HSC Fiziği için Özel Görelilik: Açık ve Çözümlü Bir Rehber

Bir uzay aracı Dünya’nın yanından \(0.80c\) hızla geçiyor. Dünya, uzay aracının saatindeki iki tik arasında geçen süreyi astronotun ölçtüğünden daha uzun olarak belirliyor. Astronot ise Dünya’daki saatlerin yavaş çalıştığını söylüyor. Okumaya devam etmeden önce tahmin et: Gözlemcilerden biri doğrudan yanlış mı düşünüyor? Hayır. Her biri farklı bir eylemsiz referans çerçevesi kullanıyor ve aralarındaki uyuşmazlık, yüksek hızlarda zamanın ve uzayın nasıl ölçüldüğünden kaynaklanıyor.

01Referans çerçeveleri: Her gözlemci gerçekte neyi ölçüyor?

Referans çerçevesi, olaylara konum ve zaman atamak için kullanılan bir koordinat sistemidir. Cetveller ve eşzamanlanmış saatlerden oluşan bir ağ ile temsil edilebilir.

Eylemsiz referans çerçevesi, ivmelenmeyen veya dönmeyen bir referans çerçevesidir. Bu rehber boyunca, iki çerçeveyi karşılaştırırken kütle çekiminin ihmal edilebilir olduğunu ve uzay aracı ile Dünya’nın birbirlerine göre sabit hızla hareket ettiğini varsayalım.

Günlük yaşamda zamanı genellikle evrenselmiş gibi ele alabiliriz. İki olay senin için aynı anda gerçekleşiyorsa bunların herkes için de aynı anda gerçekleşmesini beklersin.

Özel görelilik bu varsayımı sorgular. İki temel ilkeyle başlar:

• Fizik yasaları her eylemsiz referans çerçevesinde aynıdır.
• Her eylemsiz gözlemci, ışık kaynağının veya gözlemcinin hareketinden bağımsız olarak, boşluktaki ışık hızını aynı ölçer.

Işık hızı şöyledir:

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

Bir ışık demetine doğru hareket ettiğini varsayalım. Işığa doğru hızının \(v\) olduğunu düşünerek ışığın hızını \(c+v\) olarak ölçmeyi bekleyebilirsin. Ancak böyle olmaz. Yine \(c\) ölçersin.

Bunun mümkün olabilmesi için birbirlerine göre hareket eden gözlemciler zaman aralıkları, uzunluklar veya uzaktaki hangi olayların eşzamanlı gerçekleştiği konusunda her zaman aynı fikirde olamazlar.

Bu durum, gözlerinin tesadüfen ne gördüğüyle ilgili değildir. Görelilikteki ölçümler eşzamanlanmış saatler kullanır ve ışığın yol alması için gereken süreyi hesaba katar. Bu düzeltme yapıldıktan sonra da uyuşmazlık devam eder.

02Eşzamanlılık: İki olay farklı referans çerçevelerinde farklı zamanlarda gerçekleşebilir

Uzun bir platformun iki ucunda bulunan A ve B adlı iki lamba hayal et. Platformla birlikte duran saatler eşzamanlanmıştır ve her iki lamba da platform saatine göre \(t=0\) anında yanıp söner.

Devam etmeden önce tahmin et: Platformun yanından geçen bir roket, ışıkların eşzamanlı olarak yandığı konusunda mutlaka aynı fikirde olmak zorunda mı?

Hayır. Roket, iki ışık parlamasına farklı zamanlar atayabilir.

Eşzamanlı, iki olayın belirli bir referans çerçevesinde aynı zaman koordinatına sahip olması demektir. Bu, her eylemsiz referans çerçevesinin olaylara otomatik olarak aynı zamanı atayacağı anlamına gelmez.

Durumu kesin olarak tanımlamak için şunları varsayalım:

• A lambası \(x=0\) konumundadır.
• B lambası \(x=600\text{ m}\) konumundadır.
• Platform, \(S\) çerçevesinde durmaktadır.
• Roketin \(S'\) çerçevesi, \(S\) çerçevesine göre pozitif \(x\) yönünde \(v\) hızıyla hareket etmektedir.

Platformun referans çerçevesinde ışık parlamaları eşzamanlıdır. Roketin referans çerçevesinde ise B lambasının parlaması, A lambasının parlamasından daha önce gerçekleşir.

Peki neden bu yönde bir fark oluşur? Bu iki olay için zaman koordinatı dönüşümü şöyledir:

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

burada

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

Burada \(\Delta t=t_B-t_A\) ve \(\Delta x=x_B-x_A\), \(S\) çerçevesinde ölçülen zaman ve konum farklarıdır. Üst çizgili zaman farkı \(\Delta t'\), \(S\) çerçevesine göre pozitif \(x\) yönünde hareket eden \(S'\) çerçevesinde ölçülür.

Platformdaki eşzamanlı ışık parlamaları için

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

Dolayısıyla,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

Eksi işareti, B lambasının parlamasının roketin referans çerçevesinde daha önce gerçekleştiğini gösterir.

Önemli bir ayrıntı: Bir gözlemcinin iki ışık parlamasını alma sırası, tek başına bu olayların gerçekleşme zamanlarını kanıtlamaz. Işığın gözlemciye ulaşması zaman alır ve iki ışık kaynağına olan uzaklıklar farklı olabilir. Eşzamanlılık göreliliği, ışığın yolculuk süresi hesaba katıldıktan sonra eşzamanlanmış saatlerin olaylara atadığı zamanlarla ilgilidir.

Bu ayrım, özellikle bir saatin iki tiki yerine uzaktaki iki olayın ele alındığı sorularda yararlıdır.

03Zaman genişlemesi: Hareketli bir saatte tikler arasındaki ölçülen zaman aralığı daha uzundur

Şimdi bir uzay aracına bağlı tek bir saatin iki tikini ele alalım.

İki tik, uzay aracının durgunluk referans çerçevesinde aynı konumda gerçekleşir. Bu saat tarafından ölçülen geçen süreye öz zaman denir ve \(\Delta\tau\) ile gösterilir.

Uzay aracının \(v\) hızıyla hareket ettiği başka bir eylemsiz referans çerçevesindeki gözlemci, aynı iki olay için daha uzun bir zaman aralığı belirler. Buna zaman genişlemesi denir.

Denklem şöyledir:

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

burada:

• \(\Delta t\), saatin hareket ettiği referans çerçevesinde ölçülen zaman aralığıdır.
• \(\Delta\tau\), saatin durgunluk referans çerçevesinde ölçülen öz zamandır.
• \(\gamma\), Lorentz faktörüdür.
• \(v\), referans çerçeveleri arasındaki bağıl hızdır.
• \(c\), ışık hızıdır.

\(\gamma\geq1\) olduğundan hareketli saatin tikleri arasındaki zaman aralığı, öz zaman aralığından hiçbir zaman daha kısa olmaz.

Örneğin, \(v=0.80c\) için

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

Diğer referans çerçevesinde ölçülen zaman aralığı, saatin kendi ölçtüğü zaman aralığının \(1.67\) katıdır.

Her iki gözlemci de diğerinin saatinin yavaş çalıştığını nasıl söyleyebilir?

Bu durum çelişkili gibi görünür, ancak gözlemciler her iki saatteki aynı iki tikin doğrudan karşılaştırmasını yapmıyorlardır.

Dünya, uzay aracının tiklerine zaman atamak için kendi eşzamanlanmış saat ağını kullanır. Astronot ise Dünya’daki uzaktaki saatlerin tiklerine zaman atamak için farklı bir eşzamanlanmış saat ağı kullanır. Eşzamanlılık referans çerçevesine bağlı olduğundan, bu iki karşılaştırmada uzaktaki olaylara aynı zamanlar atanmaz.

Astronot yön değiştirip daha sonra Dünya ile yeniden buluşursa durum tekrar değişir. Yolculuk sırasında eylemsiz referans çerçevesi değiştiğinden iki gözlemcinin yolculuklarının tamamı artık eşdeğer değildir. Bu nedenle toplamda farklı miktarlarda öz zaman biriktirebilirler.

Temel kural basittir: Zaman genişlemesi aynı iki olaya uygulanır ve öz zaman aralığı, bu olayların tek bir konumda gerçekleştiği referans çerçevesinde ölçülür.

04Uzunluk büzülmesi: Hareketli bir cismin ölçülen uzunluğu değişir

Zaman genişlemesi olaylar arasındaki zaman aralığıyla ilgilidir. Uzunluk büzülmesi ise bir cismin uçları arasındaki mesafeyle ilgilidir.

Duran bir uzay aracı hayal et. Uzunluğunu bir cetvelle ölçtüğünde \(150\text{ m}\) buluyorsun. Bu, uzay aracının öz uzunluğu olan \(L_0\)’dır; çünkü ölçüm uzay aracının durgunluk referans çerçevesinde yapılır.

Şimdi uzay aracının Dünya’nın yanından yüksek hızla geçtiğini varsayalım. Dünya, ön ve arka uçlarının konumlarını aynı Dünya-çerçevesi zamanında kaydederek aracın uzunluğunu ölçer.

Son koşul önemlidir. Belirli bir referans çerçevesinde uzunluk ölçmek için cismin iki ucunun konumunu o çerçevede eşzamanlı olarak kaydetmelisin.

Hareketli uzay aracının ölçülen uzunluğu şöyledir:

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

veya eşdeğer olarak

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

burada:

• \(L\), cismin hareket ettiği referans çerçevesinde ölçülen uzunluktur.
• \(L_0\), cismin durgunluk referans çerçevesinde ölçülen öz uzunluğudur.
• \(v\), cismin ölçüm yapılan referans çerçevesine göre hızıdır.
• \(\gamma\), Lorentz faktörüdür.

Yalnızca hareket yönüne paralel boyut büzülür. Uzunluk büzülmesi bağıntısına göre cismin harekete dik boyutları değişmez.

Yaygın bir hata, uzay aracının kendi açısından fiziksel olarak sıkıştırıldığını düşünmektir. Uzay aracı kendi durgunluk referans çerçevesinde daha kısa bir uzunluk ölçmez. Fark, farklı referans çerçevelerindeki uzunluk ölçümlerinin uç noktaların farklı eşzamanlı konumlarını kullanmasından kaynaklanır.

05Kütle-enerji: \(E=mc^2\) gerçekte ne anlama gelir?

Ayrı proton ve nötronlardan bir atom çekirdeğinin oluştuğunu düşün. Çekirdek oluştuktan sonra, çekirdeğin durgunluk kütlesi ayrı parçacıkların toplam durgunluk kütlesinden biraz daha azdır.

Maddenin bir kısmı basitçe yok mu oldu?

Hayır. Sistem enerji açığa çıkarmıştır ve taşınıp uzaklaşan enerji de hesaba katılmalıdır. Kütle ile enerji birbiriyle ilişkilidir.

Bir cismin durgunluk enerjisi şöyledir:

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

burada:

• \(E_0\), durgunluk enerjisidir.
• \(m\), değişmez kütle ya da durgunluk kütlesidir.
• \(c\), ışık hızıdır.

Durgunluk kütlesindeki bir değişime karşılık gelen durgunluk enerjisi değişimi şöyledir:

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

\(c^2\) çarpanı son derece büyüktür. Yalnızca \(1.0\text{ g}\) kütle farkı, şu durgunluk enerjisi farkına karşılık gelir:

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

Bu, çok küçük bir kütle farkına karşılık gelen çok büyük bir enerji miktarıdır.

Bir sisteme enerji girdiğinde veya sistemden enerji çıktığında ne değişir?

Bir sistemden enerji çıkarsa geriye kalan sistemin durgunluk kütlesi daha düşük olabilir. Bir sisteme enerji eklenir ve bu enerji sistemin içinde tutulursa, sistem önce ve sonra durgun hâlde karşılaştırıldığı sürece durgunluk kütlesi artar.

Bu, kütle azaldığında enerjinin yok edildiği anlamına gelmez. Yalıtılmış bir sistemde toplam enerji korunur. Enerji, ışınım veya kinetik enerji olarak geriye kalan cisimden ayrılmış olabilir; ancak varlığını sürdürür.

Bağlı bir atom çekirdeği buna yararlı bir örnektir. Ayrı nükleonların toplam durgunluk kütlesi ile bağlı çekirdeğin durgunluk kütlesi arasındaki farka kütle kusuru denir. Buna karşılık gelen enerji farkı ise bağlanma enerjisidir.

Gerekli bir ayrım: Durgunluk kütlesi toplam enerjiyle aynı şey değildir

\(E_0=mc^2\) denklemi durgunluk enerjisini verir. \(v\) hızıyla hareket eden bir cismin toplam enerjisi

\[ E=\gamma mc^2, \]

ve kinetik enerjisi

\[ K=(\gamma-1)mc^2 \]

şeklindedir.

Burada \(m\), cismin değişmez durgunluk kütlesi olarak kalır. \(\gamma\) çarpanı, cismin değişmez kütlesini değil, toplam enerjisini değiştirir.

Bazı eski kaynaklar \(\gamma m\) ifadesi için görelilik kütlesi terimini kullanır. Modern yaklaşımda genellikle kütle değişmez kabul edilir; bunun yerine artış enerji ve momentum cinsinden açıklanır.

Örneğin fotonlar, durgunluk kütleleri sıfır olmasına rağmen enerji ve momentum taşır. Dolayısıyla \(E=mc^2\), her enerji türünün sıfırdan farklı durgunluk kütlesine sahip bir parçacığa ait olması gerektiği şeklinde yorumlanmamalıdır.

06Doğru bağıntıyı seçmek

Özel görelilik sorularını çözmenin en güvenilir yolu, bir formül seçmeden önce neyin ölçüldüğünü belirlemektir.

Dört kontrol, yaygın hataların çoğunu önler:

• Lorentz faktörünü kontrol et. \(0\leq v<c\) için \(\gamma\geq1\).
• Olayları kontrol et. Zaman genişlemesi her olay çifti için geçerli bir kural değildir. Öz zaman koşulu önemlidir.
• Ölçümü kontrol et. Uzunluk büzülmesi hareket yönünde geçerlidir ve uzunluk ölçümü, ölçüm yapılan referans çerçevesinde uç noktaların eşzamanlı konumlarını gerektirir.
• Enerji hesabını kontrol et. Bir cismin durgunluk kütlesinin azalması, yalıtılmış bir sistemin toplam enerjisinin yok olduğu anlamına gelmez.

07Sorular ve çözümler

Soru 1

Bir sondaya sabitlenmiş saat, iki tik arasında \(3.0\text{ s}\) ölçüyor. Sonda, bir laboratuvara göre \(0.60c\) hızıyla hareket ediyor.

Laboratuvarın aynı iki tik için belirlediği zaman aralığını hesapla.

Çözüm 1

Laboratuvar \(3.75\text{ s}\), yani iki anlamlı basamakla \(3.8\text{ s}\) uzunluğunda bir zaman aralığı belirler.

Her iki tik de sondanın durgunluk referans çerçevesinde aynı konumda gerçekleştiğinden, araçtaki saat öz zamanı ölçer.

Adım 1: Lorentz faktörünü hesapla.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

Adım 2: Zaman genişlemesini uygula.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

Laboratuvar, sonda saatinin ölçtüğünden daha uzun bir zaman aralığı ölçer. Sonuç, zaman genişlemesiyle tutarlıdır.

Soru 2

Bir sondanın öz uzunluğu \(80\text{ m}\)’dir. Bir hangarın kendi durgunluk referans çerçevesindeki uzunluğu \(60\text{ m}\)’dir. Sonda hangarın yanından \(0.80c\) hızıyla geçer.

Bir mühendis, büzülmüş uzunluğu hangarın uzunluğundan kısa olduğu için sondanın bir anda tamamen hangarın içine sığabileceğini savunuyor. Pilot ise kendi referans çerçevesinde hangar sondadan kısa olduğundan bunun imkânsız olduğunu söylüyor.

Kapıların anında açılıp kapanabildiğini ve maddi hasarın göz ardı edildiğini varsay.

Her iki gözlemcinin uzunluk hesaplamaları doğru mu? Sonda bir anda tamamen hangarın içine sığabilir mi? İki açıklamanın nasıl tutarlı olduğunu açıkla.

Çözüm 2

Her iki uzunluk hesabı da doğrudur. Uyuşmazlık, eşzamanlılık referans çerçevesine bağlı olduğu için sondanın tek bir anda tamamen hangarın içinde olup olamayacağıyla ilgilidir.

Adım 1: Lorentz faktörünü hesapla.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

Adım 2: Sondanın hangar referans çerçevesindeki uzunluğunu hesapla.

Sondanın öz uzunluğu \(L_0=80\text{ m}\)’dir.

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

\(48\text{ m}<60\text{ m}\) olduğundan mühendis haklıdır: Uygun bir konumda bulunduğu takdirde sonda, hangarın referans çerçevesinde belirli bir anda tamamen hangarın içine sığabilir.

Adım 3: Hangarın sonda referans çerçevesindeki uzunluğunu hesapla.

Hangarın öz uzunluğu \(60\text{ m}\)’dir. Sonda referans çerçevesinde hangar hareket ettiğinden, ölçülen uzunluğu

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

Pilot da haklıdır: Hareketli hangarın sonda referans çerçevesindeki uzunluğu yalnızca \(36\text{ m}\)’dir; sondanın öz uzunluğu ise \(80\text{ m}\) olarak kalır.

Adım 4: Görünürdeki çelişkiyi çöz.

“Tek bir anda tamamen içeride” ifadesi, sondanın iki ucunun da belirli bir referans çerçevesinde aynı anda hangarın içinde olması anlamına gelir.

Hangarın referans çerçevesinde, sondanın iki ucunun da içeride olduğu bir an vardır. Sondanın referans çerçevesinde ise \(80\text{ m}\) uzunluğundaki sondanın \(36\text{ m}\) uzunluğundaki hangara tamamen sığdığı bir an yoktur.

Önemli nokta şudur: Hangarın referans çerçevesinde eşzamanlı olan iki kapının kapanma olayı, sonda referans çerçevesinde eşzamanlı değildir. Gözlemciler aynı eşzamanlı olay çiftini açıklamıyorlardır. Bu açıklamaların hiçbiri, sondanın kendi durgunluk referans çerçevesinde fiziksel olarak yok edilmesini veya sıkıştırılmasını gerektirmez.

Soru 3

Bağlı bir çekirdeğin durgunluk kütlesi, ayrı nükleonlarının toplam durgunluk kütlesinden \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) daha azdır.

Her iki durumun da durgun hâlde karşılaştırıldığını ve bağlanma sırasında açığa çıkan enerjinin çekirdekten uzaklaştığını varsay.

Açığa çıkan bağlanma enerjisini joule cinsinden hesapla ve son çekirdeğin daha düşük durgunluk kütlesine sahip olmasının enerji korunumu yasasını neden ihlal etmediğini açıkla.

Çözüm 3

Kütle farkına karşılık gelen bağlanma enerjisi \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\)’dür. Açığa çıkan enerji sistemden ayrıldığı için daha düşük durgunluk kütlesi, enerji korunumu yasasıyla tutarlıdır.

Adım 1: Kütle farkını belirle.

Kütle kusurunun büyüklüğü

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

Adım 2: Kütle-enerji eşdeğerliğini uygula.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

Adım 3: Enerji hesabını açıkla.

Bağlı çekirdeğin durgunluk enerjisi, ayrı nükleonların durgunluk enerjisinden daha azdır. Aradaki fark, bağlanma sırasında açığa çıkan ve ışınım veya diğer ürünlerin taşıdığı kinetik enerji gibi biçimlerde ortaya çıkan enerjidir.

Enerji çekirdekten ayrıldığı için son çekirdeğin durgunluk kütlesi daha düşüktür. Açığa çıkan enerji de hesaba katıldığında toplam enerji korunur.

Soru 4

Bir uzay aracının değişmez durgunluk kütlesi \(1.0\text{ kg}\)’dır ve Dünya’ya göre \(0.80c\) hızıyla hareket eder.

Bir öğrenci \(\gamma=1.67\) hesaplayarak uzay aracının kütlesinin \(1.67\text{ kg}\)’a yükseldiğini iddia ediyor.

Şu bağıntıları kullanarak

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

uzay aracının durgunluk enerjisini, toplam enerjisini ve kinetik enerjisini hesapla. Öğrencinin iddiasını değerlendir.

Çözüm 4

Durgunluk enerjisi \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), toplam enerji \(1.5\times10^{17}\text{ J}\) ve kinetik enerji \(6.0\times10^{16}\text{ J}\)’dür. Değişmez kütle yaklaşımına göre uzay aracının durgunluk kütlesi \(1.0\text{ kg}\) olarak kalır.

Adım 1: Durgunluk enerjisini hesapla.

Durgunluk kütlesi \(m=1.0\text{ kg}\)’dır.

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Adım 2: Toplam enerjiyi hesapla.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

Adım 3: Kinetik enerjiyi hesapla.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Toplam enerji, durgunluk enerjisi ile kinetik enerjinin toplamı olduğundan sonuçlar birbiriyle tutarlıdır:

\[ E=E_0+K. \]

Adım 4: Öğrencinin iddiasını değerlendir.

Öğrenci, toplam enerjiyi elde etmek için \(\gamma\) çarpanının durgunluk enerjisiyle çarpılması gerektiğini doğru belirlemiştir. Hatası, bu çarpanı değişmez durgunluk kütlesindeki bir artış olarak yorumlamasıdır.

Uzay aracının kinetik enerjisi hızıyla birlikte artar, ancak değişmez durgunluk kütlesi \(1.0\text{ kg}\) olarak kalır. Bir soru, kütle-enerji eşdeğerliğini hareketli bir cismin enerjisiyle birleştirdiğinde bu ayrım önemlidir.

Soru 5

Bir platformun durgunluk referans çerçevesi \(S\)’deki uzunluğu \(600\text{ m}\)’dir. Platformun iki ucuna A ve B adlı iki lamba yerleştirilmiştir; A, \(x=0\) konumunda ve B, \(x=+600\text{ m}\) konumundadır. Lambalar \(S\) çerçevesinde \(t=0\) anında eşzamanlı olarak yanar.

Her lamba, platformun orta noktasına doğru bir ışık darbesi gönderir. \(S\) çerçevesinde iki darbe orta noktada buluşur.

Bir roketin durgunluk referans çerçevesi \(S'\), \(S\)’ye göre pozitif \(x\) yönünde \(0.80c\) hızıyla hareket eder.

Bu soru için şu zaman koordinatı bağıntısını kullan:

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

burada \(\Delta t=t_B-t_A\) ve \(\Delta x=x_B-x_A\), \(S\) çerçevesinde ölçülür.

(a) \(S'\) çerçevesinde hangi lamba daha önce yanar ve ne kadar önce yanar?

(b) Platformun \(S'\) çerçevesindeki uzunluğu \(360\text{ m}\)’dir. Bir öğrenci, ışık parlamaları arasındaki zaman farkının bu nedenle mutlaka \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) olması gerektiğini iddia ediyor. Tam olarak nerede hata yaptığını açıkla.

(c) İki ışık darbesi \(S'\) çerçevesinde de aynı olayda buluşmak zorunda mıdır? Parlamalar artık eşzamanlı olmadığı hâlde bunun nasıl mümkün olabileceğini açıkla.

Çözüm 5

B lambası, \(S'\) çerçevesinde A lambasından \(2.67\,\mu\text{s}\) önce yanar. Işık darbeleri yine aynı olayda buluşur; çünkü tüm eylemsiz referans çerçeveleri iki ışık darbesinin kesiştiği olay konusunda aynı fikirdedir, ancak ışıkların yayıldığı olaylara farklı zamanlar atayabilirler.

Adım 1: Lorentz faktörünü hesapla ve olaylar arasındaki farkları belirle.

Bağıl hız \(v=0.80c\) olduğundan

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

Işık parlamaları \(S\) çerçevesinde eşzamanlıdır ve B, daha büyük konum koordinatına sahiptir. Dolayısıyla,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

Adım 2: \(S'\) çerçevesindeki zaman farkını hesapla.

Verilen zaman koordinatı bağıntısında yerine koy:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

Negatif sonuç, \(t'_B<t'_A\) olduğunu gösterir. B lambası, roketin referans çerçevesinde A lambasından \(2.67\,\mu\text{s}\) önce yanar.

Adım 3: \(360\text{ m}/c\) hesabının neden başarısız olduğunu açıkla.

Öğrencinin hesabı şöyledir:

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

Aritmetik işlem doğrudur, ancak yanlış soruyu yanıtlar.

\(360\text{ m}\), her iki uç aynı roket-çerçevesi zamanında ölçülerek elde edilen, platformun \(S'\) çerçevesindeki uzunluğudur. İki ışık parlaması \(S'\) çerçevesinde eşzamanlı değildir. Bu nedenle parlamaların gerçekleştiği olayların konumları, eşzamanlı uzunluk ölçümündeki uç noktalar gibi ele alınamaz.

İki olay arasındaki zaman farkı, genel olarak ölçülen uzunluğun \(c\)’ye bölünmesine eşit değildir. Öğrenci, eşzamanlı uç nokta konumları kullanılarak ölçülen bir uzunluğu, aynı referans çerçevesinde farklı zamanlarda gerçekleşen iki olayla karıştırmıştır.

Adım 4: Işık darbelerinin neden yine de buluştuğunu açıkla.

\(S\) çerçevesinde her darbe, orta noktaya ulaşmak için \(300\text{ m}\) yol alır. Dolayısıyla buluşma olayı şu koordinatlarda gerçekleşir:

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

Bu, uzayzamanda tek bir olaydır. Her eylemsiz referans çerçevesi, bu olaya atanan koordinatlar farklı olsa bile, iki darbenin aynı olayda buluştuğu konusunda hemfikirdir.

Roketin referans çerçevesindeki zamanlamayı kontrol edebiliriz. A lambasının parlaması ile buluşma olayı arasındaki ilişkiye verilen bağıntıyı uygularsak

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

A lambasının parlaması \(t'_A=0\) anında gerçekleşir. Dolayısıyla bu lambadan çıkan darbenin buluşma olayına ulaşması için roket-çerçevesi koordinat zamanına göre \(0.333\,\mu\text{s}\) geçer.

B lambasının parlaması \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\) anında gerçekleşir. Bu lambadan çıkan darbenin aynı olaya ulaşması için geçen süre

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

olur.

Farklı yayılma zamanları ve yolculuk süreleri, aynı buluşma olayıyla tutarlıdır. Hata, bir referans çerçevesinde eşzamanlı olan ışık yayılma olaylarının her referans çerçevesinde eşzamanlı kalması gerektiğini varsaymak olurdu.

Bir sonraki yararlı adım, olayları bir uzayzaman diyagramında göstermeyi öğrenmektir. HSC sorularında önce referans çerçevesini belirle ve olayların bu çerçevede aynı konumda gerçekleşip gerçekleşmediğini sor. Bu karar, hesaplamaya başlamadan önce zaman genişlemesi, uzunluk büzülmesi ve eşzamanlılık göreliliği arasından doğru kavramı seçmene yardımcı olur.