Спеціальна теорія відносності для HSC з фізики: зрозумілий посібник із розв’язаними прикладами
Зрозумійте спеціальну теорію відносності без зайвої загадковості. Цей посібник з фізики для HSC пояснює системи відліку, відносність одночасності, сповільнення часу, скорочення довжини та еквівалентність маси й енергії за допомогою зрозумілих пояснень і розв’язаних прикладів.
Космічний корабель пролітає повз Землю зі швидкістю \(0.80c\). За вимірюваннями Землі, проміжок часу між двома поділками годинника космічного корабля більший, ніж за вимірюваннями астронавта. Водночас астронавт стверджує, що годинники на Землі йдуть повільно. Перш ніж читати далі, спрогнозуйте: чи означає це, що один зі спостерігачів просто помиляється? Ні. Кожен використовує іншу інерціальну систему відліку, а розбіжність виникає через те, як вимірюють час і простір на високих швидкостях.
Ті самі дві поділки – різні часові інтервали
| Система відліку спокою астронавта | Δτ = 3.0 s Обидві події відбуваються в одному місці кабіни. Годинник у кабіні вимірює власний час. |
|---|---|
| Система відліку Землі | Δt = γΔτ = 5.0 s Синхронізовані годинники Землі визначають цей інтервал. Ті самі дві події; жоден годинник не несправний. |
01Системи відліку: що саме вимірює кожен спостерігач?
Система відліку – це система координат, яка дає змогу задавати положення та час подій. Її можна представити за допомогою лінійок і мережі синхронізованих годинників.
Інерціальна система відліку – це система, яка не прискорюється й не обертається. У цьому посібнику вважатимемо, що впливом гравітації можна знехтувати, а космічний корабель і Земля рухаються один відносно одного з постійною швидкістю, коли ми їх порівнюємо.
У повсякденному житті ми зазвичай можемо вважати час універсальним. Якщо дві події відбуваються одночасно для вас, ви очікуєте, що для всіх інших вони також відбуватимуться одночасно.
Спеціальна теорія відносності ставить це припущення під сумнів. Вона ґрунтується на двох правилах:
- Закони фізики однакові в усіх інерціальних системах відліку.
- Кожен інерціальний спостерігач вимірює однакову швидкість світла у вакуумі незалежно від руху джерела світла або самого спостерігача.
Швидкість світла дорівнює
\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
Припустімо, ви рухаєтеся назустріч світловому променю. Можна було б очікувати, що ви виміряєте його швидкість як \(c+v\), де \(v\) – ваша швидкість руху назустріч променю. Але цього не відбувається. Ви й далі вимірюєте \(c\).
Щоб це було можливим, спостерігачі, які рухаються один відносно одного, не завжди можуть погодитися щодо тривалості часових інтервалів, довжин або того, які віддалені події відбулися одночасно.
Річ не в тому, що вони просто бачать щось по-різному. У релятивістських вимірюваннях використовують синхронізовані годинники й ураховують час, потрібний світлу для поширення. Розбіжність зберігається навіть після внесення цієї поправки.
Ті самі події – різні координати
| Система відліку платформи S | A (0 s, 0 m); B (0 s, 600 m) Власні синхронізовані годинники та шкала положення. Події A і B відбуваються одночасно. |
|---|---|
| Система відліку ракети S′ | A (0 s, 0 m); B (−2.67 μs, 1000 m) Власні синхронізовані годинники та шкала положення. Подія B відбувається раніше за A. |
02Одночасність: дві події можуть відбуватися в різний час у різних системах відліку
Уявіть дві лампи, A і B, розташовані на протилежних кінцях довгої платформи. Годинники, нерухомі відносно платформи, синхронізовані, і обидві лампи спалахують у момент часу \(t=0\) за годинниками платформи.
Перш ніж читати далі, спрогнозуйте: чи обов’язково ракета, що пролітає повз платформу, погодиться з тим, що спалахи відбулися одночасно?
Ні. Ракета може приписати двом спалахам різні моменти часу.
Одночасними називають дві події, координати часу яких однакові в певній заданій системі відліку. Це не означає, що кожна інерціальна система відліку обов’язково приписує їм однаковий час.
Щоб точно описати ситуацію, припустімо, що:
- Лампа A розташована в точці \(x=0\).
- Лампа B розташована в точці \(x=600\text{ m}\).
- Платформа нерухома в системі відліку \(S\).
- Система відліку ракети \(S'\) рухається в додатному напрямку осі \(x\) зі швидкістю \(v\) відносно \(S\).
У системі відліку платформи спалахи відбуваються одночасно. У системі відліку ракети спалах лампи B відбувається раніше, ніж спалах лампи A.
Чому саме в такому порядку? Перетворення координати часу для цих двох подій має вигляд
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
де
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]
Тут \(\Delta t=t_B-t_A\) і \(\Delta x=x_B-x_A\) – різниці часу та координат положення, виміряні в системі відліку \(S\). Різницю часу зі штрихом вимірюють у системі відліку \(S'\), яка рухається в додатному напрямку осі \(x\) відносно \(S\).
Для одночасних спалахів на платформі
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]
Отже,
\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]
Від’ємний знак означає, що спалах B відбувається раніше в системі відліку ракети.
Відносність одночасності: необхідна структура часових шкал
| Система відліку платформи S | Δt = 0 Події A і B мають однакову координату часу. |
|---|---|
| Система відліку ракети S′ | Δt′ < 0 Подія B відбувається раніше за подію A. |
Важливе уточнення: порядок, у якому спостерігач отримує два світлові сигнали, сам по собі не доводить, у який час відбулися відповідні події. Світлу потрібно дістатися до спостерігача, а відстані можуть бути різними. Відносність одночасності стосується часу, який приписують подіям за допомогою синхронізованих годинників після врахування часу поширення світла.
Ця відмінність особливо корисна, коли завдання стосується двох віддалених подій, а не двох поділок одного годинника.
03Сповільнення часу: рухомий годинник має довший виміряний інтервал між поділками
Тепер розгляньмо дві поділки одного годинника, закріпленого в космічному кораблі.
Обидві поділки відповідають подіям, що відбуваються в одному й тому самому місці в системі відліку, де космічний корабель перебуває в стані спокою. Часовий інтервал, виміряний цим годинником, називають власним часом і позначають \(\Delta\tau\).
Спостерігач в іншій інерціальній системі відліку, у якій космічний корабель рухається зі швидкістю \(v\), приписує цим самим двом подіям довший часовий інтервал. Це явище називають сповільненням часу.
Рівняння має вигляд
\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]
де:
- \(\Delta t\) – часовий інтервал, виміряний у системі відліку, відносно якої годинник рухається.
- \(\Delta\tau\) – власний час, виміряний годинником у системі відліку, де він перебуває в стані спокою.
- \(\gamma\) – лоренцівський множник.
- \(v\) – відносна швидкість між системами відліку.
- \(c\) – швидкість світла.
Оскільки \(\gamma\geq1\), інтервал між поділками рухомого годинника ніколи не буває коротшим за відповідний інтервал власного часу.
Наприклад, за швидкості \(v=0.80c\),
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]
Інша система відліку вимірює інтервал, який у \(1.67\) раза довший за інтервал, виміряний самим годинником.
Один годинник – два виміряні часові інтервали
| Система відліку космічного корабля | Δτ = 10.0 min Обидві події відбуваються в одному місці кабіни. Годинник у кабіні вимірює власний час. |
|---|---|
| Система відліку лабораторії | Δt = γΔτ = 16.7 min Годинник у кабіні рухається зі швидкістю 0.80c. Синхронізовані годинники лабораторії визначають довший інтервал. |
Розв’язаний приклад: годинник на швидкому космічному кораблі
Космічний корабель рухається відносно Землі зі швидкістю \(0.80c\). Його бортовий годинник вимірює \(10.0\text{ min}\) між двома поділками. Який часовий інтервал Земля приписує цим самим двом подіям?
Крок 1
Дві поділки відповідають подіям, що відбуваються в одному й тому самому місці в системі відліку, де космічний корабель перебуває в стані спокою. Отже, показ бортового годинника є власним часом:
\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]
Крок 2
\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]
Крок 3
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]
Земля приписує цим подіям інтервал \(16.7\text{ min}\), тоді як бортовий годинник космічного корабля показує \(10.0\text{ min}\). Годинник астронавта працює нормально у власній системі відліку, де він перебуває в стані спокою; відмінність полягає в часових інтервалах, які приписують подіям дві системи відліку.
Чому обидва спостерігачі можуть стверджувати, що годинник іншого йде повільно?
Це здається суперечливим, але спостерігачі не порівнюють безпосередньо одну й ту саму пару поділок на обох годинниках.
Земля використовує власну мережу синхронізованих годинників, щоб визначати час подій, пов’язаних із поділками годинника космічного корабля. Астронавт використовує іншу мережу синхронізованих годинників, щоб визначати час віддалених подій на годинниках Землі. Оскільки одночасність залежить від системи відліку, ці два порівняння ґрунтуються на різних визначеннях часу для віддалених подій.
Якщо астронавт розвернеться, а згодом знову зустрінеться із Землею, ситуація зміниться. Подорож передбачає зміну інерціальної системи відліку, тому повні траєкторії руху двох спостерігачів уже не будуть еквівалентними. Вони можуть накопичити різні значення власного часу.
Основне правило просте: сповільнення часу застосовують до тих самих двох подій, причому власний часовий інтервал вимірюють у системі відліку, де ці події відбуваються в одному місці.
04Скорочення довжини: виміряна довжина рухомого об’єкта змінюється
Сповільнення часу стосується інтервалу між подіями. Скорочення довжини стосується відстані між кінцями об’єкта.
Уявіть космічний корабель у стані спокою. Ви вимірюєте його довжину лінійкою й отримуєте \(150\text{ m}\). Це його власна довжина \(L_0\), оскільки вимірювання виконано в системі відліку, де космічний корабель перебуває в стані спокою.
Тепер припустімо, що космічний корабель пролітає повз Землю на високій швидкості. Земля вимірює його довжину, одночасно фіксуючи положення передньої та задньої частин корабля за земним часом.
Остання умова має значення. Щоб виміряти довжину в певній системі відліку, потрібно зафіксувати положення обох кінців одночасно саме в цій системі.
Виміряна довжина рухомого космічного корабля дорівнює
\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]
або, що рівнозначно,
\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]
де:
- \(L\) – довжина, виміряна в системі відліку, відносно якої об’єкт рухається.
- \(L_0\) – власна довжина об’єкта, виміряна в його системі відліку спокою.
- \(v\) – швидкість об’єкта відносно системи відліку, у якій проводять вимірювання.
- \(\gamma\) – лоренцівський множник.
Скорочується лише розмір уздовж напрямку руху. Розміри об’єкта в перпендикулярних напрямках відповідно до цього співвідношення скорочення довжини не змінюються.
Скорочення довжини відбувається лише вздовж напрямку руху
| Космічний корабель у стані спокою | L = L₀ L₀ – власна довжина. Розмір у перпендикулярному напрямку: h₀. |
|---|---|
| Космічний корабель рухається зі швидкістю v | L = L₀/γ Довжина скорочується вздовж напрямку руху. Розмір у перпендикулярному напрямку залишається h₀. |
Поширена помилка – уявляти, ніби космічний корабель сам відчуває фізичне стискання. Це не так: у власній системі відліку він не вимірює меншої довжини. Відмінність виникає тому, що вимірювання довжини в різних системах відліку використовують різні набори одночасних положень кінців об’єкта.
Розв’язаний приклад: космічний зонд пролітає повз детектор
Власна довжина зонда становить \(150\text{ m}\). Він пролітає повз нерухомий детектор зі швидкістю \(0.80c\).
Обчисліть:
- довжину, яку вимірює Земля;
- час між проходженням носової та хвостової частин зонда повз детектор у системі відліку Землі;
- час між цими самими подіями в системі відліку зонда.
Крок 1
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Крок 2
\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]
Земля вимірює довжину рухомого зонда як \(90.0\text{ m}\).
Крок 3
Зонд рухається зі швидкістю
\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
У системі відліку Землі відстань між носовою та хвостовою частинами становить \(90.0\text{ m}\). Отже, час між їхнім проходженням повз нерухомий детектор дорівнює
\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Крок 4
У системі відліку зонда детектор рухається повз усю власну довжину зонда \(150\text{ m}\) із тією самою відносною швидкістю. Тому
\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Дві події перетину відбуваються в одному й тому самому місці в системі відліку Землі, тому інтервал \(0.375\,\mu\text{s}\), виміряний детектором, є інтервалом власного часу. У системі відліку зонда детектор рухається, тому часовий інтервал довший:
\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]
Розрахунки узгоджуються. Та сама пара подій має різні часові інтервали в двох системах відліку, тоді як виміряна довжина зонда залежить від системи відліку, у якій обидва його кінці фіксують одночасно.
Ті самі події перетину – різні часові інтервали
| Система відліку Землі | A → B: 0.375 μs Довжина зонда: 90 m; детектор нерухомий. |
|---|---|
| Система відліку зонда | A → B: 0.625 μs Довжина зонда: 150 m; детектор рухається повз нього. |
05Маса й енергія: що насправді означає \(E=mc^2\)?
Розгляньмо утворення ядра з окремих протонів і нейтронів. Після утворення ядра його маса спокою трохи менша за сумарну масу спокою окремих частинок до їхнього об’єднання.
Чи означає це, що частина матерії просто зникла?
Ні. Система вивільнила енергію, і під час обліку енергії потрібно враховувати енергію, яку було винесено із системи. Маса й енергія пов’язані між собою.
Енергія спокою об’єкта дорівнює
\[ \boxed{E_0=mc^2} \]
де:
- \(E_0\) – енергія спокою.
- \(m\) – інваріантна маса, або маса спокою.
- \(c\) – швидкість світла.
Для зміни маси спокою відповідна зміна енергії спокою дорівнює
\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]
Множник \(c^2\) має надзвичайно велике значення. Різниця мас лише \(1.0\text{ g}\) відповідає різниці енергії спокою
\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]
Це величезна кількість енергії, що відповідає дуже малій різниці мас.
Маса зменшується; повна енергія зберігається
| До виходу енергії | Rest mass = m Початкова енергія спокою: E₀ = mc². |
|---|---|
| Після виходу випромінювання | Remaining mass = m − Δm Випромінювання переносить енергію ΔE = Δmc². Енергія спокою системи, що залишилася, + енергія випромінювання = початкова енергія. |
Що змінюється, коли енергія надходить до системи або виходить із неї?
Якщо енергія виходить із системи, маса спокою системи, що залишилася, може зменшитися. Якщо енергію додають до системи й вона залишається всередині, маса спокою системи збільшується, за умови що систему порівнюють у стані спокою до та після цієї зміни.
Це не означає, що енергія знищується, коли маса зменшується. У замкнутій системі повна енергія зберігається. Енергія могла залишити об’єкт у вигляді випромінювання або кінетичної енергії, але вона й далі існує.
Зв’язане атомне ядро є корисним прикладом. Різницю між сумарною масою спокою окремих нуклонів і масою спокою зв’язаного ядра називають дефектом маси. Відповідна різниця енергій – це енергія зв’язку.
Важливе уточнення: маса спокою – це не те саме, що повна енергія
Рівняння \(E_0=mc^2\) задає енергію спокою. Для об’єкта, який рухається зі швидкістю \(v\), повна енергія дорівнює
\[ E=\gamma mc^2, \]
а його кінетична енергія дорівнює
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]
Тут \(m\) залишається інваріантною масою спокою об’єкта. Множник \(\gamma\) змінює повну енергію об’єкта, а не його інваріантну масу.
У деяких старіших викладах використовують термін релятивістська маса для величини \(\gamma m\). У сучасній фізиці зазвичай вважають масу інваріантною, а збільшення енергії описують через енергію та імпульс.
Наприклад, фотони мають енергію та імпульс, хоча їхня маса спокою дорівнює нулю. Тому \(E=mc^2\) не слід тлумачити так, ніби кожна форма енергії обов’язково належить частинці з ненульовою масою спокою.
Розв’язаний приклад: обчислення енергії за різницею мас
Нерухоме джерело випромінює радіацію, і його маса спокою зменшується на \(0.50\text{ mg}\). Припускаючи, що вся ця різниця мас відповідає енергії, яку забирає випромінювання, оцініть вивільнену енергію.
Крок 1
\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]
Крок 2
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]
Крок 3
Вивільнена енергія становить \(4.5\times10^{10}\text{ J}\). Різниця мас лише \(0.50\text{ mg}\) відповідає величезній кількості енергії.
Маса спокою джерела, що залишилося, зменшилася, але енергія не зникла. Якщо врахувати випромінювання, яке вийшло із системи, загальний енергетичний баланс залишається узгодженим.
06Як вибрати потрібне співвідношення
Найнадійніший спосіб розв’язати задачу зі спеціальної теорії відносності – спочатку визначити, що саме вимірюють, і лише потім вибирати формулу.
| Що описує умова задачі | Відповідне співвідношення | Що потрібно перевірити перед підстановкою |
|---|---|---|
| Час між двома поділками рухомого годинника | \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\) | Чи відбуваються обидві події в одному місці в системі відліку, де годинник перебуває в стані спокою? |
| Довжина об’єкта, що рухається відносно спостерігача | \(L=L_0/\gamma\) | Чи є \(L_0\) власною довжиною, і чи виміряно положення обох кінців одночасно в системі відліку спостерігача? |
| Дві події в різних місцях | Відносність одночасності | Чи відбуваються події в різних місцях у системі відліку, у якій порівнюють їхній час? |
| Зміна енергії спокою системи | \(\Delta E_0=\Delta m c^2\) | Яку саме систему розглядають і куди поділася енергія? |
Чотири перевірки допомагають уникнути багатьох поширених помилок:
- Перевірте лоренцівський множник. Для \(0\leq v<c\) виконується \(\gamma\geq1\).
- Перевірте, про які події йдеться. Сповільнення часу – це не правило для будь-якої пари подій. Важливо, чи виконується умова для власного часу.
- Перевірте спосіб вимірювання. Скорочення довжини відбувається вздовж напрямку руху, а вимірювання довжини потребує одночасної фіксації положень обох кінців у системі відліку, де проводять вимірювання.
- Перевірте енергетичний баланс. Зменшення маси спокою одного об’єкта не означає, що повна енергія замкнутої системи зникла.
07Запитання та розв’язання
Запитання 1
Годинник, закріплений на зонді, вимірює \(3.0\text{ s}\) між двома поділками. Зонд рухається відносно лабораторії зі швидкістю \(0.60c\).
Обчисліть часовий інтервал, який лабораторія приписує цим самим двом поділкам.
Розв’язання 1
Лабораторія приписує подіям інтервал \(3.75\text{ s}\), або \(3.8\text{ s}\) з точністю до двох значущих цифр.
Бортовий годинник вимірює власний час, оскільки обидві події, що відповідають поділкам, відбуваються в одному й тому самому місці в системі відліку спокою зонда.
Крок 1: Обчисліть лоренцівський множник.
\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]
Крок 2: Застосуйте формулу сповільнення часу.
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]
Лабораторія вимірює довший інтервал, ніж бортовий годинник зонда. Результат узгоджується зі сповільненням часу.
Запитання 2
Власна довжина зонда становить \(80\text{ m}\). Довжина ангара – \(60\text{ m}\) у власній системі відліку спокою. Зонд пролітає повз ангар зі швидкістю \(0.80c\).
Інженер стверджує, що зонд може повністю поміститися всередині ангара в один момент часу, оскільки його скорочена довжина менша за довжину ангара. Пілот стверджує, що це неможливо, оскільки в системі відліку пілота ангар коротший за зонд.
Припустімо, що ідеальні двері можуть відчинятися й зачинятися миттєво, а пошкодження матеріалів можна не враховувати.
Чи правильні обчислення довжини в обох спостерігачів? Чи може зонд повністю опинитися всередині ангара в один момент часу? Поясніть, як узгоджуються ці два описи.
Розв’язання 2
Обидва обчислення довжини правильні. Розбіжність стосується того, чи може зонд бути повністю всередині ангара в один момент часу, оскільки одночасність залежить від системи відліку.
Крок 1: Обчисліть лоренцівський множник.
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Крок 2: Обчисліть довжину зонда в системі відліку ангара.
Власна довжина зонда дорівнює \(L_0=80\text{ m}\).
\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]
Оскільки \(48\text{ m}<60\text{ m}\), інженер має рацію: зонд може повністю поміститися всередині ангара в один момент часу за годинниками ангара, якщо він розташований належним чином.
Крок 3: Обчисліть довжину ангара в системі відліку зонда.
Власна довжина ангара становить \(60\text{ m}\). У системі відліку зонда ангар рухається, тому його виміряна довжина дорівнює
\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]
Пілот також має рацію: довжина рухомого ангара в системі відліку зонда становить лише \(36\text{ m}\), тоді як власна довжина зонда залишається \(80\text{ m}\).
Крок 4: Розв’яжіть уявну суперечність.
Вислів «повністю всередині в один момент часу» означає, що положення обох кінців зонда перебувають усередині ангара одночасно в певній заданій системі відліку.
У системі відліку ангара існує момент, коли обидва кінці зонда перебувають усередині. У системі відліку зонда не існує моменту, коли весь зонд завдовжки \(80\text{ m}\) поміщається в ангар завдовжки \(36\text{ m}\).
Ключовий момент полягає в тому, що дві події зачинення дверей, одночасні в системі відліку ангара, не є одночасними в системі відліку зонда. Спостерігачі не описують ту саму пару одночасних подій. Жоден із цих описів не вимагає, щоб зонд фізично руйнувався або стискався у власній системі відліку спокою.
Запитання 3
Маса спокою зв’язаного ядра на \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) менша за сумарну масу спокою його окремих нуклонів.
Припустімо, що обидва стани порівнюють у стані спокою, а енергія, вивільнена під час утворення зв’язку, виходить із ядра.
Обчисліть енергію зв’язку, що вивільняється, у джоулях, і поясніть, чому менша маса спокою кінцевого ядра не порушує закон збереження енергії.
Розв’язання 3
Енергія зв’язку, еквівалентна різниці мас, становить \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). Менша маса спокою узгоджується із законом збереження енергії, оскільки вивільнена енергія залишає систему.
Крок 1: Визначте різницю мас.
Модуль дефекту маси дорівнює
\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]
Крок 2: Застосуйте еквівалентність маси й енергії.
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]
Крок 3: Поясніть енергетичний баланс.
Енергія спокою зв’язаного ядра менша за енергію спокою окремих нуклонів. Різниця відповідає енергії, вивільненій під час утворення зв’язку, наприклад випромінюванню або кінетичній енергії, яку забирають інші продукти реакції.
Кінцеве ядро має меншу масу спокою, оскільки енергія залишила ядро. Якщо врахувати вивільнену енергію, повна енергія зберігається.
Запитання 4
Маса спокою космічного корабля, визначена як інваріантна маса, становить \(1.0\text{ kg}\). Він рухається відносно Землі зі швидкістю \(0.80c\).
Учень обчислює \(\gamma=1.67\) і стверджує, що маса космічного корабля збільшилася до \(1.67\text{ kg}\).
Використовуючи формули
\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]
обчисліть енергію спокою, повну енергію та кінетичну енергію космічного корабля. Оцініть твердження учня.
Розв’язання 4
Енергія спокою дорівнює \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), повна енергія – \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), а кінетична енергія – \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Відповідно до підходу з інваріантною масою, маса спокою космічного корабля залишається \(1.0\text{ kg}\).
Крок 1: Обчисліть енергію спокою.
Маса спокою дорівнює \(m=1.0\text{ kg}\).
\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Крок 2: Обчисліть повну енергію.
\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]
Крок 3: Обчисліть кінетичну енергію.
\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Результати узгоджуються, оскільки повна енергія є сумою енергії спокою та кінетичної енергії:
\[ E=E_0+K. \]
Крок 4: Оцініть твердження учня.
Учень правильно визначив, що множення енергії спокою на \(\gamma\) дає повну енергію. Помилка полягає в тому, що цей множник тлумачиться як збільшення інваріантної маси спокою.
Кінетична енергія космічного корабля збільшується зі швидкістю, але його інваріантна маса спокою залишається \(1.0\text{ kg}\). Ця відмінність важлива в задачах, де еквівалентність маси й енергії поєднується з енергією рухомого об’єкта.
Запитання 5
Довжина платформи в її власній системі відліку \(S\) становить \(600\text{ m}\). На її кінцях розташовані дві лампи, A і B: лампа A – у точці \(x=0\), а лампа B – у точці \(x=+600\text{ m}\). У системі відліку \(S\) вони спалахують одночасно в момент \(t=0\).
Кожен спалах породжує світловий імпульс, спрямований до середини платформи. У системі відліку \(S\) два імпульси зустрічаються в середині платформи.
Власна система відліку ракети \(S'\) рухається в додатному напрямку осі \(x\) зі швидкістю \(0.80c\) відносно \(S\).
У цій задачі використовуйте співвідношення для перетворення координати часу
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
де \(\Delta t=t_B-t_A\) і \(\Delta x=x_B-x_A\) виміряні в системі відліку \(S\).
(a) Який спалах відбувається раніше в системі відліку \(S'\) і на скільки?
(b) Довжина платформи в системі відліку \(S'\) становить \(360\text{ m}\). Учень стверджує, що різниця часу між спалахами обов’язково дорівнює \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Поясніть точну помилку.
(c) Чи обов’язково два світлові імпульси й далі зустрічаються в тій самій події в системі відліку \(S'\)? Поясніть, як це можливо, навіть якщо спалахи вже не є одночасними.
Розв’язання 5
У системі відліку \(S'\) спалах B відбувається раніше за спалах A на \(2.67\,\mu\text{s}\). Імпульси все одно зустрічаються в тій самій події, оскільки всі інерціальні системи відліку погоджуються щодо точки перетину двох світлових імпульсів, навіть якщо вони приписують різний час подіям випромінювання.
Крок 1: Обчисліть лоренцівський множник і визначте різниці координат подій.
Відносна швидкість дорівнює \(v=0.80c\), тому
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]
У системі відліку \(S\) спалахи одночасні, а координата положення B більша. Отже,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]
Крок 2: Обчисліть різницю часу в системі відліку \(S'\).
Підставте значення в задане співвідношення для перетворення координати часу:
\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]
Від’ємний результат означає, що \(t'_B<t'_A\). У системі відліку ракети спалах B відбувається на \(2.67\,\mu\text{s}\) раніше за спалах A.
Крок 3: Поясніть, чому обчислення \(360\text{ m}/c\) неправильне.
Обчислення учня дає
\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]
Арифметика правильна, але вона відповідає не на те запитання.
Величина \(360\text{ m}\) – це довжина платформи, виміряна в системі відліку \(S'\) шляхом одночасного вимірювання положень обох її кінців за часом ракети. Дві події спалахів не є одночасними в системі відліку \(S'\), тому їхні координати положення не можна вважати кінцями відрізка, довжину якого вимірюють за умови одночасності.
Різниця часу між двома подіями загалом не дорівнює виміряній довжині, поділеній на \(c\). Учень поєднав довжину, виміряну за одночасними положеннями кінців, із двома подіями, які відбуваються в різний час у тій самій системі відліку.
Крок 4: Поясніть, чому імпульси все одно зустрічаються.
У системі відліку \(S\) кожен імпульс проходить \(300\text{ m}\) до середини платформи. Отже, подія зустрічі відбувається в момент
\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]
Це одна подія в просторі-часі. Усі інерціальні системи відліку погоджуються, що обидва імпульси зустрічаються саме в цій події, хоча координати, які вони їй приписують, відрізняються.
Можна перевірити час у системі відліку ракети. Застосування заданого співвідношення між спалахом A і подією зустрічі дає
\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Спалах A відбувається в момент \(t'_A=0\), тому в системі відліку ракети його імпульс досягає події зустрічі за \(0.333\,\mu\text{s}\) координатного часу.
Спалах B відбувається в момент \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), тому його імпульс досягає тієї самої події за
\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s}. \]
Різні моменти випромінювання та тривалості поширення узгоджуються з тим, що обидва імпульси зустрічаються в одній події. Помилкою було б припускати, що одночасне випромінювання в одній системі відліку має залишатися одночасним у кожній системі відліку.
Наступний корисний крок – навчитися зображати події на діаграмі простору-часу. Під час розв’язування задач HSC спочатку визначте систему відліку й з’ясуйте, чи відбуваються події в одному місці в цій системі. Це допоможе вибрати між сповільненням часу, скороченням довжини та відносністю одночасності ще до початку обчислень.