Relativiti Khas untuk Fizik HSC: Panduan Jelas dengan Contoh Berjawab

Sebuah kapal angkasa melintasi Bumi pada \(0.80c\). Bumi menetapkan bahawa selang masa antara dua detik jam kapal angkasa adalah lebih panjang daripada selang masa yang diukur oleh angkasawan. Sementara itu, angkasawan mengatakan bahawa jam di Bumi bergerak perlahan. Sebelum meneruskan bacaan, buat ramalan: adakah salah seorang pemerhati sememangnya salah? Tidak. Setiap pemerhati menggunakan kerangka inersia yang berbeza, dan percanggahan ini berpunca daripada cara masa dan ruang diukur pada kelajuan tinggi.

01Kerangka: apakah yang sebenarnya diukur oleh setiap pemerhati?

Kerangka rujukan ialah sistem koordinat yang digunakan untuk menetapkan kedudukan dan masa bagi sesuatu peristiwa. Kerangka ini boleh diwakili oleh pembaris dan rangkaian jam yang disegerakkan.

Kerangka inersia ialah kerangka yang tidak mengalami pecutan atau putaran. Untuk panduan ini, anggap bahawa kesan graviti boleh diabaikan dan kapal angkasa serta Bumi bergerak dengan halaju relatif yang malar apabila kedua-duanya dibandingkan.

Dalam kehidupan seharian, kita biasanya boleh menganggap masa seolah-olah bersifat sejagat. Jika dua peristiwa berlaku pada masa yang sama bagi anda, anda menjangkakan kedua-duanya juga berlaku pada masa yang sama bagi orang lain.

Relativiti khas mencabar anggapan tersebut. Teori ini bermula dengan dua prinsip:

• Hukum fizik adalah sama dalam setiap kerangka inersia.
• Setiap pemerhati inersia mengukur kelajuan cahaya yang sama dalam vakum, tanpa mengira pergerakan sumber cahaya atau pemerhati.

Kelajuan cahaya ialah

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

Katakan anda bergerak menghampiri satu alur cahaya. Anda mungkin menjangkakan bahawa kelajuan yang diukur ialah \(c+v\), dengan \(v\) ialah kelajuan anda bergerak menghampiri alur tersebut. Namun, anda tidak akan mengukurnya begitu. Anda tetap mengukur kelajuan \(c\).

Untuk keadaan ini berlaku, pemerhati yang bergerak secara relatif antara satu sama lain tidak semestinya bersetuju tentang selang masa, panjang atau peristiwa jauh yang berlaku serentak.

Hal ini bukan berkaitan dengan apa yang kebetulan dilihat oleh mata mereka. Pengukuran relativistik menggunakan jam yang disegerakkan dan mengambil kira masa yang diperlukan oleh cahaya untuk bergerak. Percanggahan itu tetap wujud walaupun pembetulan tersebut telah dibuat.

02Keserentakan: dua peristiwa boleh berlaku pada masa yang berbeza dalam kerangka yang berbeza

Bayangkan dua lampu, A dan B, berada di kedua-dua hujung sebuah pelantar yang panjang. Jam yang pegun relatif kepada pelantar telah disegerakkan, dan kedua-dua lampu menyala pada masa pelantar \(t=0\).

Sebelum meneruskan bacaan, buat ramalan: adakah sebuah roket yang melintasi pelantar itu mesti bersetuju bahawa kedua-dua kilatan berlaku serentak?

Tidak. Roket tersebut boleh menetapkan masa yang berbeza bagi kedua-dua kilatan.

Serentak bermaksud dua peristiwa mempunyai koordinat masa yang sama dalam kerangka tertentu. Hal ini tidak bermakna bahawa setiap kerangka inersia akan menetapkan masa yang sama bagi kedua-dua peristiwa tersebut.

Untuk menerangkan keadaan ini dengan tepat, anggap bahawa:

• Lampu A berada pada \(x=0\).
• Lampu B berada pada \(x=600\text{ m}\).
• Pelantar pegun dalam kerangka \(S\).
• Kerangka roket \(S'\) bergerak dalam arah \(x\) positif pada kelajuan \(v\) relatif kepada \(S\).

Dalam kerangka pelantar, kedua-dua kilatan berlaku serentak. Dalam kerangka roket, kilatan di B berlaku lebih awal daripada kilatan di A.

Mengapakah arah perbezaan masa itu begitu? Transformasi koordinat masa bagi kedua-dua peristiwa ini ialah

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

dengan

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

Di sini, \(\Delta t=t_B-t_A\) dan \(\Delta x=x_B-x_A\) ialah perbezaan masa dan kedudukan yang diukur dalam kerangka \(S\). Perbezaan masa bertanda aksen diukur dalam kerangka \(S'\), yang bergerak dalam arah \(x\) positif relatif kepada \(S\).

Bagi kilatan pelantar yang berlaku serentak,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

Oleh itu,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

Tanda negatif menunjukkan bahawa kilatan B berlaku lebih awal dalam kerangka roket.

Satu batasan penting perlu diambil perhatian: urutan sesuatu pemerhati menerima dua kilatan bukanlah bukti dengan sendirinya tentang masa berlakunya peristiwa tersebut. Cahaya memerlukan masa untuk sampai kepada pemerhati, dan jarak yang perlu dilaluinya mungkin berbeza. Relativiti keserentakan berkaitan dengan masa yang ditetapkan oleh jam yang disegerakkan selepas mengambil kira masa perjalanan cahaya.

Perbezaan ini amat berguna apabila sesuatu soalan melibatkan dua peristiwa yang berlaku di tempat berjauhan, bukannya dua detik pada satu jam yang sama.

03Pengembangan masa: jam yang bergerak mempunyai selang detik yang lebih panjang apabila diukur

Sekarang, pertimbangkan dua detik pada satu jam yang dipasang pada kapal angkasa.

Kedua-dua detik berlaku di lokasi yang sama dalam kerangka rehat kapal angkasa. Masa berlalu yang diukur oleh jam itu dikenali sebagai masa wajar, ditulis sebagai \(\Delta\tau\).

Seorang pemerhati dalam kerangka inersia yang lain, iaitu kerangka tempat kapal angkasa bergerak pada kelajuan \(v\), menetapkan selang masa yang lebih panjang bagi dua peristiwa yang sama. Fenomena ini dikenali sebagai pengembangan masa.

Persamaannya ialah

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

dengan:

• \(\Delta t\) ialah selang masa yang diukur dalam kerangka tempat jam itu bergerak.
• \(\Delta\tau\) ialah masa wajar yang diukur oleh jam dalam kerangka rehatnya.
• \(\gamma\) ialah faktor Lorentz.
• \(v\) ialah kelajuan relatif antara kedua-dua kerangka.
• \(c\) ialah kelajuan cahaya.

Oleh sebab \(\gamma\geq1\), selang antara detik jam yang bergerak tidak pernah lebih pendek daripada selang masa wajarnya.

Sebagai contoh, apabila \(v=0.80c\),

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

Kerangka yang satu lagi mengukur selang masa yang \(1.67\) kali lebih panjang daripada selang masa yang diukur oleh jam itu sendiri.

Mengapakah kedua-dua pemerhati boleh mengatakan bahawa jam pihak yang satu lagi bergerak perlahan?

Keadaan ini kedengaran bercanggah, tetapi kedua-dua pemerhati tidak membuat perbandingan secara langsung antara pasangan detik yang sama pada kedua-dua jam.

Bumi menggunakan rangkaian jamnya sendiri yang disegerakkan untuk menetapkan masa bagi detik-detik jam kapal angkasa. Angkasawan pula menggunakan rangkaian jam terselaras yang berbeza untuk menetapkan masa bagi detik-detik jam Bumi yang jauh. Oleh sebab keserentakan bergantung pada kerangka, kedua-dua perbandingan itu tidak menggunakan penetapan masa yang sama bagi peristiwa-peristiwa jauh.

Jika angkasawan berpatah balik dan kemudian bertemu semula dengan Bumi, keadaannya berubah sekali lagi. Perjalanan itu melibatkan perubahan kerangka inersia, maka perjalanan lengkap kedua-dua pemerhati tidak lagi setara. Mereka boleh mengumpulkan jumlah masa wajar yang berbeza.

Prinsip utamanya mudah: pengembangan masa digunakan pada dua peristiwa yang sama, dengan selang masa wajar diukur dalam kerangka tempat kedua-dua peristiwa itu berlaku di satu lokasi yang sama.

04Pengecutan panjang: panjang objek yang bergerak berubah apabila diukur

Pengembangan masa berkaitan dengan selang antara peristiwa. Pengecutan panjang pula berkaitan dengan jarak antara kedua-dua hujung sesuatu objek.

Bayangkan sebuah kapal angkasa dalam keadaan pegun. Anda mengukur panjangnya menggunakan pembaris dan memperoleh \(150\text{ m}\). Ini ialah panjang wajarnya, \(L_0\), kerana pengukuran dibuat dalam kerangka rehat kapal angkasa.

Sekarang, katakan kapal angkasa itu bergerak melintasi Bumi pada kelajuan tinggi. Bumi mengukur panjangnya dengan merekodkan kedudukan bahagian hadapan dan belakang kapal angkasa pada masa kerangka Bumi yang sama.

Syarat terakhir itu penting. Untuk mengukur panjang dalam kerangka tertentu, anda mesti merekodkan kedudukan kedua-dua hujung objek secara serentak dalam kerangka tersebut.

Panjang kapal angkasa yang bergerak apabila diukur ialah

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

atau, secara setara,

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

dengan:

• \(L\) ialah panjang yang diukur dalam kerangka tempat objek itu bergerak.
• \(L_0\) ialah panjang wajar objek, yang diukur dalam kerangka rehatnya.
• \(v\) ialah kelajuan objek relatif kepada kerangka pengukuran.
• \(\gamma\) ialah faktor Lorentz.

Hanya dimensi yang selari dengan arah gerakan mengalami pengecutan. Dimensi objek yang berserenjang dengan arah gerakan tidak berubah akibat hubungan pengecutan panjang ini.

Kesilapan lazim ialah membayangkan bahawa kapal angkasa itu sendiri berasa seperti dihimpit secara fizikal. Hal itu tidak berlaku. Kapal angkasa tidak mengukur panjang yang lebih pendek dalam kerangka rehatnya sendiri. Perbezaan ini timbul kerana pengukuran panjang dalam kerangka yang berbeza menggunakan set kedudukan hujung objek yang berbeza, yang dianggap serentak.

05Jisim-tenaga: apakah sebenarnya maksud \(E=mc^2\)?

Pertimbangkan pembentukan sebuah nukleus daripada proton dan neutron yang berasingan. Selepas nukleus terbentuk, jisim rehatnya sedikit lebih rendah daripada jumlah jisim rehat zarah-zarah yang terpisah itu.

Adakah sebahagian jirim hilang begitu sahaja?

Tidak. Sistem itu telah membebaskan tenaga, dan tenaga yang dibawa keluar mesti diambil kira dalam pengiraan. Jisim dan tenaga mempunyai hubungan antara satu sama lain.

Tenaga rehat sesuatu objek ialah

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

dengan:

• \(E_0\) ialah tenaga rehat.
• \(m\) ialah jisim invarian, atau jisim rehat.
• \(c\) ialah kelajuan cahaya.

Bagi perubahan jisim rehat, perubahan tenaga rehat yang sepadan ialah

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

Faktor \(c^2\) mempunyai nilai yang amat besar. Perbezaan jisim hanya \(1.0\text{ g}\) sepadan dengan perbezaan tenaga rehat sebanyak

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

Ini merupakan jumlah tenaga yang sangat besar bagi perbezaan jisim yang begitu kecil.

Apakah yang berubah apabila tenaga memasuki atau meninggalkan sesuatu sistem?

Jika tenaga keluar daripada sesuatu sistem, jisim rehat sistem yang tinggal boleh menjadi lebih rendah. Jika tenaga ditambahkan kepada sesuatu sistem dan kekal di dalamnya, jisim rehatnya meningkat, dengan syarat sistem itu dibandingkan dalam keadaan pegun sebelum dan selepas perubahan tersebut.

Hal ini tidak bermakna tenaga musnah apabila jisim berkurang. Bagi sistem terpencil, jumlah tenaga dikekalkan. Tenaga mungkin telah meninggalkan objek yang tinggal dalam bentuk sinaran atau tenaga kinetik, tetapi tenaga itu masih wujud.

Nukleus terikat memberikan contoh yang berguna. Perbezaan antara jumlah jisim rehat nukleon yang terpisah dengan jisim rehat nukleus terikat dikenali sebagai cacat jisim. Perbezaan tenaga yang sepadan dikenali sebagai tenaga pengikatan.

Satu batasan penting: jisim rehat tidak sama dengan jumlah tenaga

Persamaan \(E_0=mc^2\) memberikan tenaga rehat. Bagi objek yang bergerak pada kelajuan \(v\), jumlah tenaganya ialah

\[ E=\gamma mc^2, \]

dan tenaga kinetiknya ialah

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

Di sini, \(m\) kekal sebagai jisim rehat invarian objek tersebut. Faktor \(\gamma\) mengubah jumlah tenaga objek, bukannya jisim invariannya.

Sesetengah huraian lama menggunakan istilah jisim relativistik bagi \(\gamma m\). Konvensyen moden biasanya mengekalkan jisim sebagai kuantiti invarian dan menerangkan peningkatan itu dari segi tenaga dan momentum.

Sebagai contoh, foton membawa tenaga dan momentum walaupun jisim rehatnya sifar. Oleh itu, \(E=mc^2\) tidak sepatutnya ditafsirkan sebagai bermaksud bahawa setiap bentuk tenaga mesti dimiliki oleh zarah yang mempunyai jisim rehat bukan sifar.

06Memilih hubungan yang betul

Cara yang paling boleh dipercayai untuk menyelesaikan soalan relativiti khas ialah mengenal pasti perkara yang diukur sebelum memilih formula.

Empat pemeriksaan berikut dapat mengesan banyak kesilapan lazim:

• Semak faktor Lorentz. Bagi \(0\leq v<c\), \(\gamma\geq1\).
• Semak peristiwa. Pengembangan masa bukan peraturan yang terpakai pada setiap pasangan peristiwa. Syarat masa wajar perlu dipenuhi.
• Semak pengukuran. Pengecutan panjang terpakai sepanjang arah gerakan, dan pengukuran panjang memerlukan kedudukan kedua-dua hujung yang serentak dalam kerangka pengukuran.
• Semak pengiraan tenaga. Pengurangan jisim rehat satu objek tidak bermakna jumlah tenaga sistem terpencil telah lenyap.

07Soalan dan penyelesaian

Soalan 1

Sebuah jam yang dipasang pada prob mengukur \(3.0\text{ s}\) antara dua detik. Prob itu bergerak pada \(0.60c\) relatif kepada makmal.

Hitung selang masa yang ditetapkan oleh makmal bagi dua detik yang sama.

Penyelesaian 1

Makmal menetapkan selang masa sebanyak \(3.75\text{ s}\), atau \(3.8\text{ s}\) kepada dua angka bererti.

Jam di dalam prob mengukur masa wajar kerana kedua-dua detik berlaku di lokasi yang sama dalam kerangka rehat prob.

Langkah 1: Hitung faktor Lorentz.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

Langkah 2: Gunakan persamaan pengembangan masa.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

Makmal mengukur selang masa yang lebih panjang berbanding jam prob. Hasil ini selaras dengan pengembangan masa.

Soalan 2

Sebuah prob mempunyai panjang wajar \(80\text{ m}\). Sebuah hangar mempunyai panjang \(60\text{ m}\) dalam kerangka rehatnya sendiri. Prob itu melintasi hangar pada \(0.80c\).

Seorang jurutera berhujah bahawa prob itu boleh berada sepenuhnya di dalam hangar pada satu ketika kerana panjangnya selepas mengalami pengecutan lebih pendek daripada panjang hangar. Juruterbang pula berhujah bahawa keadaan itu mustahil kerana hangar lebih pendek daripada prob dalam kerangka juruterbang.

Anggap bahawa pintu yang ideal boleh dibuka dan ditutup serta-merta, dan abaikan kerosakan fizikal.

Adakah pengiraan panjang kedua-dua pemerhati betul? Bolehkah prob berada sepenuhnya di dalam hangar pada satu ketika? Jelaskan bagaimana kedua-dua huraian itu boleh selaras.

Penyelesaian 2

Kedua-dua pengiraan panjang adalah betul. Percanggahan itu berkaitan dengan sama ada prob berada sepenuhnya di dalam hangar pada satu ketika, kerana keserentakan bergantung pada kerangka.

Langkah 1: Hitung faktor Lorentz.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

Langkah 2: Hitung panjang prob dalam kerangka hangar.

Panjang wajar prob ialah \(L_0=80\text{ m}\).

\[ \begin{aligned} L_{\text{prob}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

Oleh sebab \(48\text{ m}<60\text{ m}\), jurutera betul bahawa prob boleh berada sepenuhnya di dalam hangar pada satu ketika dalam kerangka hangar, dengan syarat kedudukannya sesuai.

Langkah 3: Hitung panjang hangar dalam kerangka prob.

Panjang wajar hangar ialah \(60\text{ m}\). Dalam kerangka prob, hangar bergerak, maka panjang yang diukur ialah

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

Juruterbang juga betul: panjang hangar yang bergerak itu hanya \(36\text{ m}\) dalam kerangka prob, sedangkan panjang wajar prob kekal \(80\text{ m}\).

Langkah 4: Selesaikan percanggahan yang kelihatan.

Frasa “berada sepenuhnya di dalam pada satu ketika” bermaksud bahawa kedudukan kedua-dua hujung prob berada di dalam hangar pada masa yang sama dalam kerangka tertentu.

Dalam kerangka hangar, terdapat satu ketika apabila kedua-dua hujung prob berada di dalam hangar. Dalam kerangka prob, tiada ketika apabila prob sepanjang \(80\text{ m}\) itu boleh berada sepenuhnya di dalam hangar sepanjang \(36\text{ m}\).

Kuncinya ialah kedua-dua peristiwa penutupan pintu, yang serentak dalam kerangka hangar, tidak serentak dalam kerangka prob. Kedua-dua pemerhati tidak menghuraikan pasangan peristiwa serentak yang sama. Tiada satu pun huraian tersebut memerlukan prob dimusnahkan secara fizikal atau dimampatkan dalam kerangka rehatnya sendiri.

Soalan 3

Jisim rehat sebuah nukleus terikat adalah \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) lebih rendah daripada jumlah jisim rehat nukleon-nukleonnya yang terpisah.

Anggap bahawa kedua-dua keadaan dibandingkan ketika pegun dan tenaga yang dibebaskan semasa pengikatan meninggalkan nukleus.

Hitung tenaga pengikatan yang dibebaskan dalam joule, dan jelaskan mengapa jisim rehat nukleus akhir yang lebih rendah tidak melanggar hukum keabadian tenaga.

Penyelesaian 3

Tenaga pengikatan yang setara dengan perbezaan jisim itu ialah \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). Jisim rehat yang lebih rendah adalah selaras dengan keabadian tenaga kerana tenaga yang dibebaskan meninggalkan sistem.

Langkah 1: Kenal pasti perbezaan jisim.

Magnitud cacat jisim ialah

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

Langkah 2: Gunakan kesetaraan jisim-tenaga.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

Langkah 3: Jelaskan pengiraan tenaga.

Nukleus terikat mempunyai tenaga rehat yang lebih rendah daripada nukleon-nukleon yang terpisah. Perbezaan itu muncul sebagai tenaga yang dibebaskan semasa pengikatan, seperti sinaran atau tenaga kinetik yang dibawa keluar oleh hasil tindak balas yang lain.

Jisim rehat nukleus akhir lebih rendah kerana tenaga telah meninggalkan nukleus tersebut. Apabila tenaga yang dibebaskan diambil kira, jumlah tenaga tetap dikekalkan.

Soalan 4

Sebuah kapal angkasa mempunyai jisim rehat invarian \(1.0\text{ kg}\) dan bergerak pada \(0.80c\) relatif kepada Bumi.

Seorang pelajar menghitung \(\gamma=1.67\) dan mendakwa bahawa jisim kapal angkasa itu telah meningkat kepada \(1.67\text{ kg}\).

Dengan menggunakan

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

hitung tenaga rehat, jumlah tenaga dan tenaga kinetik kapal angkasa itu. Nilai dakwaan pelajar tersebut.

Penyelesaian 4

Tenaga rehat ialah \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), jumlah tenaga ialah \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), dan tenaga kinetik ialah \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Mengikut konvensyen jisim invarian, jisim rehat kapal angkasa kekal \(1.0\text{ kg}\).

Langkah 1: Hitung tenaga rehat.

Jisim rehat ialah \(m=1.0\text{ kg}\).

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Langkah 2: Hitung jumlah tenaga.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

Langkah 3: Hitung tenaga kinetik.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Hasil-hasil ini konsisten kerana jumlah tenaga ialah hasil tambah tenaga rehat dan tenaga kinetik:

\[ E=E_0+K. \]

Langkah 4: Nilai dakwaan pelajar.

Pelajar itu telah mengenal pasti dengan betul bahawa \(\gamma\) mendarab tenaga rehat untuk menghasilkan jumlah tenaga. Kesilapannya ialah mentafsir faktor tersebut sebagai peningkatan jisim rehat invarian.

Tenaga kinetik kapal angkasa meningkat dengan kelajuan, tetapi jisim rehat invariannya kekal \(1.0\text{ kg}\). Perbezaan ini penting apabila sesuatu soalan menggabungkan kesetaraan jisim-tenaga dengan tenaga objek yang bergerak.

Soalan 5

Sebuah pelantar mempunyai panjang \(600\text{ m}\) dalam kerangka rehatnya, \(S\). Dua lampu, A dan B, dipasang pada kedua-dua hujungnya, dengan A pada \(x=0\) dan B pada \(x=+600\text{ m}\). Kedua-dua lampu menyala secara serentak pada \(t=0\) dalam \(S\).

Setiap kilatan menghasilkan denyut cahaya yang bergerak ke arah titik tengah pelantar. Dalam kerangka \(S\), kedua-dua denyut itu bertemu di titik tengah.

Kerangka rehat roket \(S'\) bergerak dalam arah \(x\) positif pada \(0.80c\) relatif kepada \(S\).

Bagi soalan ini, gunakan hubungan koordinat masa

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

dengan \(\Delta t=t_B-t_A\) dan \(\Delta x=x_B-x_A\) diukur dalam \(S\).

(a) Kilatan yang manakah berlaku terlebih dahulu dalam \(S'\), dan berapakah perbezaan masanya?

(b) Panjang pelantar dalam \(S'\) ialah \(360\text{ m}\). Seorang pelajar mendakwa bahawa perbezaan masa antara kedua-dua kilatan mestilah \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Jelaskan kesilapan sebenar yang dilakukan.

(c) Adakah kedua-dua denyut cahaya masih mesti bertemu pada peristiwa yang sama dalam \(S'\)? Jelaskan bagaimana hal ini boleh berlaku walaupun kedua-dua kilatan tidak lagi serentak.

Penyelesaian 5

Kilatan B berlaku terlebih dahulu dalam \(S'\), dengan perbezaan masa \(2.67\,\mu\text{s}\). Kedua-dua denyut masih bertemu pada peristiwa yang sama kerana semua kerangka inersia bersetuju tentang titik persilangan kedua-dua denyut cahaya, walaupun kerangka-kerangka tersebut menetapkan masa yang berbeza bagi peristiwa pancaran cahaya.

Langkah 1: Hitung faktor Lorentz dan kenal pasti perbezaan antara peristiwa.

Kelajuan relatif ialah \(v=0.80c\), maka

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

Kedua-dua kilatan berlaku serentak dalam \(S\), dan B mempunyai koordinat kedudukan yang lebih besar. Oleh itu,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

Langkah 2: Hitung perbezaan masa dalam \(S'\).

Gantikan nilai ke dalam hubungan koordinat masa yang diberikan:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

Keputusan negatif bermaksud \(t'_B<t'_A\). Kilatan B berlaku \(2.67\,\mu\text{s}\) lebih awal daripada kilatan A dalam kerangka roket.

Langkah 3: Jelaskan mengapa pengiraan \(360\text{ m}/c\) tidak betul.

Pengiraan pelajar menghasilkan

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

Pengiraannya betul, tetapi ia menjawab soalan yang salah.

Nilai \(360\text{ m}\) ialah panjang pelantar yang diukur dalam \(S'\), yang diperoleh dengan mengukur kedua-dua hujung pelantar pada masa kerangka roket yang sama. Kedua-dua peristiwa kilatan tidak serentak dalam \(S'\), maka kedudukan kedua-dua peristiwa itu tidak boleh dianggap sebagai hujung-hujung bagi pengukuran panjang serentak tersebut.

Perbezaan masa antara dua peristiwa secara umumnya tidak sama dengan panjang yang diukur dibahagikan dengan \(c\). Pelajar itu telah mencampuradukkan panjang yang diukur menggunakan kedudukan hujung yang serentak dengan dua peristiwa yang berlaku pada masa yang berbeza dalam kerangka yang sama.

Langkah 4: Jelaskan mengapa kedua-dua denyut masih bertemu.

Dalam \(S\), setiap denyut bergerak sejauh \(300\text{ m}\) ke titik tengah. Oleh itu, peristiwa pertemuan berlaku pada

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

Ini ialah satu peristiwa dalam ruang-masa. Setiap kerangka inersia bersetuju bahawa kedua-dua denyut bertemu pada peristiwa itu, walaupun koordinat yang ditetapkan bagi peristiwa tersebut berbeza.

Kita boleh menyemak masa dalam kerangka roket. Dengan menggunakan hubungan yang diberikan antara kilatan A dengan peristiwa pertemuan, kita memperoleh

\[ \begin{aligned} t'_{\text{pertemuan}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

Kilatan A berlaku pada \(t'_A=0\), maka denyutnya mengambil masa koordinat \(0.333\,\mu\text{s}\) dalam kerangka roket untuk sampai ke peristiwa pertemuan.

Kilatan B berlaku pada \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), maka denyutnya mengambil masa

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

untuk sampai ke peristiwa yang sama.

Masa pancaran dan selang perjalanan yang berbeza itu konsisten dengan peristiwa pertemuan yang sama. Kesilapannya ialah menganggap bahawa pancaran yang serentak dalam satu kerangka mesti kekal serentak dalam setiap kerangka.

Langkah seterusnya yang berguna ialah mempelajari cara mewakili peristiwa pada rajah ruang-masa. Bagi soalan HSC, mulakan dengan mengenal pasti kerangka dan bertanya sama ada peristiwa-peristiwa itu berlaku di lokasi yang sama dalam kerangka tersebut. Keputusan ini membantu anda memilih antara pengembangan masa, pengecutan panjang dan relativiti keserentakan sebelum memulakan pengiraan.