HSC भौतिकशास्त्रका लागि विशेष सापेक्षता: स्पष्ट व्याख्या र हल गरिएका उदाहरणहरू

एउटा अन्तरिक्षयान पृथ्वीको छेउबाट \(0.80c\) को गतिमा जान्छ। अन्तरिक्षयानको घडीका दुई टिकहरूबीचको समयान्तर पृथ्वीले अन्तरिक्षयात्रीले मापन गरेको भन्दा लामो ठहर गर्छ। अर्कोतर्फ, अन्तरिक्षयात्री भन्छन् कि पृथ्वीका घडीहरू ढिलो चल्छन्। अगाडि पढ्नुअघि अनुमान गर्नुहोस्: के एक जना पर्यवेक्षक मात्र गलत छन्? होइन। दुवैले फरक जडत्वीय सन्दर्भ फ्रेम प्रयोग गर्छन्, र उच्च गतिमा समय तथा स्थान मापन गर्ने तरिका फरक हुने भएकाले यस्तो असहमति उत्पन्न हुन्छ।

01सन्दर्भ फ्रेम: प्रत्येक पर्यवेक्षकले वास्तवमा के मापन गरिरहेको हुन्छ?

सन्दर्भ फ्रेम भनेको घटनाहरूको स्थान र समय निर्धारण गर्न प्रयोग गरिने निर्देशाङ्क प्रणाली हो। यसलाई मापनका लागि प्रयोग गरिने स्केलहरू र समकालिक बनाइएका घडीहरूको सञ्जालद्वारा प्रस्तुत गर्न सकिन्छ।

जडत्वीय सन्दर्भ फ्रेम भनेको त्वरण वा घूर्णन नभएको सन्दर्भ फ्रेम हो। यस मार्गदर्शिकाका लागि, गुरुत्वाकर्षणको प्रभाव नगण्य छ र तुलना गरिएका अवस्थामा अन्तरिक्षयान तथा पृथ्वीबीचको सापेक्ष वेग स्थिर रहन्छ भन्ने मान्यता लिनुहोस्।

दैनिक जीवनमा हामी सामान्यतया समयलाई सबैका लागि समान भएजस्तो मान्न सक्छौँ। यदि तपाईंका लागि दुई घटना एकै समयमा घट्छन् भने, ती घटनाहरू अरू सबैका लागि पनि एकै समयमा घट्छन् भन्ने अपेक्षा गर्नुहुन्छ।

विशेष सापेक्षताले यही मान्यतालाई चुनौती दिन्छ। यो दुई नियमबाट सुरु हुन्छ:

• भौतिकशास्त्रका नियमहरू प्रत्येक जडत्वीय सन्दर्भ फ्रेममा समान हुन्छन्।
• प्रकाशको स्रोत वा पर्यवेक्षकको गति जस्तोसुकै भए पनि, प्रत्येक जडत्वीय पर्यवेक्षकले निर्वातमा प्रकाशको समान गति मापन गर्छ।

प्रकाशको गति हो

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

मानौँ, तपाईं प्रकाशको किरणतर्फ अघि बढ्दै हुनुहुन्छ। तपाईंले त्यसको गति \(c+v\) मापन गर्ने अपेक्षा गर्न सक्नुहुन्छ, जहाँ \(v\) भनेको किरणतर्फ तपाईंको गति हो। तर त्यसो हुँदैन। तपाईंले अझै पनि \(c\) नै मापन गर्नुहुन्छ।

यो सम्भव हुनका लागि, एकअर्काको सापेक्ष गतिमा रहेका पर्यवेक्षकहरू सधैँ समयान्तर, लम्बाइ वा टाढाका कुन घटनाहरू एकैसाथ घटे भन्ने विषयमा सहमत हुन सक्दैनन्।

यो उनीहरूले आँखाले के देख्छन् भन्ने विषय होइन। सापेक्षतावादी मापनमा समकालिक घडीहरू प्रयोग गरिन्छ र प्रकाशलाई यात्रा गर्न लाग्ने समयको हिसाब राखिन्छ। यो सुधार गरेपछि पनि असहमति कायम रहन्छ।

02समकालिकता: दुई घटना फरक सन्दर्भ फ्रेममा फरक समयमा घट्न सक्छन्

एउटा लामो प्लेटफर्मको विपरीत छेउमा A र B नामका दुई बत्ती छन् भनी कल्पना गर्नुहोस्। प्लेटफर्मसँगै स्थिर रहेका घडीहरू समकालिक बनाइएका छन्, र दुवै बत्ती प्लेटफर्मको समय \(t=0\) मा बल्छन्।

अगाडि पढ्नुअघि अनुमान गर्नुहोस्: प्लेटफर्मको छेउबाट जाने एउटा रकेटले ती दुई बत्ती एकै समयमा बलेका थिए भन्ने कुरामा सहमत हुनैपर्छ?

होइन। रकेटले ती दुई बत्ती बल्ने समय फरक-फरक ठहर गर्न सक्छ।

समकालिक भन्नाले निर्दिष्ट सन्दर्भ फ्रेममा दुई घटनाको समय निर्देशाङ्क समान हुनु हो। यसको अर्थ प्रत्येक जडत्वीय सन्दर्भ फ्रेमले तिनलाई अनिवार्य रूपमा एउटै समयमा घटेको मान्छ भन्ने होइन।

अवस्थालाई स्पष्ट बनाउन, मानौँ:

• बत्ती A \(x=0\) मा छ।
• बत्ती B \(x=600\text{ m}\) मा छ।
• प्लेटफर्म सन्दर्भ फ्रेम \(S\) मा स्थिर छ।
• रकेटको सन्दर्भ फ्रेम \(S'\), \(S\) को सापेक्ष धनात्मक \(x\)-दिशामा \(v\) गतिले चल्छ।

प्लेटफर्मको सन्दर्भ फ्रेममा दुवै बत्ती एकै समयमा बल्छन्। रकेटको सन्दर्भ फ्रेममा भने B को बत्ती A को बत्तीभन्दा पहिले बल्छ।

समयको क्रम त्यस्तो किन हुन्छ? यी दुई घटनाका लागि समय निर्देशाङ्कको रूपान्तरण समीकरण हो

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

जहाँ

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

यहाँ, \(\Delta t=t_B-t_A\) र \(\Delta x=x_B-x_A\) भनेका सन्दर्भ फ्रेम \(S\) मा मापन गरिएका समय र स्थानका भिन्नता हुन्। प्राइम चिह्न भएको समयान्तर \(S'\) मा मापन गरिन्छ, जुन \(S\) को सापेक्ष धनात्मक \(x\)-दिशामा चल्छ।

प्लेटफर्ममा एकै समयमा बल्ने बत्तीहरूका लागि,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

त्यसैले,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

ऋणात्मक चिह्नले रकेटको सन्दर्भ फ्रेममा B को बत्ती पहिले बलेको जनाउँछ।

एउटा महत्त्वपूर्ण सर्त: पर्यवेक्षकले दुईवटा प्रकाशका चमक प्राप्त गर्ने क्रमलाई मात्र ती घटनाहरूको समय निर्धारण भएको प्रमाण मान्न मिल्दैन। प्रकाश पर्यवेक्षकसम्म आइपुग्न समय लाग्छ, र दुवै चमकले पार गर्नुपर्ने दूरी फरक हुन सक्छ। समकालिकताको सापेक्षताले प्रकाशको यात्रा समयलाई ध्यानमा राखिसकेपछि समकालिक घडीहरूले निर्धारण गरेका समयहरूलाई जनाउँछ।

एउटै घडीका दुई टिकभन्दा फरक स्थानमा घटेका दुई घटनासम्बन्धी प्रश्नमा यो भिन्नता विशेष उपयोगी हुन्छ।

03समय-विस्तार: चलिरहेको घडीका टिकहरूबीचको मापन गरिएको समयान्तर लामो हुन्छ

अब अन्तरिक्षयानमा जडित एउटै घडीका दुई टिकहरू विचार गरौँ।

ती दुई टिक अन्तरिक्षयानको विश्राम सन्दर्भ फ्रेममा एउटै स्थानमा घट्छन्। उक्त घडीले मापन गरेको बितेको समयलाई प्रोपर समय (proper time) भनिन्छ र यसलाई \(\Delta\tau\) ले जनाइन्छ।

अन्तरिक्षयान \(v\) गतिले चलिरहेको अर्को जडत्वीय सन्दर्भ फ्रेममा रहेको पर्यवेक्षकले ती नै दुई घटनाबीचको समयान्तर लामो ठहर गर्छ। यसलाई समय-विस्तार भनिन्छ।

यसको समीकरण हो

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

जहाँ:

• \(\Delta t\) भनेको घडी चलिरहेको सन्दर्भ फ्रेममा मापन गरिएको समयान्तर हो।
• \(\Delta\tau\) भनेको घडीको आफ्नै विश्राम सन्दर्भ फ्रेममा त्यस घडीले मापन गरेको प्रोपर समय हो।
• \(\gamma\) भनेको लोरेन्ट्ज गुणक हो।
• \(v\) भनेको दुई सन्दर्भ फ्रेमबीचको सापेक्ष गति हो।
• \(c\) भनेको प्रकाशको गति हो।

\(\gamma\geq1\) हुने भएकाले चलिरहेको घडीका टिकहरूबीचको समयान्तर त्यसको प्रोपर समयान्तरभन्दा कहिल्यै छोटो हुँदैन।

उदाहरणका लागि, \(v=0.80c\) हुँदा,

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

अर्को सन्दर्भ फ्रेमले घडीको आफ्नै समयान्तरभन्दा \(1.67\) गुणा लामो समयान्तर मापन गर्छ।

दुवै पर्यवेक्षकले एकअर्काको घडी ढिलो चलेको कसरी भन्न सक्छन्?

यो विरोधाभासजस्तो सुनिन्छ, तर पर्यवेक्षकहरूले दुवै घडीका टिकहरूको एउटै जोडीलाई प्रत्यक्ष तुलना गरिरहेका हुँदैनन्।

पृथ्वीले अन्तरिक्षयानका टिकहरूका समय निर्धारण गर्न आफ्नै समकालिक घडीहरूको सञ्जाल प्रयोग गर्छ। अन्तरिक्षयात्रीले पृथ्वीका टाढा रहेका घडीहरूका टिकहरूको समय निर्धारण गर्न अर्को समकालिक घडीहरूको सञ्जाल प्रयोग गर्छन्। समकालिकता सन्दर्भ फ्रेमअनुसार फरक हुने भएकाले यी दुई तुलनामा टाढाका घटनाहरूको समय निर्धारण एउटै हुँदैन।

यदि अन्तरिक्षयात्री फर्केर पछि पृथ्वीसँग पुनः भेट्छन् भने अवस्था फेरि बदलिन्छ। यात्राका क्रममा जडत्वीय सन्दर्भ फ्रेम परिवर्तन हुन्छ, त्यसैले दुवै पर्यवेक्षकका सम्पूर्ण यात्रा अब एकअर्कासँग समतुल्य हुँदैनन्। उनीहरूले फरक-फरक मात्रामा प्रोपर समय बिताउन सक्छन्।

मुख्य नियम सरल छ: समय-विस्तार एउटै दुई घटनामा लागू हुन्छ, र ती घटनाहरू एउटै स्थानमा घट्ने सन्दर्भ फ्रेममा प्रोपर समयान्तर मापन गरिन्छ।

04लम्बाइ संकुचन: चलिरहेको वस्तुको मापन गरिएको लम्बाइ बदलिन्छ

समय-विस्तारले घटनाहरूबीचको समयान्तरलाई जनाउँछ। लम्बाइ संकुचनले भने कुनै वस्तुको दुई छेउबीचको दूरीलाई जनाउँछ।

एउटा स्थिर अन्तरिक्षयानको कल्पना गर्नुहोस्। तपाईंले स्केल प्रयोग गरेर त्यसको लम्बाइ मापन गर्दा \(150\text{ m}\) पाउनुहुन्छ। यो त्यसको प्रोपर लम्बाइ, \(L_0\), हो, किनभने मापन अन्तरिक्षयानको विश्राम सन्दर्भ फ्रेममा गरिएको हो।

अब अन्तरिक्षयान उच्च गतिमा पृथ्वीको छेउबाट जान्छ भनी मानौँ। पृथ्वीले आफ्नै सन्दर्भ फ्रेममा एउटै समयमा त्यसको अगाडिको र पछाडिको स्थान अभिलेख गरेर लम्बाइ मापन गर्छ।

अन्तिम सर्त महत्त्वपूर्ण छ। कुनै निर्दिष्ट सन्दर्भ फ्रेममा लम्बाइ मापन गर्न, त्यस फ्रेममा दुवै छेउको स्थान एकैसाथ अभिलेख गर्नुपर्छ।

चलिरहेको अन्तरिक्षयानको मापन गरिएको लम्बाइ हो

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

वा, समान रूपमा,

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

जहाँ:

• \(L\) भनेको वस्तु चलिरहेको सन्दर्भ फ्रेममा मापन गरिएको लम्बाइ हो।
• \(L_0\) भनेको वस्तुको प्रोपर लम्बाइ हो, जुन यसको विश्राम सन्दर्भ फ्रेममा मापन गरिन्छ।
• \(v\) भनेको वस्तुको मापन गर्ने सन्दर्भ फ्रेमको सापेक्ष गति हो।
• \(\gamma\) भनेको लोरेन्ट्ज गुणक हो।

गतिको समानान्तर दिशा भएको आयाम मात्र संकुचित हुन्छ। लम्बाइ संकुचनको यस सम्बन्धअनुसार वस्तुका गतिसँग लम्बवत् आयामहरू अपरिवर्तित रहन्छन्।

एउटा सामान्य गल्ती भनेको अन्तरिक्षयानलाई आफैँले भौतिक रूपमा थिचिएको ठान्नु हो। अन्तरिक्षयानले आफ्नै विश्राम सन्दर्भ फ्रेममा छोटो लम्बाइ मापन गर्दैन। भिन्नता उत्पन्न हुनुको कारण फरक सन्दर्भ फ्रेममा लम्बाइ मापन गर्दा एकैसाथ मापन गरिने छेउका स्थानहरू फरक हुनु हो।

05द्रव्यमान-ऊर्जा: \(E=mc^2\) को वास्तविक अर्थ के हो?

अलग-अलग रहेका प्रोटोन र न्युट्रोनबाट एउटा नाभिक बन्ने अवस्थालाई विचार गर्नुहोस्। नाभिक बनेपछि त्यसको विश्राम द्रव्यमान ती अलग-अलग कणहरूको संयुक्त विश्राम द्रव्यमानभन्दा अलिकति कम हुन्छ।

के केही पदार्थ केवल हराएको हो?

होइन। प्रणालीले ऊर्जा उत्सर्जन गरेको हुन्छ, र बाहिर निस्केको ऊर्जालाई पनि कुल हिसाबमा समावेश गर्नुपर्छ। द्रव्यमान र ऊर्जा एकअर्कासँग सम्बन्धित छन्।

कुनै वस्तुको विश्राम ऊर्जा हो

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

जहाँ:

• \(E_0\) भनेको विश्राम ऊर्जा हो।
• \(m\) भनेको अपरिवर्तनीय वा विश्राम द्रव्यमान हो।
• \(c\) भनेको प्रकाशको गति हो।

विश्राम द्रव्यमानमा हुने परिवर्तनसँग सम्बन्धित विश्राम ऊर्जाको परिवर्तन हो

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

\(c^2\) को मान अत्यन्त ठूलो हुन्छ। केवल \(1.0\text{ g}\) को द्रव्यमान अन्तरले निम्न विश्राम ऊर्जा अन्तर जनाउँछ:

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

यति सानो द्रव्यमान अन्तरका लागि यो अत्यन्त ठूलो ऊर्जा हो।

प्रणालीमा ऊर्जा प्रवेश गर्दा वा बाहिर निस्कँदा के परिवर्तन हुन्छ?

यदि कुनै प्रणालीबाट ऊर्जा बाहिर निस्कन्छ भने बाँकी प्रणालीको विश्राम द्रव्यमान कम हुन सक्छ। यदि कुनै प्रणालीमा ऊर्जा थपिन्छ र त्यो आन्तरिक रूपमा सञ्चित रहन्छ भने, सुरु र अन्त्यमा प्रणालीलाई विश्राम अवस्थामा तुलना गर्दा त्यसको विश्राम द्रव्यमान बढ्छ।

यसको अर्थ द्रव्यमान घट्दा ऊर्जा नष्ट हुन्छ भन्ने होइन। एकान्त प्रणालीको कुल ऊर्जा संरक्षित रहन्छ। ऊर्जा विकिरण वा गतिज ऊर्जाका रूपमा बाँकी वस्तुबाट बाहिर गएको हुन सक्छ, तर त्यो ऊर्जा अझै पनि अस्तित्वमा रहन्छ।

बन्धित नाभिक यसको उपयोगी उदाहरण हो। छुट्टाछुट्टै न्युक्लिओनहरूको संयुक्त विश्राम द्रव्यमान र बन्धित नाभिकको विश्राम द्रव्यमानबीचको भिन्नतालाई द्रव्यमान क्षति (mass defect) भनिन्छ। त्यससँग सम्बन्धित ऊर्जा अन्तर बन्धन ऊर्जा हो।

आवश्यक सर्त: विश्राम द्रव्यमान र कुल ऊर्जा एउटै होइनन्

समीकरण \(E_0=mc^2\) ले विश्राम ऊर्जा दिन्छ। \(v\) गतिमा चलिरहेको वस्तुको कुल ऊर्जा हो

\[ E=\gamma mc^2, \]

र त्यसको गतिज ऊर्जा हो

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

यहाँ, \(m\) वस्तुको अपरिवर्तनीय विश्राम द्रव्यमान नै रहन्छ। \(\gamma\) गुणकले वस्तुको कुल ऊर्जा परिवर्तन गर्छ, यसको अपरिवर्तनीय द्रव्यमान होइन।

केही पुराना व्याख्याहरूमा \(\gamma m\) का लागि सापेक्षतावादी द्रव्यमान भन्ने शब्द प्रयोग गरिन्छ। आधुनिक परम्पराले सामान्यतया द्रव्यमानलाई अपरिवर्तनीय मान्छ र त्यसको सट्टा ऊर्जा तथा संवेगका आधारमा हुने वृद्धिलाई वर्णन गर्छ।

उदाहरणका लागि, फोटोनहरूको विश्राम द्रव्यमान शून्य भए पनि तिनले ऊर्जा र संवेग बोक्छन्। त्यसैले \(E=mc^2\) को अर्थ प्रत्येक प्रकारको ऊर्जा अनिवार्य रूपमा शून्यभन्दा बढी विश्राम द्रव्यमान भएको कणसँग सम्बन्धित हुनुपर्छ भन्ने होइन।

06उपयुक्त सम्बन्ध छनोट गर्ने

विशेष सापेक्षतासम्बन्धी प्रश्न हल गर्ने सबैभन्दा भरपर्दो तरिका भनेको सूत्र छनोट गर्नुअघि के मापन गरिँदै छ भन्ने पहिचान गर्नु हो।

चारवटा जाँचले धेरै सामान्य गल्तीहरू पत्ता लगाउन मद्दत गर्छन्:

• लोरेन्ट्ज गुणक जाँच गर्नुहोस्। \(0\leq v<c\) का लागि \(\gamma\geq1\) हुन्छ।
• घटनाहरू जाँच गर्नुहोस्। समय-विस्तार सबै प्रकारका घटनाहरूको जोडीमा लागू हुने नियम होइन। प्रोपर समयको सर्त महत्त्वपूर्ण हुन्छ।
• मापन जाँच गर्नुहोस्। लम्बाइ संकुचन गतिको दिशामा लागू हुन्छ, र लम्बाइ मापन गर्न मापन गर्ने सन्दर्भ फ्रेममा दुवै छेउको स्थान एकैसाथ निर्धारण गर्नुपर्छ।
• ऊर्जाको लेखाजोखा जाँच गर्नुहोस्। एउटा वस्तुको विश्राम द्रव्यमान घट्दैमा एकान्त प्रणालीको कुल ऊर्जा हराएको हुँदैन।

07प्रश्नहरू र समाधानहरू

प्रश्न 1

एउटा प्रोबमा स्थिर रूपमा जडित घडीले दुई टिकहरूबीच \(3.0\text{ s}\) मापन गर्छ। प्रोब प्रयोगशालाको सापेक्ष \(0.60c\) गतिमा चल्छ।

ती नै दुई टिकहरूबीच प्रयोगशालाले निर्धारण गर्ने समयान्तर गणना गर्नुहोस्।

समाधान 1

प्रयोगशालाले \(3.75\text{ s}\), अर्थात् दुई सार्थक अङ्कसम्म \(3.8\text{ s}\), को समयान्तर निर्धारण गर्छ।

दुवै टिक प्रोबको विश्राम सन्दर्भ फ्रेममा एउटै स्थानमा घट्ने भएकाले त्यसमा जडित घडीले प्रोपर समय मापन गर्छ।

चरण 1: लोरेन्ट्ज गुणक गणना गर्नुहोस्।

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

चरण 2: समय-विस्तार लागू गर्नुहोस्।

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

प्रयोगशालाले प्रोबको घडीले मापन गरेको भन्दा लामो समयान्तर मापन गर्छ। यो परिणाम समय-विस्तारसँग मेल खान्छ।

प्रश्न 2

एउटा प्रोबको प्रोपर लम्बाइ \(80\text{ m}\) छ। एउटा ह्याङ्गरको आफ्नै विश्राम सन्दर्भ फ्रेममा लम्बाइ \(60\text{ m}\) छ। प्रोब ह्याङ्गरको छेउबाट \(0.80c\) गतिमा जान्छ।

एक इन्जिनियरको तर्क छ कि प्रोबको संकुचित लम्बाइ ह्याङ्गरको लम्बाइभन्दा कम भएकाले यो कुनै एक क्षणमा पूरै ह्याङ्गरभित्र अटाउन सक्छ। पाइलटको तर्क छ कि पाइलटको सन्दर्भ फ्रेममा ह्याङ्गर प्रोबभन्दा छोटो हुने भएकाले यो असम्भव छ।

ढोकाहरूलाई आदर्श मान्नुहोस्, अर्थात् ती क्षणभरमै खुल्न र बन्द हुन सक्छन्, र भौतिक क्षतिलाई बेवास्ता गर्नुहोस्।

के दुवै पर्यवेक्षकका लम्बाइसम्बन्धी गणना सही छन्? के प्रोब कुनै एक क्षणमा पूरै ह्याङ्गरभित्र अटाउन सक्छ? दुवै विवरण कसरी एकअर्कासँग मेल खान्छन् भन्ने व्याख्या गर्नुहोस्।

समाधान 2

दुवै पर्यवेक्षकका लम्बाइसम्बन्धी गणना सही छन्। असहमति प्रोब कुनै एक क्षणमा पूरै ह्याङ्गरभित्र छ कि छैन भन्ने विषयमा हो, किनभने समकालिकता सन्दर्भ फ्रेमअनुसार फरक हुन्छ।

चरण 1: लोरेन्ट्ज गुणक गणना गर्नुहोस्।

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

चरण 2: ह्याङ्गरको सन्दर्भ फ्रेममा प्रोबको लम्बाइ गणना गर्नुहोस्।

प्रोबको प्रोपर लम्बाइ \(L_0=80\text{ m}\) हो।

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

\(48\text{ m}<60\text{ m}\) भएकाले प्रोबलाई उपयुक्त स्थानमा राखिएको अवस्थामा ह्याङ्गरको सन्दर्भ फ्रेममा कुनै एक क्षणमा पूरै ह्याङ्गरभित्र अटाउन सक्छ भन्ने इन्जिनियरको भनाइ सही छ।

चरण 3: प्रोबको सन्दर्भ फ्रेममा ह्याङ्गरको लम्बाइ गणना गर्नुहोस्।

ह्याङ्गरको प्रोपर लम्बाइ \(60\text{ m}\) हो। प्रोबको सन्दर्भ फ्रेममा ह्याङ्गर चलिरहेको हुन्छ, त्यसैले यसको मापन गरिएको लम्बाइ हो

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

पाइलटको भनाइ पनि सही छ: चलिरहेको ह्याङ्गरको लम्बाइ प्रोबको सन्दर्भ फ्रेममा केवल \(36\text{ m}\) हुन्छ, जबकि प्रोबको प्रोपर लम्बाइ \(80\text{ m}\) नै रहन्छ।

चरण 4: देखिएको विरोधाभास समाधान गर्नुहोस्।

“कुनै एक क्षणमा पूरै भित्र” भन्नाले निर्दिष्ट सन्दर्भ फ्रेममा प्रोबका दुवै छेउ एकै समयमा ह्याङ्गरभित्र हुनु भन्ने बुझिन्छ।

ह्याङ्गरको सन्दर्भ फ्रेममा एउटा यस्तो क्षण हुन्छ जब प्रोबका दुवै छेउ ह्याङ्गरभित्र हुन्छन्। प्रोबको सन्दर्भ फ्रेममा भने पूरै \(80\text{ m}\) लामो प्रोब \(36\text{ m}\) लामो ह्याङ्गरभित्र अटाउने कुनै क्षण हुँदैन।

मुख्य कुरा के हो भने ह्याङ्गरको सन्दर्भ फ्रेममा एकैसाथ हुने ढोका बन्द हुने दुई घटना प्रोबको सन्दर्भ फ्रेममा एकैसाथ हुँदैनन्। दुवै पर्यवेक्षकले एकै समयमा घटेका घटनाहरूको एउटै जोडी वर्णन गरिरहेका छैनन्। कुनै पनि विवरणले प्रोब आफ्नै विश्राम सन्दर्भ फ्रेममा भौतिक रूपमा नष्ट भएको वा थिचिएर छोटो भएको हुनुपर्ने माग गर्दैन।

प्रश्न 3

एउटा बन्धित नाभिकको विश्राम द्रव्यमान त्यसका छुट्टाछुट्टै न्युक्लिओनहरूको संयुक्त विश्राम द्रव्यमानभन्दा \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) ले कम छ।

दुवै अवस्थालाई विश्राम अवस्थामा तुलना गरिएको छ र बन्धन प्रक्रियामा निस्कने ऊर्जा नाभिकबाट बाहिर जान्छ भन्ने मान्यता लिनुहोस्।

जुलमा उत्सर्जित बन्धन ऊर्जा गणना गर्नुहोस् र अन्तिम नाभिकको कम विश्राम द्रव्यमानले ऊर्जा संरक्षणको उल्लङ्घन किन गर्दैन भन्ने व्याख्या गर्नुहोस्।

समाधान 3

द्रव्यमान अन्तरसँग सम्बन्धित बन्धन ऊर्जा \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\) हो। अन्तिम नाभिकको कम विश्राम द्रव्यमान ऊर्जा संरक्षणसँग मेल खान्छ, किनभने उत्सर्जित ऊर्जा प्रणालीबाट बाहिर जान्छ।

चरण 1: द्रव्यमान अन्तर पहिचान गर्नुहोस्।

द्रव्यमान क्षतिको परिमाण हो

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

चरण 2: द्रव्यमान-ऊर्जा समतुल्यता लागू गर्नुहोस्।

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

चरण 3: ऊर्जाको लेखाजोखा व्याख्या गर्नुहोस्।

बन्धित नाभिकको विश्राम ऊर्जा छुट्टाछुट्टै न्युक्लिओनहरूको विश्राम ऊर्जाभन्दा कम हुन्छ। यो अन्तर बन्धन प्रक्रियामा उत्सर्जित ऊर्जा, जस्तै विकिरण वा अन्य उत्पादनहरूले बोकेको गतिज ऊर्जा, का रूपमा देखा पर्छ।

ऊर्जा नाभिकबाट बाहिर गएको हुनाले अन्तिम नाभिकको विश्राम द्रव्यमान कम हुन्छ। उत्सर्जित ऊर्जालाई समेत समावेश गर्दा कुल ऊर्जा संरक्षित रहन्छ।

प्रश्न 4

एउटा अन्तरिक्षयानको अपरिवर्तनीय विश्राम द्रव्यमान \(1.0\text{ kg}\) छ र यो पृथ्वीको सापेक्ष \(0.80c\) गतिमा चल्छ।

एक विद्यार्थीले \(\gamma=1.67\) गणना गरेर अन्तरिक्षयानको द्रव्यमान बढेर \(1.67\text{ kg}\) भएको दाबी गर्छ।

निम्न समीकरणहरू प्रयोग गरेर

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

अन्तरिक्षयानको विश्राम ऊर्जा, कुल ऊर्जा र गतिज ऊर्जा गणना गर्नुहोस्। विद्यार्थीको दाबीको मूल्याङ्कन गर्नुहोस्।

समाधान 4

विश्राम ऊर्जा \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), कुल ऊर्जा \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), र गतिज ऊर्जा \(6.0\times10^{16}\text{ J}\) हुन्छ। अपरिवर्तनीय द्रव्यमानको परम्पराअनुसार अन्तरिक्षयानको विश्राम द्रव्यमान \(1.0\text{ kg}\) नै रहन्छ।

चरण 1: विश्राम ऊर्जा गणना गर्नुहोस्।

विश्राम द्रव्यमान \(m=1.0\text{ kg}\) हो।

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

चरण 2: कुल ऊर्जा गणना गर्नुहोस्।

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

चरण 3: गतिज ऊर्जा गणना गर्नुहोस्।

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

कुल ऊर्जा विश्राम ऊर्जा र गतिज ऊर्जाको योग भएकाले यी परिणामहरू एकअर्कासँग मेल खान्छन्:

\[ E=E_0+K. \]

चरण 4: विद्यार्थीको दाबीको मूल्याङ्कन गर्नुहोस्।

विद्यार्थीले कुल ऊर्जा प्राप्त गर्न विश्राम ऊर्जालाई \(\gamma\) ले गुणा गर्नुपर्छ भन्ने कुरा सही पहिचान गरेका छन्। गल्ती भनेको यही गुणकलाई अपरिवर्तनीय विश्राम द्रव्यमानमा भएको वृद्धिका रूपमा व्याख्या गर्नु हो।

गति बढेसँगै अन्तरिक्षयानको गतिज ऊर्जा बढ्छ, तर यसको अपरिवर्तनीय विश्राम द्रव्यमान \(1.0\text{ kg}\) नै रहन्छ। चलिरहेको वस्तुको ऊर्जा र द्रव्यमान-ऊर्जा समतुल्यतालाई एउटै प्रश्नमा जोडेर विचार गर्दा यो भिन्नता महत्त्वपूर्ण हुन्छ।

प्रश्न 5

एउटा प्लेटफर्मको आफ्नै विश्राम सन्दर्भ फ्रेम \(S\) मा लम्बाइ \(600\text{ m}\) छ। यसको दुवै छेउमा A र B नामका दुई बत्ती जडित छन्। A \(x=0\) मा र B \(x=+600\text{ m}\) मा छ। दुवै बत्ती \(S\) मा \(t=0\) हुँदा एकैसाथ बल्छन्।

प्रत्येक बत्तीले प्लेटफर्मको मध्यबिन्दुतर्फ प्रकाशको स्पन्दन पठाउँछ। सन्दर्भ फ्रेम \(S\) मा दुवै स्पन्दन मध्यबिन्दुमा भेटिन्छन्।

रकेटको विश्राम सन्दर्भ फ्रेम \(S'\), \(S\) को सापेक्ष धनात्मक \(x\)-दिशामा \(0.80c\) गतिमा चल्छ।

यस प्रश्नका लागि निम्न समय-निर्देशाङ्क सम्बन्ध प्रयोग गर्नुहोस्:

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

जहाँ \(\Delta t=t_B-t_A\) र \(\Delta x=x_B-x_A\) सन्दर्भ फ्रेम \(S\) मा मापन गरिन्छ।

(क) \(S'\) मा कुन बत्ती पहिले बल्छ, र कति समयअन्तरले?

(ख) \(S'\) मा प्लेटफर्मको लम्बाइ \(360\text{ m}\) छ। एक विद्यार्थीको दाबी छ कि त्यसैले बत्ती बल्ने समयबीचको अन्तर अनिवार्य रूपमा \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) हुनुपर्छ। यसमा भएको ठ्याक्कै गल्ती व्याख्या गर्नुहोस्।

(ग) के दुवै प्रकाशका स्पन्दन अझै पनि \(S'\) मा एउटै घटनामा भेटिनुपर्छ? बत्तीहरू बल्ने समय अब एकैसाथ नभए पनि यो कसरी सम्भव छ भन्ने व्याख्या गर्नुहोस्।

समाधान 5

\(S'\) मा बत्ती B पहिले बल्छ, र त्यो A भन्दा \(2.67\,\mu\text{s}\) अगाडि हुन्छ। दुवै प्रकाशका स्पन्दन अझै पनि एउटै घटनामा भेटिन्छन्, किनभने सबै जडत्वीय सन्दर्भ फ्रेमले ती दुई स्पन्दनको प्रतिच्छेदन हुने घटनामा सहमति जनाउँछन्, चाहे तिनले प्रकाश उत्सर्जन भएका घटनाहरूका लागि फरक समय निर्धारण गरे पनि।

चरण 1: लोरेन्ट्ज गुणक गणना गर्नुहोस् र घटनाहरूको भिन्नता पहिचान गर्नुहोस्।

सापेक्ष गति \(v=0.80c\) भएकाले,

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

सन्दर्भ फ्रेम \(S\) मा दुवै बत्ती एकैसाथ बल्छन् र B को स्थान निर्देशाङ्क ठूलो छ। त्यसैले,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

चरण 2: \(S'\) मा समयान्तर गणना गर्नुहोस्।

दिइएको समय-निर्देशाङ्क सम्बन्धमा मानहरू राख्दा,

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

ऋणात्मक परिणामले \(t'_B<t'_A\) जनाउँछ। रकेटको सन्दर्भ फ्रेममा B को बत्ती A को बत्तीभन्दा \(2.67\,\mu\text{s}\) पहिले बल्छ।

चरण 3: \(360\text{ m}/c\) को गणना किन गलत हुन्छ भन्ने व्याख्या गर्नुहोस्।

विद्यार्थीको गणनाले दिन्छ

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

गणितीय हिसाब सही छ, तर यसले सोधिएको भन्दा फरक प्रश्नको उत्तर दिन्छ।

\(360\text{ m}\) भनेको \(S'\) मा मापन गरिएको प्लेटफर्मको लम्बाइ हो। यो रकेटको सन्दर्भ फ्रेममा दुवै छेउको स्थान एकै समयमा मापन गरेर प्राप्त गरिएको हो। \(S'\) मा बत्ती बल्ने दुई घटना एकैसाथ हुँदैनन्, त्यसैले तिनका घटनास्थानलाई त्यही सन्दर्भ फ्रेममा एकैसाथ गरिएको लम्बाइ मापनका छेउका स्थानका रूपमा लिन मिल्दैन।

दुई घटनाबीचको समयान्तर सामान्यतया मापन गरिएको लम्बाइलाई \(c\) ले भाग गरेर प्राप्त हुँदैन। विद्यार्थीले एकैसाथ मापन गरिएका छेउका स्थानबाट प्राप्त लम्बाइलाई एउटै सन्दर्भ फ्रेममा फरक समयमा घटेका दुई घटनासँग मिसाएका छन्।

चरण 4: प्रकाशका स्पन्दनहरू अझै पनि किन भेटिन्छन् भन्ने व्याख्या गर्नुहोस्।

\(S\) मा प्रत्येक स्पन्दनले मध्यबिन्दुसम्म पुग्न \(300\text{ m}\) यात्रा गर्छ। त्यसैले भेट हुने घटना निम्न स्थान र समयमा घट्छ:

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

यो अन्तरिक्ष-समयमा एउटा घटना हो। प्रत्येक जडत्वीय सन्दर्भ फ्रेमले दुवै स्पन्दन यही घटनामा भेटिन्छन् भन्ने कुरामा सहमति जनाउँछ, यद्यपि त्यस घटनाका लागि निर्धारण गरिएका निर्देशाङ्क फरक हुन्छन्।

रकेटको सन्दर्भ फ्रेममा समयको हिसाब जाँच गर्न सकिन्छ। बत्ती A बल्ने घटनादेखि स्पन्दन भेटिने घटनासम्म दिइएको सम्बन्ध प्रयोग गर्दा,

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

बत्ती A \(t'_A=0\) मा बल्छ। त्यसैले यसको स्पन्दनलाई भेट हुने घटनासम्म पुग्न रकेटको सन्दर्भ फ्रेममा \(0.333\,\mu\text{s}\) को निर्देशाङ्कीय समय लाग्छ।

बत्ती B \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\) मा बल्छ। त्यसैले यसको स्पन्दनलाई त्यही घटनासम्म पुग्न लाग्ने समय हो

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s}. \]

प्रकाश उत्सर्जन हुने समय र यात्रा अवधि फरक भए पनि ती एउटै भेट हुने घटनासँग मेल खान्छन्। एउटा सन्दर्भ फ्रेममा एकैसाथ प्रकाश उत्सर्जन भएको छ भन्दैमा प्रत्येक सन्दर्भ फ्रेममा पनि त्यही उत्सर्जन एकैसाथ हुनुपर्छ भनी मान्नु नै गल्ती हुनेछ।

अब उपयोगी अर्को चरण भनेको अन्तरिक्ष-समय चित्रमा घटनाहरू कसरी प्रस्तुत गर्ने भन्ने सिक्नु हो। HSC का प्रश्नहरू हल गर्दा सुरुमा सन्दर्भ फ्रेम पहिचान गर्नुहोस् र ती घटनाहरू उक्त फ्रेममा एउटै स्थानमा घट्छन् कि घट्दैनन् भनेर विचार गर्नुहोस्। यस निर्णयले गणना सुरु गर्नुअघि समय-विस्तार, लम्बाइ संकुचन र समकालिकताको सापेक्षतामध्ये उपयुक्त अवधारणा छनोट गर्न मद्दत गर्छ।