자기 제동: 와전류, 렌츠의 법칙과 에너지

강한 자석을 플라스틱 관 속으로 떨어뜨리면 평소처럼 낙하한다. 같은 자석을 구리 관 속으로 떨어뜨리면 구리가 강자성체가 아닌데도 이상할 정도로 천천히 내려갈 수 있다.

그렇다면 무엇이 자석의 움직임에 맞서고 있는 것일까?

계속 읽기 전에 먼저 예측해 보자. 구리가 단순히 자석에 끌리는 것일까, 아니면 자석이 움직이기 때문에만 어떤 현상이 일어나는 것일까?

중요한 것은 두 번째 생각이다. 운동은 도체의 각 부분을 통과하는 자기 선속을 변화시킨다. 이처럼 변하는 선속은 금속 내부에 순환 전류를 만들어 낸다. 그 전류는 자체적인 자기장을 만들고, 그 결과 생기는 상호작용은 그 전류를 만들어 낸 변화를 방해한다.

이 순환 전류를 와전류라고 한다. 적절한 구조에서 와전류를 이용하면 자기 브레이크를 만들 수 있다.

01움직이는 도체가 자기 저항력을 받을 수 있는 이유

두 개의 강한 영구자석 사이의 좁은 틈을 지나 오른쪽으로 움직이는 알루미늄 판을 생각해 보자.

이 판은 도체이므로 전자가 그 안을 이동할 수 있다. 판의 서로 다른 부분이 자기장 안으로 들어가면서 금속 내부에 형성될 수 있는 전류 고리를 통과하는 자기 선속이 변한다.

이것이 중요한 이유는 패러데이의 법칙 때문이다.

\[
\varepsilon=-\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}
\]

여기서:

• \(\varepsilon\)는 유도 기전력이며 단위는 볼트 \(\text{V}\),
• \(\Phi_B\)는 자기 선속이며 단위는 웨버 \(\text{Wb}\),
• \(t\)는 시간이며 단위는 초 \(\text{s}\)이다.

면에 수직인 균일한 자기장에 대해서는

\[
\Phi_B=BA
\]

이다. 여기서 \(B\)는 자기장 세기이며 단위는 테슬라 \(\text{T}\), \(A\)는 넓이이며 단위는 제곱미터 \(\text{m}^2\)이다.

패러데이의 법칙에 있는 음의 부호가 바로 렌츠의 법칙을 나타낸다. 이 부호는 유도 효과의 방향을 알려 준다.

유도 전류는 자기 선속의 변화를 방해하는 자기장을 만든다.

이 표현은 정확히 이해할 가치가 있다.

렌츠의 법칙은 “유도 전류가 자기장을 방해한다”라고 말하는 법칙이 아니다. 또한 근본적으로 “유도 전류가 운동을 방해한다”라고 말하는 법칙도 아니다. 유도 전류가 방해하는 것은 선속의 변화이다.

자기 브레이크에서는 선속의 변화를 방해한 결과로 운동을 방해하는 힘이 생긴다.

02규칙을 적용하기 전에 상황을 먼저 그려 보자

판이 종이 안쪽을 향하는 외부 자기장이 있는 영역으로 오른쪽으로 이동한다고 하자.

판의 앞쪽 가장자리 부근에 형성될 수 있는 아주 작은 전류 고리 하나에 집중해 보자.

그 고리가 자기장 안으로 들어가면서 종이 안쪽 방향의 자기 선속이 증가한다.

유도 자기장은 어느 방향을 향해야 할까?

종이 바깥쪽이라고 예측했다면 맞다. 이 유도 자기장은 종이 안쪽 방향 선속의 증가를 방해한다.

오른손 감기 법칙을 사용하면, 종이 바깥쪽을 향하는 자기장을 만들기 위해서는 유도 전류가 반시계 방향으로 흘러야 한다.

이제 반대쪽 가장자리에서 자기장 영역을 빠져나가는 고리를 생각해 보자. 이 고리를 통과하는 종이 안쪽 방향의 선속은 감소하고 있다. 이번에는 유도 전류가 종이 안쪽을 향하는 자기장을 만들어 그 감소를 방해하려 한다.

따라서 들어갈 때와 나올 때 전류의 방향은 서로 반대가 된다.

그런데도 제동력은 두 경우 모두 운동을 방해한다.

처음에는 이것이 모순처럼 느껴질 수 있다. 하지만 모순이 아니다. 전류의 방향이 바뀌는 동시에 외부 자기장 안에 놓인 전류 고리의 부분도 달라진다. 그 결과 나타나는 자기력은 여전히 판의 운동 방향과 반대이다.

따라서 “시계 방향이면 제동” 같은 식으로 외우는 것은 쓸모가 없다. 방향은 기하학적 배치에 따라 달라진다.

와전류를 이해하는 데 유용한 사고 모형

고체 금속판 안에는 교과서 그림처럼 깔끔한 하나의 도선 고리가 들어 있는 것이 아니다. 전류는 금속 덩어리 내부에서 여러 닫힌 경로를 따라 흐를 수 있다.

금속판 안에 서로 겹치는 수많은 가능한 고리가 있다고 생각할 수 있다. 자기 선속의 변화가 기전력을 유도하는 곳마다, 전류는 이용 가능한 경로를 따라 순환한다.

조금 우스운 비유를 들면, 표시된 보행로가 전혀 없는 쇼핑센터와 비슷하다. 한 입구 근처에서 갑자기 무언가가 변하면 사람들은 정해진 하나의 길만 따라가는 대신 여러 경로를 통해 돌아다닐 수 있다. 바닥에 틈을 여러 개 잘라 놓으면 이런 가능한 순환 경로 중 일부가 끊길 것이다.

물론 전자가 경로를 ‘선택’하는 것은 아니며, 실제 와전류의 패턴은 전자기장, 전도도, 기하학적 구조에 의해 결정되므로 이 비유에는 한계가 있다. 하지만 “가능한 고리가 많이 있다”라는 생각은 유용하다.

03렌츠의 법칙이 반드시 변화를 방해해야 하는 이유

반대 상황이 일어난다고 가정해 보자.

판이 자기장 안으로 들어가면서 선속이 증가하는데, 유도 전류가 그 증가를 더욱 크게 만드는 자기장을 만든다고 상상해 보자. 그러면 더 커진 선속이 또다시 그것을 강화하는 효과를 유도할 것이다.

그 결과 외부 에너지원이 없는데도 판은 운동 에너지를 얻으면서 동시에 전기 에너지와 열까지 만들어 낼 수 있게 된다.

이는 에너지 보존 법칙에 위배된다.

따라서 렌츠의 법칙은 임의로 정한 방향 규칙이 아니다. 그 방향은 전자기 유도가 아무것도 없는 곳에서 에너지를 만들어 내는 것을 정확히 막아 준다.

와전류 브레이크에서 에너지의 흐름은 대략 다음과 같다.

\[
\text{역학적 에너지}\rightarrow\text{유도 전류의 전기 에너지}\rightarrow\text{열에너지}
\]

금속은 전기 저항을 가지므로 따뜻해진다.

유도 전류 \(I\)가 유효 저항 \(R\)을 통해 흐를 때 열에너지가 생성되는 비율은

\[
P=I^2R
\]

이다. 여기서 \(P\)는 전력이며 단위는 와트 \(\text{W}\), \(I\)는 전류이며 단위는 암페어 \(\text{A}\), \(R\)은 저항이며 단위는 옴 \(\Omega\)이다.

영구자석이 ‘소모되는’ 연료 탱크인 것은 아니다. 소산되는 에너지는 움직이는 계에서 나오거나, 그 계가 계속 움직이도록 유지하는 외부 작용이 공급한 에너지에서 나온다.

04자기 제동력의 간단한 모형

금속판에서 실제로 생기는 와전류의 모양은 복잡할 수 있다. 주요 관계를 이해하려면 금속판을 잠시 단순한 도체 고리로 바꾸어 생각하는 것이 도움이 된다.

길이가 \(\ell\)인 수직 도선 구간이 자기장 \(B\) 속에서 속력 \(v\)로 옆으로 움직이며, 운동 방향, 도선, 자기장이 서로 수직이라고 하자.

운동 기전력은

\[
\varepsilon=B\ell v
\]

이다.

전체 고리의 저항이 \(R\)이면,

\[
I=\frac{\varepsilon}{R}
=\frac{B\ell v}{R}
\]

이다.

자기장 안에 있는 전류가 흐르는 도선 구간은 크기가

\[
F=BI\ell
\]

인 자기력을 받으므로,

\[
F
=B\left(\frac{B\ell v}{R}\right)\ell
=\frac{B^2\ell^2v}{R}
\]

이다.

이 단순한 모형에서 제동력은 속력에 비례한다.

이 사실로부터 즉시 유용한 예측을 할 수 있다. 물체의 속력이 줄어들수록 자기 제동력도 약해진다.

속력이 0이면 이 모형에서는 자기 선속의 변화가 없으므로 와전류에 의한 제동력도 없다.

실제 브레이크는 특히 속력이 높거나 도체의 형태가 복잡할 때 이 단순한 비례 관계에서 벗어날 수 있다. 그러나 이 모형은 HSC에서 중요한 핵심 개념을 잘 보여 준다. 일반적으로 선속이 더 빠르게 변할수록 더 큰 유도 기전력, 더 큰 와전류, 더 강한 자기 저항력이 생긴다.

05사라진 운동 에너지는 어디로 가는가

자기 제동은 움직이는 물체와 아무것도 직접 접촉할 필요가 없기 때문에 신비롭게 보일 수 있다.

하지만 “접촉이 없다”는 것은 “에너지 전달이 없다”는 뜻이 아니다.

움직이는 판에 작용하는 자기력이 운동 방향과 반대인 \(40\text{ N}\)이고, 판이 \(6.0\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 움직인다고 하자.

제동력이 역학적 에너지를 제거하는 비율은

\[
P=Fv
\]

이므로,

\[
P=(40)(6.0)=240\text{ W}
\]

이다.

판은 \(240\text{ J s}^{-1}\)의 비율로 역학적 에너지를 잃고 있다.

이 이상화된 브레이크에서 다른 중요한 에너지 전달이 없다면, 같은 \(240\text{ W}\)가 도체의 열에너지로 나타난다.

이것이 렌츠의 법칙을 에너지 관점에서 본 것이다. 자기적 상호작용이 판을 계속 가속하면서 동시에 판을 가열할 수는 없다. 가열에 필요한 에너지는 역학적 에너지의 감소로 충당되거나, 판이 계속 움직이도록 유지하기 위해 외부에서 한 일로 공급되어야 한다.

06와전류 제동의 세기는 무엇이 결정하는가?

단순 모형에서는

\[
F=\frac{B^2\ell^2v}{R}
\]

이다.

이 식을 모든 와전류 브레이크에 적용되는 보편적인 식으로 생각해서는 안 된다. 고체 원판이나 금속판에는 하나로 명확하게 정의되는 \(\ell\)과 \(R\)이 없기 때문이다.

하지만 이 식은 몇 가지 유용한 경향을 보여 준다.

단순 고리 모형에서 나타나는 \(B^2\) 의존성은 특히 흥미롭다. 더 큰 자기장은 더 큰 전류를 유도하는 동시에 그 전류에 더 큰 힘을 가한다.

다시 말하지만 실제 장치는 더 복잡할 수 있다. 이 표는 다른 조건이 비슷할 때 예상되는 물리적 경향을 나타낸다.

07틈을 내면 와전류 브레이크가 약해지는 이유

연속된 도체 원판에서는 유도 전류가 흐를 수 있는 닫힌 경로가 많이 존재한다.

이제 원판에 방사형 틈을 낸다고 하자.

금속을 통과하는 자기장은 여전히 변할 수 있다. 패러데이의 법칙이 사라진 것은 아니다.

달라진 것은 전류가 흐를 수 있는 경로이다.

틈은 큰 순환 고리를 끊고, 일반적으로 남아 있는 경로의 유효 저항을 증가시킨다. 그 결과 와전류의 크기가 줄어들고 따라서 자기 저항력도 감소한다.

이 구분은 실험 문제에서 유용하다. 틈을 낸 뒤 제동 효과가 작아졌다는 것은 순환하는 유도 전류가 중요한 역할을 한다는 증거이다. 단순히 “금속의 양이 줄었기 때문”이라는 증거는 아니다.

08가장 흔한 오해: 렌츠의 법칙은 운동을 방해한다

자기 제동 문제에서 “렌츠의 법칙은 운동을 방해한다”라고 말하면 방향을 맞히는 경우가 많다.

하지만 여전히 안전한 규칙은 아니다.

금속판이 일정한 자기장 안에서 완전히 정지해 있다고 생각해 보자. 자기장은 존재하지만 아무것도 변하지 않는다. 지속적인 와전류 제동은 일어나지 않는다.

이제 도체가 이상적이고 완전히 균일한 자기장을 가로질러 이동하지만, 관련된 각 닫힌 경로를 통과하는 자기 선속은 일정하게 유지된다고 생각해 보자. 단순한 선속 변화 모형은 도체가 속도를 가진다는 이유만으로 지속적인 와전류 제동이 생긴다고 예측하지 않는다.

중요한 것은 변하는 선속이다.

따라서 실제 자기 브레이크는 국소적이거나 불균일한 자기장, 자석에 대한 상대 운동, 또는 도체 내부에서 자기 선속이 변하도록 만드는 다른 구조를 이용한다.

더 좋은 판단 절차는 다음과 같다.

1. 가능한 도체 경로를 하나 찾는다.
2. 그 경로의 자기 선속이 증가하는지 감소하는지 판단한다.
3. 렌츠의 법칙을 사용해 그 변화를 방해하는 유도 자기장의 방향을 찾는다.
4. 오른손 법칙을 사용해 유도 전류의 방향을 찾는다.
5. 그 전류에 작용하는 자기력을 이용해 역학적 효과를 판단한다.

“운동을 방해한다”라고 외우는 것보다 조금 더 오래 걸리지만, 기하학적 구조가 더 어려워져도 계속 사용할 수 있는 방법이다.

09브레이크가 물체를 정지 상태로 붙잡아 둘 수 없는 이유

와전류 브레이크가 회전하는 금속 원판을 거의 정지할 때까지 감속시킨다고 하자.

그 뒤에도 원판을 그 위치에 고정할 수 있을까?

와전류만으로는 불가능하다.

속력이 0에 가까워질수록 선속의 변화율도 0에 가까워진다. 유도 기전력은 작아지고, 와전류도 작아지며, 제동력도 작아진다.

정지 상태에서는

\[
\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}=0
\]

이므로 이상적인 정상 자기장 와전류 브레이크는 지속적인 유도 기전력을 만들어 내지 않는다.

따라서 와전류 브레이크는 부드럽고 비접촉식으로 감속하는 데는 매우 뛰어나지만, 정지한 하중을 붙잡는 유일한 장치로는 적합하지 않다. 실제 시스템에서 물체가 계속 정지해 있어야 한다면 기계식 브레이크나 잠금 장치 같은 다른 메커니즘이 필요하다.

10문제와 풀이

문제 1

알루미늄 판의 한 도체 영역을 넓이가 \(0.015\text{ m}^2\), 저항이 \(0.030\,\Omega\)인 고리로 모형화한다. 판이 종이 안쪽을 향하는 자기장에 들어가면서 고리를 통과하는 자기장 세기가 \(0\)에서 \(0.40\text{ T}\)까지 \(0.050\text{ s}\) 동안 일정하게 증가한다.

다음을 계산하라.

a. 평균 유도 기전력,
b. 유도 전류,
c. 전류의 방향.

풀이 1

유도 기전력은 \(0.12\text{ V}\), 전류는 \(4.0\text{ A}\), 전류의 방향은 반시계 방향이다.

흔히 하기 쉬운 실수는 외부 자기장의 방향만 보고 전류의 방향을 결정하는 것이다. 렌츠의 법칙은 선속의 변화에 반응한다.

자기 선속의 변화는

\[
\Delta\Phi_B
=A\Delta B
=(0.015)(0.40)
=0.0060\text{ Wb}
\]

이다.

패러데이의 법칙을 사용하면,

\[
|\varepsilon|
=\frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t}
=\frac{0.0060}{0.050}
=0.12\text{ V}
\]

이다.

그다음 옴의 법칙을 사용하면,

\[
I=\frac{\varepsilon}{R}
=\frac{0.12}{0.030}
=4.0\text{ A}
\]

이다.

종이 안쪽 방향의 자기 선속이 증가하고 있다. 따라서 유도 자기장은 그 증가를 방해하기 위해 종이 바깥쪽을 향해야 한다.

오른손 감기 법칙에 따르면 전류는 반시계 방향이다.

문제 2

특정 자기 브레이크를 일정한 속력 범위에서 다음과 같은 단순 고리 모형으로 근사할 수 있다.

\[
\varepsilon=B\ell v
\]

자기장 세기, 기하학적 구조, 저항은 일정하다.

도체의 속력을 두 배로 증가시킨다.

다음 항목이 어떻게 변하는지 결정하라.

a. 유도 기전력,
b. 유도 전류,
c. 제동력,
d. 열에너지 생성률.

힘과 전력이 같은 배수로 변하지 않는 이유를 설명하라.

풀이 2

기전력은 두 배, 전류는 두 배, 제동력은 두 배가 되며, 열전력은 네 배가 된다.

속력이 두 배가 되었으니 모든 것이 두 배가 된다고 생각하기 쉽다. 여기서 놓치기 쉬운 상호작용은 전력이 힘과 속력 모두에 의존한다는 점이다.

\[
\varepsilon=B\ell v
\]

에서 \(v\)를 두 배로 하면

\[
\varepsilon’ =2\varepsilon
\]

이다.

저항이 일정하므로,

\[
I=\frac{\varepsilon}{R}
\]

이고 따라서

\[
I’=2I
\]

이다.

자기력은

\[
F=BI\ell
\]

이므로,

\[
F’=2F
\]

이다.

그러나 역학적 제동 전력은

\[
P=Fv
\]

이다.

\(F\)와 \(v\)가 모두 두 배가 되었으므로,

\[
P’=(2F)(2v)=4Fv=4P
\]

이다.

전기적 계산도 같은 결과를 준다.

\[
P=I^2R
\]

이므로,

\[
P’=(2I)^2R=4I^2R=4P
\]

이다.

따라서 이 단순화된 속력 범위에서는 속력을 두 배로 하면 저항력은 두 배가 되지만 초당 에너지 전달량은 네 배가 된다.

문제 3

질량이 \(2.0\text{ kg}\), 반지름이 \(0.20\text{ m}\)인 균일한 도체 원판이 있다. 이 원판의 관성 모멘트는

\[
I_{\text{rot}}=\frac{1}{2}MR^2
\]

이다.

원판이 고정된 자기 브레이크를 통과하며 회전하고 있고, 각속도는 \(50\text{ rad s}^{-1}\)에서 \(20\text{ rad s}^{-1}\)로 감소한다.

이 구간 동안 측정한 결과 원판에 \(36\text{ J}\)의 열에너지가 생겼다.

a. 원판의 회전 운동 에너지 감소량을 계산하라.
b. 다른 과정에 의해 전달된 에너지의 양을 구하라.
c. 한 학생이 “사라진 에너지는 영구자석에 저장되었을 것이다”라고 말한다. 이 주장을 평가하라.

풀이 3

회전 운동 에너지는 \(42\text{ J}\) 감소하므로 \(6.0\text{ J}\)는 다른 과정을 통해 전달되었다. 이 에너지가 영구자석에 저장되었다고 볼 필요는 없다.

먼저 관성 모멘트를 계산한다.

\[
I_{\text{rot}}
=\frac{1}{2}MR^2
=\frac{1}{2}(2.0)(0.20)^2
=0.040\text{ kg m}^2
\]

회전 운동 에너지는

\[
E_k=\frac{1}{2}I_{\text{rot}}\omega^2
\]

이며, 여기서 \(\omega\)는 초당 라디안 단위의 각속도이다.

처음에는,

\[
E_{k,i}
=\frac{1}{2}(0.040)(50)^2
=50\text{ J}
\]

이다.

마지막에는,

\[
E_{k,f}
=\frac{1}{2}(0.040)(20)^2
=8.0\text{ J}
\]

이다.

따라서 감소량은

\[
\Delta E_k
=50-8.0
=42\text{ J}
\]

이다.

이 중 \(36\text{ J}\)가 원판의 열에너지가 된다. 나머지 에너지 전달량은

\[
42-36=6.0\text{ J}
\]

이다.

이 \(6.0\text{ J}\)는 공기 저항, 베어링 마찰, 또는 장치의 다른 부분에서 발생하는 가열과 같은 과정을 통해 전달될 수 있다.

자석이 제동력을 일으켰으니 자석이 손실된 운동 에너지를 흡수해야 한다고 생각하기 쉽다. 하지만 그런 결론은 성립하지 않는다.

일반적인 와전류 제동에서는 유도 전류가 역학적 에너지를 열에너지로 소산한다. 에너지 보존 법칙은 전체 에너지 전달이 서로 맞아야 한다고 요구할 뿐, 영구자석이 반드시 에너지 저장 장치 역할을 해야 한다고 요구하지 않는다.

문제 4

서로 동일한 두 도체 원판이 같은 각속도로 회전을 시작한다. 원판 A는 연속된 원판이다. 원판 B에는 여러 개의 좁은 방사형 틈이 뚫려 있다.

두 원판은 동일한 자기장 영역을 통과한다. 제거된 재료로 인해 생기는 관성 모멘트의 작은 차이는 무시한다.

각 원판이 각속도 \(\omega_1\)에서 같은 더 낮은 각속도 \(\omega_2\)까지 감속하는 동안:

a. 어느 원판이 더 강한 자기 제동 토크를 받을 것으로 예상되는가?
b. 이 구간에서 와전류 제동이 유일하게 중요한 에너지 전달 과정이라면, 어느 원판이 총합으로 더 많은 역학적 에너지를 열에너지로 전환하는가?
c. a와 b에 대한 답이 어떻게 동시에 옳을 수 있는지 설명하라.

풀이 4

원판 A가 더 강한 제동 토크를 받지만, 두 원판이 동일한 두 각속도 사이에서 감속하는 동안 열에너지로 전환하는 역학적 에너지의 총량은 같다.

처음에는 더 강한 브레이크가 총합으로도 더 많은 열을 만들어야 한다고 생각하기 쉽다. 이는 에너지 전달률과 전달된 총에너지를 혼동한 것이다.

원판 A는 연속되어 있으므로 큰 순환 와전류가 흐를 수 있는 경로가 존재한다. 원판 B의 방사형 틈은 이러한 경로를 많이 끊어 유효 저항을 증가시키거나 경로 자체를 완전히 차단한다.

따라서 원판 A에서는 더 큰 와전류가 발생하고 더 강한 자기 제동 토크가 생긴다.

하지만 두 원판은 모두 \(\omega_1\)에서 시작해 \(\omega_2\)에서 끝나며, 관성 모멘트도 같다고 가정했다.

따라서 두 원판의 회전 운동 에너지 감소량도 같다.

\[
\Delta E_k
=\frac{1}{2}I_{\text{rot}}\left(\omega_1^2-\omega_2^2\right)
\]

와전류에 의한 가열이 유일하게 중요한 에너지 전달 과정이라면, 에너지 보존 법칙에 따라 두 경우 모두 동일한 \(\Delta E_k\)가 열에너지로 전환되어야 한다.

원판 A는 에너지를 더 빠른 비율로 전달하므로 \(\omega_2\)에 더 빨리 도달한다.

원판 B는 제동이 더 약하므로 같은 양의 에너지 전달이 더 긴 시간에 걸쳐 일어난다.

핵심 조건은 처음과 마지막의 역학적 에너지가 정해져 있다는 점이다. 브레이크의 세기는 에너지가 얼마나 빠르게 제거되는지를 결정하지만, 주어진 최종 속력에 도달하기 위해 제거해야 하는 에너지의 양을 결정하지는 않는다.

문제 5

직사각형 도체 고리를 일정한 속력으로 오른쪽으로 당겨, 종이 안쪽을 향하는 균일한 자기장이 존재하는 유한한 영역을 통과시킨다.

고리는 먼저 자기장 안으로 들어가고, 이후 균일한 자기장 영역 안에 완전히 들어가며, 마지막으로 그 영역을 빠져나온다.

고리의 운동 방향 너비는 \(0.40\text{ m}\)이다. 수직 변의 길이는 \(0.25\text{ m}\), 자기장 세기는 \(0.80\text{ T}\), 고리의 저항은 \(0.20\,\Omega\), 일정하게 유지되는 속력은 \(3.0\text{ m s}^{-1}\)이다.

자기장의 경계가 뚜렷하다고 가정하고 자체 인덕턴스는 무시한다.

a. 고리가 자기장에 들어가는 동안 유도 전류의 방향을 쓰시오.
b. 고리가 균일한 자기장 안에 완전히 들어가 있는 동안의 전류를 쓰시오.
c. 고리가 자기장을 빠져나오는 동안 유도 전류의 방향을 쓰시오.
d. 들어가거나 빠져나오는 동안의 자기 저항력의 크기를 구하시오.
e. 두 번의 경계 통과 동안 생성되는 총 열에너지를 계산하시오.
f. 한 학생이 다음과 같이 주장한다. “나올 때 전류의 방향이 반대로 바뀌므로 자기력도 반대로 바뀌어야 한다. 자기장이 들어갈 때 제거한 에너지를 다시 돌려준다.” 이 주장이 정확히 왜 틀렸는지 설명하시오.

풀이 5

들어갈 때 전류는 반시계 방향이고, 이상적인 균일 자기장 안에 완전히 들어가 있을 때는 0이며, 빠져나올 때는 시계 방향이다. 그러나 자기력은 들어갈 때와 빠져나올 때 모두 운동을 방해한다. 저항력의 크기는 \(0.60\text{ N}\)이며, 생성되는 총 열에너지는 \(0.48\text{ J}\)이다.

이 주장에서 쉽게 빠지는 함정은 전류의 방향이 반대로 바뀐다는 사실에만 집중하고, 빠져나갈 때에는 고리의 다른 변이 자기장과 상호작용한다는 사실을 잊는 것이다. 전류의 방향과 관련된 기하학적 구조를 모두 고려해야 한다.

들어가는 동안에는 종이 안쪽 방향의 자기 선속이 증가한다. 렌츠의 법칙에 따라 유도 자기장은 종이 바깥쪽을 향해야 하므로 전류는 반시계 방향이다.

고리 전체가 균일한 자기장 안에서 움직이면 고리의 넓이, 방향, 자기장이 모두 일정하다. 따라서,

\[
\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}=0
\]

이고 이상화된 유도 기전력과 전류는 0이다.

빠져나가는 동안에는 종이 안쪽 방향의 선속이 감소한다. 이제 유도 자기장은 그 감소를 방해하기 위해 종이 안쪽을 향해야 하므로 시계 방향 전류가 필요하다.

어느 경계를 통과하든 운동 기전력의 크기는

\[
\varepsilon
=B\ell v
=(0.80)(0.25)(3.0)
=0.60\text{ V}
\]

이다.

유도 전류의 크기는

\[
I
=\frac{\varepsilon}{R}
=\frac{0.60}{0.20}
=3.0\text{ A}
\]

이다.

자기력의 크기는

\[
F
=BI\ell
=(0.80)(3.0)(0.25)
=0.60\text{ N}
\]

이다.

들어갈 때와 빠져나올 때 모두 힘은 고리가 움직이는 오른쪽과 반대인 왼쪽으로 작용한다.

각 경계를 통과하는 데 걸리는 시간은 고리의 \(0.40\text{ m}\) 너비가 경계를 완전히 지나가는 데 필요한 시간이다.

\[
t
=\frac{d}{v}
=\frac{0.40}{3.0}
=0.133\text{ s}
\]

열에너지 생성률은

\[
P
=I^2R
=(3.0)^2(0.20)
=1.8\text{ W}
\]

이다.

따라서 한 번의 경계 통과 동안 생성되는 열에너지는

\[
E
=Pt
=(1.8)(0.133)
\approx0.24\text{ J}
\]

이다.

경계를 두 번 통과하므로,

\[
E_{\text{total}}
=2(0.24)
=0.48\text{ J}
\]

이다.

학생의 주장이 틀린 이유는 고리 전류의 방향이 반대로 바뀐다고 해서 알짜힘의 방향이 자동으로 반대로 바뀌는 것은 아니기 때문이다.

고리가 들어갈 때에는 한쪽 수직 변이 자기장 안에 있는 중요한 전류 구간이다. 빠져나올 때에는 반대편 수직 변이 자기장 안에 남아 있는 구간이다. 고리 전체에서 흐르는 전류의 방향은 반대로 바뀌지만, 전류 방향과 자기장 기하 구조의 조합은 여전히 운동 방향과 반대인 힘을 만든다.

또한 에너지 측면의 제약도 있다. 고리는 일정한 속력으로 당겨지고 있으므로 외부에서 자기 저항력에 맞서 양의 일을 해야 한다. 그 일은 고리의 열에너지로 전환된다.

반대로 자기력이 고리가 빠져나올 때 고리를 충분히 가속해 들어갈 때 제거한 에너지를 모두 돌려준다면, 저항이 계속 열을 만들어 내는 동안 에너지 수지가 맞지 않게 된다.

이것이 렌츠의 법칙을 신뢰할 수 있는 더 근본적인 이유이다. 유도 반응은 에너지 보존 법칙의 제약을 받는다.

11이 개념은 다음에 어디로 이어지는가

와전류 제동은 더 넓은 법칙의 한 예이다. 유도가 전류를 만들어 낼 때마다 유도 효과는 그 전류를 만들어 낸 변화에 맞서 작용한다.

같은 에너지 논리는 DC 모터에서도 나타난다. 모터가 회전하면 인가 전압에 반대하는 역기전력이 발생한다. 또한 AC 발전기에서도 같은 원리가 나타나는데, 자기 선속이 계속 변하면서 교류 기전력이 생성된다.

따라서 다음으로 배워야 할 것은 또 하나의 방향 규칙이 아니다. 패러데이의 법칙, 렌츠의 법칙, 자기력, 에너지 보존을 서로 분리된 네 가지 사실이 아니라 하나로 연결된 모형으로 보는 법을 익히는 것이다.