करें।

दिए गए समय-निर्देशांक संबंध में मान रखने पर,

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि \(t'_B<t'_A\)। रॉकेट के संदर्भ-तंत्र में चमक B, चमक A से \(2.67\,\mu\text{s}\) पहले होती है।

चरण 3: समझाएँ कि \(360\text{ m}/c\) की गणना गलत क्यों है।

विद्यार्थी की गणना है

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

अंकगणित सही है, लेकिन यह गलत प्रश्न का उत्तर देती है।

\(360\text{ m}\), \(S'\) में मापी गई प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई है। इसे रॉकेट के संदर्भ-तंत्र में दोनों सिरों को एक ही समय पर मापकर प्राप्त किया गया है। \(S'\) में दोनों चमकें समकालिक नहीं हैं, इसलिए उनके घटना-स्थानों को उस समकालिक लंबाई-मापन के सिरों के रूप में नहीं माना जा सकता।

दो घटनाओं के बीच का समयांतराल सामान्यतः उनकी मापी गई लंबाई को \(c\) से विभाजित करने के बराबर नहीं होता। विद्यार्थी ने समकालिक सिरों की स्थितियों से मापी गई लंबाई को ऐसी दो घटनाओं के साथ मिला दिया है जो उसी संदर्भ-तंत्र में अलग-अलग समय पर होती हैं।

चरण 4: समझाएँ कि प्रकाश स्पंद अब भी क्यों मिलते हैं।

\(S\) में प्रत्येक स्पंद मध्य-बिंदु तक पहुँचने के लिए \(300\text{ m}\) की दूरी तय करता है। इसलिए, उनके मिलने की घटना होती है

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

यह स्पेसटाइम में एक ही घटना है। प्रत्येक जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र इस बात से सहमत होता है कि दोनों स्पंद इसी घटना पर मिलते हैं, भले ही उस घटना के लिए निर्धारित निर्देशांक अलग-अलग हों।

हम रॉकेट के संदर्भ-तंत्र में समय की जाँच कर सकते हैं। चमक A और मिलने की घटना के बीच दिए गए संबंध का उपयोग करने पर,

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

चमक A, \(t'_A=0\) पर होती है, इसलिए उसका स्पंद मिलने की घटना तक पहुँचने में रॉकेट के संदर्भ-तंत्र के निर्देशांक समय के अनुसार \(0.333\,\mu\text{s}\) लेता है।

चमक B, \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\) पर होती है, इसलिए उसके स्पंद को उसी घटना तक पहुँचने में

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

लगते हैं।

उत्सर्जन के अलग-अलग समय और यात्रा के अलग-अलग अंतराल एक ही मिलने की घटना के अनुरूप हैं। गलती यह मानने में होगी कि एक संदर्भ-तंत्र में समकालिक उत्सर्जन हर संदर्भ-तंत्र में समकालिक ही रहना चाहिए।

अगला उपयोगी कदम यह सीखना है कि स्पेसटाइम आरेख पर घटनाओं को कैसे दर्शाया जाए। HSC के प्रश्नों के लिए पहले संदर्भ-तंत्र की पहचान करें और पूछें कि क्या उस संदर्भ-तंत्र में घटनाएँ एक ही स्थान पर होती हैं। यह निर्णय आपको गणना शुरू करने से पहले समय-विस्तारण, लंबाई-संकुचन और समकालिकता की सापेक्षता में से सही अवधारणा चुनने में मदद करता है।