Специальная теория относительности для HSC Physics: понятное руководство с разобранными примерами
Разберитесь в специальной теории относительности без лишней загадочности. Это руководство по физике HSC объясняет системы отсчёта, относительность одновременности, замедление времени, сокращение длины и эквивалентность массы и энергии на понятных примерах с подробными решениями.
Космический аппарат пролетает мимо Земли со скоростью \(0.80c\). Земля приписывает больший интервал между двумя тиками часов космического аппарата, чем астронавт. Между тем астронавт утверждает, что часы на Земле идут медленно. Прежде чем читать дальше, предположите: неужели один из наблюдателей просто ошибается? Нет. Каждый использует свою инерциальную систему отсчёта, и расхождение связано с тем, как измеряются время и пространство при высоких скоростях.
Одни и те же два тика – разные временные интервалы
| Система покоя астронавта | Δτ = 3.0 s Оба тика происходят в одной и той же точке кабины. Часы в кабине измеряют собственное время. |
|---|---|
| Система отсчёта Земли | Δt = γΔτ = 5.0 s Синхронизированные часы на Земле определяют этот интервал. Те же два события; ни одни часы не неисправны. |
01Системы отсчёта: что именно измеряет каждый наблюдатель?
Система отсчёта – это система координат, позволяющая задавать положения и моменты времени событий. Её можно представить в виде линеек и сети синхронизированных часов.
Инерциальная система отсчёта – это система, которая не ускоряется и не вращается. Для целей этого руководства будем считать, что гравитацией можно пренебречь, а космический аппарат и Земля движутся с постоянной относительной скоростью всякий раз, когда мы сравниваем их движение.
В повседневной жизни обычно можно считать, что время универсально. Если два события происходят одновременно для вас, вы ожидаете, что для всех остальных они тоже произойдут одновременно.
Специальная теория относительности ставит это предположение под сомнение. Она основана на двух принципах:
- Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.
- Каждый инерциальный наблюдатель измеряет одну и ту же скорость света в вакууме независимо от движения источника света или наблюдателя.
Скорость света равна
\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
Предположим, вы движетесь навстречу световому лучу. Можно ожидать, что вы измерите его скорость как \(c+v\), где \(v\) – ваша скорость навстречу лучу. Но этого не происходит. Вы по-прежнему измеряете скорость \(c\).
Чтобы это было возможно, наблюдатели, движущиеся относительно друг друга, не всегда могут согласовать свои измерения временных интервалов и длин или прийти к единому мнению о том, какие удалённые события произошли одновременно.
Речь не о том, что именно они видят глазами. При релятивистских измерениях используют синхронизированные часы и учитывают время, необходимое свету для прохождения расстояния. Расхождение сохраняется даже после внесения такой поправки.
Одни и те же события – разные координаты
| Система отсчёта платформы S | A (0 s, 0 m); B (0 s, 600 m) Собственные синхронизированные часы и шкала координат. События A и B одновременны. |
|---|---|
| Система отсчёта ракеты S′ | A (0 s, 0 m); B (−2.67 μs, 1000 m) Собственные синхронизированные часы и шкала координат. Событие B происходит раньше события A. |
02Одновременность: два события могут происходить в разное время в разных системах отсчёта
Представьте две лампы A и B на противоположных концах длинной платформы. Часы, покоящиеся относительно платформы, синхронизированы, и обе лампы вспыхивают в момент \(t=0\) по времени платформы.
Прежде чем читать дальше, предположите: должна ли ракета, пролетающая мимо платформы, согласиться с тем, что вспышки произошли одновременно?
Нет. Ракета может приписать двум вспышкам разные моменты времени.
Одновременными называют два события, имеющие одинаковую временную координату в заданной системе отсчёта. Это не означает автоматически, что все инерциальные системы отсчёта приписывают им одинаковое время.
Для точного описания ситуации предположим, что:
- Лампа A находится в точке \(x=0\).
- Лампа B находится в точке \(x=600\text{ m}\).
- Платформа покоится в системе отсчёта \(S\).
- Система отсчёта ракеты \(S'\) движется в положительном направлении оси \(x\) со скоростью \(v\) относительно \(S\).
В системе платформы вспышки одновременны. В системе ракеты вспышка B происходит раньше вспышки A.
Почему именно в таком порядке? Преобразование временной координаты для этих двух событий имеет вид
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
где
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]
Здесь \(\Delta t=t_B-t_A\) и \(\Delta x=x_B-x_A\) – разности времени и координат, измеренные в системе отсчёта \(S\). Разность временных координат со штрихом измеряется в системе \(S'\), которая движется в положительном направлении оси \(x\) относительно \(S\).
Для одновременных вспышек на платформе
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]
Следовательно,
\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]
Отрицательный знак показывает, что в системе ракеты вспышка B происходит раньше.
Относительность одновременности: необходимая структура временных шкал
| Система отсчёта платформы S | Δt = 0 События A и B имеют одинаковую временную координату. |
|---|---|
| Система отсчёта ракеты S′ | Δt′ < 0 Событие B происходит раньше события A. |
Важное уточнение: порядок, в котором наблюдатель получает две вспышки, сам по себе не доказывает, в какие моменты произошли соответствующие события. Свету требуется время, чтобы дойти до наблюдателя, а расстояния могут различаться. Относительность одновременности касается моментов времени, приписанных событиям синхронизированными часами с учётом времени распространения света.
Это различие особенно полезно в задачах, где рассматриваются два удалённых события, а не два тика одних и тех же часов.
03Замедление времени: у движущихся часов измеряемый интервал между тиками больше
Теперь рассмотрим два тика одних часов, установленных на космическом аппарате.
Эти два тика происходят в одной и той же точке в системе покоя космического аппарата. Время между ними, измеренное этими часами, называется собственным временем и обозначается \(\Delta\tau\).
Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчёта, относительно которой космический аппарат движется со скоростью \(v\), приписывает тем же двум событиям больший временной интервал. Это и есть замедление времени.
Уравнение имеет вид
\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]
где:
- \(\Delta t\) – временной интервал, измеренный в системе отсчёта, относительно которой часы движутся.
- \(\Delta\tau\) – собственное время, измеренное часами в их системе покоя.
- \(\gamma\) – фактор Лоренца.
- \(v\) – относительная скорость систем отсчёта.
- \(c\) – скорость света.
Поскольку \(\gamma\geq1\), интервал между тиками движущихся часов никогда не бывает короче соответствующего интервала собственного времени.
Например, при \(v=0.80c\)
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]
Другая система отсчёта измеряет интервал, в \(1.67\) раза превышающий интервал, измеренный самими часами.
Одни часы – два измеренных временных интервала
| Система отсчёта космического аппарата | Δτ = 10.0 min Оба тика происходят в одной и той же точке кабины. Часы в кабине измеряют собственное время. |
|---|---|
| Система отсчёта лаборатории | Δt = γΔτ = 16.7 min Часы в кабине движутся со скоростью 0.80c. Синхронизированные часы лаборатории показывают больший временной интервал. |
Разобранный пример: часы на быстро движущемся космическом аппарате
Космический аппарат движется относительно Земли со скоростью \(0.80c\). Его бортовые часы показывают \(10.0\text{ min}\) между двумя тиками. Какой временной интервал Земля приписывает тем же двум событиям?
Шаг 1
Оба тика происходят в одной и той же точке в системе покоя космического аппарата, поэтому показание бортовых часов представляет собой собственное время:
\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]
Шаг 2
\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]
Шаг 3
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]
Земля приписывает этим событиям интервал \(16.7\text{ min}\), тогда как часы космического аппарата показывают \(10.0\text{ min}\). В собственной системе покоя часы астронавта идут нормально; различие связано с временными интервалами, которые приписывают событиям две системы отсчёта.
Почему оба наблюдателя могут утверждать, что часы другого идут медленно?
Это звучит противоречиво, но наблюдатели не сравнивают напрямую одну и ту же пару тиков на обоих часах.
Земля использует собственную сеть синхронизированных часов, чтобы приписывать моменты времени тикам часов космического аппарата. Астронавт использует другую сеть синхронизированных часов, чтобы определять моменты времени на удалённых земных часах. Поскольку одновременность зависит от системы отсчёта, в этих сравнениях используются разные временные координаты удалённых событий.
Если астронавт развернётся и позже вернётся на Землю, ситуация изменится. Во время полёта произойдёт смена инерциальной системы отсчёта, поэтому полные траектории двух наблюдателей уже не будут эквивалентными. Они могут накопить разное собственное время.
Главное правило простое: замедление времени применяется к одной и той же паре событий, причём собственное время измеряется в системе отсчёта, где эти события происходят в одной точке.
04Сокращение длины: измеренная длина движущегося объекта изменяется
Замедление времени касается интервала между событиями. Сокращение длины касается расстояния между концами объекта.
Представьте, что космический аппарат покоится. Вы измеряете его длину линейкой и получаете \(150\text{ m}\). Это его собственная длина \(L_0\), поскольку измерение проводится в системе покоя космического аппарата.
Теперь предположим, что космический аппарат пролетает мимо Земли с высокой скоростью. Земля измеряет его длину, фиксируя положения носовой и кормовой частей в один и тот же момент земного времени.
Это последнее условие важно. Чтобы измерить длину в заданной системе отсчёта, необходимо одновременно в этой системе зафиксировать положения обоих концов объекта.
Измеренная длина движущегося космического аппарата равна
\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]
или, что эквивалентно,
\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]
где:
- \(L\) – длина, измеренная в системе отсчёта, относительно которой объект движется.
- \(L_0\) – собственная длина объекта, измеренная в его системе покоя.
- \(v\) – скорость объекта относительно системы, в которой проводится измерение.
- \(\gamma\) – фактор Лоренца.
Сокращается только размер вдоль направления движения. Размеры объекта, перпендикулярные направлению движения, согласно этому соотношению сокращения длины не изменяются.
Сокращение длины происходит только вдоль направления движения
| Космический аппарат в покое | L = L₀ L₀ – собственная длина. Поперечный размер: h₀. |
|---|---|
| Космический аппарат движется со скоростью v | L = L₀/γ Длина сокращается вдоль направления движения. Поперечный размер остаётся равным h₀. |
Распространённая ошибка – представлять, будто космический аппарат ощущает, что его физически сжимают. В собственной системе покоя он не измеряет меньшую длину. Различие возникает потому, что при измерении длины в разных системах отсчёта используются разные наборы одновременных положений концов объекта.
Разобранный пример: космический аппарат пролетает мимо детектора
Зонд имеет собственную длину \(150\text{ m}\) и пролетает мимо неподвижного детектора со скоростью \(0.80c\).
Вычислите:
- длину, измеряемую Землёй;
- время между прохождением носовой и кормовой частей зонда мимо детектора в системе отсчёта Земли;
- время между теми же событиями в системе отсчёта зонда.
Шаг 1
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Шаг 2
\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]
Земля измеряет длину движущегося зонда как \(90.0\text{ m}\).
Шаг 3
Зонд движется со скоростью
\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
В системе Земли носовая и кормовая части зонда разделены расстоянием \(90.0\text{ m}\). Следовательно, время между их прохождением мимо неподвижного детектора равно
\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Шаг 4
В системе зонда детектор движется мимо всей собственной длины зонда, равной \(150\text{ m}\), с той же относительной скоростью. Поэтому
\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Два события прохождения происходят в одной и той же точке в системе Земли, поэтому интервал \(0.375\,\mu\text{s}\), измеренный детектором, является собственным временным интервалом. В системе зонда детектор движется, и соответствующий интервал больше:
\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]
Расчёты согласуются друг с другом. Одна и та же пара событий имеет разные временные интервалы в двух системах отсчёта, а измеренная длина зонда зависит от системы, в которой одновременно фиксируются положения обоих его концов.
Одни и те же события прохождения – разные временные интервалы
| Система отсчёта Земли | A → B: 0.375 μs Длина зонда: 90 m; детектор неподвижен. |
|---|---|
| Система отсчёта зонда | A → B: 0.625 μs Длина зонда: 150 m; детектор движется мимо него. |
05Масса и энергия: что на самом деле означает \(E=mc^2\)?
Рассмотрим образование ядра из отдельных протонов и нейтронов. После образования ядра его масса покоя немного меньше суммарной массы покоя отдельных частиц.
Неужели часть материи просто исчезла?
Нет. Система выделила энергию, и её необходимо учитывать в энергетическом балансе. Масса и энергия связаны между собой.
Энергия покоя объекта равна
\[ \boxed{E_0=mc^2} \]
где:
- \(E_0\) – энергия покоя.
- \(m\) – инвариантная масса, или масса покоя.
- \(c\) – скорость света.
При изменении массы покоя соответствующее изменение энергии покоя равно
\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]
Коэффициент \(c^2\) чрезвычайно велик. Разность масс всего \(1.0\text{ g}\) соответствует разности энергий покоя
\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]
Это огромная энергия, соответствующая очень малой разности масс.
Масса уменьшается; полная энергия сохраняется
| До выхода энергии | Rest mass = m Начальная энергия покоя: E₀ = mc². |
|---|---|
| После выхода излучения | Remaining mass = m − Δm Излучение уносит энергию ΔE = Δmc². Оставшаяся энергия покоя + энергия излучения = начальная энергия. |
Что меняется, когда энергия поступает в систему или покидает её?
Если энергия покидает систему, масса покоя оставшейся системы может уменьшиться. Если энергия добавляется к системе и остаётся внутри неё, её масса покоя увеличивается, при условии что до и после система сравнивается в состоянии покоя.
Это не означает, что энергия уничтожается при уменьшении массы. В изолированной системе полная энергия сохраняется. Энергия могла покинуть оставшийся объект в виде излучения или кинетической энергии, но она по-прежнему существует.
Связанное ядро – полезный пример. Разность между суммарной массой покоя отдельных нуклонов и массой покоя связанного ядра называется дефектом массы. Соответствующая разность энергий называется энергией связи.
Важное уточнение: масса покоя – не то же самое, что полная энергия
Уравнение \(E_0=mc^2\) определяет энергию покоя. Для объекта, движущегося со скоростью \(v\), полная энергия равна
\[ E=\gamma mc^2, \]
а кинетическая энергия равна
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]
Здесь \(m\) по-прежнему обозначает инвариантную массу покоя объекта. Множитель \(\gamma\) изменяет полную энергию объекта, а не его инвариантную массу.
В некоторых старых учебниках для величины \(\gamma m\) используется термин релятивистская масса. В современной терминологии массу обычно считают инвариантной, а увеличение энергии описывают через энергию и импульс.
Например, фотоны обладают энергией и импульсом, хотя их масса покоя равна нулю. Поэтому формулу \(E=mc^2\) не следует понимать так, будто любая форма энергии обязательно принадлежит частице с ненулевой массой покоя.
Разобранный пример: определение энергии по разности масс
Неподвижный источник испускает излучение, и его оставшаяся масса покоя уменьшается на \(0.50\text{ mg}\). Предполагая, что вся разность масс соответствует энергии, унесённой излучением, оцените выделившуюся энергию.
Шаг 1
\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]
Шаг 2
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]
Шаг 3
Выделившаяся энергия равна \(4.5\times10^{10}\text{ J}\). Разность масс всего \(0.50\text{ mg}\) соответствует огромному количеству энергии.
Масса покоя оставшегося источника уменьшилась, но энергия не исчезла. Если учесть испущенное излучение, общий энергетический баланс остаётся согласованным.
06Выбор подходящего соотношения
Самый надёжный способ решить задачу по специальной теории относительности – сначала определить, что именно измеряется, и лишь затем выбирать формулу.
| Что описано в условии | Подходящее соотношение | Что проверить перед подстановкой |
|---|---|---|
| Время между двумя тиками движущихся часов | \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\) | Происходят ли оба события в одной точке в системе покоя этих часов? |
| Длина объекта, движущегося относительно наблюдателя | \(L=L_0/\gamma\) | Является ли \(L_0\) собственной длиной и измерены ли оба конца одновременно в системе наблюдателя? |
| Два события в разных точках пространства | Относительность одновременности | Происходят ли события в разных точках системы отсчёта, в которой сравнивается их время? |
| Изменение энергии покоя системы | \(\Delta E_0=\Delta m c^2\) | Какая именно система рассматривается и куда ушла энергия? |
Четыре проверки помогают выявить многие распространённые ошибки:
- Проверьте фактор Лоренца. При \(0\leq v<c\) выполняется \(\gamma\geq1\).
- Проверьте события. Замедление времени – не правило для любой пары событий. Условие для собственного времени имеет значение.
- Проверьте измерение. Сокращение длины относится к направлению движения, а для измерения длины необходимо одновременно определить положения обоих концов в измерительной системе отсчёта.
- Проверьте энергетический баланс. Уменьшение массы покоя одного объекта не означает, что полная энергия изолированной системы исчезла.
07Вопросы и решения
Вопрос 1
Часы, закреплённые на зонде, измеряют \(3.0\text{ s}\) между двумя тиками. Зонд движется относительно лаборатории со скоростью \(0.60c\).
Вычислите временной интервал, который лаборатория приписывает тем же двум тикам.
Решение 1
Лаборатория приписывает этим событиям интервал \(3.75\text{ s}\), или \(3.8\text{ s}\) с двумя значащими цифрами.
Бортовые часы измеряют собственное время, поскольку оба тика происходят в одной и той же точке в системе покоя зонда.
Шаг 1: Вычислите фактор Лоренца.
\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]
Шаг 2: Примените формулу замедления времени.
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]
Лаборатория измеряет больший интервал, чем часы зонда. Результат согласуется с эффектом замедления времени.
Вопрос 2
Собственная длина зонда равна \(80\text{ m}\). Длина ангара в его собственной системе покоя равна \(60\text{ m}\). Зонд пролетает мимо ангара со скоростью \(0.80c\).
Инженер утверждает, что зонд может целиком поместиться внутри ангара в один момент времени, поскольку его сокращённая длина меньше длины ангара. Пилот утверждает, что это невозможно, поскольку в системе отсчёта пилота ангар короче зонда.
Предположите, что идеальные двери могут открываться и закрываться мгновенно, и пренебрегите повреждениями материалов.
Правильно ли оба наблюдателя рассчитывают длины? Может ли зонд целиком находиться внутри ангара в один момент времени? Объясните, как эти два описания согласуются друг с другом.
Решение 2
Оба расчёта длины верны. Разногласие касается того, находится ли зонд целиком внутри ангара в один момент времени, поскольку одновременность зависит от системы отсчёта.
Шаг 1: Вычислите фактор Лоренца.
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Шаг 2: Вычислите длину зонда в системе ангара.
Собственная длина зонда равна \(L_0=80\text{ m}\).
\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]
Поскольку \(48\text{ m}<60\text{ m}\), инженер прав: зонд может целиком поместиться внутри ангара в один момент времени по часам ангара, если он расположен подходящим образом.
Шаг 3: Вычислите длину ангара в системе зонда.
Собственная длина ангара равна \(60\text{ m}\). В системе зонда ангар движется, поэтому его измеренная длина равна
\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]
Пилот тоже прав: движущийся ангар имеет длину всего \(36\text{ m}\) в системе зонда, тогда как собственная длина зонда остаётся равной \(80\text{ m}\).
Шаг 4: Разрешите кажущееся противоречие.
Выражение «целиком внутри в один момент времени» означает, что оба конца зонда находятся внутри ангара одновременно в определённой системе отсчёта.
В системе ангара существует момент, когда оба конца зонда находятся внутри. В системе зонда не существует момента, когда весь зонд длиной \(80\text{ m}\) помещается в ангар длиной \(36\text{ m}\).
Ключевой момент заключается в том, что два события закрытия дверей, одновременные в системе ангара, не одновременны в системе зонда. Наблюдатели описывают не одну и ту же пару одновременных событий. Ни одно из описаний не требует, чтобы зонд физически разрушался или сжимался в собственной системе покоя.
Вопрос 3
Масса покоя связанного ядра на \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) меньше суммарной массы покоя отдельных нуклонов.
Предположите, что оба состояния сравниваются в покое, а энергия, выделяющаяся при связывании, покидает ядро.
Вычислите выделившуюся энергию связи в джоулях и объясните, почему меньшая масса покоя конечного ядра не нарушает закон сохранения энергии.
Решение 3
Энергетический эквивалент разности масс составляет \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). Меньшая масса покоя согласуется с законом сохранения энергии, поскольку выделившаяся энергия покидает систему.
Шаг 1: Определите разность масс.
Модуль дефекта массы равен
\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]
Шаг 2: Примените соотношение эквивалентности массы и энергии.
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]
Шаг 3: Объясните энергетический баланс.
Связанное ядро обладает меньшей энергией покоя, чем отдельные нуклоны. Разность соответствует энергии, выделившейся при связывании, например в виде излучения или кинетической энергии, унесённой другими продуктами реакции.
Масса покоя конечного ядра меньше, поскольку энергия покинула ядро. Если учесть выделившуюся энергию, полная энергия сохраняется.
Вопрос 4
Космический аппарат имеет инвариантную массу покоя \(1.0\text{ kg}\) и движется относительно Земли со скоростью \(0.80c\).
Ученик вычисляет \(\gamma=1.67\) и утверждает, что масса космического аппарата увеличилась до \(1.67\text{ kg}\).
Используя соотношения
\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]
вычислите энергию покоя, полную энергию и кинетическую энергию космического аппарата. Оцените утверждение ученика.
Решение 4
Энергия покоя равна \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), полная энергия – \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), а кинетическая энергия – \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). В рамках соглашения об инвариантной массе масса покоя космического аппарата остаётся равной \(1.0\text{ kg}\).
Шаг 1: Вычислите энергию покоя.
Масса покоя равна \(m=1.0\text{ kg}\).
\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Шаг 2: Вычислите полную энергию.
\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]
Шаг 3: Вычислите кинетическую энергию.
\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Результаты согласуются друг с другом, поскольку полная энергия равна сумме энергии покоя и кинетической энергии:
\[ E=E_0+K. \]
Шаг 4: Оцените утверждение ученика.
Ученик правильно определил, что \(\gamma\) умножает энергию покоя, давая полную энергию. Ошибка заключается в том, что этот множитель интерпретируется как увеличение инвариантной массы покоя.
Кинетическая энергия космического аппарата увеличивается с ростом скорости, но его инвариантная масса покоя остаётся равной \(1.0\text{ kg}\). Это различие важно в задачах, объединяющих эквивалентность массы и энергии с энергией движущегося объекта.
Вопрос 5
Длина платформы в её собственной системе отсчёта \(S\) равна \(600\text{ m}\). На её концах установлены две лампы A и B: лампа A находится в точке \(x=0\), а лампа B – в точке \(x=+600\text{ m}\). В системе \(S\) обе лампы вспыхивают одновременно при \(t=0\).
Каждая вспышка создаёт световой импульс, направленный к середине платформы. В системе \(S\) два импульса встречаются в середине платформы.
Система покоя ракеты \(S'\) движется в положительном направлении оси \(x\) со скоростью \(0.80c\) относительно \(S\).
В этой задаче используйте соотношение для преобразования временной координаты
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
где \(\Delta t=t_B-t_A\) и \(\Delta x=x_B-x_A\) измерены в системе \(S\).
(a) Какая вспышка происходит раньше в системе \(S'\) и на сколько?
(b) Длина платформы в системе \(S'\) равна \(360\text{ m}\). Ученик утверждает, что поэтому временной интервал между вспышками обязательно равен \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Объясните, в чём именно заключается ошибка.
(c) Должны ли два световых импульса по-прежнему встретиться в одном и том же событии в системе \(S'\)? Объясните, как это возможно, если вспышки больше не одновременны.
Решение 5
В системе \(S'\) вспышка B происходит первой, на \(2.67\,\mu\text{s}\) раньше. Импульсы по-прежнему встречаются в одном и том же событии, поскольку все инерциальные системы отсчёта согласны относительно точки пересечения двух световых импульсов, даже если приписывают разные моменты времени событиям их испускания.
Шаг 1: Вычислите фактор Лоренца и определите разности координат событий.
Относительная скорость равна \(v=0.80c\), поэтому
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]
Вспышки одновременны в системе \(S\), а координата B больше координаты A. Следовательно,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]
Шаг 2: Вычислите разность временных координат в системе \(S'\).
Подставим значения в заданное соотношение для преобразования временной координаты:
\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]
Отрицательный результат означает, что \(t'_B<t'_A\). В системе ракеты вспышка B происходит на \(2.67\,\mu\text{s}\) раньше вспышки A.
Шаг 3: Объясните, почему вычисление \(360\text{ m}/c\) неверно.
Вычисление ученика даёт
\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]
Арифметика верна, но она отвечает не на тот вопрос.
Величина \(360\text{ m}\) – это длина платформы, измеренная в системе \(S'\), когда оба её конца измеряются одновременно по времени ракеты. События вспышек в системе \(S'\) не одновременны, поэтому координаты этих событий нельзя считать координатами концов платформы, полученными при одновременном измерении её длины.
Разность времён двух событий в общем случае не равна измеренной длине, делённой на \(c\). Ученик смешал длину, измеренную по одновременным положениям концов, с двумя событиями, происходящими в разные моменты времени в одной и той же системе отсчёта.
Шаг 4: Объясните, почему импульсы по-прежнему встречаются.
В системе \(S\) каждый импульс проходит \(300\text{ m}\) до середины платформы. Следовательно, событие встречи происходит в момент
\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]
Это одно событие в пространстве-времени. Все инерциальные системы отсчёта согласны с тем, что оба импульса встречаются в этом событии, хотя присвоенные ему координаты различаются.
Проверим время в системе ракеты. Применение заданного соотношения между вспышкой A и событием встречи даёт
\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Вспышка A происходит при \(t'_A=0\), поэтому в системе ракеты от неё до события встречи проходит \(0.333\,\mu\text{s}\) координатного времени.
Вспышка B происходит при \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), поэтому до того же события проходит
\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]
координатного времени.
Разные моменты испускания и интервалы распространения согласуются с тем, что импульсы встречаются в одном и том же событии. Ошибка заключалась бы в предположении, что одновременное испускание в одной системе отсчёта обязательно остаётся одновременным во всех системах.
Следующий полезный шаг – научиться изображать события на диаграмме пространства-времени. При решении задач HSC сначала определите систему отсчёта и выясните, происходят ли события в одной и той же точке этой системы. Это поможет выбрать между замедлением времени, сокращением длины и относительностью одновременности ещё до начала вычислений.