为什么 GPS 需要同时考虑狭义与广义相对论

GPS 接收器会将卫星的时间戳记转换为距离。如果计时误差只有 \(1\ \mu\text{s}\)，推算出的距离就会出现约 \(300\ \text{m}\) 的误差。那么，为什么工程师会刻意在发射前，将 GPS 卫星时钟设定为稍微走慢？

试著预测哪一种效应会占主导地位：卫星的速度，还是卫星的高度？关键在于，两者都会影响时钟，而且会使时钟的走时速率朝相反方向改变。要理解其中的原因，需要认识相对论的两个部分，以及一项用来测试真实原子钟是否确实如爱因斯坦所预测般运作的实验。

01将时间转换为距离

GPS 卫星会持续发送包含计时资讯的无线电讯号。接收器会记录讯号抵达的时间，并将其与讯号发送的时间进行比较。

在简化模型中，讯号的传播时间可以用来求出距离：

\[ d\approx c\Delta t \]

其中，\(d\) 是讯号传播的距离，\(c\) 是光速，约为 \(3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)，而 \(\Delta t\) 是讯号的传播时间。

可以把 GPS 想像成使用秒表作为尺。它不是直接测量长度，而是测量光线走过这段距离需要多长时间。

不过，这个比喻有其限制：秒表必须与发送的时间戳记准确同步。真实的 GPS 接收器还必须考虑时钟偏差、卫星运动，以及讯号传播效应。

假设计时误差为一微秒。由于 \(1\ \mu\text{s}=10^{-6}\ \text{s}\)，因此：

\[ \begin{aligned} \Delta d&=c\Delta t\\ &=(3.00\times10^8)(1.0\times10^{-6})\\ &=300\ \text{m}. \end{aligned} \]

微小的时钟误差就会转变成相当大的距离误差。

为什么至少需要四颗卫星？接收器必须求出三个位置座标，以及自身的时钟偏差。四颗卫星的测量资料提供了通常 GPS 定位计算所需的资讯，让接收器能够求解这四个未知数。

推算出的距离通常称为伪距离（pseudoranges），因为除了实际的几何距离之外，其中还包含时钟误差及其他效应。

因此，精确计时至关重要。这也提供了一种方法，让我们能够测试相对论是否会影响实际的测量系统。

02科学家如何测试运动中的时钟

1971 年 10 月，物理学家 Joseph Hafele 和 Richard Keating 研究了一个听起来很简单的问题：如果一个原子钟搭乘交通工具环游世界，最后回到出发地，它所记录的经过时间，是否会与留在原地的同类时钟完全相同？

这项实验使用了四个可携式铯束原子钟。这些时钟透过计算与稳定原子跃迁相关的周期来测量时间。

实验依照以下明确的顺序进行：

• 研究人员将可携式时钟与位于华盛顿特区的美国海军天文台的参考时钟进行比较。
• 这些时钟搭乘定期商业航班环游世界，分别向东和向西飞行一次。
• 完成旅程后，研究人员将时钟的读数与参考时间尺度进行比较。
• 最后，研究人员将测得的时间差与根据飞机实际飞行路线计算出的预测值进行核对。

在查看实验结果之前，先试著预测。如果狭义相对论认为运动中的时钟走得比较慢，那么两组搭机的时钟是否必然都会比参考时钟少记录一些时间？

不一定。参考时钟固定在地球上，而地球本身也在自转。与地面速度相近的情况下，向东飞行的飞机，相对于以地球为中心且不旋转的参考系，移动速度会比向西飞行的飞机更快。这会改变狭义相对论所造成的时间差。此外，飞机的飞行高度也很重要，因为重力时间膨胀同样会影响机上的时钟。

因此，这项实验测试的是运动与重力的综合效应，而不只是运动的影响。

时钟显示了什么？

已发表的预测值与观测值如下：

这些时间差都是相对于美国海军天文台的参考时间尺度而言。负值表示飞行中的时钟相对于参考时钟落后；正值则表示飞行中的时钟领先。

预测值刊载于 Hafele 和 Keating 关于相对论预测时间增益的论文，测量结果则刊载于他们的实际观测时间增益报告。

• 预测值
• 观测值

在实验不确定度的范围内，测得的时间差与相对论的综合预测一致。

这是重要的证据，表明真实的原子钟沿著不同路径运行时，所累积的经过时间也会不同。然而，这并不是一项单独测试狭义相对论的纯粹实验。这些时钟经历了不同的运动与重力条件，因此必须同时考虑两种效应。

这里还有另一个值得注意的教训：时钟不必以接近光速的速度移动，相对论效应才会产生影响。在几个小时内，时间差可能极小，但精度足够高的原子钟仍然能够测量出来。

对 HSC 物理科而言，这里的关键概念是狭义相对论的时间膨胀：相对于适当的惯性参考系所测得的经过时间，运动中的时钟所累积的固有时间较少。下文讨论的重力效应则属于超出本 HSC 课纲范围的延伸内容。

03为什么卫星运动会使时钟走慢

狭义相对论预测，相对于某个惯性参考系，运动中的时钟所累积的时间会少于静止在该参考系中的时钟所累积的时间。

运动中的时钟所测量的时间称为其固有时间（proper time），记作 \(\Delta\tau\)。参考系中的经过时间则记作 \(\Delta t\)。

两者的关系为：

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau \]

其中，

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

这里，\(v\) 是时钟相对于参考系的速度，而 \(c\) 是光速。

当 \(v\) 远小于 \(c\) 时，时钟的相对时间损失可以近似为：

\[ \frac{\Delta t-\Delta\tau}{\Delta t} \approx\frac{v^2}{2c^2}. \]

时钟移动得越快，时间差就越大。

GPS 卫星在距离地表约 \(20\,200\ \text{km}\) 的轨道上运行，速度约为 \(3.87\ \text{km s}^{-1}\)。这个速度远小于光速，但相关效应会随时间持续累积。

范例：估算狭义相对论造成的时钟时间损失

一颗 GPS 卫星以 \(3.87\ \text{km s}^{-1}\) 的速度运行。估算单就狭义相对论而言，这颗卫星的时钟在一天内会比地面参考时钟少累积多少时间。使用 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)，并在这项估算中将地面参考时钟视为近似静止。

步骤 1：将卫星速度换算成公尺每秒。

\[ v=3.87\times10^3\ \text{m s}^{-1}. \]

当速度远小于 \(c\) 时，相对时间损失约为 \(v^2/(2c^2)\)。

步骤 2：计算相对时间损失。

\[ \begin{aligned} \frac{v^2}{2c^2} &=\frac{(3.87\times10^3)^2} {2(3.00\times10^8)^2}\\ &\approx8.32\times10^{-11}. \end{aligned} \]

步骤 3：计算一天内的时间差。

一天有 \(86\,400\ \text{s}\)，因此：

\[ \begin{aligned} \Delta t_{\text{lag}} &\approx(8.32\times10^{-11})(86\,400\ \text{s})\\ &=7.19\times10^{-6}\ \text{s}\\ &\approx7.2\ \mu\text{s}. \end{aligned} \]

由于卫星的轨道运动，卫星时钟每天约会落后 \(7.2\ \mu\text{s}\)。

这就是狭义相对论所造成的效应。但它并不能告诉我们时钟的总走时差异，因为卫星与地面时钟相比，距离地球的远近也有很大的差别。

04超出本 HSC 课纲的延伸内容：重力时间膨胀

狭义相对论描述相对运动所造成的效应，但它无法解释重力位势不同所产生的差异。

广义相对论预测，处于较低重力位势的时钟，走得会比处于较高重力位势的时钟慢。在地球附近，与地表时钟相同的时钟若位于更高的高度，其走时速度就会比较快。

这个区别比单纯说太空中的重力比较弱更为精确。真正相关的物理量，是两个位置之间的重力位势差。

对于地球上方的卫星，在弱场近似下，时钟走时速率的相对差异为：

\[ \frac{\Delta f}{f}\approx\frac{\Delta\Phi}{c^2}, \]

其中，\(f\) 代表时钟的滴答速率，而 \(\Delta\Phi\) 是卫星与地面参考位置之间的重力位势差。

若将地球近似为球形质量，则：

\[ \Delta\Phi =GM\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right). \]

这里，\(G\) 是万有引力常数，\(M\) 是地球质量，\(R_E\) 是地球半径，而 \(r\) 是卫星与地球中心之间的距离。

对于位于地表上方的卫星，\(r>R_E\)，因此上述表达式为正值。这表示重力效应会使卫星时钟相对于地面时钟走得更快。

这与卫星运动所造成的狭义相对论效应方向相反。

范例：估算重力造成的时钟时间增益

一颗 GPS 卫星位于地表上方 \(20\,200\ \text{km}\) 处。估算相对于地面时钟，这颗卫星的时钟在一天内会因重力效应而增加多少时间。

使用 \(R_E=6.37\times10^6\ \text{m}\)、\(GM=3.99\times10^{14}\ \text{m}^3\text{s}^{-2}\)，以及 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。

步骤 1：计算卫星与地球中心之间的距离。

高度并不等于轨道半径，因此必须将地球半径加上去：

\[ \begin{aligned} r&=R_E+h\\ &=6.37\times10^6+2.02\times10^7\\ &=2.66\times10^7\ \text{m}. \end{aligned} \]

步骤 2：计算时钟走时速率的相对差异。

使用重力时间膨胀的近似式：

\[ \frac{\Delta f}{f} \approx\frac{GM}{c^2} \left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right). \]

代入题目提供的数值：

\[ \frac{GM}{c^2}\approx4.43\times10^{-3}\ \text{m} \]

以及

\[ \frac{1}{R_E}-\frac{1}{r} \approx1.19\times10^{-7}\ \text{m}^{-1}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta f}{f} &\approx(4.43\times10^{-3})(1.19\times10^{-7})\\ &\approx5.27\times10^{-10}. \end{aligned} \]

步骤 3：将走时速率差异换算为一天内的时间增益。

\[ \begin{aligned} \Delta t_{\text{gain}} &\approx(5.27\times10^{-10})(86\,400\ \text{s})\\ &\approx4.55\times10^{-5}\ \text{s}\\ &\approx45.5\ \mu\text{s}. \end{aligned} \]

由于重力时间膨胀，卫星时钟每天约会增加 \(45.7\ \mu\text{s}\)，其中微小的数值差异来自中间计算值的四舍五入。

这是超出本 HSC 课纲范围的延伸内容。重要的物理概念是：较高的轨道高度会使卫星时钟走得更快，从而部分抵销轨道运动所造成的时间损失。

05GPS 需要同时考虑两种效应

现在可以将这两种效应合并起来。

两种效应每天造成的近似时间差如下：

GPS 的相关资料通常会将净效应四舍五入为每天约 \(+38\ \mu\text{s}\)。实际引用的数值会因所采用的参考惯例与四舍五入方式而略有不同。

重力效应大于狭义相对论效应。两者不会完全抵销。如果没有进行补偿，卫星时钟每天相对于 GPS 系统时间就会快约 \(38\ \mu\text{s}\)。

美国国家标准暨技术研究院（NIST）提供了一份实用的相对论与 GPS 时钟校正概述。

为什么要在发射前将时钟设定为走慢？

GPS 工程师会在发射前调整卫星时钟的振荡器频率，以补偿平均相对论走时差异。时钟在地球上设定时，其频率会略低于标称频率。

卫星进入轨道后，两种相对论效应的合并作用，就会使时钟相对于 GPS 系统时间按照预期的速率运行。

这并不等于每天在时间戳记上加上一个固定的时间值。这项调整的目的是补偿持续存在的走时速率差异。

实际的 GPS 还需要其他校正。卫星时钟会产生漂移，因此系统会估算其时钟偏差与走时速率。由于卫星轨道并非完全呈圆形，当卫星沿轨道运行时，其速度与重力位势会有所变化，因此还需要进行幅度较小、周期性的相对论校正。

地球自转还会引入另一种称为萨格纳克效应（Sagnac effect）的效应。它会改变旋转参考系中的讯号传播时间计算。这是一种讯号传播校正，而不是另一项平均卫星时钟走时速率效应。

范例：将净时钟误差换算为距离

假设平均相对论走时速率差异没有获得补偿，而且某颗卫星的时钟在一天内相对于 GPS 系统时间快了 \(38.5\ \mu\text{s}\)。估算这相当于多少单程距离误差。

步骤 1：将时钟时间差换算成秒。

\[ \Delta t=38.5\times10^{-6}\ \text{s}. \]

步骤 2：乘以光速。

\[ \begin{aligned} \Delta d&=c\Delta t\\ &=(3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}) (38.5\times10^{-6}\ \text{s})\\ &=1.155\times10^4\ \text{m}\\ &\approx11.6\ \text{km}. \end{aligned} \]

一天之后，相当於单程测距误差的数值约为 \(11.6\ \text{km}\)。

如果使用常见的四舍五入值 \(38\ \mu\text{s/day}\)，就会得到 \(11.4\ \text{km/day}\)。因此，这种误差的实际量级通常被描述为每天约 \(11\ \text{km}\)。

这是以计时误差换算出的等效测距误差，并不保证手机上显示的位置会恰好移动这么远。实际的位置误差取决于卫星几何分布、接收器的时钟估算，以及其他校正。即便如此，未经补偿的计时差异仍会迅速累积，足以使精确导航变得不可能。

• 未经校正的时钟偏差

核心观念是：GPS 不只是需要准确的时钟，还需要各时钟的走时速率与用来解读卫星讯号的参考时间保持一致。

06问题与解答

问题 1

如果没有进行平均相对论校正，某颗 GPS 卫星的时钟在一天内会相对于 GPS 系统时间快 \(38\ \mu\text{s}\)。

计算一天之后相当于多少单程测距误差。使用 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。

解答 1

等效测距误差约为 \(11.4\ \text{km}\)。

计时误差会改变推算出的讯号传播时间，因此相应的距离误差为：

\[ \begin{aligned} \Delta d&=c\Delta t\\ &=(3.00\times10^8)(38\times10^{-6})\\ &=1.14\times10^4\ \text{m}\\ &=11.4\ \text{km}. \end{aligned} \]

重要原理是：距离是根据讯号传播时间推算出来的。因此，时钟走时速率的误差会转变成测距误差。这个结果是等效测距误差，不一定等于计算所得位置的实际位移。

问题 2

一名学生认为，狭义相对论会使 GPS 卫星时钟走得比较慢，因此这个时钟必定会落后于地面时钟。

已知狭义相对论的效应为 \(-7.2\ \mu\text{s/day}\)，重力效应为 \(+45\ \mu\text{s/day}\)：

• 计算时钟走时速率的净差异。
• 解释为什么这名学生的预测并不完整。

解答 2

相对于地面时钟，卫星时钟每天会快约 \(37.8\ \mu\text{s}\)，因此净效应是每天增加约 \(38\ \mu\text{s}\)。

将正值定义为卫星时钟增加的时间，可得：

\[ \begin{aligned} \Delta t_{\text{net}} &=\Delta t_{\text{SR}}+\Delta t_{\text{GR}}\\ &=-7.2+45\\ &=+37.8\ \mu\text{s/day}. \end{aligned} \]

这名学生的错误在于只考虑狭义相对论的效应。相对于所选的参考系，轨道运动会使卫星时钟损失时间，但轨道高度处较弱的重力场会使时钟增加时间。由于重力效应较大，净效应是时钟增加时间。

必须保留两种效应的正负号，再将它们相加。不能只因为其中一种效应存在，就忽略另一种效应。

问题 3

在 Hafele-Keating 实验中，相对于美国海军天文台，向东飞行的时钟差异预测值为 \(-40\pm23\ \text{ns}\)，向西飞行的预测值则为 \(+275\pm21\ \text{ns}\)。

实际观测到的向东时间差为 \(-59\pm10\ \text{ns}\)，向西时间差则为 \(+273\pm7\ \text{ns}\)。

请解释这些结果告诉我们什么、为什么它们无法单独验证狭义相对论，以及向西飞行时观测到的 \(273\ \text{ns}\) 相当于多少光传播距离。

解答 3

观测结果与相对论的综合预测一致，而 \(273\ \text{ns}\) 相当于约 \(82\ \text{m}\) 的光传播距离。

首先，比较实测值与预测值。向东飞行的结果是时钟落后 \(59\ \text{ns}\)，而预测的落后量为 \(40\ \text{ns}\)。向西飞行的结果则是时钟领先 \(273\ \text{ns}\)，与预测的领先量 \(275\ \text{ns}\) 非常接近。考虑报告中的不确定度后，这两组结果都与预测一致。

这项实验无法单独验证狭义相对论，因为这些时钟同时经历了运动与不同的重力条件。地球自转也会影响飞机相对于以地球为中心且不旋转的参考系的速度。因此，观测到的时间差验证的是综合效应的预测。

要计算向西飞行时观测结果所对应的光传播距离：

\[ \begin{aligned} \Delta d&=c\Delta t\\ &=(3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}) (273\times10^{-9}\ \text{s})\\ &=81.9\ \text{m}. \end{aligned} \]

这个结果说明原子钟能够多么精确地测量经过时间的差异。\(81.9\ \text{m}\) 是由计时差换算出的等效距离；实验本身测量的是时钟的时间差，而不是 GPS 定位结果。

问题 4

GPS 接收器会使用四颗卫星来确定自身的三维位置，以及自身的时钟偏差。

假设在某个瞬间，四颗卫星的时间戳记都有相同的未校正误差 \(+20\ \text{ns}\)，导致推算出的四个距离都同样偏长。

计算共同的距离误差，并解释接收器计算出的位置是否必然改变。如果只有一颗卫星存在 \(20\ \text{ns}\) 的误差，情况又会有什么不同？

假设定位计算是理想的，并忽略所有其他误差。

解答 4

共同的距离误差为 \(6.0\ \text{m}\)，但如果四个距离具有完全相同的误差，接收器计算出的位置不一定会改变。

距离误差为：

\[ \begin{aligned} \Delta d&=c\Delta t\\ &=(3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}) (20\times10^{-9}\ \text{s})\\ &=6.0\ \text{m}. \end{aligned} \]

关键在于，接收器也会同时求解自身的时钟偏差。如果所有卫星距离都具有完全相同的偏差，接收器就可以将这个共同误差纳入估算出的时钟偏差。在理想化的情况下，即使计时估算有误，计算出的位置仍然可以保持不变。

如果只有一颗卫星存在误差，情况就不同了。接收器通常无法只透过调整一个共同的时钟偏差来吸收单一卫星的误差，而不影响位置解算结果。这个不一致的距离会使计算出的位置产生偏移，而偏移的大小与方向取决于卫星的几何分布。

这就是为什么等效测距误差不会自动等于实际位置误差。不同卫星测量资料之间的误差分布模式也很重要。

问题 5

一名工程师提议，将类似 GPS 的卫星放在一个圆形轨道上，使平均重力时间增益恰好抵销狭义相对论造成的时间损失。这名工程师因此得出结论，认为相对论将不再重要。

使用以下简化的弱场公式，计算相对于地球表面理想时钟的走时速率相对差异：

\[ \delta_{\text{GR}} =\frac{GM}{c^2} \left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right) \]

以及

\[ \delta_{\text{SR}}=-\frac{v^2}{2c^2}. \]

这里，\(R_E\) 是地球半径，\(r\) 是以地球中心为基准测量的轨道半径，而正值表示卫星时钟相对于地表时钟走得更快。对于圆形轨道，使用 \(v^2=GM/r\)。

在本题计算中，忽略地球自转及其非球形的重力场。

(a) 求出两种平均时钟走时速率效应恰好抵销时的轨道半径。

(b) 使用 \(R_E=6.37\times10^6\ \text{m}\)，估算相应的轨道高度。

(c) 解释为什么这名工程师的结论仍然不正确。请考虑轨道略呈椭圆时会发生什么情况，以及无线电讯号在地球旋转参考系中传播时会受到什么影响。

解答 5

两种平均时钟走时速率效应会在轨道半径为 \(1.5R_E\) 时抵销，相应的轨道高度约为 \(3.2\times10^3\ \text{km}\)。然而，这并不代表卫星或其讯号不再受到相对论效应的影响。

步骤 1：将时钟走时速率的净相对差异设为零。

要使两种效应互相抵销，必须满足：

\[ \delta_{\text{GR}}+\delta_{\text{SR}}=0. \]

代入题目提供的公式：

\[ \begin{aligned} 0={}&\frac{GM}{c^2} \left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right)\\ &-\frac{v^2}{2c^2}. \end{aligned} \]

步骤 2：使用圆形轨道的关系式。

由于 \(v^2=GM/r\)，因此：

\[ 0=\frac{GM}{c^2} \left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right) -\frac{GM}{2rc^2}. \]

两边同除以 \(GM/c^2\)：

\[ \begin{aligned} 0&=\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}-\frac{1}{2r}\\ &=\frac{1}{R_E}-\frac{3}{2r}. \end{aligned} \]

因此，

\[ \frac{1}{R_E}=\frac{3}{2r} \]

所以：

\[ r=\frac{3}{2}R_E. \]

步骤 3：将轨道半径换算为高度。

轨道高度等于轨道半径减去地球半径：

\[ \begin{aligned} h&=r-R_E\\ &=\frac{3}{2}R_E-R_E\\ &=\frac{1}{2}R_E\\ &=3.185\times10^6\ \text{m}\\ &\approx3\,190\ \text{km}. \end{aligned} \]

步骤 4：指出这种抵销并不能证明什么。

一个看似合理的结论是：既然两种相对论效应大小相同、方向相反，就代表相对论效应已经消失。这个结论并不正确，原因有两个。

首先，这种抵销只适用于简化圆形轨道模型中的平均时钟走时速率。重力效应与狭义相对论效应本身仍然都不为零。如果轨道略呈椭圆，卫星的高度与速度就会随著沿轨道的位置而改变。因此，重力造成的时间增益与运动造成的时间损失也会随之改变，单一的固定速率调整未必能消除所有随时间变化的差异。

其次，即使卫星时钟的平均走时速率与参考时钟一致，也无法消除萨格纳克效应。地球自转会改变旋转参考系中的讯号传播时间计算。这是另一种传播效应，而不是剩余的平均时钟走时速率差异。

关键区别在于：让两个时钟的平均走时一致，与确保每个时间戳记及每次讯号传播时间计算都正确，是两件不同的事。做到前者并不会自动达成后者。

接下来值得理解的概念是萨格纳克效应：它说明为什么校正时钟的走时速率，并不等于校正讯号的路径与传播时间。在 GPS 中，时钟与讯号传播模型都必须以一致的方式处理。