HSC物理の特殊相対性理論：わかりやすい解説と計算例
相対性理論を難解なものとして捉えずに理解しましょう。このHSC物理ガイドでは、基準系、同時性の相対性、時間の遅れ、長さの収縮、質量とエネルギーについて、わかりやすい解説と計算例を通して説明します。
宇宙船が地球のそばを \(0.80c\) で通過しています。地球側では、宇宙船の時計の2回の刻みの間隔を、宇宙飛行士が測定するよりも長いと判断します。一方、宇宙飛行士は、地球の時計は遅く進むと言います。続きを読む前に、どちらか一方の観測者が単純に間違っているのか、予想してみましょう。答えは「いいえ」です。それぞれが異なる慣性系を使っており、高速での時間と空間の測定方法が異なるために、両者の判断が食い違うのです。
同じ2回の刻みでも、経過時間は異なる
| 宇宙飛行士の静止系 | Δτ = 3.0 s 2回の刻みはどちらも船内の同じ場所で起きる。 船内時計は固有時間を測定する。 |
|---|---|
| 地球の基準系 | Δt = γΔτ = 5.0 s 地球の同期された時計が時間間隔を割り当てる。 同じ2つの事象。どちらの時計も故障していない。 |
01基準系：それぞれの観測者は実際に何を測定しているのか？
基準系とは、ある事象の位置と時刻を割り当てるための座標系です。ものさしと、互いに同期された時計のネットワークによって表すことができます。
慣性系とは、加速も回転もしていない基準系のことです。このガイドでは、重力の影響は無視でき、地球と宇宙船を比較する際には、両者の相対速度が一定であると仮定します。
日常生活では、時間は普遍的なものとして扱えることがほとんどです。2つの事象が自分にとって同時に起きたなら、ほかの人にとっても同時に起きたはずだと考えるでしょう。
特殊相対性理論は、この前提に疑問を投げかけます。その出発点となるのは、次の2つの原理です。
- 物理法則は、すべての慣性系で同じである。
- すべての慣性系の観測者は、光源や観測者自身の運動状態にかかわらず、真空中の光速を同じ値として測定する。
光速は次のとおりです。
\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
光のビームに向かって移動しているとしましょう。自分がビームに向かう速さを \(v\) とすると、光速は \(c+v\) と測定されると予想するかもしれません。しかし、そうはなりません。測定される光速は、やはり \(c\) です。
この原理が成り立つためには、互いに相対運動している観測者が、時間間隔や長さ、あるいは離れた場所で起きた事象が同時だったかどうかについて、常に一致するとは限らないことになります。
これは、観測者の目に何が見えるかという話ではありません。相対論的な測定では、同期された時計を使い、光が伝わるのにかかる時間も考慮します。その補正を行った後でも、観測結果の食い違いは残ります。
同じ事象、異なる座標
| プラットフォームの基準系 S | A (0 s, 0 m); B (0 s, 600 m) 同期された時計と位置目盛りを備える。 事象AとBは同時に起きる。 |
|---|---|
| ロケットの基準系 S′ | A (0 s, 0 m); B (−2.67 μs, 1000 m) 同期された時計と位置目盛りを備える。 事象BはAより早く起きる。 |
02同時性：2つの事象は、基準系によって異なる時刻に起きることがある
長いプラットフォームの両端に、AとBという2つのランプがあると想像してください。プラットフォームに対して静止している時計は同期されており、両方のランプがプラットフォームの時刻 \(t=0\) に点灯します。
続きを読む前に、プラットフォームのそばを通過するロケットも、この2つの点灯が同時に起きたと判断しなければならないのか、予想してみましょう。
答えは「いいえ」です。ロケットは、2つの点灯に異なる時刻を割り当てることがあります。
同時とは、指定された基準系において、2つの事象の時間座標が等しいことを意味します。すべての慣性系が必ず同じ時刻を割り当てるという意味ではありません。
状況を明確にするため、次のように仮定します。
- ランプAは \(x=0\) にある。
- ランプBは \(x=600\text{ m}\) にある。
- プラットフォームは基準系 \(S\) に対して静止している。
- ロケットの基準系 \(S'\) は、\(S\) に対して \(x\) 軸の正の方向に速さ \(v\) で移動している。
プラットフォームの基準系では、2つの点灯は同時です。ロケットの基準系では、Bの点灯はAの点灯よりも早く起きたと判断されます。
なぜ、この順序になるのでしょうか。2つの事象について、時間座標の変換式は次のとおりです。
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
ここで、
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]
\(\Delta t=t_B-t_A\) と \(\Delta x=x_B-x_A\) は、基準系 \(S\) で測定された時間差と位置の差です。プライム記号の付いた時間差は、\(S\) に対して \(x\) 軸の正の方向に移動する基準系 \(S'\) で測定されます。
プラットフォームで同時に起きる点灯については、
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]
したがって、
\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]
負の符号は、ロケットの基準系ではBの点灯がAの点灯より早く起きることを示しています。
同時性の相対性：必要なタイムライン構成
| プラットフォームの基準系 S | Δt = 0 事象AとBは同じ時間座標を持つ。 |
|---|---|
| ロケットの基準系 S′ | Δt′ < 0 事象Bは事象Aより早く起きる。 |
重要な注意点が1つあります。観測者が2つの光の点滅を受け取る順序だけでは、それぞれの事象がいつ起きたかを証明することはできません。光が観測者に届くまでには時間がかかり、光が進む距離も異なる場合があるからです。同時性の相対性とは、光の伝播時間を考慮したうえで、同期された時計によって割り当てられる時刻に関するものです。
この違いは、1つの時計の2回の刻みではなく、離れた場所で起きる2つの事象を扱う問題で、特に重要になります。
03時間の遅れ：移動する時計では、刻みの間隔が長く測定される
ここで、宇宙船に取り付けられた1つの時計の、2回の刻みを考えましょう。
この2回の刻みは、宇宙船の静止系で同じ場所において起きます。その時計自身が測定する経過時間を固有時間といい、\(\Delta\tau\) と表します。
宇宙船が速さ \(v\) で移動している別の慣性系の観測者は、同じ2つの事象に、より長い時間間隔を割り当てます。これが時間の遅れです。
関係式は次のとおりです。
\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]
ここで、
- \(\Delta t\) は、時計が移動している基準系で測定される時間間隔。
- \(\Delta\tau\) は、時計の静止系でその時計自身が測定する固有時間。
- \(\gamma\) はローレンツ因子。
- \(v\) は基準系間の相対速度。
- \(c\) は光速。
\(\gamma\geq1\) であるため、移動する時計の刻みの間隔が、その固有時間の間隔より短くなることはありません。
例えば、\(v=0.80c\) のとき、
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]
もう一方の基準系では、時計自身が測定する時間間隔の \(1.67\) 倍の長さとして測定されます。
1つの時計、2つの異なる時間間隔
| 宇宙船の基準系 | Δτ = 10.0 min 2回の刻みはどちらも船内の同じ場所で起きる。 船内時計は固有時間を測定する。 |
|---|---|
| 実験室の基準系 | Δt = γΔτ = 16.7 min 船内時計は 0.80c で移動している。 実験室の同期された時計は、より長い時間間隔を割り当てる。 |
計算例：高速で移動する宇宙船の時計
宇宙船が地球に対して \(0.80c\) で移動しています。船内の時計は、2回の刻みの間隔を \(10.0\text{ min}\) と測定しました。地球は、同じ2つの刻みにどのような時間間隔を割り当てるでしょうか。
ステップ 1
2回の刻みは、宇宙船の静止系において同じ場所で起きます。そのため、船内の時計の表示が固有時間です。
\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]
ステップ 2
\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]
ステップ 3
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]
地球が割り当てる時間間隔は \(16.7\text{ min}\) であり、宇宙船の時計が示す \(10.0\text{ min}\) より長くなります。宇宙飛行士の時計は、その静止系では正常に動いています。違いが生じるのは、2つの基準系が割り当てる時間間隔です。
なぜ、どちらの観測者も相手の時計が遅く進むと言えるのか？
一見すると矛盾しているように思えます。しかし、観測者たちは、両方の時計について同じ2組の刻みを直接比較しているわけではありません。
地球は、自身の同期された時計のネットワークを使って、宇宙船の時計の刻みに時刻を割り当てます。宇宙飛行士は、別の同期された時計のネットワークを使って、地球の離れた場所にある時計の刻みに時刻を割り当てます。同時性は基準系に依存するため、この2つの比較では、離れた場所で起きる事象に同じ時刻が割り当てられるとは限りません。
宇宙飛行士が方向転換して地球に戻り、再会すると、状況はさらに変わります。この旅では慣性系が変化するため、2人の観測者の全行程はもはや同等ではありません。その結果、2人が経験する固有時間の合計は異なることがあります。
重要な原則はシンプルです。時間の遅れを適用するのは、同じ2つの事象についてであり、その事象が同じ場所で起きる基準系で測定された時間間隔が固有時間です。
04長さの収縮：移動する物体の測定される長さは変化する
時間の遅れは事象間の時間間隔に関するものです。一方、長さの収縮は物体の両端間の距離に関するものです。
静止している宇宙船を考えてみましょう。ものさしで長さを測定すると、\(150\text{ m}\) だったとします。これは固有長 \(L_0\) です。測定が宇宙船の静止系で行われているためです。
次に、宇宙船が高速で地球のそばを通過するとしましょう。地球は、地球の基準系において同じ時刻に、宇宙船の前端と後端の位置を記録することで、その長さを測定します。
最後の条件が重要です。特定の基準系で長さを測定するには、その基準系において両端の位置を同時に記録しなければなりません。
移動する宇宙船について測定される長さは、
\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]
または、同じ意味の式として、
\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]
となります。ここで、
- \(L\) は、物体が移動している基準系で測定される長さ。
- \(L_0\) は、物体の静止系で測定される固有長。
- \(v\) は、測定する基準系に対する物体の速さ。
- \(\gamma\) はローレンツ因子。
収縮するのは、運動方向に平行な寸法だけです。この長さの収縮の関係では、運動方向に垂直な物体の寸法は変化しません。
長さの収縮は運動方向にのみ起こる
| 静止している宇宙船 | L = L₀ L₀ は固有長。 垂直方向の寸法：h₀。 |
|---|---|
| 速さ v で移動する宇宙船 | L = L₀/γ 運動方向に沿って長さが収縮する。 垂直方向の寸法は h₀ のまま。 |
よくある間違いは、宇宙船が自分自身を物理的に押しつぶされたように感じると想像することです。宇宙船の静止系では、自身の長さが短く測定されることはありません。違いが生じるのは、異なる基準系での長さの測定に、それぞれ異なる同時刻の両端の位置が使われるためです。
計算例：検出器のそばを通過する宇宙船
ある探査機の固有長は \(150\text{ m}\) で、静止している検出器のそばを \(0.80c\) で通過します。
次の量を求めましょう。
- 地球が測定する探査機の長さ
- 地球の基準系で、探査機の先端と後端が検出器を通過するまでの時間
- 探査機の基準系で、同じ2つの事象の間の時間
ステップ 1
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
ステップ 2
\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]
地球は、移動する探査機の長さを \(90.0\text{ m}\) と測定します。
ステップ 3
探査機の速さは、
\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
地球の基準系では、探査機の先端と後端の間隔は \(90.0\text{ m}\) です。したがって、両端が静止した検出器を通過するまでの時間は、
\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
ステップ 4
探査機の基準系では、検出器が探査機の固有長 \(150\text{ m}\) 全体を通過していきます。このときの相対速度は同じです。したがって、
\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
先端と後端が検出器を通過する2つの事象は、地球の基準系では同じ場所で起きます。そのため、検出器が測定する \(0.375\,\mu\text{s}\) は固有時間です。探査機の基準系では検出器が移動しているため、時間間隔はより長くなります。
\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]
計算結果は一致しています。同じ2つの事象でも、2つの基準系では時間間隔が異なります。また、探査機の測定される長さは、両端の位置を同時に記録する基準系によって変わります。
同じ通過事象、異なる時間間隔
| 地球の基準系 | A → B: 0.375 μs 探査機の長さ：90 m、検出器は静止している。 |
|---|---|
| 探査機の基準系 | A → B: 0.625 μs 探査機の長さ：150 m、検出器が探査機のそばを通過する。 |
05質量とエネルギー：\(E=mc^2\) は実際には何を意味するのか？
別々に存在していた陽子と中性子から原子核が形成される状況を考えてみましょう。原子核が形成された後、その静止質量は、分離していた粒子の静止質量の合計よりわずかに小さくなります。
物質の一部が、単純に消えてしまったのでしょうか。
いいえ。系はエネルギーを放出しており、放出されたエネルギーも収支に含める必要があります。質量とエネルギーは関係しています。
物体の静止エネルギーは、
\[ \boxed{E_0=mc^2} \]
で表されます。ここで、
- \(E_0\) は静止エネルギー。
- \(m\) は不変質量、すなわち静止質量。
- \(c\) は光速。
静止質量が変化した場合、それに対応する静止エネルギーの変化は、
\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]
因子 \(c^2\) は非常に大きな値です。わずか \(1.0\text{ g}\) の質量差でも、次の静止エネルギーの差に相当します。
\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]
これは、ほんのわずかな質量差に対応する、非常に大きなエネルギーです。
質量は減少するが、全エネルギーは保存される
| エネルギー放出前 | Rest mass = m 初期の静止エネルギー：E₀ = mc²。 |
|---|---|
| 放射線放出後 | Remaining mass = m − Δm 放射線が ΔE = Δmc² のエネルギーを運び去る。 残った系の静止エネルギー＋放射線のエネルギー＝初期エネルギー。 |
系にエネルギーが出入りすると、何が変化するのか？
系からエネルギーが外へ出ていくと、残された系の静止質量は小さくなることがあります。反対に、系にエネルギーが加えられ、それが内部に保持されると、加える前と後の系を静止状態で比較した場合、その静止質量は増加します。
これは、質量が減少するとエネルギーが破壊されるという意味ではありません。孤立系では、全エネルギーが保存されます。エネルギーは放射や運動エネルギーとして残された物体の外へ出ていくことがありますが、消滅するわけではありません。
結合した原子核は、わかりやすい例です。分離した核子の静止質量の合計と、結合した原子核の静止質量との差を質量欠損と呼びます。これに対応するエネルギーの差が結合エネルギーです。
必要な注意点：静止質量と全エネルギーは同じではない
式 \(E_0=mc^2\) が表すのは静止エネルギーです。速さ \(v\) で移動する物体の全エネルギーは、
\[ E=\gamma mc^2, \]
運動エネルギーは、
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]
となります。
ここで、\(m\) は引き続き物体の不変静止質量を表します。因子 \(\gamma\) は物体の全エネルギーを変化させるのであって、不変質量を変化させるのではありません。
古い教科書などでは、\(\gamma m\) を相対論的質量と呼ぶことがあります。現在の一般的な考え方では、質量は不変量として扱い、エネルギーと運動量によって変化を記述します。
例えば、光子は静止質量がゼロであるにもかかわらず、エネルギーと運動量を持っています。したがって、\(E=mc^2\) を、あらゆる形態のエネルギーが必ずゼロではない静止質量を持つ粒子に属しているという意味に解釈してはいけません。
計算例：質量差からエネルギーを求める
ある静止した発生源が放射線を放出し、その残った静止質量が \(0.50\text{ mg}\) 減少しました。質量差のすべてが、放射線によって運び去られたエネルギーに対応すると仮定して、放出されたエネルギーを見積もりましょう。
ステップ 1
\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]
ステップ 2
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]
ステップ 3
放出されたエネルギーは \(4.5\times10^{10}\text{ J}\) です。わずか \(0.50\text{ mg}\) の質量差が、非常に大きなエネルギーに相当します。
発生源に残った静止質量は減少しましたが、エネルギーが消滅したわけではありません。放出された放射線も含めれば、全エネルギーの収支は一貫しています。
06適切な関係式の選び方
特殊相対性理論の問題を確実に解くには、公式を選ぶ前に、何が測定されているのかを特定することが最も重要です。
| 問題で説明されている内容 | 関連する関係式 | 代入する前に確認すること |
|---|---|---|
| 移動する時計の2回の刻みの間の時間 | \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\) | 2つの事象は、その時計の静止系で同じ場所に起きているか？ |
| 観測者に対して移動する物体の長さ | \(L=L_0/\gamma\) | \(L_0\) は固有長か？ 観測者の基準系で両端を同時に測定しているか？ |
| 異なる位置で起きる2つの事象 | 同時性の相対性 | 時刻を比較する基準系で、2つの事象は異なる場所に起きているか？ |
| 系の静止エネルギーの変化 | \(\Delta E_0=\Delta m c^2\) | どの系を考えているか？ エネルギーはどこへ移動したのか？ |
次の4点を確認すると、よくある間違いの多くを防げます。
- ローレンツ因子を確認する。 \(0\leq v<c\) では、\(\gamma\geq1\) となる。
- 事象を確認する。 時間の遅れは、どのような2つの事象にも適用できる規則ではない。固有時間の条件が重要である。
- 測定方法を確認する。 長さの収縮は運動方向に沿って適用され、長さを測定するには、測定する基準系で両端の位置を同時に記録する必要がある。
- エネルギー収支を確認する。 ある物体の静止質量が減少しても、孤立系の全エネルギーが消滅したことにはならない。
07問題と解答
問題1
探査機に固定された時計が、2回の刻みの間隔を \(3.0\text{ s}\) と測定しました。探査機は実験室に対して \(0.60c\) で移動しています。
実験室が、同じ2回の刻みに割り当てる時間間隔を計算しなさい。
解答1
実験室が割り当てる時間間隔は \(3.75\text{ s}\)、有効数字2桁では \(3.8\text{ s}\) です。
2回の刻みは探査機の静止系で同じ場所に起きるため、船内の時計が測定する時間は固有時間です。
ステップ1：ローレンツ因子を計算する。
\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]
ステップ2：時間の遅れの式を適用する。
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]
実験室で測定される時間間隔は、探査機の時計が測定する時間間隔より長くなります。この結果は、時間の遅れと一致しています。
問題2
探査機の固有長は \(80\text{ m}\) です。格納庫は、その静止系で長さ \(60\text{ m}\) です。探査機は \(0.80c\) で格納庫を通過します。
ある技術者は、探査機の収縮した長さは格納庫より短いため、ある瞬間に探査機全体を格納庫の中に収められると主張しています。一方、操縦士は、自分の基準系では格納庫のほうが探査機より短いため、それは不可能だと主張しています。
瞬時に開閉できる理想的なドアを仮定し、物質的な損傷は無視してください。
2人が計算した長さは、どちらも正しいでしょうか。探査機全体が、ある瞬間に格納庫の中に入ることは可能でしょうか。2つの説明がどのように両立するのか説明しなさい。
解答2
2人が計算した長さは、どちらも正しいです。意見が食い違うのは、同時性が基準系に依存するため、「ある瞬間に探査機全体が格納庫の中にある」という判断が異なるからです。
ステップ1：ローレンツ因子を計算する。
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
ステップ2：格納庫の基準系で探査機の長さを計算する。
探査機の固有長は \(L_0=80\text{ m}\) です。
\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]
\(48\text{ m}<60\text{ m}\) なので、探査機が適切な位置にあれば、格納庫の基準系で、ある瞬間に探査機全体を格納庫の中に収めることができます。したがって、技術者の主張は正しいです。
ステップ3：探査機の基準系で格納庫の長さを計算する。
格納庫の固有長は \(60\text{ m}\) です。探査機の基準系では格納庫が移動しているため、測定される長さは、
\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]
操縦士の主張も正しいことがわかります。移動する格納庫の長さは、探査機の基準系では \(36\text{ m}\) にすぎません。一方、探査機の固有長は \(80\text{ m}\) のままです。
ステップ4：見かけ上の矛盾を解消する。
「ある瞬間に完全に中に入っている」とは、指定された基準系において、探査機の両端の位置が同時に格納庫の内部にあることを意味します。
格納庫の基準系では、探査機の両端が格納庫の内部にある瞬間が存在します。一方、探査機の基準系では、長さ \(80\text{ m}\) の探査機全体が、長さ \(36\text{ m}\) の格納庫の中に収まる瞬間は存在しません。
重要なのは、格納庫の基準系で同時に起きる2つのドアの閉鎖事象が、探査機の基準系では同時ではないということです。2人の観測者は、同じ一組の同時事象を説明しているわけではありません。どちらの説明も、探査機が自身の静止系で物理的に破壊されたり、圧縮されたりすることを必要としません。
問題3
ある結合した原子核の静止質量は、分離した核子の静止質量の合計より \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) 小さくなっています。
2つの状態はどちらも静止状態で比較され、結合の際に放出されたエネルギーは原子核から外へ出ていくと仮定します。
放出される結合エネルギーをジュール単位で計算し、最終的な原子核の静止質量が小さくなってもエネルギー保存則に反しない理由を説明しなさい。
解答3
質量差に相当する結合エネルギーは \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\) です。放出されたエネルギーが系の外へ出ていくため、静止質量が小さくなってもエネルギー保存則に反しません。
ステップ1：質量差を特定する。
質量欠損の大きさは、
\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]
ステップ2：質量とエネルギーの等価性を適用する。
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]
ステップ3：エネルギー収支を説明する。
結合した原子核の静止エネルギーは、分離した核子の静止エネルギーより小さくなっています。その差は、結合の際に放出されるエネルギーとして現れます。例えば、放射線や、ほかの生成物が運び去る運動エネルギーなどです。
原子核の外へエネルギーが出ていくため、最終的な原子核の静止質量は小さくなります。放出されたエネルギーも含めれば、全エネルギーは保存されます。
問題4
ある宇宙船の不変静止質量は \(1.0\text{ kg}\) で、地球に対して \(0.80c\) で移動しています。
ある生徒は \(\gamma=1.67\) と計算し、宇宙船の質量は \(1.67\text{ kg}\) に増加したと主張しています。
次の式を使って、
\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]
宇宙船の静止エネルギー、全エネルギー、運動エネルギーを計算しなさい。また、生徒の主張を評価しなさい。
解答4
静止エネルギーは \(9.0\times10^{16}\text{ J}\)、全エネルギーは \(1.5\times10^{17}\text{ J}\)、運動エネルギーは \(6.0\times10^{16}\text{ J}\) です。不変質量を採用する考え方では、宇宙船の静止質量は \(1.0\text{ kg}\) のままです。
ステップ1：静止エネルギーを計算する。
静止質量は \(m=1.0\text{ kg}\) です。
\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
ステップ2：全エネルギーを計算する。
\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]
ステップ3：運動エネルギーを計算する。
\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
全エネルギーが静止エネルギーと運動エネルギーの和になっているため、これらの結果は整合しています。
\[ E=E_0+K. \]
ステップ4：生徒の主張を評価する。
生徒は、\(\gamma\) を静止エネルギーに掛けると全エネルギーが得られることを正しく理解しています。間違いは、この因子によって不変静止質量も増加すると解釈した点です。
宇宙船の運動エネルギーは速さとともに増加しますが、不変静止質量は \(1.0\text{ kg}\) のままです。この違いは、質量とエネルギーの等価性と、移動する物体のエネルギーを組み合わせて扱う問題で重要になります。
問題5
あるプラットフォームは、その静止系 \(S\) で長さ \(600\text{ m}\) です。両端にはAとBという2つのランプが取り付けられており、Aは \(x=0\)、Bは \(x=+600\text{ m}\) にあります。2つのランプは、\(S\) において \(t=0\) に同時に点灯します。
それぞれの点灯によって、プラットフォームの中点に向かう光パルスが発せられます。基準系 \(S\) では、2つのパルスは中点で出会います。
ロケットの静止系 \(S'\) は、\(S\) に対して \(x\) 軸の正の方向に \(0.80c\) で移動しています。
この問題では、次の時間座標の関係式を使いなさい。
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
ここで、\(\Delta t=t_B-t_A\) と \(\Delta x=x_B-x_A\) は、\(S\) で測定された値です。
(a) \(S'\) では、どちらのランプが先に点灯しますか。また、その時間差はいくらですか。
(b) \(S'\) でのプラットフォームの長さは \(360\text{ m}\) です。ある生徒は、点灯の時間差は必ず \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) になると主張しています。具体的に何が間違っているのか説明しなさい。
(c) 2つの光パルスは、\(S'\) でも同じ事象で出会うでしょうか。点灯が同時ではなくなっているにもかかわらず、なぜそうなるのか説明しなさい。
解答5
\(S'\) では、ランプBがランプAより \(2.67\,\mu\text{s}\) 早く点灯します。点灯の時刻が異なっていても、2つの光パルスは同じ事象で出会います。すべての慣性系で、2つの光パルスが交わる事象は共通だからです。
ステップ1：ローレンツ因子を計算し、事象間の差を特定する。
相対速度は \(v=0.80c\) なので、
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]
\(S\) では2つのランプが同時に点灯し、Bの位置座標はAより大きくなっています。したがって、
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]
ステップ2：\(S'\) での時間差を計算する。
与えられた時間座標の関係式に代入します。
\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]
結果が負であることは、\(t'_B<t'_A\) を意味します。ロケットの基準系では、Bの点灯がAの点灯より \(2.67\,\mu\text{s}\) 早く起きます。
ステップ3：\(360\text{ m}/c\) という計算がなぜ誤りなのか説明する。
生徒の計算は、
\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]
となります。
計算自体は正しいですが、求めているものが違います。
\(360\text{ m}\) という値は、ロケットの基準系 \(S'\) で測定したプラットフォームの長さです。この長さは、両端の位置をロケットの基準系で同時に測定することによって得られます。しかし、2つの点灯事象は \(S'\) では同時ではありません。そのため、点灯事象の位置を、この同時刻の長さ測定における両端の位置として扱うことはできません。
2つの事象の時間差が、一般に、測定された長さを \(c\) で割った値になるわけではありません。生徒は、同時に測定された両端の位置から得られる長さと、同じ基準系で異なる時刻に起きる2つの事象を混同しています。
ステップ4：光パルスが同じ事象で出会う理由を説明する。
\(S\) では、それぞれのパルスが中点まで \(300\text{ m}\) 進みます。したがって、出会う事象は、
\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]
となります。
これは時空における1つの事象です。すべての慣性系で、2つのパルスがこの事象で出会うことに変わりはありません。ただし、各基準系がこの事象に割り当てる座標は異なります。
ロケットの基準系での時刻を確認することもできます。点灯Aと出会う事象の間について、与えられた関係式を適用すると、
\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
点灯Aは \(t'_A=0\) に起きるため、Aからのパルスが出会う事象に到達するまでにかかるロケットの基準系での座標時間は \(0.333\,\mu\text{s}\) です。
点灯Bは \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\) に起きるため、同じ事象に到達するまでにかかる時間は、
\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]
となります。
点灯時刻と光の伝播時間が異なっていても、同じ出会いの事象と矛盾することはありません。間違いは、ある基準系で点灯が同時なら、すべての基準系でも同時でなければならないと考えることです。
次の有用なステップは、時空図を使って事象を表す方法を学ぶことです。HSCの問題では、まず基準系を特定し、その基準系で事象が同じ場所に起きているかを確認しましょう。この判断によって、計算を始める前に、時間の遅れ、長さの収縮、同時性の相対性のどれを使うべきかを選びやすくなります。