ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสำหรับฟิสิกส์ HSC: คู่มืออธิบายพร้อมตัวอย่างวิธีทำ
ทำความเข้าใจทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษอย่างชัดเจนโดยไม่ต้องกังวลกับความซับซ้อน คู่มือฟิสิกส์ HSC นี้อธิบายกรอบอ้างอิง ความสัมพัทธ์ของความพร้อมกัน การยืดเวลา การหดสั้นของความยาว และความสัมพันธ์ระหว่างมวลกับพลังงาน พร้อมตัวอย่างแสดงวิธีทำอย่างละเอียด
ยานอวกาศลำหนึ่งเคลื่อนผ่านโลกด้วยความเร็ว \(0.80c\) ผู้สังเกตบนโลกวัดช่วงเวลาระหว่างเสียงเดินของนาฬิกายานอวกาศสองครั้งได้ยาวกว่าที่นักบินอวกาศวัดได้ ขณะเดียวกัน นักบินอวกาศกล่าวว่านาฬิกาบนโลกเดินช้า ก่อนอ่านต่อ ลองคาดเดาว่า ผู้สังเกตคนใดคนหนึ่งผิดไปหรือไม่? ไม่ใช่ ทั้งสองคนใช้กรอบเฉื่อยที่แตกต่างกัน และความไม่ตรงกันนี้เกิดจากวิธีวัดเวลาและอวกาศที่ความเร็วสูง
เสียงเดินสองครั้งเดียวกัน
แต่ช่วงเวลาต่างกัน
| กรอบหยุดนิ่งของนักบินอวกาศ | Δτ = 3.0 s เสียงเดินทั้งสองครั้งเกิดขึ้น นาฬิกาในห้องโดยสารวัดเวลาจำเพาะ |
|---|---|
| กรอบอ้างอิงของโลก | Δt = γΔτ = 5.0 s นาฬิกาบนโลกที่ซิงโครไนซ์กัน เหตุการณ์สองเหตุการณ์เดียวกัน |
01กรอบอ้างอิง: ผู้สังเกตแต่ละคนกำลังวัดอะไรอยู่จริง ๆ?
กรอบอ้างอิงคือระบบพิกัดที่ใช้กำหนดตำแหน่งและเวลาของเหตุการณ์ โดยสามารถแทนกรอบอ้างอิงได้ด้วยไม้บรรทัดและเครือข่ายนาฬิกาที่ซิงโครไนซ์กัน
กรอบเฉื่อย คือกรอบอ้างอิงที่ไม่มีความเร่งหรือการหมุน สำหรับคู่มือนี้ ให้สมมติว่าแรงโน้มถ่วงมีผลน้อยมาก และยานอวกาศกับโลกเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสัมพัทธ์คงที่ทุกครั้งที่เราเปรียบเทียบทั้งสองกรอบ
ในชีวิตประจำวัน เรามักถือได้ว่าเวลาเป็นสิ่งสากล หากเหตุการณ์สองเหตุการณ์เกิดขึ้นพร้อมกันสำหรับคุณ คุณก็คาดว่าเหตุการณ์ทั้งสองจะเกิดขึ้นพร้อมกันสำหรับคนอื่นด้วย
ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษท้าทายสมมติฐานนี้ โดยเริ่มจากหลักการสองข้อ:
- กฎทางฟิสิกส์เหมือนกันในทุกกรอบเฉื่อย
- ผู้สังเกตที่อยู่ในกรอบเฉื่อยทุกคนวัดความเร็วแสงในสุญญากาศได้เท่ากัน ไม่ว่าแหล่งกำเนิดแสงหรือผู้สังเกตจะเคลื่อนที่อย่างไรก็ตาม
ความเร็วแสงมีค่า
\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
สมมติว่าคุณเคลื่อนที่เข้าหาลำแสง คุณอาจคาดว่าจะวัดความเร็วของแสงได้เป็น \(c+v\) โดยที่ \(v\) คือความเร็วของคุณในทิศเข้าหาลำแสง แต่ความจริงไม่เป็นเช่นนั้น คุณยังคงวัดความเร็วได้ \(c\)
เพื่อให้หลักการนี้เป็นจริง ผู้สังเกตที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กันจึงไม่สามารถเห็นพ้องกันได้เสมอไปเกี่ยวกับช่วงเวลา ความยาว หรือเหตุการณ์ที่อยู่ห่างไกลกันว่าเกิดขึ้นพร้อมกันหรือไม่
เรื่องนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ตาของแต่ละคนมองเห็นเท่านั้น การวัดตามทฤษฎีสัมพัทธภาพใช้เครือข่ายนาฬิกาที่ซิงโครไนซ์กัน และคำนึงถึงเวลาที่แสงใช้ในการเดินทางด้วย แม้จะแก้ไขผลจากเวลาการเดินทางของแสงแล้ว ความไม่ตรงกันนี้ก็ยังคงอยู่
เหตุการณ์เดียวกัน
แต่พิกัดต่างกัน
| กรอบชานชาลา S | A (0 s, 0 m); B (0 s, 600 m) มีนาฬิกาที่ซิงโครไนซ์กัน เหตุการณ์ A และ B |
|---|---|
| กรอบจรวด S′ | A (0 s, 0 m); B (−2.67 μs, 1000 m) มีนาฬิกาที่ซิงโครไนซ์กัน เหตุการณ์ B เกิดขึ้น |
02ความพร้อมกัน: เหตุการณ์สองเหตุการณ์อาจเกิดขึ้นคนละเวลาในกรอบอ้างอิงที่ต่างกัน
ลองนึกถึงโคมไฟสองดวง A และ B ที่ปลายทั้งสองด้านของชานชาลายาวแห่งหนึ่ง นาฬิกาที่อยู่นิ่งเมื่อเทียบกับชานชาลาถูกซิงโครไนซ์กัน และโคมไฟทั้งสองกะพริบพร้อมกันที่เวลา \(t=0\) ตามกรอบของชานชาลา
ก่อนอ่านต่อ ลองคาดเดาว่า จรวดที่เคลื่อนผ่านชานชาลาจะต้องเห็นด้วยหรือไม่ว่าแสงวาบทั้งสองเกิดขึ้นพร้อมกัน?
ไม่จำเป็น จรวดอาจกำหนดเวลาให้แสงวาบทั้งสองแตกต่างกันได้
คำว่า เกิดขึ้นพร้อมกัน หมายถึงเหตุการณ์สองเหตุการณ์มีพิกัดเวลาเท่ากันในกรอบอ้างอิงที่ระบุไว้ ไม่ได้หมายความโดยอัตโนมัติว่าทุกกรอบเฉื่อยจะกำหนดเวลาให้เหตุการณ์ทั้งสองเท่ากัน
เพื่อให้สถานการณ์ชัดเจน สมมติว่า:
- โคมไฟ A อยู่ที่ \(x=0\)
- โคมไฟ B อยู่ที่ \(x=600\text{ m}\)
- ชานชาลาอยู่นิ่งในกรอบ \(S\)
- กรอบของจรวด \(S'\) เคลื่อนที่ในทิศ \(x\) บวกด้วยความเร็ว \(v\) เมื่อเทียบกับกรอบ \(S\)
ในกรอบของชานชาลา แสงวาบทั้งสองเกิดขึ้นพร้อมกัน แต่ในกรอบของจรวด แสงวาบที่ B เกิดขึ้นก่อนแสงวาบที่ A
เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น? การแปลงพิกัดเวลาสำหรับเหตุการณ์สองเหตุการณ์นี้คือ
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
โดยที่
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]
ในที่นี้ \(\Delta t=t_B-t_A\) และ \(\Delta x=x_B-x_A\) คือผลต่างของเวลาและตำแหน่งที่วัดได้ในกรอบ \(S\) ส่วนผลต่างของเวลาแบบมีเครื่องหมายไพรม์วัดในกรอบ \(S'\) ซึ่งเคลื่อนที่ในทิศ \(x\) บวกเมื่อเทียบกับกรอบ \(S\)
สำหรับแสงวาบที่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบของชานชาลา
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]
ดังนั้น
\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]
เครื่องหมายลบแสดงว่าแสงวาบที่ B เกิดขึ้นก่อนในกรอบของจรวด
ความสัมพัทธ์ของความพร้อมกัน:
โครงสร้างไทม์ไลน์ที่จำเป็น
| กรอบชานชาลา S | Δt = 0 เหตุการณ์ A และ B |
|---|---|
| กรอบจรวด S′ | Δt′ < 0 เหตุการณ์ B เกิดขึ้น |
มีข้อควรระวังที่สำคัญประการหนึ่งคือ ลำดับที่ผู้สังเกต ได้รับ แสงวาบสองครั้งไม่ได้พิสูจน์โดยตัวมันเองว่าเหตุการณ์ทั้งสองเกิดขึ้นเมื่อใด แสงต้องเดินทางมาถึงผู้สังเกต และระยะทางที่แสงเดินทางอาจแตกต่างกันได้ ความสัมพัทธ์ของความพร้อมกันเกี่ยวข้องกับเวลาที่กำหนดโดยนาฬิกาที่ซิงโครไนซ์กัน หลังจากคำนึงถึงเวลาเดินทางของแสงแล้ว
ความแตกต่างนี้มีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อโจทย์กล่าวถึงเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่อยู่ห่างกัน แทนที่จะกล่าวถึงเสียงเดินของนาฬิกาเรือนเดียวกันสองครั้ง
03การยืดเวลา: นาฬิกาที่เคลื่อนที่มีช่วงเวลาระหว่างเสียงเดินยาวขึ้นเมื่อวัดจากอีกกรอบหนึ่ง
พิจารณาเสียงเดินของนาฬิกาเรือนเดียวกันสองครั้ง โดยนาฬิกานั้นติดตั้งอยู่กับยานอวกาศ
เสียงเดินทั้งสองครั้งเกิดขึ้นที่ตำแหน่งเดียวกันในกรอบหยุดนิ่งของยานอวกาศ ช่วงเวลาที่นาฬิกาเรือนนั้นวัดได้เรียกว่า เวลาจำเพาะ เขียนแทนด้วย \(\Delta\tau\)
ผู้สังเกตในกรอบเฉื่อยอีกกรอบหนึ่ง ซึ่งยานอวกาศเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(v\) จะกำหนดช่วงเวลาให้เหตุการณ์สองเหตุการณ์เดียวกันยาวกว่าเดิม ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การยืดเวลา
สมการคือ
\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]
โดยที่:
- \(\Delta t\) คือช่วงเวลาที่วัดได้ในกรอบที่นาฬิกากำลังเคลื่อนที่
- \(\Delta\tau\) คือเวลาจำเพาะที่นาฬิกาวัดได้ในกรอบหยุดนิ่งของนาฬิกา
- \(\gamma\) คือตัวประกอบลอเรนซ์
- \(v\) คือความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างกรอบอ้างอิง
- \(c\) คือความเร็วแสง
เนื่องจาก \(\gamma\geq1\) ช่วงเวลาระหว่างเสียงเดินของนาฬิกาที่กำลังเคลื่อนที่จึงไม่สั้นกว่าช่วงเวลาจำเพาะของนาฬิกาเรือนนั้น
ตัวอย่างเช่น เมื่อ \(v=0.80c\)
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]
กรอบอ้างอิงอีกกรอบหนึ่งจะวัดช่วงเวลาได้ยาวเป็น \(1.67\) เท่าของช่วงเวลาที่นาฬิกาวัดได้เอง
นาฬิกาเรือนเดียว
แต่ช่วงเวลาที่วัดได้สองค่า
| กรอบอ้างอิงของยานอวกาศ | Δτ = 10.0 min เสียงเดินทั้งสองครั้งเกิดขึ้น นาฬิกาในห้องโดยสารวัดเวลาจำเพาะ |
|---|---|
| กรอบอ้างอิงของห้องปฏิบัติการ | Δt = γΔτ = 16.7 min นาฬิกาในห้องโดยสาร นาฬิกาห้องปฏิบัติการที่ซิงโครไนซ์กัน |
ตัวอย่างแสดงวิธีทำ: นาฬิกาบนยานอวกาศความเร็วสูง
ยานอวกาศเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(0.80c\) เมื่อเทียบกับโลก นาฬิกาบนยานวัดช่วงเวลาระหว่างเสียงเดินสองครั้งได้ \(10.0\text{ min}\) โลกจะกำหนดช่วงเวลาให้เสียงเดินสองครั้งเดียวกันนี้เท่าใด?
ขั้นที่ 1: ระบุเวลาจำเพาะ
เสียงเดินทั้งสองครั้งเกิดขึ้นที่ตำแหน่งเดียวกันในกรอบหยุดนิ่งของยานอวกาศ ดังนั้น ค่าที่นาฬิกาบนยานอ่านได้คือเวลาจำเพาะ:
\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]
ขั้นที่ 2: คำนวณตัวประกอบลอเรนซ์
\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]
ขั้นที่ 3: ใช้สมการการยืดเวลา
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]
โลกกำหนดช่วงเวลาเท่ากับ \(16.7\text{ min}\) เมื่อเทียบกับช่วงเวลา \(10.0\text{ min}\) ของนาฬิกาบนยาน นาฬิกาของนักบินอวกาศทำงานตามปกติในกรอบหยุดนิ่งของตัวเอง ความแตกต่างเกิดจากช่วงเวลาที่กรอบอ้างอิงทั้งสองกำหนดให้เหตุการณ์
เหตุใดผู้สังเกตทั้งสองจึงกล่าวได้ว่านาฬิกาของอีกฝ่ายเดินช้า?
เรื่องนี้ฟังดูขัดแย้งกัน แต่ผู้สังเกตทั้งสองไม่ได้เปรียบเทียบเสียงเดินของนาฬิกาทั้งสองเรือนโดยตรงจากเหตุการณ์คู่เดียวกัน
โลกใช้เครือข่ายนาฬิกาของตนเองที่ซิงโครไนซ์กัน เพื่อกำหนดเวลาให้เสียงเดินของนาฬิกาบนยาน นักบินอวกาศใช้เครือข่ายนาฬิกาอีกชุดหนึ่งที่ซิงโครไนซ์กัน เพื่อกำหนดเวลาให้เสียงเดินของนาฬิกาบนโลกที่อยู่ห่างไกล เนื่องจากความพร้อมกันขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง การเปรียบเทียบทั้งสองจึงไม่ได้ใช้การกำหนดเวลาให้เหตุการณ์ที่อยู่ห่างไกลแบบเดียวกัน
หากนักบินอวกาศหันยานกลับและกลับมาพบกับโลกในภายหลัง สถานการณ์ก็เปลี่ยนไปอีกครั้ง การเดินทางนี้มีการเปลี่ยนกรอบเฉื่อย ดังนั้นการเดินทางทั้งหมดของผู้สังเกตทั้งสองจึงไม่เทียบเท่ากันอีกต่อไป ทั้งสองอาจสะสมเวลาจำเพาะได้ไม่เท่ากัน
หลักการสำคัญนั้นเรียบง่าย: การยืดเวลาใช้กับเหตุการณ์สองเหตุการณ์เดียวกัน โดยช่วงเวลาจำเพาะต้องวัดในกรอบที่เหตุการณ์ทั้งสองเกิดขึ้น ณ ตำแหน่งเดียวกัน
04การหดสั้นของความยาว: ความยาวที่วัดได้ของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เปลี่ยนไป
การยืดเวลาเกี่ยวข้องกับช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ ส่วนการหดสั้นของความยาวเกี่ยวข้องกับระยะห่างระหว่างปลายทั้งสองด้านของวัตถุ
ลองนึกถึงยานอวกาศที่อยู่นิ่ง คุณวัดความยาวของยานด้วยไม้บรรทัดและพบว่ามีค่า \(150\text{ m}\) นี่คือ ความยาวจำเพาะ \(L_0\) เนื่องจากการวัดเกิดขึ้นในกรอบหยุดนิ่งของยานอวกาศ
ตอนนี้สมมติว่ายานอวกาศเคลื่อนที่ผ่านโลกด้วยความเร็วสูง โลกวัดความยาวของยานโดยบันทึกตำแหน่งของส่วนหน้าและส่วนท้าย ณ เวลาเดียวกันในกรอบของโลก
เงื่อนไขสุดท้ายนี้สำคัญมาก ในการวัดความยาวในกรอบอ้างอิงใดกรอบหนึ่ง คุณต้องบันทึกตำแหน่งของปลายทั้งสองพร้อมกันในกรอบนั้น
ความยาวที่วัดได้ของยานอวกาศที่กำลังเคลื่อนที่คือ
\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]
หรือเขียนในรูปที่เทียบเท่ากันได้ว่า
\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]
โดยที่:
- \(L\) คือความยาวที่วัดได้ในกรอบที่วัตถุกำลังเคลื่อนที่
- \(L_0\) คือความยาวจำเพาะของวัตถุ ซึ่งวัดในกรอบหยุดนิ่งของวัตถุนั้น
- \(v\) คือความเร็วของวัตถุเมื่อเทียบกับกรอบที่ใช้วัด
- \(\gamma\) คือตัวประกอบลอเรนซ์
มีเพียงมิติที่ขนานกับทิศทางการเคลื่อนที่เท่านั้นที่หดสั้นลง มิติของวัตถุในทิศทางตั้งฉากกับการเคลื่อนที่จะไม่เปลี่ยนแปลงตามความสัมพันธ์ของการหดสั้นของความยาวนี้
การหดสั้นของความยาวมีผลเฉพาะ
ตามทิศทางการเคลื่อนที่
| ยานอวกาศขณะอยู่นิ่ง | L = L₀ L₀ คือความยาวจำเพาะ มิติในแนวตั้งฉาก: h₀ |
|---|---|
| ยานอวกาศเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v | L = L₀/γ ความยาวหดสั้นลง มิติในแนวตั้งฉากยังคงเป็น h₀ |
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือการจินตนาการว่ายานอวกาศรู้สึกว่าตัวเองถูกบีบอัดทางกายภาพ แต่ความจริงไม่ใช่เช่นนั้น เมื่อวัดในกรอบหยุดนิ่งของตัวเอง ยานจะไม่วัดความยาวได้สั้นลง ความแตกต่างเกิดจากการวัดความยาวในกรอบต่างกันใช้ชุดตำแหน่งของปลายทั้งสองที่ถือว่าเกิดขึ้นพร้อมกันต่างกัน
ตัวอย่างแสดงวิธีทำ: ยานอวกาศเคลื่อนผ่านเครื่องตรวจจับ
ยานสำรวจมีความยาวจำเพาะ \(150\text{ m}\) และเคลื่อนผ่านเครื่องตรวจจับที่อยู่นิ่งด้วยความเร็ว \(0.80c\)
จงคำนวณ:
- ความยาวที่โลกวัดได้
- ช่วงเวลาระหว่างขณะที่ส่วนหน้ากับส่วนท้ายของยานผ่านเครื่องตรวจจับในกรอบของโลก
- ช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์เดียวกันนี้ในกรอบของยานสำรวจ
ขั้นที่ 1: คำนวณตัวประกอบลอเรนซ์
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
ขั้นที่ 2: คำนวณความยาวที่โลกวัดได้
\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]
โลกวัดความยาวของยานสำรวจที่กำลังเคลื่อนที่ได้ \(90.0\text{ m}\)
ขั้นที่ 3: คำนวณช่วงเวลาในกรอบของโลก
ยานสำรวจเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว
\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
ในกรอบของโลก ส่วนหน้าและส่วนท้ายของยานอยู่ห่างกัน \(90.0\text{ m}\) ดังนั้น ช่วงเวลาระหว่างขณะที่ทั้งสองส่วนผ่านเครื่องตรวจจับที่อยู่นิ่งคือ
\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
ขั้นที่ 4: คำนวณช่วงเวลาในกรอบของยานสำรวจ
ในกรอบของยานสำรวจ เครื่องตรวจจับเคลื่อนผ่านความยาวจำเพาะทั้งหมด \(150\text{ m}\) ของยานด้วยความเร็วสัมพัทธ์เท่าเดิม ดังนั้น
\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
เหตุการณ์ที่ส่วนหน้ากับส่วนท้ายผ่านเครื่องตรวจจับเกิดขึ้น ณ ตำแหน่งเดียวกันในกรอบของโลก ดังนั้น ช่วงเวลา \(0.375\,\mu\text{s}\) ที่เครื่องตรวจจับวัดได้จึงเป็นช่วงเวลาจำเพาะ ในกรอบของยานสำรวจ เครื่องตรวจจับกำลังเคลื่อนที่ และช่วงเวลาจะยาวกว่า:
\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]
การคำนวณทั้งสองวิธีสอดคล้องกัน เหตุการณ์คู่เดียวกันมีช่วงเวลาแตกต่างกันในกรอบทั้งสอง ขณะที่ความยาวที่วัดได้ของยานสำรวจขึ้นอยู่กับกรอบที่ใช้บันทึกตำแหน่งของปลายทั้งสองพร้อมกัน
เหตุการณ์ผ่านจุดเดียวกัน
แต่ช่วงเวลาต่างกัน
| กรอบอ้างอิงของโลก | A → B: 0.375 μs ความยาวยานสำรวจ: 90 m; |
|---|---|
| กรอบอ้างอิงของยานสำรวจ | A → B: 0.625 μs ความยาวยานสำรวจ: 150 m; |
05มวลและพลังงาน: จริง ๆ แล้ว \(E=mc^2\) หมายความว่าอย่างไร?
ลองพิจารณาการก่อตัวของนิวเคลียสจากโปรตอนและนิวตรอนที่แยกจากกัน หลังจากนิวเคลียสก่อตัวขึ้นแล้ว มวลนิ่งของนิวเคลียสจะน้อยกว่ามวลนิ่งรวมของอนุภาคที่แยกจากกันเล็กน้อย
มีสสารบางส่วนหายไปเฉย ๆ หรือไม่?
ไม่ใช่ ระบบได้ปลดปล่อยพลังงานออกมา และต้องรวมพลังงานที่ถูกพาออกไปในการคำนวณสมดุลด้วย มวลและพลังงานมีความสัมพันธ์กัน
พลังงานนิ่งของวัตถุคือ
\[ \boxed{E_0=mc^2} \]
โดยที่:
- \(E_0\) คือพลังงานนิ่ง
- \(m\) คือมวลไม่แปรเปลี่ยน หรือมวลนิ่ง
- \(c\) คือความเร็วแสง
สำหรับการเปลี่ยนแปลงของมวลนิ่ง การเปลี่ยนแปลงของพลังงานนิ่งที่สอดคล้องกันคือ
\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]
ตัวประกอบ \(c^2\) มีค่ามหาศาล ความแตกต่างของมวลเพียง \(1.0\text{ g}\) สอดคล้องกับความแตกต่างของพลังงานนิ่งเท่ากับ
\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]
นี่คือพลังงานปริมาณมหาศาลเมื่อเทียบกับความแตกต่างของมวลเพียงเล็กน้อย
มวลลดลง แต่พลังงานรวมคงตัว
| ก่อนพลังงานถูกปลดปล่อยออกไป | Rest mass = m พลังงานนิ่งเริ่มต้น: E₀ = mc² |
|---|---|
| หลังรังสีหลุดออกไป | Remaining mass = m − Δm รังสีพาพลังงาน ΔE = Δmc² ออกไป พลังงานนิ่งที่เหลือ + พลังงานของรังสี = พลังงานเริ่มต้น |
จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อพลังงานเข้าสู่หรือออกจากระบบ?
หากพลังงานออกจากระบบ มวลนิ่งของระบบที่เหลืออยู่อาจลดลง หากมีการเพิ่มพลังงานเข้าสู่ระบบและพลังงานนั้นคงอยู่ภายใน มวลนิ่งของระบบจะเพิ่มขึ้น โดยมีเงื่อนไขว่าให้เปรียบเทียบระบบขณะอยู่นิ่งทั้งก่อนและหลัง
ไม่ได้หมายความว่าพลังงานถูกทำลายเมื่อมวลลดลง สำหรับระบบโดดเดี่ยว พลังงานรวมจะอนุรักษ์ไว้ พลังงานอาจออกจากวัตถุที่เหลืออยู่ในรูปของรังสีหรือพลังงานจลน์ แต่พลังงานนั้นยังคงมีอยู่
นิวเคลียสที่ยึดเหนี่ยวกันเป็นตัวอย่างที่มีประโยชน์ ความแตกต่างระหว่างมวลนิ่งรวมของนิวคลีออนที่แยกจากกันกับมวลนิ่งของนิวเคลียสที่ยึดเหนี่ยวกัน เรียกว่า มวลพร่อง ส่วนความแตกต่างของพลังงานที่สอดคล้องกันเรียกว่า พลังงานยึดเหนี่ยว
ข้อควรระวังที่จำเป็น: มวลนิ่งไม่เหมือนกับพลังงานรวม
สมการ \(E_0=mc^2\) ให้ค่าพลังงานนิ่ง สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(v\) พลังงานรวมคือ
\[ E=\gamma mc^2, \]
และพลังงานจลน์คือ
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]
ในที่นี้ \(m\) ยังคงเป็นมวลนิ่งที่ไม่แปรเปลี่ยนของวัตถุ ตัวประกอบ \(\gamma\) ทำให้พลังงานรวมของวัตถุเปลี่ยนแปลง ไม่ใช่มวลที่ไม่แปรเปลี่ยนของวัตถุ
ตำราบางเล่มที่เขียนขึ้นในอดีตใช้คำว่า มวลสัมพัทธภาพ สำหรับ \(\gamma m\) แต่ตามธรรมเนียมสมัยใหม่ โดยทั่วไปจะถือว่ามวลไม่แปรเปลี่ยน และอธิบายการเพิ่มขึ้นในแง่ของพลังงานและโมเมนตัมแทน
ตัวอย่างเช่น โฟตอนมีพลังงานและโมเมนตัม แม้จะมีมวลนิ่งเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่ควรตีความ \(E=mc^2\) ว่าพลังงานทุกรูปแบบต้องเป็นของอนุภาคที่มีมวลนิ่งไม่เป็นศูนย์
ตัวอย่างแสดงวิธีทำ: คำนวณพลังงานจากความแตกต่างของมวล
แหล่งกำเนิดที่อยู่นิ่งปล่อยรังสีออกมา และมวลนิ่งที่เหลืออยู่ลดลง \(0.50\text{ mg}\) หากสมมติว่าความแตกต่างของมวลทั้งหมดสอดคล้องกับพลังงานที่รังสีพาออกไป จงประมาณพลังงานที่ปลดปล่อยออกมา
ขั้นที่ 1: แปลงความแตกต่างของมวลเป็นกิโลกรัม
\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]
ขั้นที่ 2: ใช้ความสมมูลระหว่างมวลกับพลังงาน
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]
ขั้นที่ 3: ตีความผลลัพธ์
พลังงานที่ปลดปล่อยออกมาคือ \(4.5\times10^{10}\text{ J}\) ความแตกต่างของมวลเพียง \(0.50\text{ mg}\) สอดคล้องกับพลังงานปริมาณมหาศาล
มวลนิ่งที่เหลืออยู่ของแหล่งกำเนิดลดลง แต่พลังงานไม่ได้หายไป เมื่อรวมรังสีที่ปล่อยออกมาแล้ว การคำนวณสมดุลพลังงานทั้งหมดยังคงสอดคล้องกัน
06เลือกความสัมพันธ์ให้ถูกต้อง
วิธีที่น่าเชื่อถือที่สุดในการแก้โจทย์ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ คือระบุให้ได้ก่อนว่ากำลังวัดอะไร แล้วจึงเลือกสูตรที่เหมาะสม
| สิ่งที่โจทย์กล่าวถึง | ความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้อง | สิ่งที่ต้องตรวจสอบก่อนแทนค่า |
|---|---|---|
| ช่วงเวลาระหว่างเสียงเดินสองครั้งของนาฬิกาที่กำลังเคลื่อนที่ | \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\) | เหตุการณ์ทั้งสองเกิดขึ้น ณ ตำแหน่งเดียวกันในกรอบหยุดนิ่งของนาฬิกาหรือไม่? |
| ความยาวของวัตถุที่เคลื่อนที่เมื่อเทียบกับผู้สังเกต | \(L=L_0/\gamma\) | \(L_0\) เป็นความยาวจำเพาะหรือไม่ และวัดตำแหน่งของปลายทั้งสองพร้อมกันในกรอบของผู้สังเกตหรือไม่? |
| เหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคนละตำแหน่ง | ความสัมพัทธ์ของความพร้อมกัน | เหตุการณ์ทั้งสองเกิดขึ้นคนละตำแหน่งในกรอบที่ใช้เปรียบเทียบเวลาหรือไม่? |
| การเปลี่ยนแปลงของพลังงานนิ่งของระบบ | \(\Delta E_0=\Delta m c^2\) | กำลังพิจารณาระบบใด และพลังงานเคลื่อนย้ายไปที่ใด? |
การตรวจสอบสี่ข้อต่อไปนี้ช่วยจับข้อผิดพลาดที่พบบ่อยได้หลายประการ:
- ตรวจสอบตัวประกอบลอเรนซ์ สำหรับ \(0\leq v<c\) จะได้ \(\gamma\geq1\)
- ตรวจสอบเหตุการณ์ การยืดเวลาไม่ใช่กฎที่ใช้ได้กับเหตุการณ์ทุกคู่ เงื่อนไขของเวลาจำเพาะมีความสำคัญ
- ตรวจสอบการวัด การหดสั้นของความยาวเกิดขึ้นตามทิศทางการเคลื่อนที่ และการวัดความยาวต้องใช้ตำแหน่งของปลายทั้งสองที่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบที่ใช้วัด
- ตรวจสอบสมดุลพลังงาน การที่มวลนิ่งของวัตถุชิ้นหนึ่งลดลง ไม่ได้หมายความว่าพลังงานรวมของระบบโดดเดี่ยวหายไป
07คำถามและเฉลย
คำถาม 1
นาฬิกาที่ติดอยู่กับยานสำรวจวัดช่วงเวลาระหว่างเสียงเดินสองครั้งได้ \(3.0\text{ s}\) ยานสำรวจเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(0.60c\) เมื่อเทียบกับห้องปฏิบัติการ
จงคำนวณช่วงเวลาที่ห้องปฏิบัติการกำหนดให้เสียงเดินสองครั้งเดียวกันนี้
เฉลย 1
ห้องปฏิบัติการกำหนดช่วงเวลาเท่ากับ \(3.75\text{ s}\) หรือ \(3.8\text{ s}\) เมื่อปัดเป็นเลขนัยสำคัญสองหลัก
นาฬิกาบนยานวัดเวลาจำเพาะ เพราะเสียงเดินทั้งสองครั้งเกิดขึ้น ณ ตำแหน่งเดียวกันในกรอบหยุดนิ่งของยานสำรวจ
ขั้นที่ 1: คำนวณตัวประกอบลอเรนซ์
\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]
ขั้นที่ 2: ใช้สมการการยืดเวลา
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]
ห้องปฏิบัติการวัดช่วงเวลาได้ยาวกว่าที่นาฬิกาบนยานวัดได้ ผลลัพธ์นี้สอดคล้องกับการยืดเวลา
คำถาม 2
ยานสำรวจมีความยาวจำเพาะ \(80\text{ m}\) ส่วนโรงเก็บยานมีความยาว \(60\text{ m}\) ในกรอบหยุดนิ่งของโรงเก็บยาน ยานสำรวจเคลื่อนผ่านโรงเก็บยานด้วยความเร็ว \(0.80c\)
วิศวกรให้เหตุผลว่ายานสำรวจสามารถอยู่ภายในโรงเก็บยานได้ทั้งหมด ณ ขณะหนึ่ง เพราะความยาวของยานที่หดสั้นลงนั้นน้อยกว่าความยาวของโรงเก็บยาน นักบินโต้แย้งว่าเรื่องนี้เป็นไปไม่ได้ เพราะโรงเก็บยานสั้นกว่ายานสำรวจในกรอบของนักบิน
สมมติว่าประตูในอุดมคติสามารถเปิดและปิดได้ทันที และไม่ต้องคำนึงถึงความเสียหายของวัสดุ
การคำนวณความยาวของผู้สังเกตทั้งสองถูกต้องหรือไม่? ยานสำรวจสามารถอยู่ภายในโรงเก็บยานได้ทั้งหมด ณ ขณะหนึ่งหรือไม่? จงอธิบายว่าคำอธิบายทั้งสองสอดคล้องกันได้อย่างไร
เฉลย 2
การคำนวณความยาวของผู้สังเกตทั้งสองถูกต้อง ความไม่ตรงกันเกี่ยวข้องกับคำถามที่ว่ายานสำรวจอยู่ภายในโรงเก็บยานทั้งหมด ณ ขณะเดียวกัน หรือไม่ เพราะความพร้อมกันขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง
ขั้นที่ 1: คำนวณตัวประกอบลอเรนซ์
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
ขั้นที่ 2: คำนวณความยาวของยานสำรวจในกรอบของโรงเก็บยาน
ความยาวจำเพาะของยานสำรวจคือ \(L_0=80\text{ m}\)
\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]
เนื่องจาก \(48\text{ m}<60\text{ m}\) วิศวกรจึงถูกต้องที่กล่าวว่ายานสำรวจสามารถอยู่ภายในโรงเก็บยานได้ทั้งหมด ณ ขณะหนึ่งในกรอบของโรงเก็บยาน หากจัดตำแหน่งยานอย่างเหมาะสม
ขั้นที่ 3: คำนวณความยาวของโรงเก็บยานในกรอบของยานสำรวจ
ความยาวจำเพาะของโรงเก็บยานคือ \(60\text{ m}\) ในกรอบของยานสำรวจ โรงเก็บยานกำลังเคลื่อนที่ ดังนั้นความยาวที่วัดได้คือ
\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]
นักบินก็ถูกต้องเช่นกัน เพราะโรงเก็บยานที่กำลังเคลื่อนที่มีความยาวเพียง \(36\text{ m}\) ในกรอบของยานสำรวจ ขณะที่ความยาวจำเพาะของยานสำรวจยังคงเป็น \(80\text{ m}\)
ขั้นที่ 4: แก้ความขัดแย้งที่ดูเหมือนเกิดขึ้น
คำว่า “อยู่ภายในทั้งหมด ณ ขณะหนึ่ง” หมายถึงตำแหน่งของปลายทั้งสองด้านของยานสำรวจอยู่ภายในโรงเก็บยานพร้อมกันในกรอบอ้างอิงที่ระบุไว้
ในกรอบของโรงเก็บยาน มีช่วงเวลาหนึ่งที่ปลายทั้งสองของยานอยู่ภายในโรงเก็บยานพร้อมกัน แต่ในกรอบของยานสำรวจ ไม่มีขณะใดที่ยานความยาว \(80\text{ m}\) ทั้งลำจะอยู่ภายในโรงเก็บยานที่มีความยาว \(36\text{ m}\) ได้
ประเด็นสำคัญคือ เหตุการณ์ที่ประตูทั้งสองปิดลงซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบของโรงเก็บยาน ไม่ได้เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบของยานสำรวจ ผู้สังเกตทั้งสองไม่ได้อธิบายเหตุการณ์คู่เดียวกันที่เกิดขึ้นพร้อมกัน ทั้งสองคำอธิบายไม่ได้หมายความว่ายานสำรวจต้องถูกทำลายหรือถูกบีบอัดทางกายภาพในกรอบหยุดนิ่งของตัวเอง
คำถาม 3
มวลนิ่งของนิวเคลียสที่ยึดเหนี่ยวกันมีค่าน้อยกว่ามวลนิ่งรวมของนิวคลีออนที่แยกจากกันอยู่ \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\)
สมมติว่าเปรียบเทียบสถานะทั้งสองขณะอยู่นิ่ง และพลังงานที่ปลดปล่อยออกมาระหว่างการยึดเหนี่ยวหลุดออกจากนิวเคลียส
จงคำนวณพลังงานยึดเหนี่ยวที่ปลดปล่อยออกมาในหน่วยจูล และอธิบายว่าเหตุใดมวลนิ่งที่ลดลงของนิวเคลียสสุดท้ายจึงไม่ขัดกับกฎอนุรักษ์พลังงาน
เฉลย 3
พลังงานยึดเหนี่ยวที่เทียบเท่ากับความแตกต่างของมวลคือ \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\) มวลนิ่งที่ลดลงสอดคล้องกับกฎอนุรักษ์พลังงาน เพราะพลังงานที่ปลดปล่อยออกมาได้ออกจากระบบไปแล้ว
ขั้นที่ 1: ระบุความแตกต่างของมวล
ขนาดของมวลพร่องคือ
\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]
ขั้นที่ 2: ใช้ความสมมูลระหว่างมวลกับพลังงาน
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]
ขั้นที่ 3: อธิบายสมดุลพลังงาน
นิวเคลียสที่ยึดเหนี่ยวกันมีพลังงานนิ่งน้อยกว่านิวคลีออนที่แยกจากกัน ความแตกต่างนี้ปรากฏในรูปของพลังงานที่ปลดปล่อยออกมาระหว่างการยึดเหนี่ยว เช่น รังสีหรือพลังงานจลน์ที่ผลิตภัณฑ์อื่นพาออกไป
นิวเคลียสสุดท้ายมีมวลนิ่งลดลงเพราะพลังงานออกจากนิวเคลียสไปแล้ว เมื่อรวมพลังงานที่ปลดปล่อยออกมาเข้าไปด้วย พลังงานรวมยังคงอนุรักษ์ไว้
คำถาม 4
ยานอวกาศมีมวลนิ่งที่ไม่แปรเปลี่ยน \(1.0\text{ kg}\) และเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(0.80c\) เมื่อเทียบกับโลก
นักเรียนคนหนึ่งคำนวณได้ \(\gamma=1.67\) และกล่าวว่ามวลของยานอวกาศเพิ่มขึ้นเป็น \(1.67\text{ kg}\)
โดยใช้สมการ
\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]
จงคำนวณพลังงานนิ่ง พลังงานรวม และพลังงานจลน์ของยานอวกาศ พร้อมประเมินข้อกล่าวอ้างของนักเรียน
เฉลย 4
พลังงานนิ่งคือ \(9.0\times10^{16}\text{ J}\) พลังงานรวมคือ \(1.5\times10^{17}\text{ J}\) และพลังงานจลน์คือ \(6.0\times10^{16}\text{ J}\) ตามแนวคิดที่ใช้มวลไม่แปรเปลี่ยน มวลนิ่งของยานอวกาศยังคงเป็น \(1.0\text{ kg}\)
ขั้นที่ 1: คำนวณพลังงานนิ่ง
มวลนิ่งคือ \(m=1.0\text{ kg}\)
\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
ขั้นที่ 2: คำนวณพลังงานรวม
\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]
ขั้นที่ 3: คำนวณพลังงานจลน์
\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
ผลลัพธ์สอดคล้องกัน เพราะพลังงานรวมเท่ากับผลบวกของพลังงานนิ่งและพลังงานจลน์:
\[ E=E_0+K. \]
ขั้นที่ 4: ประเมินข้อกล่าวอ้างของนักเรียน
นักเรียนระบุได้ถูกต้องว่า \(\gamma\) คูณกับพลังงานนิ่งแล้วให้พลังงานรวม ข้อผิดพลาดคือการตีความตัวประกอบนี้ว่าเป็นการเพิ่มขึ้นของมวลนิ่งที่ไม่แปรเปลี่ยน
พลังงานจลน์ของยานอวกาศเพิ่มขึ้นตามความเร็ว แต่มวลนิ่งที่ไม่แปรเปลี่ยนยังคงเป็น \(1.0\text{ kg}\) ความแตกต่างนี้สำคัญเมื่อโจทย์นำความสมมูลระหว่างมวลกับพลังงานมาพิจารณาร่วมกับพลังงานของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่
คำถาม 5
ชานชาลามีความยาว \(600\text{ m}\) ในกรอบหยุดนิ่ง \(S\) โคมไฟสองดวง A และ B ติดตั้งอยู่ที่ปลายทั้งสองด้าน โดย A อยู่ที่ \(x=0\) และ B อยู่ที่ \(x=+600\text{ m}\) โคมไฟทั้งสองกะพริบพร้อมกันที่ \(t=0\) ในกรอบ \(S\)
แสงวาบแต่ละครั้งปล่อยพัลส์แสงมุ่งไปยังจุดกึ่งกลางของชานชาลา ในกรอบ \(S\) พัลส์แสงทั้งสองพบกันที่จุดกึ่งกลาง
กรอบหยุดนิ่งของจรวด \(S'\) เคลื่อนที่ในทิศ \(x\) บวกด้วยความเร็ว \(0.80c\) เมื่อเทียบกับกรอบ \(S\)
สำหรับข้อนี้ ให้ใช้ความสัมพันธ์ของพิกัดเวลา
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
โดยที่ \(\Delta t=t_B-t_A\) และ \(\Delta x=x_B-x_A\) วัดในกรอบ \(S\)
(a) แสงวาบใดเกิดขึ้นก่อนในกรอบ \(S'\) และเกิดก่อนเป็นเวลาเท่าใด?
(b) ความยาวของชานชาลาในกรอบ \(S'\) คือ \(360\text{ m}\) นักเรียนคนหนึ่งกล่าวว่าช่วงเวลาระหว่างแสงวาบทั้งสองจึงต้องเท่ากับ \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) จงอธิบายข้อผิดพลาดที่แท้จริง
(c) พัลส์แสงทั้งสองยังคงพบกันที่เหตุการณ์เดียวกันในกรอบ \(S'\) หรือไม่? จงอธิบายว่าเหตุใดเรื่องนี้จึงเป็นจริงได้ แม้แสงวาบทั้งสองจะไม่ได้เกิดขึ้นพร้อมกันอีกต่อไป
เฉลย 5
แสงวาบ B เกิดขึ้นก่อนในกรอบ \(S'\) เป็นเวลา \(2.67\,\mu\text{s}\) พัลส์แสงยังคงพบกันที่เหตุการณ์เดียวกัน เพราะกรอบเฉื่อยทุกกรอบเห็นตรงกันว่าพัลส์แสงทั้งสองตัดกันที่เหตุการณ์นั้น แม้จะกำหนดเวลาให้เหตุการณ์ที่แสงถูกปล่อยออกมาต่างกันก็ตาม
ขั้นที่ 1: คำนวณตัวประกอบลอเรนซ์และระบุผลต่างของเหตุการณ์
ความเร็วสัมพัทธ์คือ \(v=0.80c\) ดังนั้น
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]
แสงวาบทั้งสองเกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบ \(S\) และ B อยู่ที่พิกัดตำแหน่งที่มากกว่า ดังนั้น
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]
ขั้นที่ 2: คำนวณผลต่างของเวลาในกรอบ \(S'\)
แทนค่าลงในความสัมพันธ์ของพิกัดเวลาที่โจทย์ให้มา:
\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]
ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่า \(t'_B<t'_A\) แสงวาบ B เกิดขึ้นก่อนแสงวาบ A เป็นเวลา \(2.67\,\mu\text{s}\) ในกรอบของจรวด
ขั้นที่ 3: อธิบายว่าเหตุใดการคำนวณ \(360\text{ m}/c\) จึงใช้ไม่ได้
การคำนวณของนักเรียนให้ผลเป็น
\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]
การคำนวณทางคณิตศาสตร์ถูกต้อง แต่เป็นคำตอบของคำถามที่ไม่ใช่สิ่งที่โจทย์ถาม
ระยะ \(360\text{ m}\) คือความยาวของชานชาลาที่วัดได้ในกรอบ \(S'\) ซึ่งได้จากการวัดตำแหน่งของปลายทั้งสองพร้อมกัน ณ เวลาเดียวกันในกรอบของจรวด แต่เหตุการณ์ที่แสงวาบทั้งสองเกิดขึ้นไม่ได้พร้อมกันในกรอบ \(S'\) ดังนั้นจึงไม่สามารถถือว่าตำแหน่งของเหตุการณ์ทั้งสองเป็นตำแหน่งปลายทั้งสองของการวัดความยาวที่ใช้เงื่อนไขความพร้อมกันนั้นได้
โดยทั่วไป ผลต่างของเวลาระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์ไม่ได้เท่ากับความยาวที่วัดได้หารด้วย \(c\) นักเรียนได้นำความยาวที่วัดโดยใช้ตำแหน่งของปลายทั้งสองที่เกิดขึ้นพร้อมกัน ไปปะปนกับเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคนละเวลาในกรอบเดียวกัน
ขั้นที่ 4: อธิบายว่าเหตุใดพัลส์แสงจึงยังคงพบกัน
ในกรอบ \(S\) พัลส์แสงแต่ละพัลส์เดินทางเป็นระยะ \(300\text{ m}\) ไปยังจุดกึ่งกลาง ดังนั้นเหตุการณ์ที่พัลส์แสงพบกันจึงเกิดขึ้นที่
\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]
นี่คือเหตุการณ์หนึ่งในปริภูมิ-เวลา กรอบเฉื่อยทุกกรอบเห็นตรงกันว่าพัลส์แสงทั้งสองพบกันที่เหตุการณ์นี้ แม้พิกัดที่กำหนดให้เหตุการณ์ดังกล่าวจะแตกต่างกันก็ตาม
เราสามารถตรวจสอบเวลาที่เกิดขึ้นในกรอบของจรวดได้ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่โจทย์ให้มาระหว่างแสงวาบ A กับเหตุการณ์ที่พัลส์แสงพบกัน:
\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
แสงวาบ A เกิดขึ้นที่ \(t'_A=0\) ดังนั้นพัลส์แสงจาก A ใช้เวลาเชิงพิกัด \(0.333\,\mu\text{s}\) ในกรอบของจรวดเพื่อไปถึงเหตุการณ์ที่พัลส์แสงพบกัน
แสงวาบ B เกิดขึ้นที่ \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\) ดังนั้นพัลส์แสงจาก B ใช้เวลา
\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]
เพื่อไปถึงเหตุการณ์เดียวกันนั้น
เวลาในการปล่อยแสงและช่วงเวลาการเดินทางที่แตกต่างกันนี้สอดคล้องกับการที่พัลส์แสงพบกันที่เหตุการณ์เดียวกัน ข้อผิดพลาดคือการสมมติว่าการปล่อยแสงพร้อมกันในกรอบหนึ่งจะต้องยังคงพร้อมกันในทุกกรอบ
ขั้นต่อไปที่มีประโยชน์คือการเรียนรู้วิธีแทนเหตุการณ์บนแผนภาพปริภูมิ-เวลา สำหรับโจทย์ HSC ให้เริ่มจากการระบุกรอบอ้างอิง แล้วถามว่าเหตุการณ์เกิดขึ้น ณ ตำแหน่งเดียวกันในกรอบนั้นหรือไม่ การตัดสินใจนี้จะช่วยให้คุณเลือกได้ว่าจะใช้การยืดเวลา การหดสั้นของความยาว หรือความสัมพัทธ์ของความพร้อมกัน ก่อนเริ่มคำนวณ