HSC 물리학의 키르히호프 전류 법칙과 전압 법칙

\(5.0\ \text{A}\)의 전류가 한 접합점에 도달한다. 한 갈래에서는 \(2.0\ \text{A}\)가 빠져나가고, 다른 갈래에서는 \(4.0\ \text{A}\)가 빠져나간다. 이런 일이 계속해서 일어날 수 있을까?

계속 읽기 전에 먼저 예측해 보자. 매초 \(5.0\ \text{C}\)의 전하가 들어오는데 매초 \(6.0\ \text{C}\)가 나간다면, 접합점은 어떻게든 매초 \(1.0\ \text{C}\)의 전하를 만들어 내야 한다. 그럴 수는 없다.

이제 다른 문제를 생각해 보자. 전하가 \(12\ \text{V}\) 전지가 포함된 회로를 한 바퀴 돈다. 다른 전원이 전혀 없는데도 부품들에서 발생하는 전압 강하의 합이 \(15\ \text{V}\)가 될 수 있을까? 역시 불가능하다. 그렇게 되면 전하는 전지가 공급한 것보다 더 많은 쿨롱당 에너지를 잃는 셈이 된다.

이 두 문제가 바로 키르히호프 법칙이 필요한 이유다. 키르히호프 전류 법칙은 접합점에서 전하를 추적한다. 키르히호프 전압 법칙은 폐회로를 따라 단위 전하당 에너지를 추적한다. 두 법칙을 함께 사용하면 단순한 직렬 또는 병렬 규칙 하나만으로는 분석하기 어려운 회로도 다룰 수 있다.

01키르히호프 법칙의 바탕이 되는 두 가지 보존 개념

수식을 보기 전에, 회로에서 실제로 무슨 일이 일어나고 있는지 떠올려 보자.

전류는 어떤 지점을 전하가 얼마나 빠르게 통과하는지를 나타낸다.

\[ I=\frac{q}{t} \]

여기서 \(I\)는 암페어(A) 단위의 전류, \(q\)는 쿨롱(C) 단위의 전하, \(t\)는 초(s) 단위의 시간이다. 이 개념을 다시 확인하고 싶다면 HSC 물리학에서 전하 흐름률로서의 전류: I = q/t 사용하기를 참고하자.

입구 하나와 여러 개의 출구가 있는 기차역을 상상해 보자. 매분 100명이 들어오는데 80명만 나간다면, 역 안에는 점점 더 많은 사람이 쌓여야 한다. 역 안의 사람 수가 일정하게 유지된다면, 매분 들어오는 사람 수와 나가는 사람 수가 같아야 한다.

회로의 접합점도 전하의 흐름에 대해 비슷하게 작동한다. 전하가 전선을 따라 달리는 작은 통근자와 같은 것은 아니므로 이 비유가 완전히 정확한 것은 아니지만, 수를 세는 개념은 유용하다. 전하는 접합점에서 그냥 사라질 수 없다.

전압에는 다른 방식의 직관적 모델이 필요하다. 전위차는 전하 1쿨롱당 얼마만큼의 에너지가 전달되는지를 나타낸다. \(12\ \text{V}\) 전지는 전지를 통과하는 전하 1쿨롱마다 \(12\ \text{J}\)의 에너지를 제공한다.

그 전하가 닫힌 회로를 한 바퀴 완전히 돌아 출발점으로 돌아오면, 전기 퍼텐셜의 순변화는 0이어야 한다. 따라서 전원으로부터 얻은 쿨롱당 에너지는 회로의 다른 부분에서 전달된 쿨롱당 에너지와 균형을 이루어야 한다.

따라서 회로가 복잡해질 때마다 다음 두 가지 질문을 할 수 있다.

02키르히호프 전류 법칙: 접합점에서 전하는 사라질 수 없다

전류 \(I\)가 접합점에 도달한 뒤 \(I_1\)과 \(I_2\)로 갈라진다고 하자.

정상 상태의 회로에서는

\[ I=I_1+I_2 \]

이다.

더 일반적으로는

\[ \sum I_{\text{유입}}=\sum I_{\text{유출}} \]

이다.

기호 \(\sum\)는 “합”을 뜻한다. 따라서 이 식은 단순히 다음을 의미한다.

접합점으로 들어오는 총전류 = 접합점에서 나가는 총전류.

이것이 키르히호프 전류 법칙이며, 흔히 KCL이라고 줄여 부른다.

전류가 갈라져도 전하 자체가 쪼개지는 것은 아닌 이유

흔한 오해 중 하나는 각 전자가 접합점에 도달한 뒤 더 작은 조각으로 잘린다고 생각하는 것이다. 실제로는 그렇지 않다.

전류는 전하 흐름의 속도이다. 접합점에서 전하 운반자들은 이용 가능한 서로 다른 경로로 이동한다. 매초 \(3.0\ \text{C}\)가 도착한다면, 예를 들어 한 갈래로는 초당 \(1.0\ \text{C}\), 다른 갈래로는 초당 \(2.0\ \text{C}\)가 흐를 수 있다.

전류 값이 나뉘는 이유는 흐름률이 나뉘기 때문이다.

KCL이 성립하지 않는 경우가 있을까?

전하 보존 법칙 자체가 성립하지 않게 되는 일은 없다.

“들어오는 전류와 나가는 전류가 같다”라는 단순한 표현은 모든 관련 경로를 포함했고, 접합점 자체에 전하가 계속 축적되고 있지 않다고 가정한다. HSC 수준에서 일반적으로 분석하는 정상 상태 DC 회로에서는 이 가정이 매우 좋은 모델이다.

회로에 충전 중인 축전기 같은 것이 포함되어 있다면, 충전 전류를 올바르게 포함해야 한다. 겉보기에 전류가 맞지 않는다고 해서 전하 보존이 깨진 것은 아니다.

03키르히호프 전압 법칙: 회로를 따라 에너지는 균형을 이루어야 한다

이제 접합점에서 눈을 돌려 회로의 한 완전한 경로를 따라가 보자.

전지 바로 앞에서 출발하여 모든 부품을 지나고, 결국 정확히 같은 지점으로 돌아온다고 하자. 출발했던 것과 같은 전기 퍼텐셜로 돌아왔으므로, 모든 전위 상승과 하강의 합은 0이어야 한다.

따라서 키르히호프 전압 법칙, 즉 KVL은

\[ \sum \Delta V=0 \]

이다.

여기서 \(\Delta V\)는 회로를 구성하는 각 부분에서의 전기 퍼텐셜 변화이며, 단위는 볼트(V)이다.

같은 내용을 흔히 다음과 같이 표현하기도 한다.

\[ \text{전체 전압 상승}=\text{전체 전압 강하} \]

이 식은 전하 1쿨롱당 에너지에 대해 에너지 보존 법칙을 나타낸 것이다.

KVL을 쉽게 다룰 수 있게 해 주는 부호 규칙

회로를 따라 이동할 방향을 정한다. 시계 방향이 반시계 방향보다 더 옳은 것은 아니다. 한 방향을 선택하고 일관되게 유지하기만 하면 된다.

이상적인 전압원에 대해서는 다음과 같다.

• 음극에서 양극으로 지나가면 전압이 상승하므로 \(+V\)를 사용한다.
• 양극에서 음극으로 지나가면 전압이 하강하므로 \(-V\)를 사용한다.

저항 \(R\)을 통해 전류 \(I\)가 흐를 때는 다음과 같다.

• 저항을 전류와 같은 방향으로 지나가면 전위 변화는 \(-IR\)이다.
• 저항을 전류와 반대 방향으로 지나가면 전위 변화는 \(+IR\)이다.

여기서 \(V\)는 볼트 단위의 전위차, \(I\)는 암페어 단위의 전류, \(R\)은 옴(\(\Omega\)) 단위의 저항이다. \(V=IR\)의 관계는 옴성 저항에 대한 옴의 법칙에서 나온다. 이 관계는 HSC 물리학의 옴의 법칙: 저항이 일정할 때에서 복습할 수 있다.

부호를 무작위 규칙처럼 외우려고 하지 말자. 물리적으로 어떤 일이 일어나는지 생각하자. 전지는 음극에서 양극으로 이동할 때 전기 퍼텐셜을 높일 수 있다. 일반적인 저항은 전기 에너지를 다른 형태의 에너지로 전달하므로, 관습적 전류 방향으로 저항을 통과할 때 전위가 낮아진다.

04KCL과 KVL을 함께 사용하기

이 두 법칙은 회로에 접합점과 여러 개의 가능한 폐회로가 모두 포함되어 있을 때 가장 유용해진다.

방법은 “알맞은 공식을 찾아내기”가 아니다. 다음과 같이 한다.

1. 전류 변수를 정한다.
2. 접합점에서 KCL을 사용한다.
3. 유용한 닫힌 회로를 선택한다.
4. 그 회로를 따라 KVL을 사용한다.
5. \(V=IR\) 같은 부품의 관계식을 사용한다.
6. 연립방정식을 푼다.
7. 음의 부호가 나오면 그 물리적 의미를 해석한다.

이상적인 \(12\ \text{V}\) 전지가 \(2\ \Omega\) 저항을 통해 전류를 보내고, 그 뒤 접합점에 도달한다고 하자. 그런 다음 전류는 \(6\ \Omega\) 갈래와 \(3\ \Omega\) 갈래로 나뉜 뒤 다시 합쳐진다.

다음과 같이 정의하자.

• \(I\)는 \(2\ \Omega\) 저항을 지나는 전류
• \(I_1\)은 \(6\ \Omega\) 갈래를 지나는 전류
• \(I_2\)는 \(3\ \Omega\) 갈래를 지나는 전류

계산하기 전에 어느 병렬 갈래에 더 큰 전류가 흐를지 예측해 보자.

\(3\ \Omega\) 갈래의 저항이 더 작다. 두 병렬 갈래는 같은 두 접합점 사이에 연결되어 있으므로 양단의 전압이 같다. 따라서 \(3\ \Omega\) 갈래에 더 큰 전류가 흐를 것으로 예상할 수 있다.

이제 키르히호프 법칙을 사용하면 정확히 얼마나 더 큰지 구할 수 있다.

05가장 큰 혼란을 일으키는 오해

한 학생이 전류가 저항을 통과하는 것을 보고 이렇게 생각한다.

저항이 전류의 일부를 사용하므로, 저항을 지난 뒤에는 전류가 더 작아져야 한다.

저항이 전기 에너지를 열에너지로 전달하기 때문에 이 생각은 그럴듯하게 느껴진다. 실제로 무언가는 전달되고 있다.

하지만 전달되는 것은 에너지이지 전하가 아니다.

하나의 직렬 경로에서는 모든 부품을 동일한 전하 흐름률이 통과한다. 매초 \(2.0\ \text{C}\)가 첫 번째 저항에 들어간다면, 매초 \(2.0\ \text{C}\)가 그 저항에서 나와야 한다. 그렇지 않다면 저항 내부에 전하가 계속 쌓이게 된다.

저항을 지나면서 변하는 것은 쿨롱당 전기 퍼텐셜 에너지이다. 바로 이것이 전압 강하가 생기는 이유다.

다음 두 개념을 구분해서 기억하자.

• 전류는 초당 전하량을 나타낸다.
• 전압은 쿨롱당 에너지를 나타낸다.

KCL은 첫 번째를 다루고, KVL은 두 번째를 다룬다.

06음의 전류는 오류가 아니라 정보다

키르히호프 문제를 설정할 때는 실제 전류 방향을 알기 전에 방향을 먼저 정해야 하는 경우가 많다.

그래도 괜찮다.

\(I\)가 시계 방향이라고 가정한 뒤 방정식을 풀었더니

\[ I=-0.60\ \text{A} \]

가 나왔다고 하자.

음의 부호는 “음의 전기”가 흐른다는 뜻이 아니다. 처음에 그린 화살표의 방향이 반대였다는 뜻이다.

실제 전류는 반대 방향으로 \(0.60\ \text{A}\) 흐른다.

이것이 키르히호프 방법이 강력한 이유 중 하나다. 시작하기 전에 모든 방향을 정확히 맞출 필요는 없다. 하지만 부호는 일관되게 사용해야 한다.

07간단한 판단 규칙

낯선 회로를 만났을 때 바로 등가 저항부터 찾으려고 하지 말자.

다음과 같이 질문하자.

접합점이 있는가?
그 지점으로 들어오고 나가는 전류의 관계를 나타내는 KCL 방정식을 작성한다.

닫힌 회로가 있는가?
그 회로를 따라 모든 전위 상승과 강하의 합이 0이 되도록 KVL 방정식을 작성한다.

저항이 있는가?
옴성 저항이라면 \(V=IR\)을 이용해 전압, 전류, 저항을 연결한다.

미지의 전류가 음수로 나왔는가?
크기는 그대로 두고 처음 가정한 방향을 반대로 바꾼다.

최종 답이 전하와 에너지를 모두 보존하는가?
답을 받아들이기 전에 접합점의 전류와 전압 균형을 확인한다.

08문제와 해설

문제 1

\(1.80\ \text{A}\)의 전류가 한 접합점으로 들어간다. 한 갈래로 \(0.40\ \text{A}\)가 빠져나간다. 두 번째 갈래에는 전류 \(I\)가 흐른다. \(I\)를 구하여라.

해설 1

미지의 전류는 접합점에서 빠져나가는 \(1.40\ \text{A}\)이다.

키르히호프 전류 법칙에 따르면 접합점으로 들어오는 총전류와 나가는 총전류가 같아야 한다.

\[ I_{\text{유입}}=I_1+I \]

값을 대입하면,

\[ \begin{aligned} 1.80&=0.40+I\\ I&=1.80-0.40\\ I&=1.40\ \text{A} \end{aligned} \]

이다.

따라서 두 번째 갈래를 통해 매초 \(1.40\ \text{C}\)의 전하가 빠져나간다. 두 갈래의 유출 전류를 합하면 \(1.80\ \text{A}\)로, 유입 전류와 일치한다.

문제 2

이상적인 \(9.0\ \text{V}\) 전지가 \(3.0\ \Omega\) 저항과 \(6.0\ \Omega\) 저항이 포함된 하나의 폐회로에 연결되어 있다. 전류와 각 저항에서의 전압 강하를 구하여라.

해설 2

전류는 \(1.0\ \text{A}\)이며, \(3.0\ \Omega\) 저항과 \(6.0\ \Omega\) 저항에서의 전압 강하는 각각 \(3.0\ \text{V}\), \(6.0\ \text{V}\)이다.

폐회로에 KVL을 적용하면,

\[ 9.0-3.0I-6.0I=0 \]

이므로,

\[ \begin{aligned} 9.0-9.0I&=0\\ I&=1.0\ \text{A} \end{aligned} \]

이다.

\(3.0\ \Omega\) 저항에서,

\[ V_1=IR=(1.0)(3.0)=3.0\ \text{V} \]

이다.

\(6.0\ \Omega\) 저항에서,

\[ V_2=IR=(1.0)(6.0)=6.0\ \text{V} \]

이다.

확인하면,

\[ 3.0+6.0=9.0\ \text{V} \]

이므로 전압 강하의 합은 전지의 전압 상승과 같다. 폐회로를 따라 쿨롱당 에너지가 보존된다.

문제 3

\(10\ \text{V}\) 전지가 \(2.0\ \Omega\) 저항과 \(3.0\ \Omega\) 저항에 직렬로 연결되어 있다. 한 학생은 각 저항이 “전류의 일부를 사용하기” 때문에 첫 번째 저항 앞의 전류가 두 번째 저항 뒤의 전류보다 반드시 더 클 것이라고 말한다.

회로의 전류를 구하고, 학생이 어떤 개념을 혼동했는지 설명하여라.

해설 3

직렬 경로 전체에서 전류는 \(2.0\ \text{A}\)로 동일하다. 저항은 에너지를 전달하지만 전하나 전류를 소비하지는 않는다.

KVL을 적용하면,

\[ 10-2.0I-3.0I=0 \]

이다.

따라서,

\[ \begin{aligned} 10-5.0I&=0\\ I&=2.0\ \text{A} \end{aligned} \]

이다.

첫 번째 저항의 전압 강하는

\[ V_1=(2.0)(2.0)=4.0\ \text{V} \]

이고, 두 번째 저항의 전압 강하는

\[ V_2=(2.0)(3.0)=6.0\ \text{V} \]

이다.

따라서,

\[ 4.0+6.0=10\ \text{V} \]

이다.

이 문제에서 하기 쉬운 실수는 전압과 전류가 같은 것을 측정한다고 생각하는 것이다. 두 물리량은 서로 다르다. 전류는 전하 흐름률이므로 이 하나의 직렬 경로에서는 모든 지점을 동일한 \(2.0\ \text{A}\)가 지나야 한다. 전압은 쿨롱당 전달되는 에너지를 나타내므로, 전류가 변하지 않은 채 각 저항을 지나면서 전압이 감소할 수 있다.

문제 4

이상적인 \(12\ \text{V}\) 전지가 \(2.0\ \Omega\) 저항에 연결되어 있다. 이 저항 뒤에서 회로는 \(4.0\ \Omega\) 및 \(12\ \Omega\) 저항이 각각 포함된 두 병렬 갈래로 나뉘었다가 다시 합쳐진다.

\(I\)를 \(2.0\ \Omega\) 저항을 지나는 전류, \(I_1\)을 \(4.0\ \Omega\) 갈래의 전류, \(I_2\)를 \(12\ \Omega\) 갈래의 전류라고 하자.

한 학생이 KVL 방정식으로

\[ 12-2I-4I_1-12I_2=0 \]

을 작성했다.

이 식이 하나의 폐회로를 나타내는 유효한 방정식이 아닌 이유를 설명하고, \(I\), \(I_1\), \(I_2\)를 구하여라.

해설 4

학생의 폐회로 방정식은 유효하지 않다. 두 병렬 저항을 하나씩 차례로 모두 통과하는 단일한 닫힌 경로가 존재하지 않기 때문이다. 올바른 전류는 \(I=2.40\ \text{A}\), \(I_1=1.80\ \text{A}\), \(I_2=0.60\ \text{A}\)이다.

접합점에서 KCL을 적용하면,

\[ I=I_1+I_2 \]

이다.

\(4.0\ \Omega\) 갈래를 지나는 폐회로에서는

\[ 12-2I-4I_1=0 \]

이다.

\(12\ \Omega\) 갈래를 지나는 다른 폐회로에서는

\[ 12-2I-12I_2=0 \]

이다.

두 병렬 갈래는 같은 두 접합점을 공유하므로 전압 강하가 같아야 한다.

\[ 4I_1=12I_2 \]

따라서,

\[ I_1=3I_2 \]

이다.

KCL을 사용하면,

\[ I=3I_2+I_2=4I_2 \]

이다.

이를 \(12\ \Omega\) 갈래가 포함된 폐회로 방정식에 대입하면,

\[ \begin{aligned} 12-2(4I_2)-12I_2&=0\\ 12-20I_2&=0\\ I_2&=0.60\ \text{A} \end{aligned} \]

이다.

따라서,

\[ I_1=3(0.60)=1.80\ \text{A} \]

이고,

\[ I=1.80+0.60=2.40\ \text{A} \]

이다.

전압 강하를 확인해 보자. 공통으로 지나는 \(2.0\ \Omega\) 저항에서,

\[ V=(2.40)(2.0)=4.80\ \text{V} \]

이므로 각 병렬 갈래의 양단에는

\[ 12.0-4.80=7.20\ \text{V} \]

가 걸려야 한다.

\(4.0\ \Omega\) 갈래에서는,

\[ (1.80)(4.0)=7.20\ \text{V} \]

이고, \(12\ \Omega\) 갈래에서는,

\[ (0.60)(12)=7.20\ \text{V} \]

이다.

두 폐회로 모두 KVL을 만족하고, 접합점은 KCL을 만족한다.

함정은 대수가 아니었다. 회로의 구조였다. KVL 방정식은 회로에서 실제로 존재하는 하나의 닫힌 경로를 따라야 한다.

문제 5

하나의 회로에 이상적인 전지 두 개와 저항 두 개가 포함되어 있다. 시계 방향으로 이동할 때 첫 번째 전지는 음극에서 양극으로 지나가므로 \(6.0\ \text{V}\)의 전압 상승이 생긴다. 그다음 두 번째 전지는 양극에서 음극으로 지나가므로 \(9.0\ \text{V}\)의 전압 강하가 생긴다. 저항은 \(1.0\ \Omega\)와 \(4.0\ \Omega\)이다.

전류 \(I\)가 시계 방향이라고 가정하자.

\(I\)를 구하고 실제 전류의 방향을 밝힌 뒤, 음의 결과가 나온 것이 키르히호프 전압 법칙이 성립하지 않았다는 뜻이 아닌 이유를 설명하여라.

해설 5

계산하면 \(I=-0.60\ \text{A}\)이므로 실제 전류는 반시계 방향으로 \(0.60\ \text{A}\) 흐른다. 음의 부호는 처음 가정한 방향이 실제 방향과 반대였다는 뜻이다.

시계 방향이라고 가정한 방향을 사용하여 KVL을 적용하면,

\[ 6.0-9.0-1.0I-4.0I=0 \]

이다.

따라서,

\[ \begin{aligned} -3.0-5.0I&=0\\ -5.0I&=3.0\\ I&=-0.60\ \text{A} \end{aligned} \]

이다.

따라서 전류의 크기는

\[ |I|=0.60\ \text{A} \]

이지만 방향은 반시계 방향이다.

이는 물리적으로도 타당하다. \(9.0\ \text{V}\) 전원이 \(6.0\ \text{V}\) 전원보다 더 강하므로 순구동 전압은

\[ 9.0-6.0=3.0\ \text{V} \]

이다.

전체 저항은

\[ R=1.0+4.0=5.0\ \Omega \]

이므로 전류의 크기는

\[ I=\frac{3.0}{5.0}=0.60\ \text{A} \]

이다.

키르히호프 법칙은 정확히 해야 할 일을 했다. 계산 과정이 처음에 가정한 전류 방향을 바로잡아 준 것이다.

접합점에서 KCL을 적용하는 것과 폐회로를 따라 KVL을 적용하는 것을 자유롭게 오갈 수 있게 되면, 더 복잡한 회로도 여러 특수한 경우를 모아 놓은 것처럼 보이지 않게 된다. 각 접합점에서의 전하 흐름과 각 닫힌 경로에서의 쿨롱당 에너지라는 두 보존량을 추적하여 회로를 분석할 수 있다. 그다음 유용한 단계는 이러한 전류와 전위차를 전력과 연결하는 것이다. 그러면 전하와 에너지가 회로를 통해 어떻게 이동하는지만이 아니라, 각 부품이 그 에너지를 얼마나 빠르게 전달하는지도 구할 수 있다.