HSC فزکس کے لیے خصوصی نظریۂ اضافیت: واضح رہنما | tutorgum

ایک خلائی جہاز زمین کے پاس سے \(0.80c\) کی رفتار سے گزرتا ہے۔ زمین کے مطابق، خلائی جہاز کی گھڑی کی دو ٹکوں کے درمیان وقت کا وقفہ اتنا زیادہ ہے جتنا خلاباز خود ناپتا ہے، اس سے مختلف ہے: زمین اس وقفے کو خلاباز کی نسبت زیادہ طویل قرار دیتی ہے۔ دوسری طرف، خلاباز کا کہنا ہے کہ زمین کی گھڑیاں سست چلتی ہیں۔ آگے پڑھنے سے پہلے پیش گوئی کریں: کیا ان میں سے ایک ناظر محض غلط ہے؟ نہیں۔ دونوں مختلف جمودی فریم استعمال کرتے ہیں، اور یہ اختلاف اس بات سے پیدا ہوتا ہے کہ زیادہ رفتار پر وقت اور جگہ کی پیمائش کیسے کی جاتی ہے۔

01حوالہ جاتی فریم: ہر ناظر حقیقتاً کیا پیمائش کر رہا ہے؟

حوالہ جاتی فریم ایک محدداتی نظام ہے جس کے ذریعے واقعات کی جگہ اور وقت متعین کیے جاتے ہیں۔ اسے پیمائشی خط کشوں اور باہم ہم وقت کی گئی گھڑیوں کے ایک نیٹ ورک کی مدد سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔

جمودی فریم ایسا فریم ہے جو نہ تعجیل کر رہا ہو اور نہ گردش۔ اس رہنما میں فرض کریں کہ کششِ ثقل کے اثرات قابلِ نظرانداز ہیں اور جب بھی خلائی جہاز اور زمین کا موازنہ کیا جائے، وہ ایک دوسرے کے مقابل مستقل رفتار سے حرکت کر رہے ہیں۔

روزمرہ زندگی میں ہم عموماً وقت کو یوں سمجھ سکتے ہیں جیسے وہ سب کے لیے یکساں ہو۔ اگر دو واقعات آپ کے لیے ایک ہی وقت پر پیش آئیں، تو آپ توقع کرتے ہیں کہ وہ باقی سب لوگوں کے لیے بھی اسی وقت پیش آئیں گے۔

خصوصی نظریۂ اضافیت اس مفروضے کو چیلنج کرتا ہے۔ اس کی بنیاد دو اصولوں پر ہے:

• طبیعیات کے قوانین ہر جمودی فریم میں یکساں ہوتے ہیں۔
• ہر جمودی ناظر خلا میں روشنی کی رفتار یکساں ناپتا ہے، خواہ روشنی کا منبع یا ناظر حرکت کر رہا ہو یا نہیں۔

روشنی کی رفتار یہ ہے:

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

فرض کریں کہ آپ روشنی کی ایک شعاع کی طرف حرکت کرتے ہیں۔ ممکن ہے آپ توقع کریں کہ اس کی رفتار \(c+v\) ناپیں گے، جہاں \(v\) شعاع کی طرف آپ کی رفتار ہے۔ لیکن ایسا نہیں ہوتا۔ آپ پھر بھی \(c\) ہی ناپتے ہیں۔

اس اصول کے درست ہونے کے لیے، ایک دوسرے کے مقابل حرکت کرنے والے ناظر ہمیشہ وقت کے وقفوں، لمبائیوں، یا اس بات پر متفق نہیں ہو سکتے کہ دور دراز کے کون سے واقعات بیک وقت پیش آئے۔

یہ اس بات سے متعلق نہیں کہ ان کی آنکھیں کیا دیکھتی ہیں۔ اضافیتی پیمائشوں میں ہم وقت کی گئی گھڑیاں استعمال ہوتی ہیں اور روشنی کو سفر کرنے میں لگنے والے وقت کا حساب رکھا جاتا ہے۔ اس تصحیح کے بعد بھی اختلاف باقی رہتا ہے۔

02ہم زمانی: دو واقعات مختلف فریموں میں مختلف اوقات پر پیش آ سکتے ہیں

تصور کریں کہ ایک طویل پلیٹ فارم کے دونوں سروں پر دو لیمپ، A اور B، لگے ہوئے ہیں۔ پلیٹ فارم کے ساتھ سکون میں موجود گھڑیاں باہم ہم وقت کی گئی ہیں، اور دونوں لیمپ پلیٹ فارم کے وقت \(t=0\) پر چمکتے ہیں۔

آگے پڑھنے سے پہلے پیش گوئی کریں: کیا پلیٹ فارم کے پاس سے گزرنے والا راکٹ لازماً اس بات سے اتفاق کرے گا کہ دونوں چمکیں بیک وقت ہوئیں؟

نہیں۔ راکٹ دونوں چمکوں کے لیے مختلف اوقات مقرر کر سکتا ہے۔

بیک وقت ہونے کا مطلب یہ ہے کہ کسی مخصوص فریم میں دو واقعات کے زمانی محددات یکساں ہوں۔ اس کا یہ مطلب خود بخود نہیں کہ ہر جمودی فریم ان کے لیے ایک ہی وقت مقرر کرے گا۔

صورتِ حال کو واضح کرنے کے لیے فرض کریں کہ:

• لیمپ A، \(x=0\) پر ہے۔
• لیمپ B، \(x=600\text{ m}\) پر ہے۔
• پلیٹ فارم، فریم \(S\) میں سکون کی حالت میں ہے۔
• راکٹ کا فریم \(S'\)، فریم \(S\) کے مقابل مثبت \(x\)-سمت میں \(v\) رفتار سے حرکت کرتا ہے۔

پلیٹ فارم کے فریم میں دونوں چمکیں بیک وقت ہوتی ہیں۔ راکٹ کے فریم میں، B کی چمک A کی چمک سے پہلے ہوتی ہے۔

یہ ترتیب کیوں ہے؟ ان دو واقعات کے لیے زمانی محددات کی تبدیلی کا تعلق یہ ہے:

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

جہاں

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

یہاں \(\Delta t=t_B-t_A\) اور \(\Delta x=x_B-x_A\)، فریم \(S\) میں ناپے گئے وقت اور مقام کے فرق ہیں۔ پرائم والی زمانی مقدار کا فرق فریم \(S'\) میں ناپا جاتا ہے، جو فریم \(S\) کے مقابل مثبت \(x\)-سمت میں حرکت کرتا ہے۔

پلیٹ فارم پر بیک وقت ہونے والی چمکوں کے لیے،

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

لہٰذا،

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

منفی علامت بتاتی ہے کہ راکٹ کے فریم میں B کی چمک پہلے ہوتی ہے۔

ایک اہم وضاحت: کسی ناظر کو دو چمکیں موصول ہونے کی ترتیب بذاتِ خود ان واقعات کے اوقات کا ثبوت نہیں ہے۔ روشنی کو ناظر تک پہنچنے میں وقت لگتا ہے، اور دونوں فاصلوں میں فرق ہو سکتا ہے۔ ہم زمانی کی اضافیت سے مراد وہ اوقات ہیں جو روشنی کے سفر کے وقت کو مدِنظر رکھنے کے بعد ہم وقت کی گئی گھڑیوں کے ذریعے مقرر کیے جاتے ہیں۔

یہ فرق اس وقت خاص طور پر مفید ہوتا ہے جب کسی سوال میں ایک ہی گھڑی کی دو ٹکوں کے بجائے دو دور دراز واقعات شامل ہوں۔

03وقت کا پھیلاؤ: حرکت کرتی گھڑی کے ٹکوں کے درمیان ناپا گیا وقفہ زیادہ ہوتا ہے

اب ایک ہی گھڑی کے دو ٹکوں پر غور کریں، جو خلائی جہاز کے ساتھ نصب ہے۔

یہ دونوں ٹک خلائی جہاز کے سکونی فریم میں ایک ہی مقام پر واقع ہوتے ہیں۔ اس گھڑی سے ناپے گئے وقت کے وقفے کو ذاتی وقت کہا جاتا ہے، جسے \(\Delta\tau\) سے ظاہر کرتے ہیں۔

ایک دوسرے جمودی فریم میں موجود ناظر، جہاں خلائی جہاز \(v\) رفتار سے حرکت کر رہا ہو، انہی دو واقعات کے لیے زیادہ طویل زمانی وقفہ مقرر کرتا ہے۔ اسے وقت کا پھیلاؤ کہتے ہیں۔

اس کا مساواتی تعلق یہ ہے:

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

جہاں:

• \(\Delta t\) وہ زمانی وقفہ ہے جو اس فریم میں ناپا جاتا ہے جہاں گھڑی حرکت کر رہی ہو۔
• \(\Delta\tau\) وہ ذاتی وقت ہے جو گھڑی اپنے سکونی فریم میں ناپتی ہے۔
• \(\gamma\) لورینٹز عامل ہے۔
• \(v\) دونوں فریموں کے درمیان نسبتی رفتار ہے۔
• \(c\) روشنی کی رفتار ہے۔

چونکہ \(\gamma\geq1\)، اس لیے حرکت کرتی گھڑی کے ٹکوں کا وقفہ اس کے ذاتی زمانی وقفے سے کبھی کم نہیں ہوتا۔

مثال کے طور پر، جب \(v=0.80c\) ہو،

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

دوسرے فریم میں ناپا گیا وقفہ، گھڑی کے اپنے وقفے سے \(1.67\) گنا زیادہ ہوتا ہے۔

دونوں ناظرین کیوں کہہ سکتے ہیں کہ دوسرے کی گھڑی سست چلتی ہے؟

یہ بات متضاد محسوس ہوتی ہے، لیکن دونوں ناظرین دونوں گھڑیوں کے ٹکوں کے ایک ہی جوڑے کا براہِ راست موازنہ نہیں کر رہے ہوتے۔

زمین، خلائی جہاز کے ٹکوں کے اوقات مقرر کرنے کے لیے اپنی ہم وقت کی گئی گھڑیوں کا نیٹ ورک استعمال کرتی ہے۔ خلاباز زمین کی دور دراز گھڑیوں کے ٹکوں کے اوقات مقرر کرنے کے لیے ایک مختلف ہم وقت نیٹ ورک استعمال کرتا ہے۔ چونکہ ہم زمانی کا انحصار فریم پر ہوتا ہے، اس لیے ان دونوں موازنوں میں دور دراز واقعات کے لیے ایک جیسے زمانی تعینات استعمال نہیں ہوتے۔

اگر خلاباز مڑ کر بعد میں دوبارہ زمین سے آ ملے، تو صورتِ حال پھر بدل جاتی ہے۔ سفر میں جمودی فریم کی تبدیلی شامل ہوتی ہے، اس لیے دونوں ناظرین کے مکمل سفر اب ایک دوسرے کے مساوی نہیں رہتے۔ ان کے ذاتی وقت کی مجموعی مقداریں مختلف ہو سکتی ہیں۔

بنیادی اصول سادہ ہے: وقت کا پھیلاؤ انہی دو واقعات پر لاگو ہوتا ہے، اور ذاتی وقت کا وقفہ اس فریم میں ناپا جاتا ہے جہاں یہ دونوں واقعات ایک ہی مقام پر واقع ہوں۔

04لمبائی کا سکڑاؤ: حرکت کرتی چیز کی ناپی گئی لمبائی بدل جاتی ہے

وقت کا پھیلاؤ واقعات کے درمیان وقفے سے متعلق ہے۔ لمبائی کا سکڑاؤ کسی جسم کے دونوں سروں کے درمیان فاصلے سے متعلق ہے۔

تصور کریں کہ ایک خلائی جہاز سکون میں ہے۔ آپ خط کش کی مدد سے اس کی لمبائی ناپتے ہیں اور \(150\text{ m}\) حاصل کرتے ہیں۔ یہ اس کی ذاتی لمبائی، \(L_0\)، ہے کیونکہ پیمائش خلائی جہاز کے سکونی فریم میں کی گئی ہے۔

اب فرض کریں کہ خلائی جہاز تیز رفتار سے زمین کے پاس سے گزرتا ہے۔ زمین اس کی لمبائی ناپنے کے لیے اس کے اگلے اور پچھلے سرے کے مقامات ایک ہی زمینی وقت پر ریکارڈ کرتی ہے۔

یہ آخری شرط اہم ہے۔ کسی مخصوص فریم میں لمبائی ناپنے کے لیے، دونوں سروں کے مقامات اسی فریم میں بیک وقت ریکارڈ کرنا ضروری ہے۔

حرکت کرتے خلائی جہاز کی ناپی گئی لمبائی یہ ہے:

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

یا مساوی طور پر،

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

جہاں:

• \(L\) وہ لمبائی ہے جو اس فریم میں ناپی جاتی ہے جس میں جسم حرکت کر رہا ہو۔
• \(L_0\) جسم کی ذاتی لمبائی ہے، جو اس کے سکونی فریم میں ناپی جاتی ہے۔
• \(v\) پیمائش کرنے والے فریم کے مقابل جسم کی رفتار ہے۔
• \(\gamma\) لورینٹز عامل ہے۔

صرف حرکت کی سمت کے متوازی بُعد میں سکڑاؤ ہوتا ہے۔ اس لمبائی کے سکڑاؤ کے تعلق کے مطابق، جسم کے عمودی بُعد تبدیل نہیں ہوتے۔

ایک عام غلطی یہ تصور کرنا ہے کہ خلائی جہاز کو خود محسوس ہوتا ہے جیسے اسے جسمانی طور پر دبا کر چھوٹا کر دیا گیا ہو۔ ایسا نہیں ہے۔ وہ اپنے سکونی فریم میں اپنی لمبائی کم نہیں ناپتا۔ یہ فرق اس لیے پیدا ہوتا ہے کہ مختلف فریموں میں لمبائی کی پیمائش کے لیے سروں کے مقامات کے مختلف مجموعے استعمال ہوتے ہیں، جنہیں متعلقہ فریم میں بیک وقت ناپا جاتا ہے۔

05کمیت اور توانائی: \(E=mc^2\) کا اصل مطلب کیا ہے؟

ایک ایسی صورت پر غور کریں جس میں الگ الگ پروٹون اور نیوٹران مل کر ایک مرکزہ بناتے ہیں۔ مرکزہ بننے کے بعد، اس کی سکونی کمیت ان الگ ذرات کی مجموعی سکونی کمیت سے قدرے کم ہوتی ہے۔

کیا کچھ مادہ محض غائب ہو گیا ہے؟

نہیں۔ نظام نے توانائی خارج کی ہے، اور خارج ہونے والی توانائی کو حساب میں شامل کرنا ضروری ہے۔ کمیت اور توانائی آپس میں متعلق ہیں۔

کسی جسم کی سکونی توانائی یہ ہے:

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

جہاں:

• \(E_0\) سکونی توانائی ہے۔
• \(m\) ناوردہ، یا سکونی، کمیت ہے۔
• \(c\) روشنی کی رفتار ہے۔

سکونی کمیت میں تبدیلی کے لیے سکونی توانائی میں متعلقہ تبدیلی یہ ہوگی:

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

عامل \(c^2\) بہت بڑا ہے۔ محض \(1.0\text{ g}\) کے کمیتی فرق کے مطابق سکونی توانائی کا فرق یہ ہے:

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

کمیت کے ایک معمولی فرق کے مقابلے میں یہ توانائی کی بہت بڑی مقدار ہے۔

جب توانائی کسی نظام میں داخل ہوتی ہے یا اس سے خارج ہوتی ہے تو کیا بدلتا ہے؟

اگر کسی نظام سے توانائی خارج ہو جائے، تو باقی رہ جانے والے نظام کی سکونی کمیت کم ہو سکتی ہے۔ اگر کسی نظام میں توانائی شامل کی جائے اور وہ اندرونی طور پر برقرار رہے، تو اس کی سکونی کمیت بڑھ جاتی ہے، بشرطیکہ نظام کا موازنہ پہلے اور بعد کی سکون کی حالتوں میں کیا جائے۔

اس کا مطلب یہ نہیں کہ کمیت گھٹنے پر توانائی تباہ ہو جاتی ہے۔ ایک الگ تھلگ نظام میں کل توانائی محفوظ رہتی ہے۔ ممکن ہے توانائی تابکاری یا حرکی توانائی کی صورت میں باقی ماندہ جسم سے نکل گئی ہو، لیکن وہ پھر بھی موجود ہوتی ہے۔

ایک مقید مرکزہ اس کی مفید مثال ہے۔ اس کے الگ الگ نیوکلیونز کی مجموعی سکونی کمیت اور مقید مرکزے کی سکونی کمیت کے درمیان فرق کو کمیتی نقص کہا جاتا ہے۔ توانائی میں اس کے مساوی فرق کو بندشی توانائی کہتے ہیں۔

ایک ضروری وضاحت: سکونی کمیت، کل توانائی کے برابر نہیں ہوتی

مساوات \(E_0=mc^2\) سکونی توانائی دیتی ہے۔ رفتار \(v\) سے حرکت کرتے جسم کی کل توانائی یہ ہے:

\[ E=\gamma mc^2, \]

اور اس کی حرکی توانائی یہ ہے:

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

یہاں \(m\) بدستور جسم کی ناوردہ سکونی کمیت ہے۔ عامل \(\gamma\) جسم کی کل توانائی کو تبدیل کرتا ہے، اس کی ناوردہ کمیت کو نہیں۔

کچھ پرانی نصابی تشریحات میں \(\gamma m\) کے لیے اضافیتی کمیت کی اصطلاح استعمال کی جاتی ہے۔ جدید طریقۂ استعمال میں عموماً کمیت کو ناوردہ رکھا جاتا ہے اور اس اضافے کو کمیت کے بجائے توانائی اور مومینٹم کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے۔

مثال کے طور پر، فوٹون صفر سکونی کمیت رکھنے کے باوجود توانائی اور مومینٹم رکھتے ہیں۔ لہٰذا \(E=mc^2\) کی یہ تشریح نہیں کرنی چاہیے کہ توانائی کی ہر شکل لازماً کسی غیر صفر سکونی کمیت والے ذرّے سے تعلق رکھتی ہے۔

06درست تعلق کا انتخاب

خصوصی نظریۂ اضافیت کے کسی سوال کو حل کرنے کا سب سے قابلِ اعتماد طریقہ یہ ہے کہ فارمولا منتخب کرنے سے پہلے شناخت کریں کہ کیا چیز ناپی جا رہی ہے۔

چار جانچیں بہت سی عام غلطیوں سے بچاتی ہیں:

• لورینٹز عامل کی جانچ کریں۔ \(0\leq v<c\) کے لیے، \(\gamma\geq1\) ہوتا ہے۔
• واقعات کی جانچ کریں۔ وقت کا پھیلاؤ ہر دو واقعات کے لیے لاگو ہونے والا اصول نہیں ہے۔ ذاتی وقت کی شرط اہم ہے۔
• پیمائش کی جانچ کریں۔ لمبائی کا سکڑاؤ حرکت کی سمت میں لاگو ہوتا ہے، اور لمبائی ناپنے کے لیے پیمائش کرنے والے فریم میں دونوں سروں کے مقامات بیک وقت معلوم کرنا ضروری ہے۔
• توانائی کے حساب کی جانچ کریں۔ کسی ایک جسم کی سکونی کمیت میں کمی کا مطلب یہ نہیں کہ ایک الگ تھلگ نظام کی کل توانائی غائب ہو گئی ہے۔

07سوالات اور حل

سوال 1

ایک پروب کے ساتھ نصب گھڑی دو ٹکوں کے درمیان \(3.0\text{ s}\) ناپتی ہے۔ پروب ایک تجربہ گاہ کے مقابل \(0.60c\) کی رفتار سے حرکت کر رہا ہے۔

اسی دو ٹکوں کے لیے تجربہ گاہ کے مقرر کردہ زمانی وقفے کا حساب لگائیں۔

حل 1

تجربہ گاہ \(3.75\text{ s}\) کا وقفہ مقرر کرتی ہے، یا دو اہم ہندسوں تک \(3.8\text{ s}\)۔

اندرونی گھڑی ذاتی وقت ناپتی ہے کیونکہ دونوں ٹک پروب کے سکونی فریم میں ایک ہی مقام پر واقع ہوتے ہیں۔

مرحلہ 1: لورینٹز عامل کا حساب لگائیں۔

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

مرحلہ 2: وقت کے پھیلاؤ کا تعلق استعمال کریں۔

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

تجربہ گاہ پروب کی گھڑی کے مقابلے میں زیادہ طویل وقفہ ناپتی ہے۔ یہ نتیجہ وقت کے پھیلاؤ کے اصول سے مطابقت رکھتا ہے۔

سوال 2

ایک پروب کی ذاتی لمبائی \(80\text{ m}\) ہے۔ ایک ہینگر کی لمبائی اس کے اپنے سکونی فریم میں \(60\text{ m}\) ہے۔ پروب ہینگر کے پاس سے \(0.80c\) کی رفتار سے گزرتا ہے۔

ایک انجینئر کا استدلال ہے کہ پروب ایک لمحے کے لیے مکمل طور پر ہینگر کے اندر سما سکتا ہے، کیونکہ اس کی سکڑی ہوئی لمبائی ہینگر کی لمبائی سے کم ہے۔ پائلٹ کا استدلال ہے کہ ایسا ناممکن ہے، کیونکہ پائلٹ کے فریم میں ہینگر، پروب سے چھوٹا ہے۔

فرض کریں کہ مثالی دروازے فوری طور پر کھل اور بند ہو سکتے ہیں، اور مادی نقصان کو نظرانداز کریں۔

کیا دونوں ناظرین کی لمبائی کی پیمائشیں درست ہیں؟ کیا پروب ایک ہی لمحے میں مکمل طور پر ہینگر کے اندر ہو سکتا ہے؟ وضاحت کریں کہ دونوں بیانات میں مطابقت کیسے پیدا ہوتی ہے۔

حل 2

لمبائی کی دونوں پیمائشیں درست ہیں۔ اختلاف اس بات پر ہے کہ آیا پروب ایک ہی لمحے میں مکمل طور پر ہینگر کے اندر ہے، کیونکہ ہم زمانی کا انحصار فریم پر ہوتا ہے۔

مرحلہ 1: لورینٹز عامل کا حساب لگائیں۔

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

مرحلہ 2: ہینگر کے فریم میں پروب کی لمبائی کا حساب لگائیں۔

پروب کی ذاتی لمبائی \(L_0=80\text{ m}\) ہے۔

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

چونکہ \(48\text{ m}<60\text{ m}\)، اس لیے انجینئر کا یہ کہنا درست ہے کہ پروب کسی ایک ہینگر-فریم لمحے میں مکمل طور پر ہینگر کے اندر سما سکتا ہے، بشرطیکہ اسے مناسب مقام پر رکھا گیا ہو۔

مرحلہ 3: پروب کے فریم میں ہینگر کی لمبائی کا حساب لگائیں۔

ہینگر کی ذاتی لمبائی \(60\text{ m}\) ہے۔ پروب کے فریم میں ہینگر حرکت کر رہا ہے، اس لیے اس کی ناپی گئی لمبائی یہ ہوگی:

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

پائلٹ بھی درست ہے: حرکت کرتے ہینگر کی لمبائی پروب کے فریم میں صرف \(36\text{ m}\) ہے، جبکہ پروب کی ذاتی لمبائی \(80\text{ m}\) برقرار رہتی ہے۔

مرحلہ 4: بظاہر تضاد کو حل کریں۔

جملے “ایک ہی لمحے میں مکمل طور پر اندر” کا مطلب یہ ہے کہ پروب کے دونوں سروں کے مقامات ایک مخصوص فریم میں ایک ہی وقت پر ہینگر کے اندر ہوں۔

ہینگر کے فریم میں ایک ایسا لمحہ موجود ہے جب دونوں سرے اندر ہوتے ہیں۔ پروب کے فریم میں ایسا کوئی لمحہ نہیں جب پوری \(80\text{ m}\) لمبائی والا پروب، \(36\text{ m}\) لمبائی کے ہینگر میں سما سکے۔

اہم نکتہ یہ ہے کہ ہینگر کے فریم میں دروازوں کے بند ہونے کے دونوں واقعات بیک وقت ہوتے ہیں، لیکن پروب کے فریم میں بیک وقت نہیں ہوتے۔ ناظرین بیک وقت ہونے والے واقعات کے ایک ہی جوڑے کو بیان نہیں کر رہے۔ کسی بھی بیان کے مطابق یہ ضروری نہیں کہ پروب اپنے سکونی فریم میں جسمانی طور پر تباہ ہو جائے یا دب کر چھوٹا ہو جائے۔

سوال 3

ایک مقید مرکزے کی سکونی کمیت، اس کے الگ الگ نیوکلیونز کی مجموعی سکونی کمیت سے \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) کم ہے۔

فرض کریں کہ دونوں حالتوں کا موازنہ سکون کی حالت میں کیا گیا ہے اور بندش کے دوران خارج ہونے والی توانائی مرکزے سے باہر نکل جاتی ہے۔

خارج ہونے والی بندشی توانائی کا جول میں حساب لگائیں اور وضاحت کریں کہ آخری مرکزے کی کم سکونی کمیت، توانائی کے بقائے قانون کی خلاف ورزی کیوں نہیں کرتی۔

حل 3

کمیت کے فرق کے مساوی بندشی توانائی \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\) ہے۔ سکونی کمیت کا کم ہونا توانائی کے بقائے قانون سے مطابقت رکھتا ہے، کیونکہ خارج ہونے والی توانائی نظام سے باہر نکل جاتی ہے۔

مرحلہ 1: کمیت کے فرق کی شناخت کریں۔

کمیتی نقص کی مقدار یہ ہے:

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

مرحلہ 2: کمیت اور توانائی کی مساوات استعمال کریں۔

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

مرحلہ 3: توانائی کے حساب کی وضاحت کریں۔

مقید مرکزے کی سکونی توانائی، الگ الگ نیوکلیونز کی سکونی توانائی سے کم ہوتی ہے۔ یہ فرق بندش کے دوران خارج ہونے والی توانائی کی صورت میں ظاہر ہوتا ہے، مثلاً تابکاری یا دیگر پیداوار کے ساتھ خارج ہونے والی حرکی توانائی۔

آخری مرکزے کی سکونی کمیت کم ہوتی ہے کیونکہ توانائی مرکزے سے باہر نکل چکی ہوتی ہے۔ خارج ہونے والی توانائی کو بھی شامل کرنے پر کل توانائی محفوظ رہتی ہے۔

سوال 4

ایک خلائی جہاز کی ناوردہ سکونی کمیت \(1.0\text{ kg}\) ہے اور وہ زمین کے مقابل \(0.80c\) کی رفتار سے حرکت کرتا ہے۔

ایک طالب علم \(\gamma=1.67\) حساب کرتا ہے اور دعویٰ کرتا ہے کہ خلائی جہاز کی کمیت بڑھ کر \(1.67\text{ kg}\) ہو گئی ہے۔

درج ذیل مساوات استعمال کرتے ہوئے

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

خلائی جہاز کی سکونی توانائی، کل توانائی اور حرکی توانائی کا حساب لگائیں۔ طالب علم کے دعوے کا جائزہ لیں۔

حل 4

سکونی توانائی \(9.0\times10^{16}\text{ J}\)، کل توانائی \(1.5\times10^{17}\text{ J}\)، اور حرکی توانائی \(6.0\times10^{16}\text{ J}\) ہے۔ ناوردہ کمیت کے طریقۂ استعمال کے مطابق، خلائی جہاز کی سکونی کمیت \(1.0\text{ kg}\) ہی رہتی ہے۔

مرحلہ 1: سکونی توانائی کا حساب لگائیں۔

سکونی کمیت \(m=1.0\text{ kg}\) ہے۔

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

مرحلہ 2: کل توانائی کا حساب لگائیں۔

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

مرحلہ 3: حرکی توانائی کا حساب لگائیں۔

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

یہ نتائج ایک دوسرے سے مطابقت رکھتے ہیں کیونکہ کل توانائی، سکونی توانائی اور حرکی توانائی کے مجموعے کے برابر ہے:

\[ E=E_0+K. \]

مرحلہ 4: طالب علم کے دعوے کا جائزہ لیں۔

طالب علم نے درست طور پر شناخت کیا ہے کہ کل توانائی حاصل کرنے کے لیے \(\gamma\)، سکونی توانائی کو ضرب دیتا ہے۔ غلطی اس عامل کو ناوردہ سکونی کمیت میں اضافے کی علامت سمجھنے میں ہے۔

خلائی جہاز کی رفتار بڑھنے سے اس کی حرکی توانائی بڑھتی ہے، لیکن اس کی ناوردہ سکونی کمیت \(1.0\text{ kg}\) ہی رہتی ہے۔ جب کسی سوال میں کمیت اور توانائی کی مساوات کو حرکت کرتے جسم کی توانائی کے ساتھ ملایا جائے، تو یہ فرق اہم ہوتا ہے۔

سوال 5

ایک پلیٹ فارم اپنے سکونی فریم \(S\) میں \(600\text{ m}\) لمبا ہے۔ اس کے دونوں سروں پر دو لیمپ، A اور B، نصب ہیں، جہاں A، \(x=0\) پر اور B، \(x=+600\text{ m}\) پر ہے۔ یہ دونوں لیمپ فریم \(S\) میں \(t=0\) پر بیک وقت چمکتے ہیں۔

ہر چمک پلیٹ فارم کے وسط کی طرف ایک نوری نبض بھیجتی ہے۔ فریم \(S\) میں دونوں نبضیں وسط میں آ کر ملتی ہیں۔

ایک راکٹ کا سکونی فریم \(S'\)، فریم \(S\) کے مقابل مثبت \(x\)-سمت میں \(0.80c\) رفتار سے حرکت کرتا ہے۔

اس سوال کے لیے زمانی محددات کا درج ذیل تعلق استعمال کریں:

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

جہاں \(\Delta t=t_B-t_A\) اور \(\Delta x=x_B-x_A\)، فریم \(S\) میں ناپے جاتے ہیں۔

(الف) فریم \(S'\) میں کون سی چمک پہلے ہوتی ہے، اور کتنے وقت پہلے؟

(ب) فریم \(S'\) میں پلیٹ فارم کی لمبائی \(360\text{ m}\) ہے۔ ایک طالب علم دعویٰ کرتا ہے کہ اس لیے دونوں چمکوں کے درمیان وقت کا فرق لازماً \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) ہونا چاہیے۔ اس کی اصل غلطی کی وضاحت کریں۔

(ج) کیا دونوں نوری نبضیں فریم \(S'\) میں بھی اسی واقعے پر ملیں گی؟ وضاحت کریں کہ یہ کیسے ممکن ہے، حالانکہ چمکیں اب بیک وقت نہیں ہوتیں۔

حل 5

فریم \(S'\) میں چمک B، چمک A سے \(2.67\,\mu\text{s}\) پہلے ہوتی ہے۔ دونوں نبضیں پھر بھی اسی واقعے پر ملتی ہیں، کیونکہ تمام جمودی فریم اس مقامِ تقاطع پر متفق ہوتے ہیں جہاں دونوں نوری نبضیں ملتی ہیں، چاہے وہ اخراج کے واقعات کے لیے مختلف اوقات مقرر کریں۔

مرحلہ 1: لورینٹز عامل کا حساب لگائیں اور واقعات کے فرق کی شناخت کریں۔

نسبتی رفتار \(v=0.80c\) ہے، لہٰذا

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

فریم \(S\) میں دونوں چمکیں بیک وقت ہوتی ہیں، اور B کا مقام بڑا ہے۔ لہٰذا،

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

مرحلہ 2: فریم \(S'\) میں زمانی فرق کا حساب لگائیں۔

دیے گئے زمانی محددات کے تعلق میں قیمتیں رکھنے سے:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

منفی نتیجے کا مطلب ہے کہ \(t'_B<t'_A\)۔ راکٹ کے فریم میں B کی چمک، A کی چمک سے \(2.67\,\mu\text{s}\) پہلے ہوتی ہے۔

مرحلہ 3: وضاحت کریں کہ \(360\text{ m}/c\) کا حساب کیوں غلط ہے۔

طالب علم کے حساب سے حاصل ہوتا ہے:

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

حساب درست ہے، لیکن اس سے ایک مختلف سوال کا جواب ملتا ہے۔

\(360\text{ m}\)، فریم \(S'\) میں ناپی گئی پلیٹ فارم کی لمبائی ہے، جو راکٹ کے فریم میں دونوں سروں کے مقامات ایک ہی وقت پر ناپ کر حاصل کی گئی ہے۔ فریم \(S'\) میں دونوں چمکوں کے واقعات بیک وقت نہیں ہوتے، اس لیے ان کے مقامات کو اس لمبائی کی پیمائش کے سروں کے طور پر نہیں لیا جا سکتا جس میں دونوں سروں کے مقامات بیک وقت ناپے گئے ہوں۔

دو واقعات کے درمیان زمانی فرق عموماً ناپی گئی لمبائی کو \(c\) سے تقسیم کرنے کے برابر نہیں ہوتا۔ طالب علم نے بیک وقت ناپے گئے سروں کے مقامات سے حاصل ہونے والی لمبائی کو ایسے دو واقعات کے ساتھ خلط ملط کر دیا ہے جو اسی فریم میں مختلف اوقات پر پیش آتے ہیں۔

مرحلہ 4: وضاحت کریں کہ دونوں نبضیں پھر بھی کیوں ملتی ہیں۔

فریم \(S\) میں ہر نبض وسط تک \(300\text{ m}\) کا سفر کرتی ہے۔ لہٰذا، دونوں کے ملنے کا واقعہ اس وقت پیش آتا ہے:

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

یہ زمان و مکان میں ایک ہی واقعہ ہے۔ ہر جمودی فریم اس بات سے متفق ہوتا ہے کہ دونوں نبضیں اسی واقعے پر ملتی ہیں، اگرچہ اس واقعے کے لیے مقرر کیے گئے محددات مختلف ہوتے ہیں۔

ہم راکٹ کے فریم میں وقت کا حساب بھی جانچ سکتے ہیں۔ چمک A اور ملنے کے واقعے کے درمیان دیے گئے تعلق کو استعمال کرنے سے:

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

چمک A، \(t'_A=0\) پر ہوتی ہے، اس لیے اس کی نبض کو ملنے کے واقعے تک پہنچنے میں راکٹ کے فریم کے زمانی محددات کے مطابق \(0.333\,\mu\text{s}\) لگتے ہیں۔

چمک B، \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\) پر ہوتی ہے، اس لیے اس کی نبض کو اسی واقعے تک پہنچنے میں

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

لگتے ہیں۔

اخراج کے مختلف اوقات اور سفر کے مختلف وقفے ایک ہی واقعے پر ملنے کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں۔ اصل غلطی یہ فرض کرنا ہوگی کہ ایک فریم میں بیک وقت ہونے والی چمکیں ہر فریم میں بیک وقت ہی رہیں گی۔

اگلا مفید قدم زمان و مکان کے خاکے پر واقعات کی نمائندگی کرنا سیکھنا ہے۔ HSC کے سوالات میں پہلے فریم کی شناخت کریں اور پوچھیں کہ آیا واقعات اس فریم میں ایک ہی مقام پر پیش آتے ہیں۔ اس فیصلے سے آپ حساب شروع کرنے سے پہلے وقت کے پھیلاؤ، لمبائی کے سکڑاؤ اور ہم زمانی کی اضافیت میں سے درست تصور منتخب کر سکتے ہیں۔