HSC భౌతికశాస్త్రం కోసం ప్రత్యేక సాపేక్షత: స్పష్టమైన, ఉదాహరణలతో కూడిన మార్గదర్శిని

ఒక అంతరిక్ష నౌక భూమిని \(0.80c\) వేగంతో దాటుతుంది. అంతరిక్ష నౌక గడియారంలోని రెండు టిక్‌ల మధ్య కాల వ్యవధి, వ్యోమగామి కొలిచిన దానికంటే ఎక్కువగా ఉందని భూమి నిర్ణయిస్తుంది. అదే సమయంలో, భూమిపై గడియారాలు నెమ్మదిగా నడుస్తున్నాయని వ్యోమగామి చెబుతాడు. ఇక చదివే ముందు ఒకసారి ఊహించండి: ఈ పరిశీలకుల్లో ఒకరు తప్పు చేస్తున్నారా? లేదు. ప్రతి ఒక్కరూ వేర్వేరు జడత్వ సూచన చట్రాన్ని ఉపయోగిస్తున్నారు. అధిక వేగాల వద్ద కాలాన్ని, స్థలాన్ని కొలిచే విధానాల్లో తేడా ఉండటమే ఈ భిన్నాభిప్రాయానికి కారణం.

01సూచన చట్రాలు: ప్రతి పరిశీలకుడు నిజంగా ఏమి కొలుస్తున్నాడు?

ఘటనలకు స్థానాలను, సమయాలను కేటాయించడానికి ఉపయోగించే సమన్వయాంక వ్యవస్థను సూచన చట్రం (frame of reference) అంటారు. దీనిని కొలత కర్రలు, పరస్పరం సమకాలీకరించిన గడియారాల నెట్‌వర్క్‌తో సూచించవచ్చు.

జడత్వ సూచన చట్రం (inertial frame) అంటే త్వరణం లేదా భ్రమణం లేని సూచన చట్రం. ఈ మార్గదర్శిలో, గురుత్వ ప్రభావం అల్పమని, భూమి మరియు అంతరిక్ష నౌకల చలనాన్ని పోల్చినప్పుడు వాటి సాపేక్ష వేగం స్థిరంగా ఉంటుందని భావించండి.

దైనందిన జీవితంలో కాలం అందరికీ ఒకేలా ఉంటుందని సాధారణంగా భావించవచ్చు. మీకు రెండు ఘటనలు ఒకే సమయంలో జరిగితే, అవి ఇతరులందరికీ కూడా అదే సమయంలో జరుగుతాయని మీరు ఆశిస్తారు.

ప్రత్యేక సాపేక్షత ఈ ఊహను సవాలు చేస్తుంది. ఇది రెండు నియమాలతో ప్రారంభమవుతుంది:

• భౌతికశాస్త్ర నియమాలు ప్రతి జడత్వ సూచన చట్రంలోనూ ఒకే విధంగా ఉంటాయి.
• కాంతి మూలం లేదా పరిశీలకుడు కదులుతున్నప్పటికీ, ప్రతి జడత్వ పరిశీలకుడు శూన్యంలో కాంతి వేగాన్ని ఒకే విలువగా కొలుస్తాడు.

కాంతి వేగం

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

మీరు ఒక కాంతి కిరణం వైపు కదులుతున్నారని అనుకుందాం. ఆ కిరణం వేగాన్ని \(c+v\) గా కొలుస్తానని మీరు ఆశించవచ్చు. ఇక్కడ \(v\) అనేది కాంతి కిరణం వైపు మీ వేగం. కానీ అలా జరగదు. మీరు ఇప్పటికీ \(c\) నే కొలుస్తారు.

ఈ నియమం పనిచేయాలంటే, ఒకదానితో మరొకటి సాపేక్షంగా కదిలే పరిశీలకులు కాల వ్యవధులు, పొడవులు లేదా దూరంలో ఉన్న ఏ ఘటనలు ఏకకాలంలో జరిగాయనే విషయాలపై ఎల్లప్పుడూ ఏకీభవించలేరు.

ఇది వారి కళ్లకు కనిపించే దృశ్యాల గురించి కాదు. సాపేక్షతా కొలతల్లో సమకాలీకరించిన గడియారాలను ఉపయోగిస్తారు; కాంతి ప్రయాణించడానికి పట్టే సమయాన్ని కూడా పరిగణనలోకి తీసుకుంటారు. ఆ సవరణ చేసిన తర్వాత కూడా ఈ భేదం కొనసాగుతుంది.

02ఏకకాలికత: రెండు ఘటనలు వేర్వేరు సూచన చట్రాల్లో వేర్వేరు సమయాల్లో జరగవచ్చు

ఒక పొడవైన వేదికకు రెండు చివర్లలో A, B అనే రెండు దీపాలు ఉన్నాయని ఊహించండి. వేదికకు సంబంధించి నిశ్చలంగా ఉన్న గడియారాలు సమకాలీకరించబడ్డాయి. రెండు దీపాలూ వేదిక కాలం \(t=0\) వద్ద వెలుగుతాయి.

ఇక చదవడానికి ముందు ఊహించండి: ఆ వేదికను దాటుతూ వెళ్తున్న ఒక రాకెట్, రెండు దీపాలూ ఏకకాలంలో వెలిగాయని తప్పనిసరిగా అంగీకరించాలా?

లేదు. ఆ రెండు దీపాల వెలిగిన సమయాలకు రాకెట్ వేర్వేరు విలువలను కేటాయించవచ్చు.

ఏకకాలంలో జరిగినవి (simultaneous) అంటే, నిర్దిష్టమైన ఒక సూచన చట్రంలో రెండు ఘటనలకు ఒకే కాల సమన్వయాంకం ఉండటం. ప్రతి జడత్వ సూచన చట్రం కూడా వాటికి ఒకే సమయాన్ని కేటాయిస్తుందని దీని అర్థం కాదు.

ఈ పరిస్థితిని స్పష్టంగా వివరించడానికి, ఈ విషయాలను అనుకుందాం:

• దీపం A స్థానం \(x=0\).
• దీపం B స్థానం \(x=600\text{ m}\).
• వేదిక \(S\) సూచన చట్రంలో నిశ్చలంగా ఉంది.
• రాకెట్ సూచన చట్రం \(S'\), \(S\) చట్రానికి సంబంధించి ధనాత్మక \(x\) దిశలో \(v\) వేగంతో కదులుతుంది.

వేదిక సూచన చట్రంలో రెండు దీపాలూ ఏకకాలంలో వెలుగుతాయి. రాకెట్ సూచన చట్రంలో మాత్రం B వద్ద దీపం, A వద్ద దీపం కంటే ముందుగా వెలిగినట్లు కనిపిస్తుంది.

ఈ క్రమం ఎందుకు వస్తుంది? ఈ రెండు ఘటనలకు వర్తించే కాల-సమన్వయాంక పరివర్తన సమీకరణం:

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

ఇక్కడ

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

ఇక్కడ \(\Delta t=t_B-t_A\), \(\Delta x=x_B-x_A\) అనేవి \(S\) సూచన చట్రంలో కొలిచిన కాల, స్థాన వ్యత్యాసాలు. \(S'\) సూచన చట్రంలో కొలిచే కాల వ్యత్యాసాన్ని ప్రైమ్ గుర్తుతో \(\Delta t'\) గా సూచిస్తాం. ఈ చట్రం \(S\) కు సంబంధించి ధనాత్మక \(x\) దిశలో కదులుతుంది.

వేదికపై ఏకకాలంలో వెలిగిన దీపాల కోసం,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

అందువల్ల,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

ఋణాత్మక గుర్తు, రాకెట్ సూచన చట్రంలో B వద్ద దీపం ముందుగా వెలిగిందని తెలియజేస్తుంది.

ఒక ముఖ్యమైన పరిమితిని గుర్తుంచుకోవాలి: పరిశీలకుడికి రెండు కాంతి మెరుపులు అందిన క్రమం మాత్రమే, ఆ ఘటనలు ఏ సమయాల్లో జరిగాయో నిరూపించదు. కాంతి పరిశీలకుడి వరకు ప్రయాణించాలి; రెండు మెరుపులకు ప్రయాణ దూరాలు వేర్వేరుగా ఉండవచ్చు. ఏకకాలికత యొక్క సాపేక్షత అనేది కాంతి ప్రయాణ సమయాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకున్న తర్వాత, సమకాలీకరించిన గడియారాలు ఆ ఘటనలకు కేటాయించే సమయాలకు సంబంధించినది.

ఒకే గడియారంలోని రెండు టిక్‌లకు బదులుగా, దూరంగా ఉన్న రెండు ఘటనలతో కూడిన ప్రశ్నల్లో ఈ తేడా ప్రత్యేకంగా ఉపయోగపడుతుంది.

03కాల విస్తరణ: కదులుతున్న గడియారంలో టిక్‌ల మధ్య కొలిచే కాల వ్యవధి ఎక్కువగా ఉంటుంది

ఇప్పుడు అంతరిక్ష నౌకకు అమర్చిన ఒకే గడియారంలోని రెండు టిక్‌లను పరిశీలిద్దాం.

ఆ రెండు టిక్‌లు అంతరిక్ష నౌక విశ్రాంతి సూచన చట్రంలో ఒకే స్థానంలో జరుగుతాయి. ఆ గడియారం కొలిచిన కాల వ్యవధిని స్వకాలం (proper time) అంటారు. దీనిని \(\Delta\tau\) తో సూచిస్తారు.

అంతరిక్ష నౌక \(v\) వేగంతో కదులుతున్నట్లు కనిపించే మరో జడత్వ సూచన చట్రంలోని పరిశీలకుడు, అదే రెండు ఘటనలకు அதிகమైన கால వ్యవధిని కేటాయిస్తాడు. దీనినే కాల విస్తరణ (time dilation) అంటారు.

దీనికి సమీకరణం:

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

ఇక్కడ:

• \(\Delta t\) అనేది గడియారం కదులుతున్నట్లు కనిపించే సూచన చట్రంలో కొలిచిన కాల వ్యవధి.
• \(\Delta\tau\) అనేది గడియారం తన విశ్రాంతి చట్రంలో కొలిచిన స్వకాలం.
• \(\gamma\) అనేది లోరెంజ్ గుణకం.
• \(v\) అనేది రెండు సూచన చట్రాల మధ్య సాపేక్ష వేగం.
• \(c\) అనేది కాంతి వేగం.

\(\gamma\geq1\) కాబట్టి, కదులుతున్న గడియారంలోని టిక్‌ల మధ్య కాల వ్యవధి, దాని స్వకాల వ్యవధి కంటే ఎప్పుడూ తక్కువగా ఉండదు.

ఉదాహరణకు, \(v=0.80c\) అయినప్పుడు,

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

ఇతర సూచన చట్రంలోని పరిశీలకుడు, గడియారం స్వయంగా కొలిచిన కాల వ్యవధికి \(1.67\) రెట్లు ఎక్కువ కాల వ్యవధిని కొలుస్తాడు.

ఇద్దరు పరిశీలకులూ ఎదుటివారి గడియారం నెమ్మదిగా నడుస్తోందని ఎందుకు చెప్పగలరు?

ఇది పరస్పర విరుద్ధంగా అనిపించవచ్చు. అయితే, ఇద్దరు పరిశీలకులూ రెండు గడియారాల్లోని ఒకే జత టిక్‌లను నేరుగా పోల్చడం లేదు.

అంతరిక్ష నౌకలోని టిక్‌లకు సమయాలను కేటాయించడానికి భూమి తన సమకాలీకరించిన గడియారాల నెట్‌వర్క్‌ను ఉపయోగిస్తుంది. భూమిపై దూరంగా ఉన్న గడియారాల టిక్‌లకు సమయాలను కేటాయించడానికి వ్యోమగామి వేరొక సమకాలీకరించిన గడియారాల నెట్‌వర్క్‌ను ఉపయోగిస్తాడు. ఏకకాలికత సూచన చట్రంపై ఆధారపడుతుంది కాబట్టి, ఈ రెండు పోలికల్లో దూరంలోని ఘటనలకు ఒకే సమయ కేటాయింపులు ఉపయోగించబడవు.

వ్యోమగామి దిశ మార్చుకుని, తర్వాత భూమితో మళ్లీ కలుసుకుంటే పరిస్థితి మరింత మారుతుంది. ప్రయాణంలో జడత్వ సూచన చట్రం మారుతుంది. అందువల్ల ఇద్దరి పూర్తి ప్రయాణాలను ఇకపై సమానమైనవిగా పరిగణించలేం. వారి ప్రయాణాల్లో గడిచిన స్వకాలాలు వేర్వేరుగా ఉండవచ్చు.

ముఖ్యమైన నియమం సరళమైనది: అదే రెండు ఘటనలకు కాల విస్తరణ వర్తిస్తుంది. ఆ ఘటనలు ఒకే స్థానంలో జరిగే సూచన చట్రంలో వాటి మధ్య కాల వ్యవధిని స్వకాలంగా కొలుస్తారు.

04పొడవు సంకోచం: కదులుతున్న వస్తువు కొలిచిన పొడవు మారుతుంది

కాల విస్తరణ ఘటనల మధ్య కాల వ్యవధికి సంబంధించినది. పొడవు సంకోచం ఒక వస్తువు రెండు చివరల మధ్య దూరానికి సంబంధించినది.

ఒక అంతరిక్ష నౌక విశ్రాంతిలో ఉందని ఊహించండి. దాని పొడవును కొలత కర్రతో కొలిచినప్పుడు \(150\text{ m}\) వస్తుంది. ఇది దాని స్వపొడవు \(L_0\), ఎందుకంటే ఈ కొలత అంతరిక్ష నౌక విశ్రాంతి చట్రంలో చేయబడింది.

ఇప్పుడు ఆ అంతరిక్ష నౌక అధిక వేగంతో భూమిని దాటి వెళ్తోందని అనుకుందాం. భూమి దాని ముందు, వెనుక చివరల స్థానాలను భూమి సూచన చట్రంలో ఒకే సమయంలో నమోదు చేసి, పొడవును కొలుస్తుంది.

ఈ చివరి షరతు చాలా ముఖ్యం. ఒక నిర్దిష్ట సూచన చట్రంలో పొడవును కొలవాలంటే, ఆ చట్రంలో రెండు చివరల స్థానాలను ఏకకాలంలో నమోదు చేయాలి.

కదులుతున్న అంతరిక్ష నౌక కొలిచిన పొడవు:

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

లేదా సమానంగా,

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

ఇక్కడ:

• \(L\) అనేది వస్తువు కదులుతున్నట్లు కనిపించే సూచన చట్రంలో కొలిచిన పొడవు.
• \(L_0\) అనేది వస్తువు విశ్రాంతి చట్రంలో కొలిచిన దాని స్వపొడవు.
• \(v\) అనేది కొలత చేసే సూచన చట్రానికి సంబంధించి వస్తువు వేగం.
• \(\gamma\) అనేది లోరెంజ్ గుణకం.

చలన దిశకు సమాంతరంగా ఉన్న పరిమాణం మాత్రమే సంకోచిస్తుంది. ఈ పొడవు సంకోచ సంబంధం ప్రకారం, చలన దిశకు లంబంగా ఉన్న వస్తువు పరిమాణాలు మారవు.

ఒక సాధారణ పొరపాటు ఏమిటంటే, అంతరిక్ష నౌక భౌతికంగా నొక్కబడి చిన్నదవుతోందని ఊహించడం. అలా కాదు. తన స్వంత విశ్రాంతి చట్రంలో దాని పొడవు తగ్గినట్లు కొలవదు. వేర్వేరు సూచన చట్రాల్లో పొడవులను కొలిచేటప్పుడు, రెండు చివరల స్థానాలు ఏకకాలంలో నమోదు చేసే విధానం వేర్వేరుగా ఉండటం వల్ల ఈ తేడా ఏర్పడుతుంది.

05ద్రవ్యరాశి-శక్తి: \(E=mc^2\) సమీకరణం వాస్తవంగా ఏమి చెబుతుంది?

వేర్వేరుగా ఉన్న ప్రోటాన్లు, న్యూట్రాన్లు కలిసి ఒక కేంద్రకాన్ని ఏర్పరుస్తున్నాయని అనుకుందాం. కేంద్రకం ఏర్పడిన తర్వాత, దాని విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి, వేరుగా ఉన్న ఆ కణాల విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశుల మొత్తానికి కొద్దిగా తక్కువగా ఉంటుంది.

అయితే కొంత పదార్థం మాయమైపోయిందా?

లేదు. ఆ వ్యవస్థ శక్తిని విడుదల చేసింది. బయటకు వెళ్లిన శక్తిని కూడా మొత్తం లెక్కలో చేర్చాలి. ద్రవ్యరాశికి, శక్తికి సంబంధం ఉంది.

ఒక వస్తువు యొక్క విశ్రాంతి శక్తి:

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

ఇక్కడ:

• \(E_0\) అనేది విశ్రాంతి శక్తి.
• \(m\) అనేది అవికారి ద్రవ్యరాశి లేదా విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి.
• \(c\) అనేది కాంతి వేగం.

విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశిలో మార్పు వచ్చినప్పుడు, దానికి సంబంధించిన విశ్రాంతి శక్తిలో మార్పు:

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

\(c^2\) విలువ చాలా పెద్దది. కేవలం \(1.0\text{ g}\) ద్రవ్యరాశి వ్యత్యాసానికి సంబంధించిన విశ్రాంతి శక్తి వ్యత్యాసం

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

అంటే, అతి చిన్న ద్రవ్యరాశి వ్యత్యాసానికి కూడా అపారమైన శక్తి సమానం అవుతుంది.

ఒక వ్యవస్థలోకి శక్తి ప్రవేశించినప్పుడు లేదా దాని నుంచి బయటకు వెళ్లినప్పుడు ఏమి మారుతుంది?

ఒక వ్యవస్థ నుంచి శక్తి బయటకు వెళ్లిపోతే, మిగిలిన వ్యవస్థ విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి తగ్గవచ్చు. శక్తిని ఒక వ్యవస్థలోకి చేర్చి, అది అంతర్గతంగా నిల్వ ఉండేలా చేస్తే, ప్రారంభంలోనూ చివరలోనూ ఆ వ్యవస్థను విశ్రాంతిలో ఉన్నప్పుడు పోల్చినట్లయితే, దాని విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి పెరుగుతుంది.

ద్రవ్యరాశి తగ్గినప్పుడు శక్తి నాశనమవుతుందని దీని అర్థం కాదు. ఏకాంత వ్యవస్థలో మొత్తం శక్తి సంరక్షించబడుతుంది. శక్తి వికిరణం రూపంలో లేదా గతిజ శక్తి రూపంలో మిగిలిన వస్తువు నుంచి బయటకు వెళ్లి ఉండవచ్చు. అయినప్పటికీ ఆ శక్తి ఉనికిలోనే ఉంటుంది.

బంధిత కేంద్రకం దీనికి ఉపయోగకరమైన ఉదాహరణ. విడివిడిగా ఉన్న న్యూక్లియాన్ల మొత్తం విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశికి, బంధిత కేంద్రకం విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశికి మధ్య ఉన్న వ్యత్యాసాన్ని ద్రవ్యరాశి లోటు (mass defect) అంటారు. దానికి సంబంధించిన శక్తి వ్యత్యాసాన్ని బంధన శక్తి (binding energy) అంటారు.

ఒక ముఖ్యమైన పరిమితి: విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి, మొత్తం శక్తి ఒకటి కావు

\(E_0=mc^2\) సమీకరణం విశ్రాంతి శక్తిని ఇస్తుంది. \(v\) వేగంతో కదులుతున్న వస్తువు మొత్తం శక్తి

\[ E=\gamma mc^2, \]

దాని గతిజ శక్తి

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

ఇక్కడ \(m\) అనేది ఆ వస్తువు యొక్క అవికారి విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశిగానే ఉంటుంది. \(\gamma\) గుణకం వస్తువు మొత్తం శక్తిని మారుస్తుంది; దాని అవికారి ద్రవ్యరాశిని కాదు.

కొన్ని పాత పాఠ్యాంశాల్లో \(\gamma m\) ను సాపేక్ష ద్రవ్యరాశి (relativistic mass) అని పిలుస్తారు. ఆధునిక పద్ధతిలో సాధారణంగా ద్రవ్యరాశిని అవికారిగా పరిగణిస్తూ, శక్తి మరియు ద్రవ్యవేగం ద్వారా మార్పులను వివరిస్తారు.

ఉదాహరణకు, ఫోటాన్లకు విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి శూన్యమైనప్పటికీ, అవి శక్తిని, ద్రవ్యవేగాన్ని కలిగి ఉంటాయి. కాబట్టి, \(E=mc^2\) అంటే ప్రతి రూపంలోని శక్తి తప్పనిసరిగా శూన్యం కాని విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి కలిగిన కణానికి చెందాలి అని అర్థం చేసుకోకూడదు.

06సరైన సంబంధాన్ని ఎంచుకోవడం

ప్రత్యేక సాపేక్షతకు సంబంధించిన ప్రశ్నను పరిష్కరించడానికి అత్యంత నమ్మదగిన పద్ధతి ఏమిటంటే, సూత్రాన్ని ఎంచుకునే ముందు ఏ పరిమాణాన్ని కొలుస్తున్నారో గుర్తించడం.

సాధారణంగా జరిగే అనేక పొరపాట్లను ఈ నాలుగు తనిఖీలు నివారిస్తాయి:

• లోరెంజ్ గుణకాన్ని తనిఖీ చేయండి. \(0\leq v<c\) అయినప్పుడు, \(\gamma\geq1\).
• ఘటనలను తనిఖీ చేయండి. కాల విస్తరణ ప్రతి జత ఘటనలకు వర్తించే నియమం కాదు. స్వకాలానికి సంబంధించిన షరతు ముఖ్యం.
• కొలతను తనిఖీ చేయండి. పొడవు సంకోచం చలన దిశలో మాత్రమే వర్తిస్తుంది. పొడవును కొలవాలంటే, కొలత చేసే సూచన చట్రంలో రెండు చివరల స్థానాలను ఏకకాలంలో నమోదు చేయాలి.
• శక్తి లెక్కింపును తనిఖీ చేయండి. ఒక వస్తువు విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి తగ్గిందంటే, ఏకాంత వ్యవస్థలోని మొత్తం శక్తి మాయమైందని కాదు.

07ప్రశ్నలు మరియు పరిష్కారాలు

ప్రశ్న 1

ఒక ప్రోబ్‌కు స్థిరంగా అమర్చిన గడియారం, రెండు టిక్‌ల మధ్య \(3.0\text{ s}\) కాల వ్యవధిని కొలుస్తుంది. ప్రోబ్ ఒక ప్రయోగశాలకు సంబంధించి \(0.60c\) వేగంతో కదులుతోంది.

అదే రెండు టిక్‌లకు ప్రయోగశాల కేటాయించే కాల వ్యవధిని లెక్కించండి.

పరిష్కారం 1

ప్రయోగశాల కేటాయించే కాల వ్యవధి \(3.75\text{ s}\), అంటే రెండు గణనీయమైన అంకెలకు \(3.8\text{ s}\).

ప్రోబ్ విశ్రాంతి చట్రంలో రెండు టిక్‌లూ ఒకే స్థానంలో జరుగుతాయి. అందువల్ల, దానిలోని గడియారం కొలిచే కాలం స్వకాలం.

దశ 1: లోరెంజ్ గుణకాన్ని లెక్కించండి.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

దశ 2: కాల విస్తరణను వర్తింపజేయండి.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

ప్రోబ్ గడియారం కొలిచిన దానికంటే ప్రయోగశాల ఎక్కువ కాల వ్యవధిని కొలుస్తుంది. ఈ ఫలితం కాల విస్తరణకు అనుగుణంగా ఉంది.

ప్రశ్న 2

ఒక ప్రోబ్ స్వపొడవు \(80\text{ m}\). ఒక హ్యాంగర్ దాని స్వంత విశ్రాంతి చట్రంలో \(60\text{ m}\) పొడవు కలిగి ఉంది. ప్రోబ్ ఆ హ్యాంగర్‌ను \(0.80c\) వేగంతో దాటుతుంది.

పొడవు సంకోచం వల్ల ప్రోబ్ పొడవు హ్యాంగర్ పొడవు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది కాబట్టి, ఒక క్షణంలో ప్రోబ్ పూర్తిగా హ్యాంగర్ లోపలికి సరిపోతుందని ఒక ఇంజినీర్ వాదిస్తున్నాడు. పైలట్ మాత్రం తన సూచన చట్రంలో హ్యాంగర్ పొడవు ప్రోబ్ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది కాబట్టి, ఇది అసాధ్యమని వాదిస్తున్నాడు.

తలుపులు తక్షణమే తెరుచుకుని మూసుకోగల ఆదర్శ పరిస్థితిని ఊహించండి. పదార్థానికి కలిగే నష్టాన్ని పట్టించుకోవద్దు.

ఇద్దరు పరిశీలకుల పొడవు లెక్కలూ సరైనవేనా? ప్రోబ్ ఒకే క్షణంలో హ్యాంగర్ లోపల పూర్తిగా ఉండగలదా? ఈ రెండు వివరణలూ ఎలా పరస్పరం సరిపోతాయో వివరించండి.

పరిష్కారం 2

ఇద్దరు పరిశీలకుల పొడవు లెక్కలూ సరైనవే. అయితే, ప్రోబ్ ఒకే క్షణంలో హ్యాంగర్ లోపల పూర్తిగా ఉందా లేదా అనే విషయంపై వారి అభిప్రాయాలు భిన్నంగా ఉన్నాయి. ఎందుకంటే ఏకకాలికత అనేది సూచన చట్రంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

దశ 1: లోరెంజ్ గుణకాన్ని లెక్కించండి.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

దశ 2: హ్యాంగర్ సూచన చట్రంలో ప్రోబ్ పొడవును లెక్కించండి.

ప్రోబ్ స్వపొడవు \(L_0=80\text{ m}\).

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

\(48\text{ m}<60\text{ m}\) కాబట్టి, ప్రోబ్‌ను తగిన స్థానంలో ఉంచినట్లయితే, హ్యాంగర్ సూచన చట్రంలో ఒక నిర్దిష్ట క్షణంలో అది పూర్తిగా లోపలికి సరిపోగలదని ఇంజినీర్ చెప్పింది సరైనదే.

దశ 3: ప్రోబ్ సూచన చట్రంలో హ్యాంగర్ పొడవును లెక్కించండి.

హ్యాంగర్ స్వపొడవు \(60\text{ m}\). ప్రోబ్ సూచన చట్రంలో హ్యాంగర్ కదులుతున్నందున, దాని కొలిచిన పొడవు

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

పైలట్ చెప్పింది కూడా సరైనదే. ప్రోబ్ సూచన చట్రంలో కదులుతున్న హ్యాంగర్ పొడవు \(36\text{ m}\) మాత్రమే. కానీ ప్రోబ్ స్వపొడవు \(80\text{ m}\).

దశ 4: కనిపిస్తున్న వైరుధ్యాన్ని పరిష్కరించండి.

“ఒకే క్షణంలో పూర్తిగా లోపల ఉండటం” అంటే, ఒక నిర్దిష్ట సూచన చట్రంలో ఒకే సమయంలో ప్రోబ్ రెండు చివరలూ హ్యాంగర్ లోపల ఉండటం.

హ్యాంగర్ సూచన చట్రంలో, ప్రోబ్ రెండు చివరలూ లోపల ఉండే ఒక క్షణం ఉంది. ప్రోబ్ సూచన చట్రంలో మాత్రం, \(80\text{ m}\) పొడవున్న ప్రోబ్ మొత్తం \(36\text{ m}\) పొడవున్న హ్యాంగర్ లోపల సరిపోయే క్షణం ఏదీ లేదు.

దీనికి కీలకమైన కారణం ఏమిటంటే, హ్యాంగర్ సూచన చట్రంలో ఏకకాలంలో జరిగే రెండు తలుపులు మూసుకునే ఘటనలు, ప్రోబ్ సూచన చట్రంలో ఏకకాలంలో జరగవు. పరిశీలకులు ఒకే జత ఏకకాలిక ఘటనలను వివరించడం లేదు. ఈ రెండు వివరణల్లో ఏదీ ప్రోబ్ తన స్వంత విశ్రాంతి చట్రంలో భౌతికంగా నాశనమవుతోందని లేదా నొక్కబడి చిన్నదవుతోందని సూచించదు.

ప్రశ్న 3

ఒక బంధిత కేంద్రకం విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి, దానిలోని న్యూక్లియాన్లు విడివిడిగా ఉన్నప్పుడు వాటి మొత్తం విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి కంటే \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) తక్కువగా ఉంది.

రెండు స్థితులనూ విశ్రాంతిలో ఉన్నప్పుడు పోలుస్తున్నామని, బంధనం ఏర్పడే సమయంలో విడుదలైన శక్తి కేంద్రకం నుంచి బయటకు వెళ్లిపోతుందని భావించండి.

జౌళ్లలో విడుదలైన బంధన శక్తిని లెక్కించండి. తుది కేంద్రకం యొక్క విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి తక్కువగా ఉండటం శక్తి సంరక్షణ నియమాన్ని ఎందుకు ఉల్లంఘించదో వివరించండి.

పరిష్కారం 3

ద్రవ్యరాశి వ్యత్యాసానికి సమానమైన బంధన శక్తి \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). విడుదలైన శక్తి వ్యవస్థ నుంచి బయటకు వెళ్లిపోతుంది కాబట్టి, విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి తగ్గడం శక్తి సంరక్షణ నియమానికి అనుగుణంగానే ఉంటుంది.

దశ 1: ద్రవ్యరాశి వ్యత్యాసాన్ని గుర్తించండి.

ద్రవ్యరాశి లోటు పరిమాణం

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

దశ 2: ద్రవ్యరాశి-శక్తి సమానత్వాన్ని వర్తింపజేయండి.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

దశ 3: శక్తి లెక్కింపును వివరించండి.

విడివిడిగా ఉన్న న్యూక్లియాన్లతో పోలిస్తే, బంధిత కేంద్రకం విశ్రాంతి శక్తి తక్కువగా ఉంటుంది. ఈ వ్యత్యాసం బంధనం ఏర్పడే సమయంలో విడుదలయ్యే శక్తిగా కనిపిస్తుంది. ఉదాహరణకు, వికిరణం రూపంలో లేదా ఇతర ఉత్పత్తులు తీసుకెళ్లే గతిజ శక్తి రూపంలో ఇది విడుదల కావచ్చు.

శక్తి కేంద్రకం నుంచి బయటకు వెళ్లిపోయినందున తుది కేంద్రకం విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి తక్కువగా ఉంటుంది. విడుదలైన శక్తిని కూడా పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మొత్తం శక్తి సంరక్షించబడుతుంది.

ప్రశ్న 4

ఒక అంతరిక్ష నౌక అవికారి విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి \(1.0\text{ kg}\). అది భూమికి సంబంధించి \(0.80c\) వేగంతో కదులుతోంది.

ఒక విద్యార్థి \(\gamma=1.67\) అని లెక్కించి, అంతరిక్ష నౌక ద్రవ్యరాశి \(1.67\text{ kg}\) కు పెరిగిందని చెబుతున్నాడు.

క్రింది సమీకరణాలను ఉపయోగించి,

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

అంతరిక్ష నౌక విశ్రాంతి శక్తిని, మొత్తం శక్తిని, గతిజ శక్తిని లెక్కించండి. విద్యార్థి వాదనను విశ్లేషించండి.

పరిష్కారం 4

విశ్రాంతి శక్తి \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), మొత్తం శక్తి \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), గతిజ శక్తి \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). అవికారి ద్రవ్యరాశి పద్ధతి ప్రకారం, అంతరిక్ష నౌక విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి \(1.0\text{ kg}\) గానే ఉంటుంది.

దశ 1: విశ్రాంతి శక్తిని లెక్కించండి.

విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి \(m=1.0\text{ kg}\).

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

దశ 2: మొత్తం శక్తిని లెక్కించండి.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

దశ 3: గతిజ శక్తిని లెక్కించండి.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

మొత్తం శక్తి, విశ్రాంతి శక్తి మరియు గతిజ శక్తుల మొత్తానికి సమానంగా ఉన్నందున ఈ ఫలితాలు సరిపోతున్నాయి:

\[ E=E_0+K. \]

దశ 4: విద్యార్థి వాదనను విశ్లేషించండి.

విశ్రాంతి శక్తిని మొత్తం శక్తిగా మార్చడానికి \(\gamma\) గుణకాన్ని ఉపయోగించాలనే విషయాన్ని విద్యార్థి సరిగ్గానే గుర్తించాడు. కానీ ఈ గుణకాన్ని అవికారి విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి పెరుగుదలగా అర్థం చేసుకోవడమే పొరపాటు.

వేగం పెరిగే కొద్దీ అంతరిక్ష నౌక గతిజ శక్తి పెరుగుతుంది. అయితే దాని అవికారి విశ్రాంతి ద్రవ్యరాశి \(1.0\text{ kg}\) గానే ఉంటుంది. ద్రవ్యరాశి-శక్తి సమానత్వాన్ని, కదులుతున్న వస్తువు శక్తితో కలిపి పరిశీలించే ప్రశ్నల్లో ఈ తేడా చాలా ముఖ్యం.

ప్రశ్న 5

ఒక వేదిక దాని విశ్రాంతి సూచన చట్రం \(S\) లో \(600\text{ m}\) పొడవు కలిగి ఉంది. దాని రెండు చివర్లలో A, B అనే రెండు దీపాలు అమర్చబడ్డాయి. A స్థానం \(x=0\), B స్థానం \(x=+600\text{ m}\). \(S\) చట్రంలో \(t=0\) సమయంలో రెండు దీపాలూ ఏకకాలంలో వెలుగుతాయి.

ప్రతి దీపం వెలిగినప్పుడు, వేదిక మధ్యబిందువు వైపు ఒక కాంతి పల్స్‌ను పంపుతుంది. \(S\) చట్రంలో రెండు పల్స్‌లు మధ్యబిందువు వద్ద కలుస్తాయి.

రాకెట్ విశ్రాంతి సూచన చట్రం \(S'\), \(S\) కు సంబంధించి ధనాత్మక \(x\) దిశలో \(0.80c\) వేగంతో కదులుతుంది.

ఈ ప్రశ్న కోసం, క్రింది కాల-సమన్వయాంక సంబంధాన్ని ఉపయోగించండి:

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

ఇక్కడ \(\Delta t=t_B-t_A\), \(\Delta x=x_B-x_A\) అనేవి \(S\) చట్రంలో కొలిచిన విలువలు.

(a) \(S'\) చట్రంలో ఏ దీపం ముందుగా వెలుగుతుంది? ఎంత కాలం ముందుగా?

(b) \(S'\) చట్రంలో వేదిక పొడవు \(360\text{ m}\). కాబట్టి రెండు దీపాలు వెలిగిన సమయాల మధ్య వ్యత్యాసం తప్పనిసరిగా \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) ఉండాలని ఒక విద్యార్థి వాదిస్తున్నాడు. ఈ వాదనలోని ఖచ్చితమైన పొరపాటును వివరించండి.

(c) \(S'\) చట్రంలో కూడా రెండు కాంతి పల్స్‌లు అదే ఘటన వద్ద కలవాలా? దీపాలు ఇక ఏకకాలంలో వెలగకపోయినా, ఇది ఎలా సాధ్యమో వివరించండి.

పరిష్కారం 5

\(S'\) చట్రంలో B వద్ద దీపం ముందుగా వెలుగుతుంది. అది A కంటే \(2.67\,\mu\text{s}\) ముందుగా వెలుగుతుంది. రెండు కాంతి పల్స్‌లు ఇప్పటికీ అదే ఘటన వద్ద కలుస్తాయి. ఎందుకంటే కాంతి పల్స్‌లు కలిసే ఘటనపై అన్ని జడత్వ సూచన చట్రాలూ ఏకీభవిస్తాయి. అయితే, కాంతి విడుదలైన ఘటనలకు అవి వేర్వేరు సమయాలను కేటాయించవచ్చు.

దశ 1: లోరెంజ్ గుణకాన్ని లెక్కించి, ఘటనల మధ్య వ్యత్యాసాలను గుర్తించండి.

సాపేక్ష వేగం \(v=0.80c\). కాబట్టి,

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

\(S\) చట్రంలో రెండు దీపాలూ ఏకకాలంలో వెలుగుతాయి. B ఎక్కువ స్థాన సమన్వయాంకం వద్ద ఉంది. అందువల్ల,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

దశ 2: \(S'\) చట్రంలో కాల వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి.

ఇచ్చిన కాల-సమన్వయాంక సంబంధంలో విలువలను ప్రతిస్థాపించండి:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

ఫలితం ఋణాత్మకంగా ఉంది. అంటే \(t'_B<t'_A\). రాకెట్ సూచన చట్రంలో B వద్ద దీపం, A వద్ద దీపం కంటే \(2.67\,\mu\text{s}\) ముందుగా వెలుగుతుంది.

దశ 3: \(360\text{ m}/c\) లెక్క ఎందుకు తప్పో వివరించండి.

విద్యార్థి చేసిన లెక్క

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

అంకగణిత లెక్క సరైనదే. కానీ అది అడిగిన ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వదు.

\(360\text{ m}\) అనేది \(S'\) చట్రంలో కొలిచిన వేదిక పొడవు. వేదిక రెండు చివరలను రాకెట్ సూచన చట్రంలో ఒకే సమయంలో కొలవడం ద్వారా ఈ విలువ లభిస్తుంది. అయితే, \(S'\) చట్రంలో రెండు దీపాలు వెలిగిన ఘటనలు ఏకకాలంలో జరగవు. కాబట్టి, ఆ ఘటనల స్థానాలను ఏకకాలంలో కొలిచిన పొడవు యొక్క రెండు చివరల స్థానాలుగా పరిగణించలేం.

రెండు ఘటనల మధ్య కాల వ్యత్యాసం సాధారణంగా కొలిచిన పొడవును \(c\) తో భాగించిన విలువకు సమానం కాదు. విద్యార్థి ఏకకాలంలో కొలిచిన రెండు చివరల స్థానాల ఆధారంగా లభించిన పొడవును, అదే సూచన చట్రంలో వేర్వేరు సమయాల్లో జరిగే రెండు ఘటనలతో కలిపి ఉపయోగించాడు.

దశ 4: కాంతి పల్స్‌లు ఇప్పటికీ ఎందుకు కలుస్తాయో వివరించండి.

\(S\) చట్రంలో ప్రతి పల్స్ మధ్యబిందువుకు చేరడానికి \(300\text{ m}\) ప్రయాణిస్తుంది. కాబట్టి, అవి కలిసే ఘటన

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

ఇది స్థలకాలంలో ఒకే ఘటన. ప్రతి జడత్వ సూచన చట్రం, ఆ రెండు పల్స్‌లూ ఈ ఘటన వద్ద కలుస్తాయని అంగీకరిస్తుంది. అయితే, ఆ ఘటనకు కేటాయించే సమన్వయాంకాలు వేర్వేరుగా ఉండవచ్చు.

రాకెట్ చట్రంలోని కాల విలువలను కూడా తనిఖీ చేయవచ్చు. దీపం A వద్ద జరిగిన ఘటనకు, రెండు పల్స్‌లు కలిసే ఘటనకు మధ్య ఇచ్చిన సంబంధాన్ని ఉపయోగిస్తే,

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

దీపం A వద్ద ఘటన \(t'_A=0\) సమయంలో జరుగుతుంది. కాబట్టి, ఆ దీపం నుంచి బయలుదేరిన పల్స్, కలిసే ఘటనను చేరడానికి రాకెట్ చట్రంలోని కాల సమన్వయాంకం ప్రకారం \(0.333\,\mu\text{s}\) పడుతుంది.

దీపం B వద్ద ఘటన \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\) సమయంలో జరుగుతుంది. కాబట్టి, అదే ఘటనను చేరడానికి ఆ పల్స్‌కు పట్టే సమయం

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

అవుతుంది.

వేర్వేరు విడుదల సమయాలు, కాంతి ప్రయాణానికి పట్టే వేర్వేరు కాల వ్యవధులు ఉన్నప్పటికీ, రెండు పల్స్‌లూ అదే ఘటన వద్ద కలవడం సాధ్యమే. ఒక సూచన చట్రంలో ఏకకాలంలో జరిగే కాంతి విడుదల ఘటనలు, ప్రతి సూచన చట్రంలోనూ ఏకకాలంలో జరగాలని భావించడమే అసలు పొరపాటు.

తదుపరి ఉపయోగకరమైన దశ స్థలకాల రేఖాచిత్రాల ద్వారా ఘటనలను సూచించడం నేర్చుకోవడం. HSC ప్రశ్నలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ముందుగా ఏ సూచన చట్రాన్ని ఉపయోగిస్తున్నారో గుర్తించండి. ఆ తర్వాత, ఆ చట్రంలో ఘటనలు ఒకే స్థానంలో జరుగుతున్నాయా అని ప్రశ్నించండి. గణనలు ప్రారంభించే ముందే కాల విస్తరణ, పొడవు సంకోచం, ఏకకాలికత యొక్క సాపేక్షతలలో ఏది ఉపయోగించాలో నిర్ణయించడానికి ఈ విధానం సహాయపడుతుంది.