HSC இயற்பியலில் சிறப்பு சார்பியல்: தெளிவான விளக்கங்களும் தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளும்
சிறப்பு சார்பியலை எளிதாகப் புரிந்துகொள்ளுங்கள். இந்த HSC இயற்பியல் வழிகாட்டி, குறிப்புச் சட்டகங்கள், ஒரேநேரத்தன்மையின் சார்பியல், கால விரிவு, நீளச் சுருக்கம் மற்றும் நிறை-ஆற்றல் ஆகியவற்றைத் தெளிவான விளக்கங்களுடனும் தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடனும் விளக்குகிறது.
ஒரு விண்கலம் பூமியைக் \(0.80c\) வேகத்தில் கடந்து செல்கிறது. விண்கலத்தின் கடிகாரத்தில் ஏற்படும் இரண்டு குறியீடுகளுக்கு இடையிலான கால இடைவெளியை விட நீண்ட கால இடைவெளியைப் பூமி அளவிடுகிறது. அதேவேளையில், பூமியின் கடிகாரங்கள் மெதுவாக இயங்குவதாக விண்வெளி வீரர் கூறுகிறார். தொடர்ந்து படிப்பதற்கு முன் கணித்துப் பாருங்கள்: இதில் ஒரு பார்வையாளர் தவறாக இருக்கிறாரா? இல்லை. ஒவ்வொருவரும் வெவ்வேறு நிலைமக் குறிப்புச் சட்டகத்தைப் பயன்படுத்துகின்றனர். அதிக வேகங்களில் காலமும் வெளியும் அளவிடப்படும் விதத்தில் உள்ள வேறுபாடே இந்த முரண்பாட்டிற்குக் காரணமாகும்.
அதே இரண்டு கடிகாரக் குறியீடுகள்,
வெவ்வேறு கால இடைவெளிகள்
| விண்வெளி வீரரின் ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகம் | Δτ = 3.0 s இரண்டு குறியீடுகளும் விண்கல அறையில் ஒரே இடத்தில் நிகழ்கின்றன. அறைக் கடிகாரம் சொந்த காலத்தை அளவிடுகிறது. |
|---|---|
| பூமியின் குறிப்புச் சட்டகம் | Δt = γΔτ = 5.0 s பூமியின் ஒத்திசைக்கப்பட்ட கடிகாரங்கள் கால இடைவெளியை ஒதுக்குகின்றன. அதே இரண்டு நிகழ்வுகள்; |
01குறிப்புச் சட்டகங்கள்: ஒவ்வொரு பார்வையாளரும் உண்மையில் எதை அளவிடுகிறார்?
ஒரு குறிப்புச் சட்டகம் என்பது நிகழ்வுகளின் நிலைகளையும் காலங்களையும் குறிக்கப் பயன்படும் ஒரு ஆயத்தொலைவு முறைமையாகும். இதனை அளவுகோல்களையும் ஒத்திசைக்கப்பட்ட கடிகாரங்களின் வலையமைப்பையும் கொண்டு குறிப்பிடலாம்.
நிலைமக் குறிப்புச் சட்டகம் என்பது முடுக்கமோ சுழற்சியோ இல்லாத ஒரு குறிப்புச் சட்டகமாகும். இந்த வழிகாட்டியில், ஈர்ப்பு விசையின் விளைவு புறக்கணிக்கத்தக்கது என்றும், விண்கலத்தையும் பூமியையும் ஒப்பிடும்போது அவை மாறாத சார்பு வேகத்தில் நகர்கின்றன என்றும் கருதுங்கள்.
அன்றாட வாழ்க்கையில், காலம் அனைவருக்கும் பொதுவானது என்று நாம் வழக்கமாகக் கருதலாம். உங்களுக்கு இரண்டு நிகழ்வுகள் ஒரே நேரத்தில் நடந்தால், அவை மற்ற அனைவருக்கும் அதே நேரத்தில் நிகழும் என்று எதிர்பார்ப்பீர்கள்.
சிறப்பு சார்பியல் இந்தக் கருதுகோளைச் சவாலுக்கு உட்படுத்துகிறது. இது இரண்டு விதிகளிலிருந்து தொடங்குகிறது:
- இயற்பியல் விதிகள் எல்லா நிலைமக் குறிப்புச் சட்டகங்களிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
- ஒளி மூலமோ பார்வையாளரோ எவ்வாறு நகர்ந்தாலும், ஒவ்வொரு நிலைமப் பார்வையாளரும் வெற்றிடத்தில் ஒளியின் அதே வேகத்தையே அளவிடுவார்.
ஒளியின் வேகம்
\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
நீங்கள் ஒரு ஒளிக்கற்றையை நோக்கி நகர்வதாகக் கருதுங்கள். உங்கள் வேகம் \(v\) எனில், அந்த ஒளிக்கற்றையின் வேகத்தை \(c+v\) என்று அளவிடுவீர்கள் என நீங்கள் எதிர்பார்க்கலாம். ஆனால் அப்படி இல்லை. நீங்கள் இன்னும் \(c\) என்ற அதே வேகத்தையே அளவிடுகிறீர்கள்.
இது சாத்தியமாக இருக்க, ஒன்றுக்கொன்று சார்பாக நகரும் பார்வையாளர்கள் கால இடைவெளிகள், நீளங்கள் அல்லது தொலைவில் நிகழும் எந்த நிகழ்வுகள் ஒரே நேரத்தில் நடந்தன என்பதில் எப்போதும் உடன்பட வேண்டியதில்லை.
இது அவர்களின் கண்கள் தற்செயலாக எதைக் காண்கின்றன என்பதைப் பற்றியது அல்ல. சார்பியல் அளவீடுகளில் ஒத்திசைக்கப்பட்ட கடிகாரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன; ஒளி பயணிக்க எடுத்துக்கொள்ளும் காலமும் கணக்கில் கொள்ளப்படுகிறது. அந்தத் திருத்தத்தைச் செய்த பிறகும் இந்த வேறுபாடு நீடிக்கிறது.
அதே நிகழ்வுகள்,
வெவ்வேறு ஆயத்தொலைவுகள்
| மேடைக் குறிப்புச் சட்டகம் S | A (0 s, 0 m); B (0 s, 600 m) தனித்த ஒத்திசைக்கப்பட்ட கடிகாரங்களும் நிலை அளவுகோலும். A மற்றும் B நிகழ்வுகள் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்கின்றன. |
|---|---|
| ராக்கெட் குறிப்புச் சட்டகம் S′ | A (0 s, 0 m); B (−2.67 μs, 1000 m) தனித்த ஒத்திசைக்கப்பட்ட கடிகாரங்களும் நிலை அளவுகோலும். B நிகழ்வு A-ஐ விட முன்னதாக நிகழ்கிறது. |
02ஒரேநேரத்தன்மை: வெவ்வேறு குறிப்புச் சட்டகங்களில் இரண்டு நிகழ்வுகள் வெவ்வேறு நேரங்களில் நிகழலாம்
ஒரு நீண்ட மேடையின் எதிரெதிர் முனைகளில் A மற்றும் B என்ற இரண்டு விளக்குகள் இருப்பதாகக் கற்பனை செய்யுங்கள். மேடையுடன் ஓய்வில் இருக்கும் கடிகாரங்கள் ஒத்திசைக்கப்பட்டுள்ளன. இரண்டு விளக்குகளும் மேடைக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் \(t=0\) என்ற நேரத்தில் ஒளிர்கின்றன.
தொடர்ந்து படிப்பதற்கு முன் கணித்துப் பாருங்கள்: அந்த மேடையைக் கடந்து செல்லும் ஒரு ராக்கெட், இரண்டு ஒளிர்வுகளும் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்ந்தன என்பதை ஏற்றுக்கொள்ள வேண்டுமா?
இல்லை. ராக்கெட் இரண்டு ஒளிர்வுகளுக்கும் வெவ்வேறு நேரங்களை ஒதுக்கலாம்.
ஒரே நேரத்தில் நிகழ்தல் என்பது குறிப்பிட்ட ஒரு குறிப்புச் சட்டகத்தில் இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கும் ஒரே கால ஆயத்தொலைவு இருப்பதைக் குறிக்கிறது. எல்லா நிலைமக் குறிப்புச் சட்டகங்களும் அவற்றுக்கு ஒரே நேரத்தை ஒதுக்கும் என்று இதற்குத் தானாகவே பொருள் கிடையாது.
இந்தச் சூழலைத் துல்லியமாகக் குறிப்பிடுவோம். பின்வருவனவற்றைக் கருதுங்கள்:
- விளக்கு A, \(x=0\) என்ற இடத்தில் உள்ளது.
- விளக்கு B, \(x=600\text{ m}\) என்ற இடத்தில் உள்ளது.
- மேடை, \(S\) என்ற குறிப்புச் சட்டகத்தில் ஓய்வில் உள்ளது.
- ராக்கெட்டின் \(S'\) குறிப்புச் சட்டகம், \(S\)-ஐப் பொறுத்து நேர்ம \(x\)-திசையில் \(v\) என்ற வேகத்தில் நகர்கிறது.
மேடைக் குறிப்புச் சட்டகத்தில், இரண்டு ஒளிர்வுகளும் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்கின்றன. ராக்கெட் குறிப்புச் சட்டகத்தில், B-யின் ஒளிர்வு A-யின் ஒளிர்வைவிட முன்னதாக நிகழ்கிறது.
இந்த வரிசை ஏன் இவ்வாறு உள்ளது? இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கான கால ஆயத்தொலைவு மாற்றச் சமன்பாடு:
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
இதில்,
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]
இங்கே, \(\Delta t=t_B-t_A\) மற்றும் \(\Delta x=x_B-x_A\) என்பவை \(S\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் அளவிடப்படும் கால வேறுபாட்டையும் நிலை வேறுபாட்டையும் குறிக்கின்றன. முதன்மைக் குறியுடன் எழுதப்பட்ட கால வேறுபாடு \(S'\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் அளவிடப்படுகிறது. இந்தச் சட்டகம், \(S\)-ஐப் பொறுத்து நேர்ம \(x\)-திசையில் நகர்கிறது.
மேடையில் ஒரே நேரத்தில் நிகழும் ஒளிர்வுகளுக்கு,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]
எனவே,
\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]
எதிர்மக் குறி, ராக்கெட் குறிப்புச் சட்டகத்தில் B-யின் ஒளிர்வு முன்னதாக நிகழ்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது.
ஒரேநேரத்தன்மையின் சார்பியல்:
தேவையான காலவரிசை அமைப்பு
| மேடைக் குறிப்புச் சட்டகம் S | Δt = 0 A மற்றும் B நிகழ்வுகளுக்கு ஒரே கால ஆயத்தொலைவு உள்ளது. |
|---|---|
| ராக்கெட் குறிப்புச் சட்டகம் S′ | Δt′ < 0 B நிகழ்வு A நிகழ்வைவிட முன்னதாக நிகழ்கிறது. |
ஒரு முக்கியமான வரம்பை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்: இரண்டு ஒளிர்வுகளைப் பார்வையாளர் பெற்றுக்கொள்ளும் வரிசை மட்டும், அந்த நிகழ்வுகள் நிகழ்ந்த நேரத்தை நிரூபிப்பதில்லை. ஒளி பார்வையாளரை அடையப் பயணிக்க வேண்டும்; மேலும், இரண்டு ஒளிர்வுகளுக்கான தொலைவுகளும் வேறுபடலாம். ஒத்திசைக்கப்பட்ட கடிகாரங்கள் ஒளியின் பயண நேரத்தைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு நேரங்களை ஒதுக்கிய பிறகும் காணப்படும் வேறுபாடே ஒரேநேரத்தன்மையின் சார்பியலாகும்.
ஒரே கடிகாரத்தின் இரண்டு குறியீடுகளுக்குப் பதிலாக, தொலைவில் நிகழும் இரண்டு நிகழ்வுகள் தொடர்பான வினாக்களில் இந்த வேறுபாடு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
03கால விரிவு: நகரும் கடிகாரத்தின் குறியீடுகளுக்கு இடையிலான அளவிடப்பட்ட கால இடைவெளி நீண்டதாக இருக்கும்
இப்போது, ஒரு விண்கலத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ள ஒரே கடிகாரத்தின் இரண்டு குறியீடுகளைக் கருதுவோம்.
விண்கலத்தின் ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகத்தில், அந்த இரண்டு குறியீடுகளும் ஒரே இடத்தில் நிகழ்கின்றன. அந்தக் கடிகாரத்தால் அளவிடப்படும் கடந்த காலம் சொந்த காலம் எனப்படுகிறது. இது \(\Delta\tau\) என்று குறிக்கப்படுகிறது.
வேகம் \(v\)-இல் விண்கலம் நகரும் மற்றொரு நிலைமக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் இருக்கும் பார்வையாளர், அதே இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கு இடையில் நீண்ட கால இடைவெளியை ஒதுக்குகிறார். இதுவே கால விரிவு எனப்படுகிறது.
சமன்பாடு:
\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]
இதில்:
- \(\Delta t\) என்பது கடிகாரம் நகரும் குறிப்புச் சட்டகத்தில் அளவிடப்படும் கால இடைவெளி.
- \(\Delta\tau\) என்பது கடிகாரம் அதன் ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் அளவிடும் சொந்த காலம்.
- \(\gamma\) என்பது லோரன்ஸ் காரணி.
- \(v\) என்பது இரண்டு குறிப்புச் சட்டகங்களுக்கு இடையிலான சார்பு வேகம்.
- \(c\) என்பது ஒளியின் வேகம்.
\(\gamma\geq1\) என்பதால், நகரும் கடிகாரத்தின் குறியீடுகளுக்கு இடையிலான கால இடைவெளி, அதன் சொந்த கால இடைவெளியைவிட ஒருபோதும் குறைவாக இருக்காது.
எடுத்துக்காட்டாக, \(v=0.80c\) எனில்,
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]
மற்ற குறிப்புச் சட்டகத்தில் அளவிடப்படும் கால இடைவெளி, அந்தக் கடிகாரத்தின் சொந்த கால இடைவெளியைவிட \(1.67\) மடங்கு நீண்டதாக இருக்கும்.
ஒரே கடிகாரம்,
இரண்டு அளவிடப்பட்ட கால இடைவெளிகள்
| விண்கலக் குறிப்புச் சட்டகம் | Δτ = 10.0 min இரண்டு குறியீடுகளும் விண்கல அறையில் ஒரே இடத்தில் நிகழ்கின்றன. அறைக் கடிகாரம் சொந்த காலத்தை அளவிடுகிறது. |
|---|---|
| ஆய்வகக் குறிப்புச் சட்டகம் | Δt = γΔτ = 16.7 min அறைக் கடிகாரம் 0.80c வேகத்தில் நகர்கிறது. ஆய்வகத்தின் ஒத்திசைக்கப்பட்ட கடிகாரங்கள் நீண்ட கால இடைவெளியை ஒதுக்குகின்றன. |
தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு: அதிவேக விண்கலத்தில் உள்ள கடிகாரம்
ஒரு விண்கலம் பூமியைப் பொறுத்து \(0.80c\) வேகத்தில் நகர்கிறது. அதன் உள்ளே உள்ள கடிகாரம் இரண்டு குறியீடுகளுக்கு இடையில் \(10.0\text{ min}\) என அளவிடுகிறது. அதே இரண்டு குறியீடுகளுக்கு இடையில் பூமி ஒதுக்கும் கால இடைவெளி என்ன?
படி 1
விண்கலத்தின் ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் இரண்டு குறியீடுகளும் ஒரே இடத்தில் நிகழ்கின்றன. எனவே, விண்கலத்தின் கடிகார அளவீடே சொந்த காலமாகும்:
\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]
படி 2
\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]
படி 3
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]
விண்கலத்தின் கடிகாரம் \(10.0\text{ min}\) எனக் காட்டும் அதே கால இடைவெளியைப் பூமி \(16.7\text{ min}\) எனக் கணக்கிடுகிறது. விண்வெளி வீரரின் கடிகாரம் அதன் சொந்த ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் வழக்கம்போலவே இயங்குகிறது. இரண்டு குறிப்புச் சட்டகங்களும் ஒதுக்கும் கால இடைவெளிகளில்தான் வேறுபாடு உள்ளது.
இரண்டு பார்வையாளர்களும் மற்றவரின் கடிகாரம் மெதுவாக இயங்குவதாகக் கூறுவது ஏன்?
இது முரண்பாடாகத் தோன்றலாம். ஆனால், இரண்டு கடிகாரங்களிலும் உள்ள அதே இரண்டு குறியீடுகளை இரு பார்வையாளர்களும் நேரடியாக ஒப்பிடுவதில்லை.
விண்கலத்தின் குறியீடுகளுக்கு நேரங்களை ஒதுக்க பூமி தனது ஒத்திசைக்கப்பட்ட கடிகாரங்களின் வலையமைப்பைப் பயன்படுத்துகிறது. பூமியில் தொலைவில் உள்ள கடிகாரங்களின் குறியீடுகளுக்கு நேரங்களை ஒதுக்க விண்வெளி வீரர் வேறொரு ஒத்திசைக்கப்பட்ட கடிகார வலையமைப்பைப் பயன்படுத்துகிறார். ஒரேநேரத்தன்மை குறிப்புச் சட்டகத்தைச் சார்ந்திருப்பதால், இந்த இரண்டு ஒப்பீடுகளிலும் தொலைவிலுள்ள நிகழ்வுகளுக்கு ஒரே நேர ஒதுக்கீடுகள் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை.
விண்வெளி வீரர் திரும்பிச் சென்று பின்னர் பூமியை மீண்டும் அடைந்தால், நிலைமை மேலும் மாறுகிறது. அந்தப் பயணத்தில் நிலைமக் குறிப்புச் சட்டகம் மாறுகிறது. எனவே, இரு பார்வையாளர்களின் முழுப் பயணங்களும் இனி சமமானவை அல்ல. அவர்கள் வெவ்வேறு அளவிலான சொந்த காலத்தை அனுபவித்திருக்கலாம்.
முக்கிய விதி எளிமையானது: ஒரே இடத்தில் நிகழும் அதே இரண்டு நிகழ்வுகளுக்குக் கால விரிவைப் பயன்படுத்தும்போது, அந்த நிகழ்வுகள் ஒரே இடத்தில் நிகழும் குறிப்புச் சட்டகத்தில் அளவிடப்பட்ட கால இடைவெளியே சொந்த காலமாகும்.
04நீளச் சுருக்கம்: நகரும் பொருளின் அளவிடப்பட்ட நீளம் மாறுகிறது
கால விரிவு நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான கால இடைவெளியைப் பற்றியது. நீளச் சுருக்கம் என்பது ஒரு பொருளின் இரண்டு முனைகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைப் பற்றியது.
ஓய்வில் உள்ள ஒரு விண்கலத்தைக் கற்பனை செய்யுங்கள். ஓர் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி அதன் நீளத்தை அளவிடும்போது \(150\text{ m}\) கிடைக்கிறது. விண்கலம் அதன் ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் இருக்கும்போது அளவிடப்படும் இந்த நீளம், அதன் சொந்த நீளம் \(L_0\) எனப்படுகிறது.
இப்போது அந்த விண்கலம் அதிக வேகத்தில் பூமியைக் கடந்து செல்கிறது என்று கருதுங்கள். பூமி, தனது குறிப்புச் சட்டகத்தில் ஒரே நேரத்தில் விண்கலத்தின் முன் மற்றும் பின் முனைகளின் நிலைகளைப் பதிவு செய்து அதன் நீளத்தை அளவிடுகிறது.
இந்த இறுதி நிபந்தனை மிகவும் முக்கியமானது. ஒரு குறிப்புச் சட்டகத்தில் நீளத்தை அளவிட, அந்தச் சட்டகத்தில் இரு முனைகளின் நிலைகளையும் ஒரே நேரத்தில் பதிவு செய்ய வேண்டும்.
நகரும் விண்கலத்தின் அளவிடப்பட்ட நீளம்
\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]
அல்லது, இதற்குச் சமமான வகையில்,
\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]
இதில்:
- \(L\) என்பது பொருள் நகரும் குறிப்புச் சட்டகத்தில் அளவிடப்படும் நீளம்.
- \(L_0\) என்பது பொருளின் சொந்த நீளம்; இது அதன் ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் அளவிடப்படுகிறது.
- \(v\) என்பது அளவிடும் குறிப்புச் சட்டகத்தைப் பொறுத்த பொருளின் வேகம்.
- \(\gamma\) என்பது லோரன்ஸ் காரணி.
இயக்கத்தின் திசைக்கு இணையாக உள்ள பரிமாணம் மட்டுமே சுருங்கும். நீளச் சுருக்கத்தின் இந்த உறவின்படி, இயக்கத்திற்குச் செங்குத்தான பொருளின் பரிமாணங்கள் மாறாது.
நீளச் சுருக்கம் இயக்கத் திசையில் மட்டுமே ஏற்படும்
| ஓய்வில் உள்ள விண்கலம் | L = L₀ L₀ என்பது சொந்த நீளம். செங்குத்துத் திசைப் பரிமாணம்: h₀. |
|---|---|
| v வேகத்தில் நகரும் விண்கலம் | L = L₀/γ இயக்கத்துக்கு இணையான நீளம் சுருங்குகிறது. செங்குத்துத் திசைப் பரிமாணம் h₀ ஆகவே இருக்கும். |
விண்கலம் உடலளவில் அழுத்தப்பட்டுச் சுருங்குகிறது என்று கற்பனை செய்வது பொதுவான தவறாகும். விண்கலம் தனது சொந்த ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் அளவிடும்போது அதன் நீளம் குறைவதில்லை. வெவ்வேறு குறிப்புச் சட்டகங்களில் நீளங்களை அளவிடும்போது, ஒரே நேரத்தில் உள்ள முனை நிலைகளின் வெவ்வேறு தொகுப்புகள் பயன்படுத்தப்படுவதால்தான் இந்த வேறுபாடு ஏற்படுகிறது.
தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு: ஒரு கண்டறியும் கருவியைக் கடக்கும் விண்கலம்
ஒரு ஆய்வுக் கலத்தின் சொந்த நீளம் \(150\text{ m}\). அது நிலையாக இருக்கும் ஒரு கண்டறியும் கருவியைக் \(0.80c\) வேகத்தில் கடக்கிறது.
பின்வருவனவற்றைக் கணக்கிடுங்கள்:
- பூமி அளவிடும் நீளம்,
- ஆய்வுக் கலத்தின் முன்முனையும் பின்முனையும் கண்டறியும் கருவியைக் கடப்பதற்கு இடையில் பூமியின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் உள்ள கால இடைவெளி,
- அதே இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கு இடையில் ஆய்வுக் கலத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் உள்ள கால இடைவெளி.
படி 1
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
படி 2
\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]
நகரும் ஆய்வுக் கலத்தின் நீளம் \(90.0\text{ m}\) எனப் பூமி அளவிடுகிறது.
படி 3
ஆய்வுக் கலத்தின் வேகம்
\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
பூமியின் குறிப்புச் சட்டகத்தில், ஆய்வுக் கலத்தின் முன்முனைக்கும் பின்முனைக்கும் இடையிலான தூரம் \(90.0\text{ m}\). எனவே, அவை நிலையாக இருக்கும் கண்டறியும் கருவியைக் கடப்பதற்கு இடையிலான கால இடைவெளி
\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
படி 4
ஆய்வுக் கலத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில், கண்டறியும் கருவி ஆய்வுக் கலத்தின் முழு \(150\text{ m}\) சொந்த நீளத்தையும் அதே சார்பு வேகத்தில் கடந்து செல்கிறது. ஆகவே,
\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
பூமியின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் இந்த இரண்டு கடத்தல் நிகழ்வுகளும் ஒரே இடத்தில் நிகழ்கின்றன. எனவே, கண்டறியும் கருவியின் \(0.375\,\mu\text{s}\) கால இடைவெளி ஒரு சொந்த கால இடைவெளியாகும். ஆய்வுக் கலத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் கண்டறியும் கருவி நகர்வதால், கால இடைவெளி நீண்டதாக இருக்கும்:
\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]
கணக்கீடுகள் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்துப்போகின்றன. அதே இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கு இரண்டு குறிப்புச் சட்டகங்களிலும் வெவ்வேறு கால இடைவெளிகள் கிடைக்கின்றன. அதேவேளையில், இரு முனைகளும் ஒரே நேரத்தில் பதிவு செய்யப்படும் குறிப்புச் சட்டகத்தைப் பொறுத்தே ஆய்வுக் கலத்தின் அளவிடப்பட்ட நீளம் அமைகிறது.
அதே கடத்தல் நிகழ்வுகள்,
வெவ்வேறு கால இடைவெளிகள்
| பூமிக் குறிப்புச் சட்டகம் | A → B: 0.375 μs ஆய்வுக் கலத்தின் நீளம்: 90 m; |
|---|---|
| ஆய்வுக் கலக் குறிப்புச் சட்டகம் | A → B: 0.625 μs ஆய்வுக் கலத்தின் நீளம்: 150 m; |
05நிறை-ஆற்றல்: \(E=mc^2\) என்பதன் உண்மையான பொருள் என்ன?
தனித்தனியாக உள்ள புரோட்டான்களும் நியூட்ரான்களும் இணைந்து ஒரு அணுக்கருவை உருவாக்குவதாகக் கருதுங்கள். அணுக்கரு உருவான பிறகு, அதன் ஓய்வு நிறை, தனித்தனியாக இருந்த துகள்களின் ஓய்வு நிறைகளின் கூட்டுத்தொகையைவிடச் சற்றுக் குறைவாக இருக்கும்.
சிலப் பொருள் அப்படியே மறைந்துவிட்டதா?
இல்லை. அந்த அமைப்பு ஆற்றலை வெளியிட்டுள்ளது. வெளியேறிய ஆற்றலும் கணக்கில் சேர்க்கப்பட வேண்டும். நிறைக்கும் ஆற்றலுக்கும் தொடர்பு உள்ளது.
ஒரு பொருளின் ஓய்வு ஆற்றல்
\[ \boxed{E_0=mc^2} \]
இதில்:
- \(E_0\) என்பது ஓய்வு ஆற்றல்.
- \(m\) என்பது மாறாத நிறை அல்லது ஓய்வு நிறை.
- \(c\) என்பது ஒளியின் வேகம்.
ஓய்வு நிறையில் ஏற்படும் மாற்றத்திற்குரிய ஓய்வு ஆற்றல் மாற்றம்
\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]
\(c^2\) என்ற காரணி மிகப் பெரியது. வெறும் \(1.0\text{ g}\) நிறை வேறுபாட்டிற்குரிய ஓய்வு ஆற்றல் வேறுபாடு
\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]
மிகச் சிறிய நிறை வேறுபாட்டிற்குக் கூட இது மிகப் பெரிய அளவிலான ஆற்றலாகும்.
நிறை குறைகிறது; மொத்த ஆற்றல் மாறாமல் பாதுகாக்கப்படுகிறது
| ஆற்றல் வெளியேறுவதற்கு முன் | Rest mass = m தொடக்க ஓய்வு ஆற்றல்: E₀ = mc². |
|---|---|
| கதிர்வீச்சு வெளியேறிய பின் | Remaining mass = m − Δm கதிர்வீச்சு ΔE = Δmc² ஆற்றலை எடுத்துச் செல்கிறது. எஞ்சிய ஓய்வு ஆற்றல் + கதிர்வீச்சு ஆற்றல் = தொடக்க ஆற்றல். |
ஒரு அமைப்புக்குள் ஆற்றல் நுழையும்போது அல்லது வெளியேறும்போது என்ன மாறுகிறது?
ஒரு அமைப்பிலிருந்து ஆற்றல் வெளியேறினால், எஞ்சியுள்ள அமைப்பின் ஓய்வு நிறை குறையலாம். ஓய்வில் உள்ள ஒரு அமைப்புக்குள் ஆற்றல் சேர்க்கப்பட்டு அது உள்ளேயே தங்கினால், தொடக்கத்திலும் முடிவிலும் அமைப்பு ஓய்வில் இருப்பதாகக் கருதும்போது, அதன் ஓய்வு நிறை அதிகரிக்கும்.
நிறை குறையும்போது ஆற்றல் அழிக்கப்படுகிறது என்று இதற்குப் பொருள் இல்லை. தனிமைப்படுத்தப்பட்ட ஓர் அமைப்பின் மொத்த ஆற்றல் மாறாமல் இருக்கும். ஆற்றல் கதிர்வீச்சாகவோ இயக்க ஆற்றலாகவோ எஞ்சியுள்ள பொருளிலிருந்து வெளியேறியிருக்கலாம்; ஆனால் அது இன்னும் இருக்கிறது.
பிணைக்கப்பட்ட அணுக்கரு இதற்கு ஒரு பயனுள்ள எடுத்துக்காட்டாகும். தனித்தனியாக இருக்கும் அணுக்கருத் துகள்களின் மொத்த ஓய்வு நிறைக்கும் பிணைக்கப்பட்ட அணுக்கருவின் ஓய்வு நிறைக்கும் இடையிலான வேறுபாடு நிறைக் குறைவு எனப்படுகிறது. இதற்குரிய ஆற்றல் வேறுபாடு பிணைப்பு ஆற்றல் எனப்படுகிறது.
அவசியமான ஒரு வரம்பு: ஓய்வு நிறையும் மொத்த ஆற்றலும் ஒன்றல்ல
\(E_0=mc^2\) என்ற சமன்பாடு ஓய்வு ஆற்றலைக் குறிக்கிறது. \(v\) வேகத்தில் நகரும் ஒரு பொருளின் மொத்த ஆற்றல்
\[ E=\gamma mc^2, \]
மேலும் அதன் இயக்க ஆற்றல்
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]
இங்கே, \(m\) என்பது பொருளின் மாறாத ஓய்வு நிறையாகவே உள்ளது. \(\gamma\) என்ற காரணி பொருளின் மொத்த ஆற்றலை மாற்றுகிறது; அதன் மாறாத நிறையை அல்ல.
சில பழைய விளக்கங்களில், \(\gamma m\) என்பதற்கு சார்பியல் நிறை என்ற சொல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நவீன வழக்கில், நிறை மாறாததாகக் கருதப்பட்டு, ஏற்படும் அதிகரிப்பு ஆற்றல் மற்றும் உந்தம் ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் விவரிக்கப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக, ஒளியணுக்கள் ஓய்வு நிறை பூஜ்ஜியமாக இருந்தாலும் ஆற்றலையும் உந்தத்தையும் கொண்டுள்ளன. எனவே, \(E=mc^2\) என்ற சமன்பாட்டை, ஆற்றலின் ஒவ்வொரு வடிவமும் பூஜ்ஜியமற்ற ஓய்வு நிறையைக் கொண்ட ஒரு துகளுக்குச் சொந்தமானதாக இருக்க வேண்டும் என்று பொருள்படுமாறு விளக்கக்கூடாது.
தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு: நிறை வேறுபாட்டிலிருந்து ஆற்றலைக் கண்டறிதல்
ஓய்வில் இருக்கும் ஒரு மூலம் கதிர்வீச்சை வெளியிடுகிறது. அதன் எஞ்சியுள்ள ஓய்வு நிறை \(0.50\text{ mg}\) குறைகிறது. இந்த நிறை வேறுபாடு முழுவதும் கதிர்வீச்சால் எடுத்துச் செல்லப்படும் ஆற்றலுக்குச் சமம் எனக் கருதி, வெளியிடப்படும் ஆற்றலை மதிப்பிடுங்கள்.
படி 1
\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]
படி 2
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]
படி 3
வெளியிடப்படும் ஆற்றல் \(4.5\times10^{10}\text{ J}\) ஆகும். வெறும் \(0.50\text{ mg}\) நிறை வேறுபாட்டிற்கே மிகப் பெரிய அளவிலான ஆற்றல் ஈடாக உள்ளது.
மூலத்தின் எஞ்சியுள்ள ஓய்வு நிறை குறைந்துள்ளது; ஆனால் ஆற்றல் மறைந்துவிடவில்லை. வெளியேற்றப்பட்ட கதிர்வீச்சையும் கணக்கில் சேர்க்கும்போது, மொத்த ஆற்றல் கணக்கீடு தொடர்ந்து சரியாகவே இருக்கும்.
06சரியான தொடர்பைத் தேர்ந்தெடுத்தல்
சிறப்பு சார்பியல் தொடர்பான வினாவைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் நம்பகமான வழி, சூத்திரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு முன் எதை அளவிட வேண்டும் என்பதை அடையாளம் காண்பதாகும்.
| வினாவில் விவரிக்கப்பட்டிருப்பது | தொடர்புடைய சமன்பாடு | மதிப்புகளைப் பதிலிடுவதற்கு முன் சரிபார்க்க வேண்டியது |
|---|---|---|
| நகரும் கடிகாரத்தின் இரண்டு குறியீடுகளுக்கு இடையிலான காலம் | \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\) | அந்த இரண்டு நிகழ்வுகளும் கடிகாரத்தின் ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் ஒரே இடத்தில் நிகழ்கின்றனவா? |
| பார்வையாளரைப் பொறுத்து நகரும் பொருளின் நீளம் | \(L=L_0/\gamma\) | \(L_0\) சொந்த நீளமா? பார்வையாளரின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் இரண்டு முனைகளும் ஒரே நேரத்தில் அளவிடப்படுகின்றனவா? |
| வெவ்வேறு இடங்களில் நிகழும் இரண்டு நிகழ்வுகள் | ஒரேநேரத்தன்மையின் சார்பியல் | காலங்கள் ஒப்பிடப்படும் குறிப்புச் சட்டகத்தில் அந்த நிகழ்வுகள் வெவ்வேறு இடங்களில் நிகழ்கின்றனவா? |
| ஓர் அமைப்பின் ஓய்வு ஆற்றலில் ஏற்படும் மாற்றம் | \(\Delta E_0=\Delta m c^2\) | எந்த அமைப்பு கருதப்படுகிறது? ஆற்றல் எங்கு சென்றுள்ளது? |
பொதுவாக ஏற்படும் பல தவறுகளைத் தவிர்க்கப் பின்வரும் நான்கு சரிபார்ப்புகள் உதவும்:
- லோரன்ஸ் காரணியைச் சரிபார்க்கவும். \(0\leq v<c\) எனில், \(\gamma\geq1\).
- நிகழ்வுகளைச் சரிபார்க்கவும். எல்லா நிகழ்வுகளின் ஒவ்வொரு ஜோடிக்கும் கால விரிவு விதியைப் பயன்படுத்த முடியாது. சொந்த காலத்திற்கான நிபந்தனை முக்கியமானது.
- அளவீட்டைச் சரிபார்க்கவும். இயக்கத்தின் திசையில்தான் நீளச் சுருக்கம் ஏற்படும். மேலும், நீளத்தை அளவிடும்போது அளவிடும் குறிப்புச் சட்டகத்தில் இரு முனைகளின் நிலைகளும் ஒரே நேரத்தில் பதிவு செய்யப்பட வேண்டும்.
- ஆற்றல் கணக்கீட்டைச் சரிபார்க்கவும். ஒரு பொருளின் ஓய்வு நிறை குறைவதால், தனிமைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பின் மொத்த ஆற்றல் மறைந்துவிட்டது என்று பொருளல்ல.
07வினாக்களும் தீர்வுகளும்
வினா 1
ஒரு ஆய்வுக் கலத்தில் பொருத்தப்பட்டுள்ள கடிகாரம் இரண்டு குறியீடுகளுக்கு இடையில் \(3.0\text{ s}\) என அளவிடுகிறது. அந்த ஆய்வுக் கலம் ஒரு ஆய்வகத்தைப் பொறுத்து \(0.60c\) வேகத்தில் நகர்கிறது.
அதே இரண்டு குறியீடுகளுக்கு ஆய்வகம் ஒதுக்கும் கால இடைவெளியைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு 1
ஆய்வகம் \(3.75\text{ s}\) என்ற கால இடைவெளியை ஒதுக்குகிறது. இரண்டு குறிப்பிடத்தக்க இலக்கங்களுக்கு இது \(3.8\text{ s}\) ஆகும்.
ஆய்வுக் கலத்தின் ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் இரண்டு குறியீடுகளும் ஒரே இடத்தில் நிகழ்வதால், அதன் உள்ளே உள்ள கடிகாரம் அளவிடும் காலமே சொந்த காலமாகும்.
படி 1: லோரன்ஸ் காரணியைக் கணக்கிடுதல்.
\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]
படி 2: கால விரிவு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துதல்.
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]
ஆய்வுக் கலத்தின் கடிகாரம் அளவிடுவதைவிட நீண்ட கால இடைவெளியை ஆய்வகம் அளவிடுகிறது. இந்த முடிவு கால விரிவு விதியுடன் ஒத்துப்போகிறது.
வினா 2
ஒரு ஆய்வுக் கலத்தின் சொந்த நீளம் \(80\text{ m}\). ஒரு தொங்கு கூடத்தின் நீளம் அதன் சொந்த ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் \(60\text{ m}\). ஆய்வுக் கலம் அந்தத் தொங்கு கூடத்தைக் \(0.80c\) வேகத்தில் கடந்து செல்கிறது.
நீளச் சுருக்கத்திற்குப் பிறகு ஆய்வுக் கலத்தின் நீளம் தொங்கு கூடத்தின் நீளத்தைவிடக் குறைவாக இருப்பதால், ஒரே கணத்தில் ஆய்வுக் கலம் முழுவதுமாகத் தொங்கு கூடத்திற்குள் இருக்க முடியும் என்று ஒரு பொறியாளர் வாதிடுகிறார். தொங்கு கூடம் தனது குறிப்புச் சட்டகத்தில் ஆய்வுக் கலத்தைவிடக் குறுகியதாக இருப்பதால், இது சாத்தியமில்லை என்று விமானி வாதிடுகிறார்.
உடனடியாகத் திறந்து மூடக்கூடிய இலட்சியக் கதவுகள் உள்ளன என்றும், பொருள்சார் சேதத்தைப் புறக்கணிக்கலாம் என்றும் கருதுங்கள்.
இரு பார்வையாளர்களின் நீளக் கணக்கீடுகளும் சரியானவையா? ஆய்வுக் கலம் ஒரு கணத்தில் முழுவதுமாகத் தொங்கு கூடத்திற்குள் இருக்க முடியுமா? இரண்டு விளக்கங்களும் எவ்வாறு ஒன்றுக்கொன்று ஒத்துப்போகின்றன என்பதை விளக்குங்கள்.
தீர்வு 2
இரு பார்வையாளர்களின் நீளக் கணக்கீடுகளும் சரியானவை. முரண்பாடு ஏற்படுவது, ஆய்வுக் கலம் ஒரே கணத்தில் முழுவதுமாகத் தொங்கு கூடத்திற்குள் உள்ளதா என்பதில் மட்டுமே. ஏனெனில், ஒரேநேரத்தன்மை குறிப்புச் சட்டகத்தைச் சார்ந்தது.
படி 1: லோரன்ஸ் காரணியைக் கணக்கிடுதல்.
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
படி 2: தொங்கு கூடத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் ஆய்வுக் கலத்தின் நீளத்தைக் கணக்கிடுதல்.
ஆய்வுக் கலத்தின் சொந்த நீளம் \(L_0=80\text{ m}\).
\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]
\(48\text{ m}<60\text{ m}\) என்பதால், ஆய்வுக் கலம் சரியான நிலையில் அமைந்திருந்தால், தொங்கு கூடத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் ஒரு கணத்தில் முழுவதுமாக அதற்குள் இருக்க முடியும் என்ற பொறியாளரின் கூற்று சரியானது.
படி 3: ஆய்வுக் கலத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் தொங்கு கூடத்தின் நீளத்தைக் கணக்கிடுதல்.
தொங்கு கூடத்தின் சொந்த நீளம் \(60\text{ m}\). ஆய்வுக் கலத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் தொங்கு கூடம் நகர்கிறது. எனவே, அதன் அளவிடப்பட்ட நீளம்
\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]
விமானியின் கூற்றும் சரியானதே. நகரும் தொங்கு கூடத்தின் நீளம் ஆய்வுக் கலத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் \(36\text{ m}\) மட்டுமே; அதேவேளையில், ஆய்வுக் கலத்தின் சொந்த நீளம் \(80\text{ m}\) ஆகவே உள்ளது.
படி 4: தோன்றும் முரண்பாட்டைத் தீர்த்தல்.
“ஒரே கணத்தில் முழுவதுமாக உள்ளே” என்பதன் பொருள், ஒரு குறிப்பிட்ட குறிப்புச் சட்டகத்தில் ஒரே நேரத்தில் ஆய்வுக் கலத்தின் இரண்டு முனைகளும் தொங்கு கூடத்திற்குள் இருப்பதாகும்.
தொங்கு கூடத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில், ஆய்வுக் கலத்தின் இரண்டு முனைகளும் உள்ளே இருக்கும் ஒரு கணம் உள்ளது. ஆய்வுக் கலத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில், \(80\text{ m}\) நீளமுள்ள ஆய்வுக் கலம் முழுவதுமாக \(36\text{ m}\) நீளமுள்ள தொங்கு கூடத்திற்குள் பொருந்தும் கணம் எதுவும் இல்லை.
இதில் முக்கியமானது என்னவென்றால், தொங்கு கூடத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் ஒரே நேரத்தில் நிகழும் இரண்டு கதவு மூடும் நிகழ்வுகள், ஆய்வுக் கலத்தின் குறிப்புச் சட்டகத்தில் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்வதில்லை. பார்வையாளர்கள் ஒரே நேரத்தில் நிகழும் அதே இரண்டு நிகழ்வுகளை விவரிக்கவில்லை. ஆய்வுக் கலம் அதன் சொந்த ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகத்தில் உடலளவில் அழிக்கப்படவோ சுருக்கப்படவோ வேண்டிய அவசியமில்லை.
வினா 3
ஒரு பிணைக்கப்பட்ட அணுக்கருவின் ஓய்வு நிறை, அதன் நியூக்ளியான்கள் தனித்தனியாக இருக்கும்போது அவற்றின் மொத்த ஓய்வு நிறையைவிட \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) குறைவாக உள்ளது.
இரண்டு நிலைகளும் ஓய்வில் இருக்கும்போது ஒப்பிடப்படுகின்றன என்றும், பிணைப்பு நிகழும்போது வெளிப்படும் ஆற்றல் அணுக்கருவிலிருந்து வெளியேறுகிறது என்றும் கருதுங்கள்.
வெளியிடப்படும் பிணைப்பு ஆற்றலை ஜூல் அலகில் கணக்கிட்டு, இறுதி அணுக்கருவின் ஓய்வு நிறை குறைவாக இருப்பது ஆற்றல் மாறா விதியை ஏன் மீறுவதில்லை என்பதை விளக்குங்கள்.
தீர்வு 3
நிறை வேறுபாட்டிற்குச் சமமான பிணைப்பு ஆற்றல் \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\) ஆகும். வெளியிடப்பட்ட ஆற்றல் அமைப்பிலிருந்து வெளியேறுவதால், இறுதி அணுக்கருவின் ஓய்வு நிறை குறைவாக இருப்பது ஆற்றல் மாறா விதியுடன் ஒத்துப்போகிறது.
படி 1: நிறை வேறுபாட்டைக் கண்டறிதல்.
நிறைக் குறைவின் அளவு
\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]
படி 2: நிறை-ஆற்றல் சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்துதல்.
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]
படி 3: ஆற்றல் கணக்கீட்டை விளக்குதல்.
பிணைக்கப்பட்ட அணுக்கருவின் ஓய்வு ஆற்றல், தனித்தனியாக இருக்கும் நியூக்ளியான்களின் ஓய்வு ஆற்றலைவிடக் குறைவாகும். இந்த வேறுபாடு, பிணைப்பு நிகழும்போது வெளியிடப்படும் ஆற்றலாக வெளிப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, கதிர்வீச்சாகவோ பிற விளைவுப் பொருள்கள் எடுத்துச் செல்லும் இயக்க ஆற்றலாகவோ அது இருக்கலாம்.
அணுக்கருவிலிருந்து ஆற்றல் வெளியேறியதால், இறுதி அணுக்கருவின் ஓய்வு நிறை குறைவாக உள்ளது. வெளியிடப்பட்ட ஆற்றலையும் கணக்கில் சேர்க்கும்போது, மொத்த ஆற்றல் மாறாமல் இருக்கிறது.
வினா 4
ஒரு விண்கலத்தின் மாறாத ஓய்வு நிறை \(1.0\text{ kg}\). அது பூமியைப் பொறுத்து \(0.80c\) வேகத்தில் நகர்கிறது.
ஒரு மாணவர் \(\gamma=1.67\) எனக் கணக்கிட்டு, விண்கலத்தின் நிறை \(1.67\text{ kg}\) ஆக அதிகரித்துவிட்டதாகக் கூறுகிறார்.
பின்வரும் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி
\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]
விண்கலத்தின் ஓய்வு ஆற்றல், மொத்த ஆற்றல் மற்றும் இயக்க ஆற்றலைக் கணக்கிடுங்கள். மாணவரின் கூற்றை மதிப்பிடுங்கள்.
தீர்வு 4
ஓய்வு ஆற்றல் \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), மொத்த ஆற்றல் \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), இயக்க ஆற்றல் \(6.0\times10^{16}\text{ J}\) ஆகும். மாறாத நிறை என்ற மரபின்படி, விண்கலத்தின் ஓய்வு நிறை \(1.0\text{ kg}\) ஆகவே இருக்கும்.
படி 1: ஓய்வு ஆற்றலைக் கணக்கிடுதல்.
ஓய்வு நிறை \(m=1.0\text{ kg}\).
\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
படி 2: மொத்த ஆற்றலைக் கணக்கிடுதல்.
\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]
படி 3: இயக்க ஆற்றலைக் கணக்கிடுதல்.
\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
மொத்த ஆற்றல் என்பது ஓய்வு ஆற்றலுக்கும் இயக்க ஆற்றலுக்கும் இடையிலான கூட்டுத்தொகை என்பதால், இந்த முடிவுகள் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்துப்போகின்றன:
\[ E=E_0+K. \]
படி 4: மாணவரின் கூற்றை மதிப்பிடுதல்.
மொத்த ஆற்றலைப் பெற, \(\gamma\) என்ற காரணி ஓய்வு ஆற்றலுடன் பெருக்கப்பட வேண்டும் என்பதை மாணவர் சரியாகக் கண்டறிந்துள்ளார். இந்தக் காரணியை மாறாத ஓய்வு நிறையின் அதிகரிப்பாகப் பொருள்படுத்தியதே தவறு.
வேகம் அதிகரிக்கும்போது விண்கலத்தின் இயக்க ஆற்றல் அதிகரிக்கிறது. ஆனால் அதன் மாறாத ஓய்வு நிறை \(1.0\text{ kg}\) ஆகவே இருக்கும். நிறை-ஆற்றல் சமத்துவத்தையும் நகரும் பொருளின் ஆற்றலையும் இணைக்கும் வினாக்களில் இந்த வேறுபாடு முக்கியமானது.
வினா 5
ஒரு மேடையின் சொந்த ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகம் \(S\). அந்தச் சட்டகத்தில் மேடையின் நீளம் \(600\text{ m}\). அதன் இரு முனைகளிலும் A மற்றும் B என்ற இரண்டு விளக்குகள் பொருத்தப்பட்டுள்ளன. A, \(x=0\) என்ற இடத்திலும் B, \(x=+600\text{ m}\) என்ற இடத்திலும் உள்ளன. \(S\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் \(t=0\) என்ற நேரத்தில் இரண்டு விளக்குகளும் ஒரே நேரத்தில் ஒளிர்கின்றன.
ஒவ்வொரு விளக்கும் மேடையின் நடுப்புள்ளியை நோக்கி ஒரு ஒளித் துடிப்பை அனுப்புகிறது. \(S\) குறிப்புச் சட்டகத்தில், இரண்டு ஒளித் துடிப்புகளும் நடுப்புள்ளியில் சந்திக்கின்றன.
ஒரு ராக்கெட்டின் ஓய்வுக் குறிப்புச் சட்டகம் \(S'\), \(S\)-ஐப் பொறுத்து நேர்ம \(x\)-திசையில் \(0.80c\) வேகத்தில் நகர்கிறது.
இந்த வினாவிற்கு, பின்வரும் கால ஆயத்தொலைவு தொடர்பைப் பயன்படுத்துங்கள்:
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
இதில், \(\Delta t=t_B-t_A\) மற்றும் \(\Delta x=x_B-x_A\) ஆகியவை \(S\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் அளவிடப்படுகின்றன.
(a) \(S'\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் எந்த ஒளிர்வு முதலில் நிகழ்கிறது? எவ்வளவு கால இடைவெளியில்?
(b) \(S'\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் மேடையின் நீளம் \(360\text{ m}\). எனவே, ஒளிர்வுகளுக்கு இடையிலான கால இடைவெளி \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) ஆக இருக்க வேண்டும் என்று ஒரு மாணவர் கூறுகிறார். இதில் உள்ள துல்லியமான தவறை விளக்குங்கள்.
(c) இரண்டு ஒளித் துடிப்புகளும் \(S'\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் அதே நிகழ்வில் சந்திக்க வேண்டுமா? ஒளிர்வுகள் இனி ஒரே நேரத்தில் நிகழாவிட்டாலும், அது எவ்வாறு சாத்தியமாகிறது என்பதை விளக்குங்கள்.
தீர்வு 5
\(S'\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் B-யின் ஒளிர்வு முதலில் நிகழ்கிறது. அது A-யின் ஒளிர்வைவிட \(2.67\,\mu\text{s}\) முன்னதாக நிகழ்கிறது. இரண்டு ஒளித் துடிப்புகளும் அதே நிகழ்வில் சந்திக்கின்றன. ஏனெனில், ஒளித் துடிப்புகள் சந்திக்கும் நிகழ்வை எல்லா நிலைமக் குறிப்புச் சட்டகங்களும் ஏற்றுக்கொள்கின்றன; ஒளி வெளியிடப்பட்ட நிகழ்வுகளுக்கு அவை வெவ்வேறு நேரங்களை ஒதுக்கினாலும் இது உண்மையாகவே இருக்கும்.
படி 1: லோரன்ஸ் காரணியைக் கணக்கிட்டு நிகழ்வுகளுக்கிடையிலான வேறுபாடுகளைக் கண்டறிதல்.
சார்பு வேகம் \(v=0.80c\). எனவே,
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]
\(S\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் இரண்டு ஒளிர்வுகளும் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்கின்றன. மேலும், B-யின் நிலை ஆயத்தொலைவு அதிகமானது. எனவே,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]
படி 2: \(S'\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் கால வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுதல்.
கொடுக்கப்பட்ட கால ஆயத்தொலைவு தொடர்பில் மதிப்புகளைப் பதிலிடுவோம்:
\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]
எதிர்ம முடிவு \(t'_B<t'_A\) என்பதைக் குறிக்கிறது. ராக்கெட் குறிப்புச் சட்டகத்தில் B-யின் ஒளிர்வு, A-யின் ஒளிர்வுக்கு \(2.67\,\mu\text{s}\) முன்னதாக நிகழ்கிறது.
படி 3: \(360\text{ m}/c\) என்ற கணக்கீடு ஏன் தவறுகிறது என்பதை விளக்குதல்.
மாணவரின் கணக்கீடு
\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]
கணக்கீடு சரியானது; ஆனால் அது வேறொரு வினாவிற்குப் பதிலளிக்கிறது.
\(360\text{ m}\) என்பது \(S'\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் அளவிடப்படும் மேடையின் நீளமாகும். மேடையின் இரு முனைகளும் ராக்கெட் குறிப்புச் சட்டகத்தில் ஒரே நேரத்தில் அளவிடப்படுவதால் இந்த நீளம் கிடைக்கிறது. ஆனால் \(S'\) குறிப்புச் சட்டகத்தில் இரண்டு ஒளிர்வு நிகழ்வுகளும் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்வதில்லை. எனவே, அந்த நிகழ்வுகளின் நிலைகளை ஒரே நேரத்தில் அளவிடப்பட்ட நீளத்தின் முனைகளாகக் கருத முடியாது.
இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான கால வேறுபாடு என்பது பொதுவாக அளவிடப்பட்ட நீளத்தை \(c\)-ஆல் வகுத்துக் கிடைப்பதில்லை. ஒரே நேரத்தில் உள்ள முனை நிலைகளைப் பயன்படுத்தி அளவிடப்பட்ட நீளத்தையும், அதே குறிப்புச் சட்டகத்தில் வெவ்வேறு நேரங்களில் நிகழும் இரண்டு நிகழ்வுகளையும் மாணவர் தவறாகக் கலந்துள்ளார்.
படி 4: ஒளித் துடிப்புகள் ஏன் இன்னும் சந்திக்கின்றன என்பதை விளக்குதல்.
\(S\) குறிப்புச் சட்டகத்தில், ஒவ்வொரு ஒளித் துடிப்பும் நடுப்புள்ளியை அடைய \(300\text{ m}\) பயணிக்கிறது. எனவே, அவை சந்திக்கும் நிகழ்வு
\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]
இது வெளி-காலத்தில் நிகழும் ஒரே நிகழ்வாகும். ஒவ்வொரு நிலைமக் குறிப்புச் சட்டகமும் அதே நிகழ்வில் இரண்டு ஒளித் துடிப்புகளும் சந்திக்கின்றன என்பதை ஏற்றுக்கொள்கிறது. அந்த நிகழ்வுக்கு ஒதுக்கப்படும் ஆயத்தொலைவுகள் மட்டும் வேறுபடுகின்றன.
ராக்கெட் குறிப்புச் சட்டகத்தின் கால அளவீட்டைச் சரிபார்க்கலாம். ஒளிர்வு A-க்கும் ஒளித் துடிப்புகள் சந்திக்கும் நிகழ்வுக்கும் இடையிலான தொடர்பில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தினால்,
\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
ஒளிர்வு A, \(t'_A=0\) என்ற நேரத்தில் நிகழ்கிறது. எனவே, அதன் ஒளித் துடிப்பு சந்திக்கும் நிகழ்வை அடைய ராக்கெட் குறிப்புச் சட்டகத்தில் \(0.333\,\mu\text{s}\) காலம் ஆகிறது.
ஒளிர்வு B, \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\) என்ற நேரத்தில் நிகழ்கிறது. எனவே, அதே நிகழ்வை அடைய அதன் ஒளித் துடிப்பு எடுத்துக்கொள்ளும் காலம்
\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]
ஆகும்.
வெவ்வேறு வெளியீட்டு நேரங்களும் பயணக் கால இடைவெளிகளும் ஒரே சந்திப்பு நிகழ்வுடன் ஒத்துப்போகின்றன. ஒரு குறிப்புச் சட்டகத்தில் ஒளிர்வுகள் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்ந்தால், அவை எல்லா குறிப்புச் சட்டகங்களிலும் ஒரே நேரத்தில் நிகழ வேண்டும் என்று கருதுவதே தவறாகும்.
அடுத்த பயனுள்ள படி, வெளி-கால வரைபடத்தில் நிகழ்வுகளை எவ்வாறு குறிப்பிடுவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வதாகும். HSC வினாக்களைத் தீர்க்கும்போது, முதலில் குறிப்புச் சட்டகத்தை அடையாளம் கண்டு, அந்தச் சட்டகத்தில் நிகழ்வுகள் ஒரே இடத்தில் நிகழ்கின்றனவா என்று கேளுங்கள். கணக்கீட்டைத் தொடங்குவதற்கு முன்பே, கால விரிவு, நீளச் சுருக்கம் அல்லது ஒரேநேரத்தன்மையின் சார்பியல் ஆகியவற்றில் எதைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை இந்த முடிவு தீர்மானிக்க உதவும்.