HSC 化学：理想气体定律与气体关系

把气体密封在一个坚硬的金属瓶中并加热。瓶子不会变大，也没有气体进出。压力会发生甚么变化？

一个很容易想到的预测是：压力会保持不变，因为同样数量的气体仍然占据相同的空间。但实际上，压力会上升。加热令粒子移动得更快，因此它们撞击瓶壁的次数增加，而且每次碰撞造成的动量改变也更大。

现在改变实验。把气体放在一个有可移动活塞的注射器中。在保持压力不变的情况下加热。这一次，气体可以膨胀。

同一种气体会有不同的表现，是因为压力、体积、温度和气体的量彼此相关。理想气体定律提供了一个能把这四个量连系起来的模型。

01从粒子开始理解

想像气体粒子在容器内随机运动。在两次碰撞之间，粒子会穿过大部分都是空间的区域。

有三个概念立即很重要：

• 压力来自粒子与容器壁的碰撞。
• 温度反映粒子的平均动能。
• 体积决定这些粒子有多少空间可以运动。

气体的量也很重要。粒子越多，与容器壁碰撞的机会就越多。

由此可以作出一些有用的预测。

如果在不改变温度的情况下，把气体压缩到较小的体积，压力应该会怎样？

粒子到达容器壁前需要移动的距离缩短，因此与容器壁碰撞得更频繁。压力上升。

如果在体积不能改变的情况下加热气体，粒子会移动得更快。它们与容器壁碰撞得更频繁，而且每次碰撞涉及的动量改变也更大。因此，压力同样会上升。

这个粒子模型可以告诉我们每种关系的变化方向。方程式则能准确告诉我们，对于理想气体而言，变化应有多大。

02理想气体定律

对于理想气体，

\[ PV=nRT \]

其中：

• \(P\) 是气体压力
• \(V\) 是气体体积
• \(n\) 是气体的物质的量，以莫耳为单位
• \(R\) 是理想气体常数
• \(T\) 是以开尔文表示的绝对温度

在 HSC 计算中，一个非常方便的数值是

\[ R=8.314\ \text{kPa L mol}^{-1}\text{K}^{-1} \]

前提是压力以千帕表示，而体积以公升表示。

这是因为 \(1\ \text{kPa L}=1\ \text{J}\)。

如果把这条方程式理解成一种关系，而不是需要死记的公式，它会更加实用：

\[ P=\frac{nRT}{V} \]

在以下情况下，压力会增加：

• \(n\) 增加
• \(T\) 增加
• \(V\) 减少

这与我们的粒子模型一致。

开尔文不是可有可无的

气体定律的计算使用绝对温度，所以温度必须以开尔文表示。

换算公式为

\[ T(\text{K})=T(^{\circ}\text{C})+273.15 \]

例如，

\[ 25.0^{\circ}\text{C}=298.15\ \text{K} \]

为甚么不能直接使用摄氏温度？

假设某气体由 \(10^{\circ}\text{C}\) 升温至 \(20^{\circ}\text{C}\)。以摄氏数值来看，温度数字变成了两倍。粒子的平均动能也变成两倍了吗？

不是。

这两个温度约为 \(283\ \text{K}\) 和 \(293\ \text{K}\)，所以绝对温度其实只增加了约 3.5%。

气体定律取决于绝对温度，而不是摄氏温标零点的位置。

03「理想」究竟是甚么意思？

理想气体定律是一个模型。它把气体粒子视为：

• 每个粒子本身的体积相对于容器体积可以忽略
• 除了碰撞期间之外，粒子之间没有显著的吸引力或排斥力
• 碰撞是弹性碰撞

真实分子确实占有空间，而且它们之间确实会互相吸引。

一般而言，当气体处于相对低压和高温的情况时，理想模型会更加准确。在这些条件下，粒子彼此相距较远，分子间吸引力对整体行为的影响较小。

在高压下，粒子排列得更紧密，因此粒子本身的体积变得更重要。在低温下，粒子之间的吸引力也会变得更重要。

因此，\(PV=nRT\) 并不是在声称真实气体粒子是微小、彼此完全没有相互作用的数学点。它是一个在许多一般条件下都非常有效的模型。

05四条常见气体定律都来自同一条方程式

你可能会把波以耳定律、查理定律、盖-吕萨克定律和阿伏加德罗定律当作四条独立的规则来学习。

其实它们并不是四个互不相关的事实。每一条都是

\[ PV=nRT \]

在某些变数保持不变时的特殊情况。

真正重要的能力不是记住四个名称，而是留意哪些量保持不变。

06波以耳定律：压力与体积

假设温度和气体的量保持不变。

由

\[ PV=nRT \]

可知右方是常数，因此

\[ PV=\text{常数} \]

对于同一气体的两个状态，

\[ P_1V_1=P_2V_2 \]

这就是波以耳定律。

压力与体积成反比。如果体积减半，压力会加倍，前提是温度和气体的量保持不变。

想像你堵住单车泵的出口，同时把活塞向内推。气体粒子被压缩到较小的空间，因此它们会更频繁地撞击容器壁。

这个简单图像很有用，但也有一个限制：压缩真实气体也可能令其温度改变。波以耳定律只适用于所比较的两个状态之间温度保持不变的情况。

07查理定律：体积与温度

现在假设压力和气体的量保持不变。

由

\[ PV=nRT \]

可得

\[ V\propto T \]

因此

\[ \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2} \]

这就是查理定律。

如果绝对温度上升 10%，体积也会上升 10%，前提是压力和气体的量保持不变。

想像气体位于一个可以自由移动的活塞下方。加热使粒子移动得更快，最初会令压力增加。较高的压力随后把活塞向外推。气体持续膨胀，直到内部压力再次与外部压力相等。

所以，「加热使气体膨胀」这句话并不完整。气体加热时会膨胀，是在条件容许其体积改变，同时压力保持不变时。

08盖-吕萨克定律：压力与温度

假设体积和气体的量保持不变。

那么

\[ P\propto T \]

所以

\[ \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2} \]

这就是盖-吕萨克定律。

这正是文章开头坚硬瓶子的情况。

如果把一个密封的刚性容器由 \(300\ \text{K}\) 加热到 \(330\ \text{K}\)，它的绝对温度上升 10%。假设气体符合理想行为，它的压力也会上升 10%。

同样，这个说法取决于隐含的条件：体积必须固定，而且不能有气体进出。

09阿伏加德罗定律：体积与气体的量

假设压力和温度保持不变。

那么

\[ V\propto n \]

或

\[ \frac{V_1}{n_1}=\frac{V_2}{n_2} \]

这就是阿伏加德罗定律。

如果在保持压力和温度不变的情况下，把理想气体的物质的量加倍，它的体积也会加倍。

为甚么？加入粒子最初会增加碰撞频率，因此令压力增加。如果压力必须保持不变，气体就必须占据更大的体积。

一个稍微有点荒谬的想像方式是：一群人在一个安静的聚会中，而更多人不断加入，但每个人都坚持维持相同的个人空间。如果人数加倍，房间大约也需要变成原来的两倍大。

这个比喻并不完全成立，因为气体粒子不会有意识地保持个人空间，而且真实粒子会透过分子间作用力彼此相互作用。真正有用的部分只是粒子数目与所需体积之间的比例关系。

10一条关系式可以处理多个条件同时改变

当两个变数保持不变时，这些有名称的气体定律很有用。

但有时候会有超过两个量同时改变。

由

\[ PV=nRT \]

开始，两边同除以 \(nT\)：

\[ \frac{PV}{nT}=R \]

对于两个状态，

\[ \frac{P_1V_1}{n_1T_1} = \frac{P_2V_2}{n_2T_2} \]

这是理想气体最一般的两状态关系式。

如果气体的量没有改变，\(n_1=n_2\)，所以 \(n\) 项可以消去：

\[ \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \]

这通常称为综合气体定律。

11一个实用的判断方法

在选择方程式之前，先写出哪些量改变，以及哪些量保持不变。

你不需要强迫每一道题都套用某一条有名称的定律。先从实际物理条件出发，再把理想气体定律简化。

13为甚么比例推理很有用

你往往可以在计算之前先预测变化的方向。

由

\[ P=\frac{nRT}{V} \]

假设气体的量保持不变。

如果温度加倍，同时体积也加倍，

\[ P_2=P_1 \]

因为两个变化互相抵消。

如果温度加倍，而体积减半，

\[ P_2=4P_1 \]

因为温度带来一个 \(2\) 倍因子，而体积除以 \(2\) 又带来另一个 \(2\) 倍因子。

这种思考方式在较困难的题目中特别有用。它让你在进行任何算术运算之前，先估计答案应该落在哪个范围。

14最常见的误解：只追踪一个变数

假设一个密封气球被加热。

学生可能会说：「温度越高，压力就越高。」

如果体积固定，这个预测是合理的。但气球可以膨胀。

当气体升温时，压力和体积都可能改变。最终结果取决于外部压力、气球的弹性，以及它膨胀了多少。

只有在体积和气体的量保持不变时，\(P\propto T\) 才适用。

这是气体定律中最大的陷阱：每一个比例关系背后都有隐含条件。

不要写下

\[ P\propto T \]

之后就在脑中忘记「在体积和气体的量保持不变时」这个条件。

15第二个陷阱：压力必须是绝对压力

在理想气体定律中，压力指的是绝对压力。

压力计通常显示相对于大气压力的压力。这称为表压。

如果轮胎压力计显示 \(220\ \text{kPa}\)，而大气压力为 \(101\ \text{kPa}\)，则绝对压力约为

\[ P_{\text{absolute}} = 220+101 = 321\ \text{kPa} \]

如果 \(220\ \text{kPa}\) 是表压，那么在理想气体计算中直接使用这个数值就是错误的。

气体定律以真正的零压力为基准，就像温度关系需要以真正的零温度为基准一样。

16问题与解答

问题 1

某气体在 \(120\ \text{kPa}\) 下占有 \(3.00\ \text{L}\) 的体积。它在恒温下被压缩至 \(2.40\ \text{L}\)。气体的量没有改变。

计算最终压力。

解答 1

最终压力为

\[ \boxed{150\ \text{kPa}} \]

因为温度和气体的量保持不变，所以适用波以耳定律：

\[ P_1V_1=P_2V_2 \]

整理得

\[ P_2=\frac{P_1V_1}{V_2} \]

代入：

\[ P_2 = \frac{(120\ \text{kPa})(3.00\ \text{L})} {2.40\ \text{L}} = 150\ \text{kPa} \]

气体被压缩到较小的体积，因此压力增加在物理上是合理的。

问题 2

某气体在 \(15.0^{\circ}\text{C}\) 时占有 \(850\ \text{mL}\) 的体积。它在恒压下被加热，直到温度达到 \(45.0^{\circ}\text{C}\)。气体的量保持不变。

计算最终体积。

有一名学生认为，由于 \(45\) 是 \(15\) 的三倍，因此最终体积应该是 \(2550\ \text{mL}\)。解释这个错误。

解答 2

最终体积约为

\[ \boxed{939\ \text{mL}} \]

学生所提出的三倍关系是错误的，因为气体定律中的温度比必须使用开尔文，而不是摄氏度。

在压力和气体的量保持不变时，适用查理定律：

\[ \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2} \]

换算温度：

\[ T_1=15.0+273.15=288.15\ \text{K} \]

\[ T_2=45.0+273.15=318.15\ \text{K} \]

整理：

\[ V_2=V_1\frac{T_2}{T_1} \]

代入：

\[ \begin{aligned} V_2 &=(850\ \text{mL}) \frac{318.15\ \text{K}}{288.15\ \text{K}} \\ &=939\ \text{mL} \end{aligned} \]

绝对温度只上升了约 10.4%，因此体积也上升相同的百分比。

这个容易出现的误解，是把 \(0^{\circ}\text{C}\) 当作热能为零。事实并非如此。\(0^{\circ}\text{C}\) 等于 \(273.15\ \text{K}\)。

问题 3

一个刚性的 \(5.00\ \text{L}\) 容器内含有 \(0.200\ \text{mol}\) 的理想气体，温度为 \(300\ \text{K}\)。

在把容器加热至 \(360\ \text{K}\) 的同时，再加入 \(0.0500\ \text{mol}\) 的气体。体积保持固定。

初始压力为 \(99.8\ \text{kPa}\)。

在不先使用理想气体常数的情况下，预测最终压力会小于、等于还是大于 \(120\ \text{kPa}\)。然后计算最终压力。

解答 3

最终压力为

\[ \boxed{150\ \text{kPa}} \]

所以它大于 \(120\ \text{kPa}\)。

由于体积固定，

\[ P\propto nT \]

气体的量由 \(0.200\ \text{mol}\) 增加至

\[ n_2=0.250\ \text{mol} \]

即增加了一个

\[ \frac{0.250}{0.200}=1.25 \]

倍的因子。

温度增加了一个

\[ \frac{360}{300}=1.20 \]

倍的因子。

因此，压力应增加

\[ 1.25\times1.20=1.50 \]

倍。

所以即使在精确计算之前，

\[ P_2=1.50P_1 \]

已经很明显会大于 \(120\ \text{kPa}\)。

使用一般的两状态关系式，

\[ \frac{P_1V_1}{n_1T_1} = \frac{P_2V_2}{n_2T_2} \]

消去没有改变的体积，可得

\[ \frac{P_1}{n_1T_1} = \frac{P_2}{n_2T_2} \]

因此，

\[ P_2 = P_1 \frac{n_2T_2}{n_1T_1} \]

代入：

\[ \begin{aligned} P_2 &= (99.8\ \text{kPa}) \frac{(0.250\ \text{mol})(360\ \text{K})} {(0.200\ \text{mol})(300\ \text{K})} \\ &=149.7\ \text{kPa} \end{aligned} \]

所以，

\[ \boxed{P_2\approx150\ \text{kPa}} \]

关键概念是，有两种效应同时令压力上升：粒子数目增加，而且这些粒子的平均动能也增加。

问题 4

两个密封的刚性容器具有相同体积，并处于相同温度。

容器 A 含有 \(0.40\ \text{mol}\) 的氦。容器 B 含有 \(0.40\ \text{mol}\) 的二氧化碳。

一名学生声称，容器 B 的压力一定较高，因为二氧化碳分子的摩尔质量比氦原子大得多。

使用理想气体模型，判断这名学生是否正确，并从分子层面解释原因。

解答 4

这名学生并不正确。根据理想气体模型，两个容器的压力相同。

对每个容器而言，

\[ P=\frac{nRT}{V} \]

\(n\)、\(R\)、\(T\) 和 \(V\) 的数值完全相同，因此计算所得的压力也必须相同。

摩尔质量并没有出现在理想气体方程式中。

在相同温度下，由于氦粒子较轻，氦原子的平均速率会高于二氧化碳分子。不过，一个高速运动的轻粒子在单次碰撞中造成的动量改变，会小于一个移动较慢但质量较大的粒子。

对理想气体而言，这些效应结合起来，使具有相同物质的量、体积和温度的气体产生相同的压力。

这个容易出现的误解，是认为较重的分子一定会更「猛烈」地撞击容器壁，所以一定产生较高压力。这种想法只考虑了粒子的质量，却没有同时考虑在相同温度下分子速率如何随质量而改变。

问题 5

一个密封圆筒装有一个无摩擦、可移动的活塞，内含理想气体。初始状态为

\[ P_1=100\ \text{kPa},\quad V_1=2.00\ \text{L},\quad T_1=300\ \text{K} \]

气体被加热至 \(450\ \text{K}\)。加热期间，活塞向外移动，直到体积变为 \(3.00\ \text{L}\)。

一名学生说：「温度增加了 50%，所以压力也一定增加 50%。」

求最终压力，并准确解释为甚么这个推理不成立。

解答 5

最终压力为

\[ \boxed{100\ \text{kPa}} \]

所以压力完全没有增加。

气体的量保持不变，但体积和温度都有改变。因此，我们使用

\[ \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \]

整理得

\[ P_2 = P_1 \frac{V_1T_2}{T_1V_2} \]

代入：

\[ \begin{aligned} P_2 &= (100\ \text{kPa}) \frac{(2.00\ \text{L})(450\ \text{K})} {(300\ \text{K})(3.00\ \text{L})} \\ &=100\ \text{kPa} \end{aligned} \]

温度增加了一个

\[ \frac{450}{300}=1.50 \]

倍的因子，

但体积也增加了一个

\[ \frac{3.00}{2.00}=1.50 \]

倍的因子。

由于对固定物质的量的气体而言，

\[ P\propto \frac{T}{V} \]

所以这两个因子恰好完全抵消。

这名学生使用了盖-吕萨克关系 \(P\propto T\)，但这个关系要求体积保持不变。在这里，活塞可以自由移动，所以体积并不固定。

问题 6

一份密封的理想气体样本起初处于 \(300\ \text{K}\)。

它在加热的同时，体积被减小。变化后，它的压力恰好变成原来的两倍。

一名学生因此认为最终温度一定是 \(600\ \text{K}\)。

这个结论合理吗？如果不合理，推导最终温度与最终体积之间的关系，并给出一个可能的最终状态。

解答 6

这个结论并不合理，因为温度和体积都发生了改变。仅仅知道压力加倍，并不能告诉我们绝对温度也加倍。

对固定物质的量的气体，

\[ \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \]

已知

\[ P_2=2P_1 \]

而且

\[ T_1=300\ \text{K} \]

代入这些关系：

\[ \frac{P_1V_1}{300} = \frac{(2P_1)V_2}{T_2} \]

消去 \(P_1\)：

\[ \frac{V_1}{300} = \frac{2V_2}{T_2} \]

整理得

\[ T_2 = 600\frac{V_2}{V_1} \]

由于气体被压缩，

\[ V_2<V_1 \]

所以

\[ T_2<600\ \text{K} \]

一个可能的最终状态是

\[ V_2=0.75V_1 \]

那么

\[ T_2 = 600(0.75) = 450\ \text{K} \]

所以，一个可能的最终条件是

\[ \boxed{T_2=450\ \text{K},\quad V_2=0.75V_1} \]

而压力则变为原来的两倍。

最直观的方法之所以失败，是因为 \(P\propto T\) 只在体积保持不变时才成立。当多个变数同时改变时，就必须考虑完整的关系式。

17接下来可以延伸到甚么

理想气体定律不只是把四个变数连系起来。它还提供了一种方法，把气体的宏观测量数据与其中所含物质的量连结起来。

一旦知道 \(n\)，你就可以把气体测量值进一步连系到摩尔质量、化学方程式、反应物质的量和化学平衡计算。真正值得保持的习惯仍然相同：先判断哪些物理量正在改变，再判断哪些量保持不变，最后才选择方程式。