HSC 물리학 특수 상대성 이론: 명확한 풀이 가이드

우주선이 지구를 \(0.80c\)의 속도로 지나간다. 지구 기준계에서는 우주선 시계의 두 틱 사이의 시간 간격이 우주비행사가 측정한 시간 간격보다 더 길게 측정된다. 한편 우주비행사는 지구의 시계가 느리게 간다고 말한다. 계속 읽기 전에 예측해 보자. 관찰자 중 한 명이 단순히 틀린 것일까? 그렇지 않다. 각 관찰자는 서로 다른 관성계를 사용하며, 이러한 차이는 높은 속도에서 시간과 공간을 측정하는 방식에서 비롯된다.

01기준계: 각 관찰자는 실제로 무엇을 측정하는가?

기준계란 사건의 위치와 시간을 지정하기 위한 좌표계이다. 기준계는 자와 서로 동기화된 시계들의 네트워크로 나타낼 수 있다.

관성계란 가속하거나 회전하지 않는 기준계이다. 이 안내서에서는 중력의 영향을 무시할 수 있으며, 두 기준계를 비교할 때마다 우주선과 지구가 일정한 상대 속도로 운동한다고 가정한다.

일상생활에서는 시간을 보편적인 것으로 취급해도 대체로 문제가 없다. 두 사건이 여러분에게 동시에 일어났다면, 다른 모든 사람에게도 동시에 일어났을 것이라고 생각하기 쉽다.

특수 상대성 이론은 이러한 가정에 의문을 제기한다. 특수 상대성 이론은 두 가지 원리에서 출발한다.

• 물리 법칙은 모든 관성계에서 동일하다.
• 모든 관성 관찰자는 광원이나 관찰자의 운동 상태와 관계없이 진공에서 빛의 속도를 동일하게 측정한다.

빛의 속도는 다음과 같다.

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

여러분이 빛을 향해 움직인다고 생각해 보자. 여러분은 빛의 속도를 \(c+v\)로 측정할 것이라고 예상할 수 있다. 여기서 \(v\)는 빛을 향해 움직이는 여러분의 속도이다. 하지만 실제로는 그렇지 않다. 여러분이 측정하는 빛의 속도는 여전히 \(c\)이다.

이 원리가 성립하려면 서로에 대해 운동하는 관찰자들은 시간 간격, 길이 또는 서로 멀리 떨어진 사건들이 동시에 일어났는지에 대해 항상 같은 판단을 내릴 수는 없다.

이는 관찰자가 눈으로 무엇을 보는지에 관한 문제가 아니다. 상대론적 측정에서는 동기화된 시계를 사용하고 빛이 이동하는 데 걸리는 시간을 고려한다. 이러한 보정을 마친 뒤에도 관찰자 사이의 차이는 남는다.

02동시성: 두 사건은 서로 다른 기준계에서 서로 다른 시간에 일어날 수 있다

긴 승강장의 양 끝에 A와 B라는 두 개의 램프가 있다고 상상해 보자. 승강장에 정지해 있는 시계들은 서로 동기화되어 있으며, 두 램프는 모두 승강장 기준 시간 \(t=0\)에 빛을 낸다.

계속 읽기 전에 예측해 보자. 승강장을 지나가는 로켓도 두 번의 섬광이 동시에 일어났다고 판단해야 할까?

그렇지 않다. 로켓은 두 섬광이 서로 다른 시간에 일어났다고 판단할 수 있다.

동시에 일어난다는 것은 지정된 기준계에서 두 사건의 시간 좌표가 같다는 뜻이다. 모든 관성계가 반드시 같은 시간 좌표를 부여한다는 뜻은 아니다.

상황을 명확하게 하기 위해 다음과 같이 가정하자.

• 램프 A는 \(x=0\)에 있다.
• 램프 B는 \(x=600\text{ m}\)에 있다.
• 승강장은 기준계 \(S\)에서 정지해 있다.
• 로켓의 기준계 \(S'\)는 기준계 \(S\)에 대해 양의 \(x\) 방향으로 속력 \(v\)로 움직인다.

승강장 기준계에서는 두 섬광이 동시에 일어난다. 그러나 로켓 기준계에서는 B의 섬광이 A의 섬광보다 먼저 일어난다.

왜 이러한 순서가 나타날까? 두 사건의 시간 좌표 변환식은 다음과 같다.

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

여기서

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

이 식에서 \(\Delta t=t_B-t_A\)와 \(\Delta x=x_B-x_A\)는 기준계 \(S\)에서 측정한 시간 차이와 위치 차이이다. 프라임 기호가 붙은 시간 차이는 기준계 \(S\)에 대해 양의 \(x\) 방향으로 움직이는 기준계 \(S'\)에서 측정한 값이다.

승강장 기준계에서 두 섬광이 동시에 일어나므로,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

따라서,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

음수라는 것은 로켓 기준계에서 B의 섬광이 더 일찍 일어난다는 뜻이다.

한 가지 중요한 주의점이 있다. 관찰자가 두 섬광을 받는 순서는 그 자체만으로 두 사건이 일어난 시간을 증명하지 못한다. 빛이 관찰자에게 도달하려면 시간이 걸리며, 두 섬광이 이동하는 거리는 서로 다를 수 있다. 동시성의 상대성은 빛의 이동 시간을 고려한 뒤 동기화된 시계가 각 사건에 부여하는 시간에 관한 것이다.

이러한 구분은 하나의 시계에서 발생한 두 번의 틱이 아니라, 서로 멀리 떨어진 두 사건을 다루는 문제에서 특히 유용하다.

03시간 지연: 움직이는 시계의 틱 사이 간격은 더 길게 측정된다

이제 우주선에 부착된 하나의 시계에서 발생하는 두 번의 틱을 생각해 보자.

두 틱은 우주선의 정지계에서 같은 위치에서 발생한다. 그 시계가 측정한 경과 시간을 고유 시간이라고 하며, \(\Delta\tau\)로 나타낸다.

우주선이 속력 \(v\)로 움직이는 다른 관성계의 관찰자는 동일한 두 사건 사이의 시간 간격을 더 길게 측정한다. 이것이 시간 지연이다.

공식은 다음과 같다.

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

여기서

• \(\Delta t\)는 시계가 움직이는 기준계에서 측정한 시간 간격이다.
• \(\Delta\tau\)는 시계의 정지계에서 그 시계가 측정한 고유 시간이다.
• \(\gamma\)는 로런츠 인자이다.
• \(v\)는 두 기준계 사이의 상대 속력이다.
• \(c\)는 빛의 속도이다.

\(\gamma\geq1\)이므로, 움직이는 시계의 틱 사이 시간 간격은 그 시계의 고유 시간 간격보다 짧게 측정되지 않는다.

예를 들어, \(v=0.80c\)일 때

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

다른 기준계에서는 해당 시계 자체가 측정한 시간 간격보다 \(1.67\)배 더 긴 시간 간격을 측정한다.

왜 두 관찰자는 서로의 시계가 느리게 간다고 말할 수 있을까?

모순처럼 들리지만, 두 관찰자는 양쪽 시계에서 발생한 동일한 두 쌍의 틱을 직접 비교하는 것이 아니다.

지구에서는 자체적으로 동기화된 시계 네트워크를 사용해 우주선 시계의 틱에 시간을 부여한다. 우주비행사는 서로 다른 동기화된 시계 네트워크를 사용해 지구의 멀리 떨어진 시계가 가리키는 시간에 값을 부여한다. 동시성이 기준계에 따라 달라지므로, 두 비교에서는 멀리 떨어진 사건에 서로 다른 시간 좌표가 부여된다.

우주비행사가 방향을 바꾸어 나중에 지구로 돌아와 재회한다면 상황은 다시 달라진다. 여정 중에 관성계가 바뀌므로 두 관찰자의 전체 여정은 더 이상 동등하지 않다. 두 관찰자가 누적하는 고유 시간은 서로 다를 수 있다.

핵심 원칙은 간단하다. 시간 지연은 동일한 두 사건에 적용되며, 그 사건들이 한 위치에서 발생하는 기준계에서 측정한 시간 간격이 고유 시간이다.

04길이 수축: 움직이는 물체의 측정 길이는 달라진다

시간 지연은 사건 사이의 시간 간격에 관한 것이다. 길이 수축은 물체 양 끝 사이의 거리에 관한 것이다.

정지해 있는 우주선을 생각해 보자. 자를 사용해 길이를 측정했더니 \(150\text{ m}\)였다. 이 길이는 우주선의 정지계에서 측정했으므로 우주선의 고유 길이 \(L_0\)이다.

이제 우주선이 높은 속력으로 지구 옆을 지나간다고 가정하자. 지구에서는 지구 기준계의 동일한 시각에 우주선 앞부분과 뒷부분의 위치를 기록하여 길이를 측정한다.

마지막 조건이 중요하다. 특정 기준계에서 길이를 측정하려면 해당 기준계에서 물체 양 끝의 위치를 동시에 기록해야 한다.

움직이는 우주선의 측정 길이는 다음과 같다.

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

또는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

여기서

• \(L\)은 물체가 움직이는 기준계에서 측정한 길이이다.
• \(L_0\)는 물체의 정지계에서 측정한 고유 길이이다.
• \(v\)는 측정 기준계에 대한 물체의 속력이다.
• \(\gamma\)는 로런츠 인자이다.

운동 방향과 평행한 차원만 수축한다. 이 길이 수축 관계에 따르면 물체의 운동 방향에 수직인 차원은 변하지 않는다.

흔히 하는 실수는 우주선이 스스로 물리적으로 압축된다고 생각하는 것이다. 하지만 우주선은 자신의 정지계에서 더 짧은 길이를 측정하지 않는다. 차이는 서로 다른 기준계의 길이 측정이 서로 다른 동시적 끝점 위치를 사용한다는 데서 발생한다.

05질량-에너지: \(E=mc^2\)는 실제로 무엇을 의미할까?

서로 분리되어 있던 양성자와 중성자로부터 원자핵이 형성되는 상황을 생각해 보자. 원자핵이 형성된 뒤에는 그 정지 질량이 분리된 입자들의 정지 질량을 합한 값보다 약간 작다.

물질의 일부가 단순히 사라진 것일까?

그렇지 않다. 계에서 에너지가 방출되었으며, 방출된 에너지도 에너지 계산에 포함해야 한다. 질량과 에너지는 서로 관련되어 있다.

물체의 정지 에너지는 다음과 같다.

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

여기서

• \(E_0\)는 정지 에너지이다.
• \(m\)은 불변 질량, 즉 정지 질량이다.
• \(c\)는 빛의 속도이다.

정지 질량이 변할 때 그에 대응하는 정지 에너지의 변화는 다음과 같다.

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

\(c^2\)의 값은 매우 크다. 질량 차이가 \(1.0\text{ g}\)에 불과하더라도 이에 해당하는 정지 에너지 차이는 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

이는 아주 작은 질량 차이에 해당하는 엄청난 에너지이다.

에너지가 계에 들어오거나 계에서 빠져나가면 무엇이 달라질까?

에너지가 계 밖으로 방출되면 남아 있는 계의 정지 질량은 감소할 수 있다. 에너지가 계에 추가되어 내부에 유지되면, 계를 추가 전후에 정지 상태에서 비교했을 때 정지 질량이 증가한다.

이것은 질량이 감소할 때 에너지가 파괴된다는 뜻이 아니다. 고립계에서는 전체 에너지가 보존된다. 에너지가 복사나 운동 에너지의 형태로 남아 있는 물체 밖으로 빠져나갈 수는 있지만, 에너지 자체가 사라지는 것은 아니다.

결합된 원자핵은 이를 보여 주는 유용한 예이다. 분리된 핵자들의 정지 질량을 합한 값과 결합된 원자핵의 정지 질량 사이의 차이를 질량 결손이라고 한다. 이에 해당하는 에너지 차이는 결합 에너지이다.

반드시 알아야 할 주의점: 정지 질량은 전체 에너지와 같지 않다

\(E_0=mc^2\)는 정지 에너지를 나타낸다. 속력 \(v\)로 움직이는 물체의 전체 에너지는

\[ E=\gamma mc^2, \]

운동 에너지는

\[ K=(\gamma-1)mc^2 \]

이다.

여기서 \(m\)은 여전히 물체의 불변 질량, 즉 정지 질량이다. \(\gamma\)는 물체의 불변 질량이 아니라 전체 에너지를 변화시킨다.

일부 오래된 설명에서는 \(\gamma m\)을 상대론적 질량이라고 부른다. 현대 물리학에서는 일반적으로 질량을 불변량으로 유지하고, 에너지와 운동량을 통해 그 증가를 설명한다.

예를 들어 광자는 정지 질량이 0이지만 에너지와 운동량을 가진다. 따라서 \(E=mc^2\)를 모든 형태의 에너지가 반드시 0이 아닌 정지 질량을 가진 입자에 속해야 한다는 의미로 해석해서는 안 된다.

06적절한 관계식 선택하기

특수 상대성 이론 문제를 가장 확실하게 푸는 방법은 공식을 선택하기 전에 무엇을 측정하는 문제인지 파악하는 것이다.

다음 네 가지를 확인하면 흔히 발생하는 오류를 많이 방지할 수 있다.

• 로런츠 인자를 확인한다. \(0\leq v<c\)이면 \(\gamma\geq1\)이다.
• 사건을 확인한다. 시간 지연은 모든 두 사건에 무조건 적용되는 법칙이 아니다. 고유 시간의 조건이 중요하다.
• 측정 방법을 확인한다. 길이 수축은 운동 방향을 따라 적용되며, 길이를 측정하려면 측정 기준계에서 양 끝의 위치를 동시에 기록해야 한다.
• 에너지 계산을 확인한다. 한 물체의 정지 질량이 감소한다고 해서 고립계의 전체 에너지가 사라지는 것은 아니다.

07문제와 해설

문제 1

탐사선에 고정된 시계가 두 틱 사이의 시간을 \(3.0\text{ s}\)로 측정한다. 탐사선은 실험실에 대해 \(0.60c\)의 속력으로 움직인다.

실험실 기준계에서 동일한 두 틱 사이의 시간 간격을 계산하라.

해설 1

실험실 기준계에서 측정한 시간 간격은 \(3.75\text{ s}\)이며, 유효숫자 두 자리로 나타내면 \(3.8\text{ s}\)이다.

두 틱은 탐사선의 정지계에서 같은 위치에서 발생하므로, 탑재된 시계가 측정한 시간은 고유 시간이다.

1단계: 로런츠 인자를 계산한다.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

2단계: 시간 지연을 적용한다.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

실험실 기준계에서는 탐사선 시계가 측정한 것보다 더 긴 시간 간격을 측정한다. 이는 시간 지연과 일치하는 결과이다.

문제 2

탐사선의 고유 길이는 \(80\text{ m}\)이다. 격납고의 고유 길이는 \(60\text{ m}\)이다. 탐사선은 \(0.80c\)의 속력으로 격납고를 지나간다.

한 기술자는 탐사선의 수축된 길이가 격납고보다 짧으므로, 어느 한 순간에 탐사선 전체가 격납고 안에 들어갈 수 있다고 주장한다. 조종사는 자신의 기준계에서 격납고가 탐사선보다 짧으므로 이는 불가능하다고 주장한다.

문이 순간적으로 열리고 닫힐 수 있다고 가정하고, 물질의 손상은 무시하라.

두 관찰자의 길이 계산은 모두 옳은가? 탐사선 전체가 어느 한 순간에 격납고 안에 들어갈 수 있는가? 두 설명이 어떻게 서로 모순되지 않는지 설명하라.

해설 2

두 관찰자의 길이 계산은 모두 옳다. 의견이 다른 부분은 탐사선 전체가 어느 한 순간에 격납고 안에 있는지에 관한 것이다. 동시성은 기준계에 따라 달라지기 때문이다.

1단계: 로런츠 인자를 계산한다.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

2단계: 격납고 기준계에서 탐사선의 길이를 계산한다.

탐사선의 고유 길이는 \(L_0=80\text{ m}\)이다.

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

\(48\text{ m}<60\text{ m}\)이므로, 적절한 위치에 놓여 있다면 격납고 기준계의 어느 한 순간에 탐사선 전체가 격납고 안에 들어갈 수 있다는 기술자의 주장은 옳다.

3단계: 탐사선 기준계에서 격납고의 길이를 계산한다.

격납고의 고유 길이는 \(60\text{ m}\)이다. 탐사선 기준계에서는 격납고가 움직이므로 측정 길이는 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

조종사의 주장도 옳다. 움직이는 격납고는 탐사선 기준계에서 길이가 \(36\text{ m}\)에 불과하지만, 탐사선의 고유 길이는 여전히 \(80\text{ m}\)이다.

4단계: 겉으로 보이는 모순을 해결한다.

“어느 한 순간에 전체가 안에 있다”라는 표현은 지정된 기준계에서 탐사선의 양 끝 위치가 모두 같은 시각에 격납고 안에 있다는 뜻이다.

격납고 기준계에서는 탐사선의 양 끝이 모두 격납고 안에 있는 순간이 존재한다. 탐사선 기준계에서는 길이가 \(80\text{ m}\)인 탐사선 전체가 길이 \(36\text{ m}\)인 격납고 안에 들어가는 순간이 존재하지 않는다.

핵심은 격납고 기준계에서 동시에 일어나는 두 문 닫힘 사건이 탐사선 기준계에서는 동시에 일어나지 않는다는 것이다. 두 관찰자는 동일한 동시적 사건 쌍을 설명하고 있지 않다. 어느 쪽의 설명도 탐사선이 자신의 정지계에서 물리적으로 파괴되거나 압축되어야 한다는 것을 의미하지 않는다.

문제 3

결합된 원자핵의 정지 질량은 분리된 핵자들의 정지 질량을 합한 값보다 \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\)만큼 작다.

두 상태가 모두 정지 상태에서 비교되며, 결합 과정에서 방출되는 에너지가 원자핵 밖으로 빠져나간다고 가정하라.

방출된 결합 에너지를 줄 단위로 계산하고, 최종 원자핵의 정지 질량이 더 작더라도 에너지 보존 법칙에 위배되지 않는 이유를 설명하라.

해설 3

질량 차이에 해당하는 결합 에너지는 \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\)이다. 방출된 에너지가 계 밖으로 이동하므로 정지 질량이 감소해도 에너지 보존에 위배되지 않는다.

1단계: 질량 차이를 확인한다.

질량 결손의 크기는 다음과 같다.

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

2단계: 질량-에너지 등가 관계를 적용한다.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

3단계: 에너지의 변화를 설명한다.

결합된 원자핵의 정지 에너지는 분리된 핵자들의 정지 에너지보다 작다. 그 차이는 결합 과정에서 방출되는 에너지로 나타나며, 여기에는 복사 에너지나 다른 생성물이 가져가는 운동 에너지가 포함될 수 있다.

원자핵 밖으로 에너지가 빠져나갔기 때문에 최종 원자핵의 정지 질량은 더 작다. 방출된 에너지를 포함하면 전체 에너지는 여전히 보존된다.

문제 4

우주선의 불변 정지 질량은 \(1.0\text{ kg}\)이며, 우주선은 지구에 대해 \(0.80c\)의 속력으로 움직인다.

한 학생이 \(\gamma=1.67\)을 계산한 뒤 우주선의 질량이 \(1.67\text{ kg}\)으로 증가했다고 주장한다.

다음 식을 사용하여

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

우주선의 정지 에너지, 전체 에너지, 운동 에너지를 계산하라. 학생의 주장을 평가하라.

해설 4

정지 에너지는 \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), 전체 에너지는 \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), 운동 에너지는 \(6.0\times10^{16}\text{ J}\)이다. 불변 질량을 사용하는 관례에서 우주선의 정지 질량은 \(1.0\text{ kg}\)으로 유지된다.

1단계: 정지 에너지를 계산한다.

정지 질량은 \(m=1.0\text{ kg}\)이다.

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

2단계: 전체 에너지를 계산한다.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

3단계: 운동 에너지를 계산한다.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

전체 에너지가 정지 에너지와 운동 에너지의 합이므로 계산 결과는 서로 일치한다.

\[ E=E_0+K. \]

4단계: 학생의 주장을 평가한다.

학생은 \(\gamma\)를 정지 에너지에 곱하면 전체 에너지가 된다는 점을 올바르게 파악했다. 잘못된 부분은 이 인자를 불변 정지 질량의 증가로 해석한 것이다.

우주선의 속력이 증가하면 운동 에너지는 증가하지만, 불변 정지 질량은 \(1.0\text{ kg}\)으로 유지된다. 움직이는 물체의 에너지와 질량-에너지 등가 관계를 함께 다루는 문제에서는 이러한 구분이 중요하다.

문제 5

플랫폼의 고유 길이는 \(600\text{ m}\)이며, 정지계는 \(S\)이다. 플랫폼 양 끝에는 A와 B라는 두 개의 램프가 설치되어 있다. A는 \(x=0\), B는 \(x=+600\text{ m}\)에 있다. 두 램프는 \(S\)에서 \(t=0\)일 때 동시에 빛을 낸다.

각 섬광은 플랫폼의 중점을 향해 빛 펄스를 발생시킨다. 기준계 \(S\)에서는 두 펄스가 중점에서 만난다.

로켓의 정지계 \(S'\)는 \(S\)에 대해 양의 \(x\) 방향으로 \(0.80c\)의 속력으로 움직인다.

이 문제에서는 다음 시간 좌표 관계식을 사용하라.

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

여기서 \(\Delta t=t_B-t_A\)와 \(\Delta x=x_B-x_A\)는 \(S\)에서 측정한 값이다.

(a) \(S'\)에서는 어느 섬광이 먼저 발생하며, 시간 차이는 얼마인가?

(b) 플랫폼의 길이는 \(S'\)에서 \(360\text{ m}\)이다. 한 학생은 섬광 사이의 시간 차이가 반드시 \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\)여야 한다고 주장한다. 정확히 어떤 점이 잘못되었는지 설명하라.

(c) 두 빛 펄스는 \(S'\)에서도 여전히 동일한 사건에서 만나야 하는가? 섬광이 더 이상 동시에 발생하지 않는데도 이것이 어떻게 가능한지 설명하라.

해설 5

\(S'\)에서는 B의 섬광이 A의 섬광보다 \(2.67\,\mu\text{s}\) 먼저 발생한다. 두 빛 펄스는 여전히 동일한 사건에서 만난다. 모든 관성계는 두 펄스가 만나는 지점과 시공간상의 사건에 동의하지만, 방출 사건에 부여하는 시간은 서로 다를 수 있기 때문이다.

1단계: 로런츠 인자를 계산하고 사건의 차이를 확인한다.

상대 속력은 \(v=0.80c\)이므로,

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

두 섬광은 \(S\)에서 동시에 발생하며, B의 위치 좌표가 더 크다. 따라서

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

2단계: \(S'\)에서 시간 차이를 계산한다.

주어진 시간 좌표 관계식에 대입하면

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

결과가 음수이므로 \(t'_B<t'_A\)이다. 로켓 기준계에서는 B의 섬광이 A의 섬광보다 \(2.67\,\mu\text{s}\) 먼저 발생한다.

3단계: \(360\text{ m}/c\) 계산이 잘못된 이유를 설명한다.

학생의 계산은 다음과 같다.

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

계산 자체는 올바르지만, 다른 질문에 대한 답을 구하고 있다.

\(360\text{ m}\)는 로켓 기준계 \(S'\)에서 측정한 플랫폼의 길이이다. 이 길이는 로켓 기준계의 동일한 시각에 양 끝의 위치를 측정하여 구한 값이다. 하지만 두 섬광 사건은 \(S'\)에서 동시에 발생하지 않는다. 따라서 두 사건의 위치를 동시적인 길이 측정에서 사용하는 양 끝점처럼 취급할 수 없다.

두 사건 사이의 시간 차이가 일반적으로 측정 길이를 \(c\)로 나눈 값과 같지는 않다. 학생은 동시에 측정한 양 끝점으로부터 얻은 길이와, 같은 기준계에서 서로 다른 시간에 발생하는 두 사건을 혼동했다.

4단계: 두 펄스가 여전히 만나는 이유를 설명한다.

\(S\)에서는 각 펄스가 중점까지 \(300\text{ m}\)를 이동한다. 따라서 두 펄스가 만나는 사건은 다음과 같다.

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

이것은 시공간상의 하나의 사건이다. 모든 관성계는 그 사건에 부여하는 좌표가 서로 다르더라도 두 펄스가 동일한 사건에서 만난다는 데 동의한다.

로켓 기준계에서의 시간도 확인할 수 있다. 섬광 A와 두 펄스가 만나는 사건 사이에 주어진 관계식을 적용하면

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

섬광 A는 \(t'_A=0\)에 발생하므로, A에서 나온 펄스가 만나는 사건에 도달하는 데 걸리는 로켓 기준계의 좌표 시간은 \(0.333\,\mu\text{s}\)이다.

섬광 B는 \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\)에 발생하므로, 그 펄스가 동일한 사건에 도달하는 데 걸리는 시간은

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

이다.

서로 다른 방출 시각과 이동 시간은 두 펄스가 동일한 사건에서 만나는 것과 양립할 수 있다. 한 기준계에서 방출이 동시에 일어났다면 모든 기준계에서도 반드시 동시에 일어나야 한다고 가정하는 것이 오류이다.

다음으로 유용한 단계는 시공간 다이어그램으로 사건을 나타내는 방법을 배우는 것이다. HSC 문제에서는 먼저 기준계를 확인하고, 해당 기준계에서 두 사건이 같은 위치에서 발생하는지 살펴보자. 이렇게 하면 계산을 시작하기 전에 시간 지연, 길이 수축, 동시성의 상대성 중 어떤 개념을 적용해야 할지 판단하는 데 도움이 된다.