प्रक्षेप्य प्रक्षेपण कोण: ऊँचाई, उड़ान समय और परास

दो प्रक्षेप्य जमीन से ठीक समान चाल से छोड़े जाते हैं। एक को \(30^\circ\) पर और दूसरे को \(60^\circ\) पर प्रक्षेपित किया जाता है। कौन-सा प्रक्षेप्य अधिक दूर जाकर जमीन पर गिरता है?

\(60^\circ\) वाला प्रक्षेपण अधिक समय तक हवा में रहता है और कहीं अधिक ऊँचाई तक जाता है, इसलिए उसे चुनना स्वाभाविक लग सकता है। लेकिन प्रक्षेप्य गति की सामान्य आदर्श मान्यताओं के तहत, दोनों ठीक समान क्षैतिज दूरी पर गिरते हैं।

यही परिणाम प्रक्षेपण कोण को समझने की कुंजी है। कोण बढ़ाने पर प्रक्षेप्य को अधिक ऊर्ध्वाधर वेग मिलता है, लेकिन कम क्षैतिज वेग। प्रक्षेपण जितना अधिक खड़ा होता जाता है, अधिकतम ऊँचाई और उड़ान समय बढ़ते रहते हैं। परास ऐसा नहीं करता।

01प्रक्षेपण वेग को घटकों में बाँटकर शुरू करें

मान लें कि कोई प्रक्षेप्य क्षैतिज से ऊपर \(\theta\) कोण पर \(u\) चाल से छोड़ा जाता है।

इसके प्रारंभिक वेग को दो परस्पर लंबवत घटकों में बाँटा जा सकता है:

\[
u_x=u\cos\theta
\]

\[
u_y=u\sin\theta
\]

जहाँ:

• \(u_x\) प्रारंभिक क्षैतिज वेग है, जिसकी इकाई \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) है,
• \(u_y\) प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग है, जिसकी इकाई \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) है,
• \(u\) प्रक्षेपण चाल है, जिसकी इकाई \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) है, और
• \(\theta\) क्षैतिज से ऊपर प्रक्षेपण कोण है।

यदि आपको यह दोहराने की आवश्यकता है कि यहाँ sine और cosine क्यों आते हैं, तो HSC भौतिकी के लिए प्रक्षेप्य के प्रारंभिक वेग के घटक देखें।

शुरुआत में इसे समझने का एक उपयोगी तरीका यह है कि प्रक्षेपण चाल को वेग का एक निश्चित बजट मानें। वेग सदिश को ऊपर की ओर झुकाने पर इस बजट का अधिक भाग ऊर्ध्वाधर घटक में जाता है, जबकि क्षैतिज घटक में कम भाग जाता है।

यह उपमा पूरी तरह सटीक नहीं है। ये घटक ऐसी राशियाँ नहीं हैं जो उड़ान के दौरान खर्च हो जाती हैं या एक-दूसरे में बदलती रहती हैं। प्रक्षेप्य के हवा में पहुँचने के बाद गुरुत्वाकर्षण ऊर्ध्वाधर वेग को लगातार बदलता है, जबकि आदर्श मॉडल में क्षैतिज वेग स्थिर रहता है।

यही अंतर लगभग हर उस प्रभाव को समझाता है जो प्रक्षेपण कोण उत्पन्न करता है।

02कोण बढ़ने पर क्या होता है?

प्रक्षेपण चाल \(u\) को स्थिर रखें।

जैसे-जैसे \(\theta\), \(0^\circ\) से \(90^\circ\) की ओर बढ़ता है:

• \(\cos\theta\) घटता है, इसलिए \(u_x\) घटता है,
• \(\sin\theta\) बढ़ता है, इसलिए \(u_y\) बढ़ता है,
• प्रक्षेप्य अधिक ऊँचाई तक जाता है,
• वह अधिक समय तक हवा में रहता है, लेकिन
• यह आवश्यक नहीं कि वह क्षैतिज दिशा में अधिक दूर जाए।

अभी के लिए मान लें कि:

• वायु प्रतिरोध नगण्य है,
• गुरुत्वीय त्वरण स्थिर है,
• प्रक्षेप्य उसी ऊर्ध्वाधर स्तर पर उतरता है जहाँ से उसे प्रक्षेपित किया गया था, और
• \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)।

ये मान्यताएँ महत्वपूर्ण हैं। विशेष रूप से, अधिकतम परास के लिए परिचित \(45^\circ\) वाला परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि प्रक्षेपण बिंदु और अवतरण बिंदु समान ऊँचाई पर हों। आप इस मॉडल को HSC भौतिकी में प्रक्षेप्य गति की मान्यताओं की व्याख्या में दोहरा सकते हैं।

03प्रक्षेपण कोण और अधिकतम ऊँचाई

कल्पना करें कि दो गेंदों को समान चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। एक \(20^\circ\) पर और दूसरी \(70^\circ\) पर छोड़ी जाती है।

कौन-सी अधिक ऊँचाई तक पहुँचेगी?

\(70^\circ\) वाला प्रक्षेप्य, क्योंकि अधिकतम ऊँचाई कुल प्रक्षेपण चाल पर सीधे निर्भर नहीं करती, बल्कि ऊर्ध्वाधर घटक \(u_y\) पर निर्भर करती है।

अधिकतम ऊँचाई पर ऊर्ध्वाधर वेग घटकर शून्य हो जाता है। समीकरण

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y
\]

में \(v_y=0\), \(a_y=-g\), और \(\Delta y=H\) रखने पर,

\[
0=u_y^2-2gH
\]

इसलिए

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}.
\]

चूँकि \(u_y=u\sin\theta\),

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}.
\]

यहाँ \(H\) प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर अधिकतम ऊँचाई है, जिसे मीटर में मापा जाता है।

स्थिर प्रक्षेपण चाल के लिए,

\[
H\propto\sin^2\theta.
\]

इसलिए प्रक्षेपण कोण बढ़ाने पर अधिकतम ऊँचाई \(90^\circ\) तक लगातार बढ़ती है।

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण में अधिकतम संभव ऊँचाई प्राप्त होती है क्योंकि पूरा प्रारंभिक वेग ऊर्ध्वाधर दिशा में होता है।

04प्रक्षेपण कोण और उड़ान समय

अब हवा में रहने के समय पर विचार करें।

ऐसे प्रक्षेप्य के लिए जो वापस अपने प्रक्षेपण की ऊँचाई पर उतरता है, ऊर्ध्वाधर गति के ऊपर जाने और नीचे आने वाले भाग सममित होते हैं।

अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय समीकरण

\[
v_y=u_y-gt.
\]

से मिलता है।

शीर्ष बिंदु पर \(v_y=0\), इसलिए

\[
t_{\text{up}}=\frac{u_y}{g}.
\]

कुल उड़ान समय \(T\) इसका दोगुना है:

\[
T=\frac{2u_y}{g}.
\]

\(u_y=u\sin\theta\) रखने पर,

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

इसलिए, स्थिर प्रक्षेपण चाल के लिए,

\[
T\propto\sin\theta.
\]

अधिक खड़ा प्रक्षेपण अधिक समय तक हवा में रहता है।

कभी-कभी इसे परास के साथ भ्रमित कर दिया जाता है। अधिक समय तक हवा में रहने से ऐसा लग सकता है कि क्षैतिज दूरी भी अधिक होनी चाहिए। लेकिन अधिक खड़े प्रक्षेपण का क्षैतिज वेग भी कम होता है। परास इन दोनों प्रभावों पर एक साथ निर्भर करता है।

05प्रक्षेपण कोण और क्षैतिज परास

आदर्श प्रक्षेप्य मॉडल में क्षैतिज त्वरण शून्य होता है, इसलिए

\[
R=u_xT,
\]

जहाँ \(R\) मीटर में क्षैतिज परास है।

इनका उपयोग करते हुए

\[
u_x=u\cos\theta
\]

और

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g},
\]

हमें मिलता है

\[
R=(u\cos\theta)\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right).
\]

अतः,

\[
R=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}.
\]

सर्वसमिका

\[
2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta,
\]

का उपयोग करने पर परास का समीकरण बनता है

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

इस समीकरण में एक महत्वपूर्ण और आश्चर्यजनक परिणाम छिपा है।

परास \(\sin2\theta\) पर निर्भर करता है, केवल \(\sin\theta\) या \(\cos\theta\) पर नहीं।

06\(45^\circ\) पर अधिकतम परास क्यों मिलता है?

स्थिर \(u\) और \(g\) के लिए,

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}
\]

में केवल \(\sin2\theta\) बदल सकता है।

sine का सबसे बड़ा संभव मान \(1\) है। इसलिए अधिकतम परास तब मिलता है जब

\[
\sin2\theta=1.
\]

इसका अर्थ है

\[
2\theta=90^\circ
\]

और इसलिए

\[
\theta=45^\circ.
\]

अतः समान ऊँचाई से प्रक्षेपित और उसी ऊँचाई पर उतरने वाले आदर्श प्रक्षेप्य का अधिकतम परास \(45^\circ\) पर होता है।

ध्यान दें कि इसका क्या अर्थ नहीं है। इसका अर्थ यह नहीं कि हर प्रक्षेप्य समस्या में \(45^\circ\) सर्वोत्तम प्रक्षेपण कोण है। यदि अवतरण बिंदु प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर या नीचे हो, वायु प्रतिरोध महत्वपूर्ण हो, या कोई बाधा पथ को सीमित करती हो, तो उत्तर बदल सकता है।

07पूरक कोणों का परास समान होता है

अब मूल \(30^\circ\) और \(60^\circ\) वाली पहेली पर लौटें।

\(30^\circ\) के लिए,

\[
\sin(2\theta)=\sin60^\circ.
\]

\(60^\circ\) के लिए,

\[
\sin(2\theta)=\sin120^\circ.
\]

लेकिन

\[
\sin60^\circ=\sin120^\circ.
\]

इसलिए दोनों के परास समान हैं।

अधिक सामान्य रूप से, ऐसे दो प्रक्षेपण कोण जिनका योग \(90^\circ\) हो, समान परास देते हैं, बशर्ते प्रक्षेपण चाल और अवतरण ऊँचाई समान हों।

उदाहरणों में शामिल हैं:

• \(20^\circ\) और \(70^\circ\),
• \(35^\circ\) और \(55^\circ\),
• \(40^\circ\) और \(50^\circ\)।

इन्हें पूरक कोण कहा जाता है।

इनका परास समान होता है, लेकिन इनके प्रक्षेप-पथ समान नहीं होते।

कम कोण वाले प्रक्षेप्य का क्षैतिज घटक बड़ा होता है, इसलिए वह जमीन के ऊपर क्षैतिज दूरी जल्दी तय करता है।

अधिक कोण वाले प्रक्षेप्य का ऊर्ध्वाधर घटक बड़ा होता है, इसलिए वह हवा में कहीं अधिक समय बिताता है।

जब कोण पूरक होते हैं, तो ये दोनों प्रभाव ठीक एक-दूसरे को संतुलित कर देते हैं।

08ऊँचाई, समय और परास की सीधी तुलना

स्थिर प्रक्षेपण चाल और समान प्रक्षेपण तथा अवतरण ऊँचाइयों के लिए:

उदाहरण के लिए, \(u=20\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) लें।

यहाँ \(60^\circ\) वाला प्रक्षेप्य \(30^\circ\) वाले प्रक्षेप्य की तुलना में तीन गुना ऊँचाई तक जाता है और कहीं अधिक समय तक हवा में रहता है, फिर भी दोनों के परास समान हैं।

इसीलिए केवल पथ के आकार को देखकर परास का अनुमान लगाना भ्रामक हो सकता है।

09सबसे लुभावनी गलत धारणा

एक सामान्य अनुमान है:

बड़ा प्रक्षेपण कोण अधिक परास देता है क्योंकि प्रक्षेप्य अधिक समय तक हवा में रहता है।

इस कथन का पहला भाग सही है। यदि प्रक्षेपण चाल स्थिर रहे, तो कोण बढ़ाने से उड़ान समय बढ़ता है।

समस्या यह है कि साथ ही क्षैतिज वेग घटता है:

\[
u_x=u\cos\theta.
\]

\(0^\circ\) के पास प्रक्षेप्य के पास पर्याप्त क्षैतिज चाल होती है, लेकिन हवा में रहने का समय लगभग नहीं होता।

\(90^\circ\) के पास उसके पास पर्याप्त उड़ान समय होता है, लेकिन क्षैतिज चाल लगभग नहीं होती।

अधिकतम परास इन दोनों चरम स्थितियों के बीच मिलता है, जहाँ दोनों प्रभाव संतुलित होते हैं। समान प्रक्षेपण और अवतरण ऊँचाइयों के लिए यह संतुलन \(45^\circ\) पर होता है।

एक और लुभावना शॉर्टकट यह कहना है कि पूरक कोणों का परास हमेशा समान होता है। ऐसा नहीं है।

यह परिणाम समान प्रक्षेपण चाल और समान प्रक्षेपण तथा अवतरण ऊँचाइयों पर निर्भर करता है। किसी चट्टान से प्रक्षेपित करने पर अतिरिक्त गिरने का समय इस संतुलन को बदल देता है।

10यदि प्रक्षेप्य अलग ऊँचाई पर उतरता है तो क्या होगा?

मान लें कि प्रक्षेप्य किसी चट्टान से प्रक्षेपित किया जाता है।

\(30^\circ\) और \(60^\circ\) के प्रक्षेपण अब जमीन से टकराने से पहले आवश्यक रूप से समान क्षैतिज दूरी तय नहीं करेंगे, भले ही उनकी प्रक्षेपण चाल समान हो।

क्यों नहीं?

समीकरण

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}
\]

ऊर्ध्वाधर सममिति से प्राप्त हुआ था। इसमें यह माना गया है कि प्रक्षेप्य अपनी मूल ऊँचाई पर उतरता है।

चट्टान से प्रक्षेपित होने पर प्रक्षेप्य प्रक्षेपण स्तर से नीचे निकलने के बाद भी गिरता रहता है। तब कुल उड़ान समय ऊर्ध्वाधर विस्थापन के समीकरण

\[
\Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2.
\]

से ज्ञात करना पड़ता है।

एक बार उड़ान समय ज्ञात हो जाए, क्षैतिज परास फिर भी

\[
R=u_xt.
\]

ही होता है।

इसलिए घटकों का विचार अब भी लागू रहता है। सुविधाजनक समान-स्तर वाले सूत्र लागू नहीं रहते।

यह HSC में एक महत्वपूर्ण आदत है: किसी याद किए हुए प्रक्षेप्य सूत्र का उपयोग करने से पहले उस भौतिक शर्त की जाँच करें जिसके कारण वह सूत्र सत्य है।

11प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक प्रक्षेप्य को समतल जमीन से \(18\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल से क्षैतिज से \(40^\circ\) ऊपर के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

गणना करें:

a. इसकी अधिकतम ऊँचाई,

b. इसका कुल उड़ान समय, और

c. इसका क्षैतिज परास।

समाधान 1

प्रक्षेप्य \(6.83\ \mathrm{m}\) की अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचता है, \(2.36\ \mathrm{s}\) तक हवा में रहता है, और क्षैतिज दिशा में \(32.6\ \mathrm{m}\) चलता है।

पहले प्रारंभिक वेग को घटकों में विभाजित करें:

\[
\begin{aligned}
u_x&=18\cos40^\circ\\
&=13.79\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

और

\[
\begin{aligned}
u_y&=18\sin40^\circ\\
&=11.57\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

अधिकतम ऊँचाई के लिए,

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{u_y^2}{2g}\\
&=\frac{(11.57)^2}{2(9.8)}\\
&=6.83\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

कुल उड़ान समय के लिए,

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2u_y}{g}\\
&=\frac{2(11.57)}{9.8}\\
&=2.36\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

इसलिए परास है

\[
\begin{aligned}
R&=u_xT\\
&=(13.79)(2.36)\\
&=32.6\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

एक लुभावनी गलती पूरे \(18\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) को क्षैतिज वेग मान लेना है। केवल क्षैतिज घटक ही प्रक्षेप्य को जमीन के ऊपर क्षैतिज दिशा में आगे ले जाता है।

प्रश्न 2

एक प्रक्षेपक किसी प्रक्षेप्य को समतल जमीन से \(28\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल से छोड़ता है। प्रक्षेप्य को समान ऊँचाई पर \(60.0\ \mathrm{m}\) दूर जाकर उतरना है।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए:

a. दोनों संभव प्रक्षेपण कोण ज्ञात करें,

b. प्रत्येक प्रक्षेप-पथ का उड़ान समय ज्ञात करें, और

c. प्रत्येक प्रक्षेप-पथ की अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करें।

समाधान 2

दो संभव प्रक्षेपण कोण हैं: लगभग \(24.3^\circ\) और \(65.7^\circ\)। दोनों का परास समान है, लेकिन उनके उड़ान समय और अधिकतम ऊँचाइयाँ बहुत अलग हैं।

समान-स्तर वाले परास समीकरण का उपयोग करें

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

\(R=60.0\ \mathrm{m}\), \(u=28\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), और \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) रखने पर:

\[
\begin{aligned}
60.0&=\frac{28^2\sin2\theta}{9.8}\\
\sin2\theta&=\frac{(60.0)(9.8)}{28^2}\\
&=0.750.
\end{aligned}
\]

एक हल है

\[
2\theta=\sin^{-1}(0.750)=48.59^\circ.
\]

लेकिन दूसरे चतुर्थांश में भी sine धनात्मक होता है, इसलिए

\[
2\theta=180^\circ-48.59^\circ=131.41^\circ.
\]

अतः,

\[
\theta=24.30^\circ
\]

या

\[
\theta=65.70^\circ.
\]

कोणों का योग \(90^\circ\) है, जैसा कि समान परास वाले पूरक प्रक्षेप-पथों के लिए अपेक्षित है।

निचले प्रक्षेप-पथ के लिए,

\[
u_y=28\sin24.30^\circ=11.52\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

अतः

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2(11.52)}{9.8}\\
&=2.35\ \mathrm{s},
\end{aligned}
\]

और

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{(11.52)^2}{19.6}\\
&=6.77\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

ऊँचे प्रक्षेप-पथ के लिए,

\[
u_y=28\sin65.70^\circ=25.52\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

अतः,

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2(25.52)}{9.8}\\
&=5.21\ \mathrm{s},
\end{aligned}
\]

और

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{(25.52)^2}{19.6}\\
&=33.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

लुभावना तरीका यह है कि कैलकुलेटर से \(2\theta=48.59^\circ\) मिलने के बाद वहीं रुक जाएँ। ऐसा करने पर दूसरा भौतिक प्रक्षेप-पथ छूट जाता है। चूँकि \(0^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच दो कोणों पर sine का समान धनात्मक मान हो सकता है, इसलिए समान स्तर पर पहुँचने योग्य लक्ष्य के लिए सामान्यतः एक कम-कोण और एक अधिक-कोण वाला हल होता है।

प्रश्न 3

एक प्रक्षेप्य को जमीन के स्तर से \(25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल से छोड़ा जाता है। लक्ष्य जमीन पर और अधिक दूर है, लेकिन प्रक्षेपक से \(20.0\ \mathrm{m}\) दूर एक ऊर्ध्वाधर दीवार है। दीवार \(8.00\ \mathrm{m}\) ऊँची है।

दो प्रक्षेपण कोणों पर विचार किया जा रहा है: \(30^\circ\) और \(60^\circ\)।

a. दिखाएँ कि यदि कोई बाधा न हो तो दोनों प्रक्षेपण कोण समान परास देते हैं।

b. जब प्रत्येक प्रक्षेप्य दीवार तक पहुँचता है, तब उसकी ऊँचाई ज्ञात करें।

c. बताइए कि कौन-सा प्रक्षेप-पथ दीवार को पार करके लक्ष्य की ओर आगे जा सकता है।

समाधान 3

दोनों प्रक्षेप्यों का बाधा-रहित परास \(55.2\ \mathrm{m}\) है, लेकिन केवल \(60^\circ\) वाला प्रक्षेप्य \(8.00\ \mathrm{m}\) ऊँची दीवार को पार करता है।

परास के लिए,

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

\(30^\circ\) पर,

\[
\begin{aligned}
R_{30}&=\frac{25.0^2\sin60^\circ}{9.8}\\
&=55.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

\(60^\circ\) पर,

\[
\begin{aligned}
R_{60}&=\frac{25.0^2\sin120^\circ}{9.8}\\
&=55.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

परास समान हैं क्योंकि \(30^\circ\) और \(60^\circ\) पूरक हैं।

लेकिन समान परास का अर्थ समान पथ नहीं है। क्षैतिज स्थिति \(x\) पर ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta},
\]

का उपयोग करें, जहाँ \(x\) और \(y\) को प्रक्षेपण बिंदु से मापा जाता है।

\(30^\circ\) वाले प्रक्षेप्य के लिए \(x=20.0\ \mathrm{m}\) पर,

\[
\begin{aligned}
y&=(20.0)\tan30^\circ
-\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^230^\circ}\\
&=7.37\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

चूँकि \(7.37\ \mathrm{m}<8.00\ \mathrm{m}\), इसलिए यह दीवार से टकराता है।

\(60^\circ\) वाले प्रक्षेप्य के लिए,

\[
\begin{aligned}
y&=(20.0)\tan60^\circ
-\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^260^\circ}\\
&=22.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

चूँकि \(22.1\ \mathrm{m}>8.00\ \mathrm{m}\), इसलिए यह दीवार को पार कर जाता है।

लुभावना निष्कर्ष यह है कि समान परास होने से दोनों प्रक्षेपण कोण एक-दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जा सकते हैं। वे केवल तभी परस्पर बदलने योग्य हैं जब एकमात्र बाध्यता अवतरण बिंदु हो। जैसे ही कोई बाधा किसी मध्यवर्ती स्थिति पर पथ की ऊँचाई को महत्वपूर्ण बना देती है, दोनों प्रक्षेप-पथ बहुत अलग व्यवहार करते हैं।

प्रश्न 4

एक प्रक्षेप्य को समतल जमीन से प्रक्षेपित किया गया था। वीडियो विश्लेषण से पता चलता है कि जब वह प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज दिशा में \(30.0\ \mathrm{m}\) दूर है, तब उसके वेग घटक हैं

\[
v_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

और

\[
v_y=+3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

ज्ञात करें:

a. प्रक्षेपण के बाद बीता समय,

b. प्रारंभिक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर वेग घटक,

c. प्रक्षेपण चाल और प्रक्षेपण कोण,

d. अवलोकन के क्षण प्रक्षेप्य की ऊँचाई,

e. इसकी अधिकतम ऊँचाई, और

f. इसका अंतिम क्षैतिज परास।

समाधान 4

प्रक्षेप्य को लगभग \(27.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल और \(56.4^\circ\) के कोण पर प्रक्षेपित किया गया था, न कि \(11.3^\circ\) की उस दिशा में जिस ओर अवलोकन के क्षण उसका वेग संयोग से संकेत कर रहा है। इसकी अधिकतम ऊँचाई लगभग \(26.1\ \mathrm{m}\) है, और इसका परास लगभग \(69.2\ \mathrm{m}\) है।

मुख्य बाध्यता यह है कि क्षैतिज वेग स्थिर रहता है। इसलिए,

\[
u_x=v_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

बीता हुआ समय क्षैतिज गति से मिलता है:

\[
\begin{aligned}
x&=u_xt\\
30.0&=(15.0)t\\
t&=2.00\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

ऊर्ध्वाधर दिशा में,

\[
v_y=u_y-gt.
\]

अतः,

\[
\begin{aligned}
u_y&=v_y+gt\\
&=3.00+(9.8)(2.00)\\
&=22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

प्रक्षेपण चाल है

\[
\begin{aligned}
u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\
&=\sqrt{15.0^2+22.6^2}\\
&=27.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

प्रक्षेपण कोण के लिए

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}.
\]

अतः,

\[
\begin{aligned}
\theta&=\tan^{-1}\left(\frac{22.6}{15.0}\right)\\
&=56.4^\circ.
\end{aligned}
\]

अब \(t=2.00\ \mathrm{s}\) पर ऊँचाई ज्ञात करें:

\[
\begin{aligned}
y&=u_yt-\frac{1}{2}gt^2\\
&=(22.6)(2.00)-\frac{1}{2}(9.8)(2.00)^2\\
&=25.6\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

अधिकतम ऊँचाई है

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{u_y^2}{2g}\\
&=\frac{(22.6)^2}{19.6}\\
&=26.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

यह तर्कसंगत है: प्रक्षेप्य पहले ही \(25.6\ \mathrm{m}\) की ऊँचाई पर है और अभी भी केवल \(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) से ऊपर की ओर जा रहा है, इसलिए वह अपने उच्चतम बिंदु के बहुत पास होना चाहिए।

कुल उड़ान समय है

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2u_y}{g}\\
&=\frac{2(22.6)}{9.8}\\
&=4.61\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

अतः परास है

\[
\begin{aligned}
R&=u_xT\\
&=(15.0)(4.61)\\
&=69.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

लुभावना तरीका वर्तमान वेग का कोण निकालना है:

\[
\tan^{-1}\left(\frac{3.00}{15.0}\right)=11.3^\circ
\]

और उसे प्रक्षेपण कोण मान लेना। लेकिन गुरुत्वाकर्षण पहले ही ऊर्ध्वाधर वेग को \(22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) से घटाकर \(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) कर चुका है। गति की वर्तमान दिशा मूल प्रक्षेपण दिशा नहीं है।

प्रश्न 5

एक प्रक्षेप्य को जमीन के स्तर से \(25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। यह देखा जाता है कि वह प्रक्षेपक से क्षैतिज दिशा में \(20.0\ \mathrm{m}\) दूर और प्रक्षेपण स्तर से \(10.0\ \mathrm{m}\) ऊपर स्थित बिंदु से गुजरता है।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

a. \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच सभी संभव प्रक्षेपण कोण ज्ञात करें।

b. प्रत्येक प्रक्षेपण कोण के लिए निर्धारित करें कि देखे गए बिंदु से गुजरते समय प्रक्षेप्य ऊपर जा रहा है या नीचे।

c. प्रत्येक प्रक्षेप-पथ का अंतिम परास ज्ञात करें।

d. समझाएँ कि दोनों प्रक्षेपण कोण पूरक क्यों नहीं हैं, जबकि एक ही प्रक्षेपण चाल उसी बिंदु से गुजरने वाले दो संभव प्रक्षेप-पथ उत्पन्न करती है।

समाधान 5

दो संभव प्रक्षेपण कोण हैं, लगभग \(36.6^\circ\) और \(79.9^\circ\)। \(36.6^\circ\) वाला प्रक्षेप्य उस बिंदु से ऊपर जाते समय गुजरता है और अंततः प्रक्षेपक से लगभग \(61.1\ \mathrm{m}\) दूर गिरता है। \(79.9^\circ\) वाला प्रक्षेप्य उसी बिंदु से नीचे आते समय गुजरता है और प्रक्षेपक से केवल लगभग \(21.9\ \mathrm{m}\) दूर गिरता है।

महत्वपूर्ण बाध्यता यह है कि प्रक्षेप्य को किसी मध्यवर्ती बिंदु से गुजरना आवश्यक है, उस बिंदु पर उतरना नहीं। इसलिए पूरक कोणों वाला परिचित परिणाम यहाँ लागू नहीं होता।

प्रक्षेप-पथ समीकरण का उपयोग करें

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}.
\]

\(x=20.0\ \mathrm{m}\), \(y=10.0\ \mathrm{m}\), और \(u=25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) रखने पर:

\[
10.0
\=
20.0\tan\theta
\-
\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^2\theta}.
\]

चूँकि

\[
\frac{(9.8)(20.0)^2}{2(25.0)^2}=3.136,
\]

इसलिए

\[
10.0=20.0\tan\theta-3.136\sec^2\theta.
\]

अब

\[
\sec^2\theta=1+\tan^2\theta.
\]

का उपयोग करें।

मान लें

\[
p=\tan\theta.
\]

तब

\[
10.0=20.0p-3.136(1+p^2).
\]

पुनर्व्यवस्थित करने पर,

\[
3.136p^2-20.0p+13.136=0.
\]

द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए,

\[
p=
\frac{20.0\pm\sqrt{20.0^2-4(3.136)(13.136)}}
{2(3.136)}.
\]

इससे मिलता है

\[
p=0.743
\]

या

\[
p=5.63.
\]

अतः,

\[
\theta=\tan^{-1}(0.743)=36.6^\circ
\]

या

\[
\theta=\tan^{-1}(5.63)=79.9^\circ.
\]

अब निर्धारित करें कि प्रत्येक प्रक्षेप्य \(x=20.0\ \mathrm{m}\) पर पहुँचने पर क्या कर रहा है।

\(36.6^\circ\) वाले प्रक्षेपण के लिए,

\[
\begin{aligned}
u_x&=25.0\cos36.6^\circ\\
&=20.06\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

और

\[
u_y=25.0\sin36.6^\circ=14.92\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

\(x=20.0\ \mathrm{m}\) तक पहुँचने में लगा समय है

\[
\begin{aligned}
t&=\frac{x}{u_x}\\
&=\frac{20.0}{20.06}\\
&=0.997\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

वहाँ इसका ऊर्ध्वाधर वेग है

\[
\begin{aligned}
v_y&=u_y-gt\\
&=14.92-(9.8)(0.997)\\
&=+5.15\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

धनात्मक चिह्न का अर्थ है कि यह अभी भी ऊपर जा रहा है।

इसका कुल परास है

\[
\begin{aligned}
R&=\frac{u^2\sin2\theta}{g}\\
&=\frac{25.0^2\sin(73.2^\circ)}{9.8}\\
&=61.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

\(79.9^\circ\) वाले प्रक्षेपण के लिए,

\[
\begin{aligned}
u_x&=25.0\cos79.9^\circ\\
&=4.37\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

और

\[
u_y=25.0\sin79.9^\circ=24.62\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

\(x=20.0\ \mathrm{m}\) तक पहुँचने का समय है

\[
\begin{aligned}
t&=\frac{20.0}{4.37}\\
&=4.58\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

तब इसका ऊर्ध्वाधर वेग है

\[
\begin{aligned}
v_y&=24.62-(9.8)(4.58)\\
&=-20.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

ऋणात्मक चिह्न का अर्थ है कि यह नीचे उतर रहा है।

इसका कुल परास है

\[
\begin{aligned}
R&=\frac{25.0^2\sin(159.9^\circ)}{9.8}\\
&=21.9\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

इसलिए अधिक कोण वाला प्रक्षेप्य देखे गए बिंदु से जमीन पर गिरने से कुछ ही समय पहले गुजरता है।

लुभावना अनुमान यह है कि दो मान्य प्रक्षेपण कोण अवश्य पूरक होंगे। वह नियम एक अलग परिस्थिति से संबंधित है: समान चाल से किए गए दो प्रक्षेपण जो समान क्षैतिज स्थिति और प्रक्षेपण की ऊँचाई पर उतरते हैं।

यहाँ बिंदु \((20.0\ \mathrm{m},10.0\ \mathrm{m})\) अवतरण बिंदु नहीं है। एक प्रक्षेप-पथ ऊपर चढ़ते हुए जल्दी वहाँ पहुँचता है, जबकि दूसरा नीचे उतरते हुए बहुत बाद में वहाँ पहुँचता है। कोणों का योग \(90^\circ\) होने का कोई कारण नहीं है, और वास्तव में

\[
36.6^\circ+79.9^\circ=116.5^\circ.
\]

प्रक्षेपण कोण की समस्याओं से मिलने वाला व्यापक निष्कर्ष यही है। कोण ऊँचाई, समय और परास को स्वतंत्र रूप से नियंत्रित नहीं करता। वह एक ही प्रारंभिक वेग के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर भागों को बदलता है, और समस्या की शर्तें तय करती हैं कि इन दोनों घटकों को किस तरह मिलकर काम करना होगा। अगला उपयोगी कदम यह पहचानना सीखना है कि सुविधाजनक समान-स्तर वाले सूत्र कब लागू होते हैं, और कब इसके बजाय क्षैतिज तथा ऊर्ध्वाधर गति-विज्ञान के समीकरणों पर वापस जाना आवश्यक है।