HSC भौतिकी के लिए नेट बल और संतुलन की गणनाएँ

एक ट्रॉली दाईं ओर स्थिर चाल से चल रही है। कोई व्यक्ति उसे दाईं ओर धक्का देता है, जबकि घर्षण बाईं ओर बल लगाता है। परिणामी बल किस दिशा में है?

यह कहना स्वाभाविक लग सकता है कि “दाईं ओर”, क्योंकि ट्रॉली उसी दिशा में चल रही है। लेकिन यदि उसका वेग नियत है, तो उसका त्वरण शून्य है। तब न्यूटन का दूसरा नियम हमें एक महत्वपूर्ण बात बताता है: सभी बलों का संयुक्त प्रभाव ऐसा होना चाहिए कि परिणामी बल शून्य हो।

परिणामी बल का यही उद्देश्य है। प्रत्येक बल को अलग-अलग देखने के बजाय, हम उन्हें एक ऐसे एकल बल में जोड़ते हैं जिसका वस्तु की गति पर वही समग्र प्रभाव होता है।

01तीरों के रूप में सोचना शुरू करें

बल एक सदिश राशि है। इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

कल्पना करें कि दो लोग पहियों वाले एक डिब्बे को खींच रहे हैं। एक व्यक्ति 40 N के बल से दाईं ओर खींचता है और दूसरा 25 N के बल से बाईं ओर। दोनों खिंचाव आंशिक रूप से एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे प्रभाव ऐसा होता है मानो 15 N का एक बल दाईं ओर लगाया जा रहा हो।

हम इस एकल संयुक्त बल को परिणामी बल, या नेट बल, कहते हैं।

\[ \vec F_{\text{net}}=\sum \vec F \]

यहाँ, \(\vec F_{\text{net}}\) नेट बल है, जिसे न्यूटन (N) में मापा जाता है, और \(\sum \vec F\) का अर्थ वस्तु पर लगने वाले सभी बलों का सदिश योग है।

\(F\) के ऊपर बना तीर हमें याद दिलाता है कि बल की एक दिशा होती है।

यहाँ एक महत्वपूर्ण सावधानी है: नेट बल का दिशा में वही होना आवश्यक नहीं है जिस दिशा में वस्तु चल रही है।

वेग बताता है कि वस्तु इस समय कैसे चल रही है। नेट बल बताता है कि उसका वेग कैसे बदल रहा है।

02एक आयाम में परिणामी बल

जब सभी प्रासंगिक बल एक ही सीधी रेखा के along कार्य करते हैं, तो गणना मुख्यतः चिह्नों पर निर्भर करती है।

एक दिशा को धनात्मक चुनें। दूसरी दिशा ऋणात्मक होगी।

उदाहरण के लिए, हम चुन सकते हैं:

• दाईं ओर को धनात्मक
• बाईं ओर को ऋणात्मक

तब दाईं ओर 30 N का बल \(+30\text{ N}\) होगा, जबकि बाईं ओर 12 N का बल \(-12\text{ N}\) होगा।

इसलिए:

\[ F_{\text{net}}=30+(-12)=18\text{ N} \]

धनात्मक परिणाम बताता है कि परिणामी बल 18 N दाईं ओर है।

आप चाहें तो बाईं ओर को धनात्मक भी चुन सकते हैं। संख्यात्मक चिह्न बदल जाएँगे, लेकिन भौतिक उत्तर नहीं बदलेगा। महत्वपूर्ण बात यह है कि एक चिह्न-परंपरा चुनें और उसे लगातार उसी तरह उपयोग करें।

03शून्य नेट बल का वास्तव में क्या अर्थ है?

मान लें कि दाईं और बाईं ओर के बल बराबर हैं:

\[ F_{\text{net}}=0 \]

न्यूटन के दूसरे नियम से,

\[ F_{\text{net}}=ma \]

इसलिए, शून्य से अधिक द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए,

\[ a=0 \]

इसे स्थानांतरणीय संतुलन कहते हैं।

वस्तु के साथ क्या होता है?

दो संभावनाएँ हैं:

• यदि वह पहले से विराम में है, तो वह विराम में बनी रहती है।
• यदि वह पहले से नियत वेग से चल रही है, तो वह उसी नियत वेग से चलती रहती है।

दूसरा मामला बहुत-सी गलतियों का कारण बनता है।

कोई विद्यार्थी पूर्व दिशा में चलती कार की कल्पना करके सोच सकता है कि उसे “चलते रहने” के लिए पूर्व दिशा में कोई नेट बल अवश्य होना चाहिए। यह उचित लग सकता है क्योंकि रोज़मर्रा की वस्तुएँ सामान्यतः तब धीमी हो जाती हैं जब हम उन्हें धक्का देना बंद कर देते हैं। लेकिन वे इसलिए धीमी होती हैं क्योंकि घर्षण और प्रतिरोध एक असंतुलित बल प्रदान करते हैं।

यदि सभी बल वास्तव में संतुलित हैं, तो नियत वेग बनाए रखने के लिए किसी अतिरिक्त आगे की दिशा वाले नेट बल की आवश्यकता नहीं होती।

दूसरी पंक्ति के शब्दों पर ध्यान दें: नियत वेग, केवल नियत चाल नहीं। दिशा भी महत्वपूर्ण है।

04दो आयामों में परिणामी बल

अब मान लें कि एक बल पूर्व दिशा में और दूसरा उत्तर दिशा में खींचता है। इन्हें साधारण संख्याओं की तरह सीधे नहीं जोड़ा जा सकता क्योंकि वे अलग-अलग दिशाओं में हैं।

इसके बजाय, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं को अलग-अलग संभालें।

हम सामान्यतः इन्हें \(x\)- और \(y\)-दिशाएँ कहते हैं:

\[ \Sigma F_x = \text{क्षैतिज बल-घटकों का योग} \]

\[ \Sigma F_y = \text{ऊर्ध्वाधर बल-घटकों का योग} \]

जब ये दोनों घटक ज्ञात हो जाएँ, तो परिणामी बल का परिमाण है

\[ F_{\text{net}}=\sqrt{(\Sigma F_x)^2+(\Sigma F_y)^2} \]

यह बल-त्रिभुज पर लागू किया गया पाइथागोरस प्रमेय ही है।

इसके बाद त्रिकोणमिति का उपयोग करके इसकी दिशा ज्ञात की जा सकती है। यदि कोण \(\theta\) को धनात्मक \(x\)-दिशा से मापा गया है,

\[ \tan\theta=\frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x} \]

घटकों के चिह्न बताते हैं कि परिणामी बल वास्तव में किस चतुर्थांश में स्थित है। चित्र की जाँच किए बिना केवल inverse tangent बटन को भौतिक दिशा तय न करने दें।

05कोण पर लगे बल को घटकों में विभाजित करना

तिरछी दिशा में लगने वाले बल को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों से दर्शाया जा सकता है।

धनात्मक क्षैतिज दिशा से ऊपर \(\theta\) कोण पर लगे \(F\) परिमाण के बल के लिए:

\[ F_x=F\cos\theta \]

\[ F_y=F\sin\theta \]

यहाँ:

• \(F_x\) क्षैतिज घटक है
• \(F_y\) ऊर्ध्वाधर घटक है
• \(F\) मूल बल का परिमाण है
• \(\theta\) क्षैतिज दिशा से मापा गया उसका कोण है

ये घटक अतिरिक्त बल नहीं हैं। ये उसी मूल बल के दो गणितीय भाग हैं।

06दो आयामों में संतुलन पहचानना

एक आयाम में संतुलन के लिए विपरीत दिशाओं के बलों का एक-दूसरे को निरस्त करना आवश्यक है।

दो आयामों में एक अतिरिक्त शर्त होती है:

\[ \Sigma F_x=0 \]

और

\[ \Sigma F_y=0 \]

दोनों का सत्य होना आवश्यक है।

मान लें कि किसी लटकी हुई वस्तु पर बाईं और दाईं ओर के बल पूरी तरह संतुलित हैं, लेकिन ऊपर की ओर बल नीचे की ओर बल से 20 N अधिक है। वह वस्तु संतुलन में नहीं है। उसका क्षैतिज त्वरण शून्य हो सकता है, लेकिन उसका ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य नहीं है।

इससे एक उपयोगी निर्णय-नियम मिलता है:

कोई वस्तु केवल तभी स्थानांतरणीय संतुलन में होती है जब परिणामी बल सदिश शून्य हो।

यह आवश्यक नहीं है कि प्रत्येक व्यक्तिगत बल के लिए बिल्कुल बराबर और विपरीत दिशा वाला एक अलग बल मौजूद हो। कई बल मिलकर किसी दूसरे बल को निरस्त कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, दो तिरछी केबलों के तनाव के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं, जबकि उनके ऊर्ध्वाधर घटक मिलकर वस्तु के भार को संतुलित कर सकते हैं।

07संतुलन के लिए आवश्यक बल ज्ञात करना

कभी-कभी अज्ञात राशि परिणामी बल नहीं होती। इसके बजाय आपसे पूछा जाता है कि कौन-सा अतिरिक्त बल परिणामी बल को शून्य कर देगा।

विधि सरल है:

1. पहले से लग रहे बलों का परिणामी ज्ञात करें।
2. आवश्यक संतुलनकारी बल को वही परिमाण लेकिन विपरीत दिशा दें।

यदि मौजूदा बलों का परिणामी 40 N पूर्व दिशा में है, तो अतिरिक्त 40 N पश्चिम दिशा में लगाने से संतुलन प्राप्त होगा।

दो आयामों में, यदि मौजूदा परिणामी के घटक हैं

\[ \vec F_{\text{net}}=(30\text{ N पूर्व},40\text{ N उत्तर}), \]

तो संतुलनकारी बल के घटक होने चाहिए

\[ (-30\text{ N},-40\text{ N}), \]

अर्थात 30 N पश्चिम और 40 N दक्षिण।

इस विपरीत बल को कभी-कभी संतुलक बल कहा जाता है।

08जिस गलत धारणा से बचना है: गति और नेट बल एक ही चीज़ नहीं हैं

पूर्व दिशा में फिसलते हुए एक पक पर विचार करें, जबकि उस पर नेट बल पश्चिम दिशा में लग रहा है।

उसका त्वरण किस दिशा में होगा?

पश्चिम।

बल लगना शुरू होने के तुरंत बाद वह किस दिशा में चलेगा?

फिर भी पूर्व।

इसमें कोई विरोधाभास नहीं है। पश्चिम दिशा का त्वरण पूर्व दिशा के वेग को बदलता है। पक पहले धीमा होता है। यदि पश्चिम दिशा का बल पर्याप्त समय तक जारी रहता है, तो पक अंततः रुक सकता है और फिर पश्चिम दिशा में चलना शुरू कर सकता है।

इन राशियों को अलग-अलग रखें:

• वेग गति की वर्तमान दिशा और दर बताता है
• त्वरण बताता है कि वेग कैसे बदल रहा है
• नेट बल त्वरण की ही दिशा में होता है, क्योंकि \(\vec F_{\text{net}}=m\vec a\)

इसीलिए केवल गति की दिशा देखकर नेट बल की दिशा निर्धारित नहीं की जा सकती।

09HSC के बल-संबंधी प्रश्नों के लिए एक विश्वसनीय विधि

जब किसी प्रश्न में कई बल हों, तो हर बार यही क्रम अपनाएँ।

1. अपनी वस्तु चुनें। ठीक-ठीक तय करें कि आप किस वस्तु पर लगने वाले बलों को जोड़ रहे हैं।
2. धनात्मक दिशाएँ चुनें। दो आयामों में सामान्यतः दाईं ओर को \(+x\) और ऊपर की ओर को \(+y\) लें।
3. कोणीय बलों को घटकों में विभाजित करें। आवश्यकता होने पर उन्हें \(x\)- और \(y\)-घटकों में तोड़ें।
4. घटकों को अलग-अलग जोड़ें। \(\Sigma F_x\) और \(\Sigma F_y\) ज्ञात करें।
5. आवश्यक होने पर फिर से संयोजित करें। परिमाण के लिए पाइथागोरस और दिशा के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करें।
6. परिणाम की व्याख्या करें। शून्य परिणामी का अर्थ शून्य स्थानांतरणीय त्वरण है। गैर-शून्य परिणामी त्वरण की दिशा देता है।

आमतौर पर गणना सबसे कठिन भाग नहीं होती। कठिन भाग यह तय करना है कि किन बलों को योग में शामिल करना है और वेग, त्वरण तथा बल को अलग-अलग समझकर रखना है।

10प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक साइकिल चालक पर आगे की ओर 180 N का प्रेरक बल लगता है। वायु प्रतिरोध पीछे की ओर 145 N है, और रोलिंग प्रतिरोध पीछे की ओर 35 N है। क्षैतिज परिणामी बल की गणना कीजिए। यह साइकिल चालक के क्षैतिज त्वरण के बारे में क्या बताता है?

समाधान 1

क्षैतिज परिणामी बल 0 N है, इसलिए साइकिल चालक का क्षैतिज त्वरण शून्य है।

आगे की दिशा को धनात्मक चुनें। परिणामी है

\[ F_{\text{net}} =180-145-35 =0\text{ N} \]

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,

\[ F_{\text{net}}=ma, \]

शून्य नेट बल का अर्थ है \(a=0\)।

इससे यह नहीं पता चलता कि साइकिल चालक स्थिर है। यदि साइकिल चालक पहले से चल रहा है, तो वह नियत वेग से आगे बढ़ता रह सकता है। सामान्य गलती यह मान लेना है कि आगे की गति के लिए आगे की दिशा में परिणामी बल आवश्यक है।

प्रश्न 2

2.0 kg की एक प्रयोगशाला गाड़ी पर क्षैतिज तल में चार बल लगते हैं: 24 N पूर्व, 10 N उत्तर, 8 N पश्चिम, और 4 N दक्षिण। परिणामी बल का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए, फिर गाड़ी के त्वरण की गणना कीजिए।

समाधान 2

परिणामी बल 17.1 N है, जो पूर्व से \(20.6^\circ\) उत्तर की दिशा में है, और इससे उसी दिशा में \(8.54\text{ m s}^{-2}\) का त्वरण उत्पन्न होता है।

पूर्व को धनात्मक \(x\) और उत्तर को धनात्मक \(y\) लें।

क्षैतिज परिणामी है

\[ \Sigma F_x=24-8=16\text{ N} \]

और ऊर्ध्वाधर परिणामी है

\[ \Sigma F_y=10-4=6\text{ N}. \]

परिणामी का परिमाण है

\[ F_{\text{net}} =\sqrt{16^2+6^2} =\sqrt{292} =17.1\text{ N}. \]

इसकी दिशा है

\[ \theta =\tan^{-1}\left(\frac{6}{16}\right) =20.6^\circ. \]

दोनों घटक धनात्मक हैं, इसलिए दिशा पूर्व से \(20.6^\circ\) उत्तर की ओर है।

अब न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करें:

\[ a=\frac{F_{\text{net}}}{m} =\frac{17.1}{2.0} =8.54\text{ m s}^{-2}. \]

त्वरण नेट बल की ही दिशा में होता है, लेकिन आवश्यक नहीं कि वह गाड़ी के मौजूदा वेग की दिशा में भी हो।

प्रश्न 3

एक छोटी वस्तु पर दो बल लगते हैं: 30 N पूर्व दिशा में और 40 N उत्तर दिशा में। वस्तु को स्थानांतरणीय संतुलन में लाने के लिए आवश्यक एकल अतिरिक्त बल ज्ञात कीजिए।

समाधान 3

आवश्यक बल 50 N है, जो पश्चिम से \(53.1^\circ\) दक्षिण की दिशा में है।

पहले मौजूदा बलों का परिणामी ज्ञात करें।

इसका परिमाण है

\[ F_{\text{resultant}} =\sqrt{30^2+40^2} =50\text{ N}. \]

उस परिणामी का पूर्व से उत्तर की ओर कोण है

\[ \theta =\tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right) =53.1^\circ. \]

इसलिए मौजूदा बल मिलकर 50 N का बल उत्पन्न करते हैं, जिसकी दिशा पूर्व से \(53.1^\circ\) उत्तर की ओर है।

संतुलन के लिए अतिरिक्त बल ऐसा होना चाहिए कि कुल सदिश योग शून्य हो जाए। इसलिए उसका परिमाण समान और दिशा बिल्कुल विपरीत होनी चाहिए:

\[ F_{\text{additional}}=50\text{ N, पश्चिम से }53.1^\circ\text{ दक्षिण की दिशा में}. \]

इसके घटक 30 N पश्चिम और 40 N दक्षिण हैं, जो मूल घटकों को अलग-अलग निरस्त कर देते हैं।

गलती यह होगी कि किसी भी सुविधाजनक दिशा में एक और 50 N का बल जोड़ दिया जाए। केवल समान परिमाण पर्याप्त नहीं हैं। दिशाएँ ऐसी होनी चाहिए कि सदिश योग शून्य हो।

प्रश्न 4

4.0 kg की एक गाड़ी प्रारंभ में पश्चिम दिशा में \(3.0\text{ m s}^{-1}\) से चल रही है। इसके बाद 8.0 N का एक नियत परिणामी बल पूर्व दिशा में 2.0 s तक कार्य करता है। क्या गाड़ी संतुलन में है? 2.0 s के अंतराल के बाद उसका वेग ज्ञात कीजिए।

समाधान 4

गाड़ी संतुलन में नहीं है, और 2.0 s के बाद वह पूर्व दिशा में \(1.0\text{ m s}^{-1}\) से चल रही है।

नेट बल पूर्व दिशा में 8.0 N है, जो शून्य नहीं है। इसलिए गाड़ी में त्वरण है और वह संतुलन में नहीं है।

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,

\[ a=\frac{F_{\text{net}}}{m} =\frac{8.0}{4.0} =2.0\text{ m s}^{-2}\text{ पूर्व}. \]

पूर्व दिशा को धनात्मक लें। इसलिए प्रारंभिक पश्चिममुखी वेग है

\[ u=-3.0\text{ m s}^{-1}. \]

इसका उपयोग करते हुए

\[ v=u+at, \]

हमें मिलता है

\[ v=-3.0+(2.0)(2.0) =+1.0\text{ m s}^{-1}. \]

धनात्मक चिह्न का अर्थ पूर्व दिशा है।

रोचक बात यह है कि बीच के समय में क्या होता है। बल पूर्व दिशा में है जबकि गाड़ी प्रारंभ में पश्चिम दिशा में चल रही है, इसलिए गाड़ी पहले धीमी होती है। उसका वेग शून्य हो जाता है जब

\[ 0=-3.0+(2.0)t, \]

जिससे

\[ t=1.5\text{ s}. \]

बल अभी भी कार्य कर रहा है, इसलिए इसके बाद गाड़ी पूर्व दिशा में त्वरण करने लगती है। यह एक उपयोगी स्मरण है कि बल त्वरण निर्धारित करता है, वस्तु की किसी क्षण पर यात्रा की दिशा नहीं।

प्रश्न 5

900 kg की एक कार समतल वृत्ताकार ट्रैक पर \(12\text{ m s}^{-1}\) की नियत चाल से चलती है। ट्रैक की त्रिज्या 30 m है। एक विद्यार्थी तर्क देता है कि कार पर लगने वाले बल संतुलन में होने चाहिए क्योंकि उसकी चाल नियत है। इस दावे का मूल्यांकन कीजिए और परिणामी बल की गणना कीजिए।

समाधान 5

यह दावा गलत है। कार पर \(4.32\times10^3\text{ N}\) का परिणामी बल वृत्त के केंद्र की ओर लगता है, इसलिए वह स्थानांतरणीय संतुलन में नहीं है।

यहाँ भ्रम पैदा करने वाला शब्द चाल है। चाल की कोई दिशा नहीं होती, लेकिन वेग की होती है।

हालाँकि कार की चाल \(12\text{ m s}^{-1}\) बनी रहती है, वृत्त के चारों ओर चलते समय उसकी गति की दिशा लगातार बदलती रहती है। इसलिए उसका वेग बदल रहा है, जिसका अर्थ है कि उसमें त्वरण है।

वृत्तीय गति के लिए अंदर की ओर त्वरण का परिमाण है

\[ a=\frac{v^2}{r}, \]

जहाँ \(v\) चाल है और \(r\) वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।

मान रखने पर,

\[ a=\frac{12^2}{30} =\frac{144}{30} =4.8\text{ m s}^{-2}. \]

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,

\[ F_{\text{net}}=ma =(900)(4.8) =4320\text{ N}. \]

इसलिए

\[ F_{\text{net}}=4.32\times10^3\text{ N} \]

वृत्त के केंद्र की ओर।

नियत वेग का अर्थ शून्य त्वरण और शून्य परिणामी बल होगा। दिशा बदलते हुए नियत चाल का अर्थ ऐसा नहीं होता।

11नेट बल जानने के बाद आप आगे क्या कर सकते हैं

जब आप कई बलों को एक परिणामी सदिश से बदलना सीख लेते हैं, तो न्यूटन के नियमों का उपयोग करना बहुत आसान हो जाता है। मुक्त-पिंड आरेख आपको व्यक्तिगत बल देता है, सदिश योग आपको \(\vec F_{\text{net}}\) देता है, और न्यूटन का दूसरा नियम उस परिणामी बल को त्वरण में बदल देता है।

यही तर्क-श्रृंखला फिर से तब दिखाई देती है जब आप तनाव, अभिलंब बल, घर्षण, आनत तल और वृत्तीय गति का विश्लेषण करते हैं। मुख्य निर्णय वही रहता है: यह पूछने से पहले कि कोई वस्तु कैसे चलेगी, पता लगाएँ कि उस पर लगने वाले सभी बलों का योग क्या है।