莫耳与阿伏伽德罗常数：HSC 化学指南

一个密封容器中装有 \(0.250\ \text{mol}\) 的水。你无法逐一数出水分子，但在化学中，你仍然需要说明其中有多少个水分子。

在计算之前，先作一个预测。\(0.250\ \text{mol}\) 比较接近一千个分子、十亿个分子，还是 \(10^{23}\) 个分子？

它的数量级是 \(10^{23}\)。这个极其庞大的数字，正是我们需要使用莫耳的原因。原子、分子和离子都非常微小，因此实验室中具有实际用途的样本会含有数量大得惊人的粒子。莫耳让我们能以实用的方式计数这些粒子，而不必真的逐一数出它们。

01莫耳是一种计数单位

你其实早已在使用把物件成组计数的单位。例如，一打表示 12 个物件。如果有人说「两打鸡蛋」，你马上就知道那是 24 颗鸡蛋。

莫耳的运作方式相同，只不过化学需要大得多的一组：

\[
1\ \text{mol} = 6.02214076 \times 10^{23}\ \text{个指定粒子}
\]

这个数字与阿伏伽德罗常数 \(N_A\) 有关：

\[
N_A = 6.02214076 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}
\]

在计算中，你经常会看到它取近似值为 \(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}\)。如果题目提供了一个数值，就使用题目所提供的数值。

因此：

• 1 mol 的氦含有 \(6.02214076 \times 10^{23}\) 个氦原子。
• 1 mol 的水含有 \(6.02214076 \times 10^{23}\) 个水分子。
• 1 mol 的氯化钠含有 \(6.02214076 \times 10^{23}\) 个 \(\ce{NaCl}\) 化学式单位。

「一打」的类比很有用，但也有其限制。一打告诉你有 12 个物件，而一莫耳告诉你有 \(6.02214076 \times 10^{23}\) 个实体。两者都不会告诉你这些物件是甚么，或它们有多重。

一打保龄球和一打棉花糖所包含的物件数量相同，但质量显然不会相同。莫耳也是同样的道理。

02「粒子」实际上是指甚么？

很多莫耳题目会在这里不知不觉变得更难。

假设一道题目说有 \(6.022 \times 10^{23}\) 个「粒子」。究竟是在数甚么？

你需要辨认出指定实体。

例如，\(1\ \text{mol}\) 的 \(\ce{O2}\) 含有 \(6.022 \times 10^{23}\) 个 \(\ce{O2}\) 分子。

但每个分子含有两个氧原子。因此，\(1\ \text{mol}\) 的 \(\ce{O2}\) 所含的氧原子数是两倍：

\[
2(6.022 \times 10^{23}) = 1.2044 \times 10^{24}\ \text{个氧原子}
\]

分子与分子内部原子之间的这项区别，是粒子计数题中最常见的陷阱之一。

03将莫耳数与粒子数连结起来

我们使用三个符号：

• \(n\) 是物质的量，以莫耳（\(\text{mol}\)）为单位。
• \(N\) 是指定粒子的数目。
• \(N_A\) 是阿伏伽德罗常数，以 \(\text{mol}^{-1}\) 为单位。

如果你知道物质的量，想求粒子数：

\[
N = nN_A
\]

为甚么要相乘？

因为每一莫耳都含有 \(6.022 \times 10^{23}\) 个粒子。如果莫耳数更多，就表示你有更多组这个庞大的粒子数。

单位方面也合理：

\[
\text{mol} \times \text{mol}^{-1}
\]

莫耳单位会相消，最后留下实体的个数。

04反过来计算：粒子数转换为莫耳数

现在把问题反过来。

假设你知道一个样本含有 \(3.011 \times 10^{23}\) 个分子。这是多少莫耳？

由于 \(1\ \text{mol}\) 对应 \(6.022 \times 10^{23}\) 个粒子，因此 \(3.011 \times 10^{23}\) 应该是半莫耳。

形式上，把

\[
N = nN_A
\]

重新整理为

\[
n = \frac{N}{N_A}
\]

由此可得一个实用的判断规则：

不要只是死记「往这个方向乘、往那个方向除」，却不了解原因。应该想一想数值的大小。

一莫耳代表极其庞大的粒子数。因此，从一般大小的莫耳数转换成个别粒子时，答案应该会变成一个很大的数。乘以 \(N_A\) 正好会产生这样的结果。

把一个极大的粒子数转换回莫耳数时，则应该得到小得多的数值。除以 \(N_A\) 就会做到这一点。

05下标会改变你正在计数的对象

想像有 \(0.100\ \text{mol}\) 的 \(\ce{CO2}\)。

一个很容易出现的预测是：既然有 \(0.100\ \text{mol}\) 的分子，它就含有 \(0.100\ \text{mol}\) 的原子。

这个预测忽略了每个分子内部包含甚么。

每个 \(\ce{CO2}\) 分子含有：

• 1 个碳原子
• 2 个氧原子
• 总共 3 个原子

因此，\(0.100\ \text{mol}\) 的 \(\ce{CO2}\) 含有：

\[
0.100\ \text{mol 的 C 原子}
\]

\[
0.200\ \text{mol 的 O 原子}
\]

以及

\[
0.300\ \text{mol 的原子总数}
\]

化学式中的下标可以视为粒子之间的比例。

相同的推理也适用于离子化合物。一个 \(\ce{Al2(SO4)3}\) 化学式单位含有：

• 2 个铝离子
• \(3\) 个硫酸根基团
• \(3 \times 4 = 12\) 个氧原子

最后一步十分重要。括号外的 3 会乘上括号内的每一项。

06解答粒子题的可靠方法

当一道题目同时涉及莫耳数和粒子数时，可以按以下顺序处理。

1. 说明实体是甚么。 你正在数的是原子、分子、化学式单位，还是离子？

2. 判断你是否正在莫耳与实体之间转换。

使用：

\[
N = nN_A
\]

或

\[
n = \frac{N}{N_A}
\]

3. 检查化学式。 如果题目要求的是每个分子或化学式单位内部的原子或离子，就利用下标作为比例。

例如：

\[
\ce{CaCl2}
\]

表示每个化学式单位含有两个氯离子。知道 \(\ce{CaCl2}\) 化学式单位的数目后，再乘以 2，就能求出相应的氯离子数。

4. 准确标示最终答案。 只写 \(4.2 \times 10^{23}\) 并不完整。应该写 \(4.2 \times 10^{23}\) 个分子、氧原子、化学式单位，或实际正在计数的其他实体。

07最容易令人误解的观念：一莫耳总是代表相同数目的原子

并不是。

一莫耳总是代表相同数目的指定实体。

考虑 \(1\ \text{mol}\) 的氦和 \(1\ \text{mol}\) 的氢气。

对氦而言：

\[
1\ \text{mol He} = 6.022 \times 10^{23}\ \text{个 He 原子}
\]

对氢气而言：

\[
1\ \text{mol \(\ce{H2}\)} = 6.022 \times 10^{23}\ \text{个 \(\ce{H2}\) 分子}
\]

但每个 \(\ce{H2}\) 分子含有两个氢原子。因此：

\[
1\ \text{mol \(\ce{H2}\)} = 1.2044 \times 10^{24}\ \text{个 H 原子}
\]

两个样本都含有一莫耳各自所述的物质。它们所含的实体数目相同，但原子数并不相同。

每当一道粒子题看起来简单得过头时，都应检查题目是否在不明显之处改变了正在计数的对象。

08题目与解答

问题 1

一个样本含有 \(0.350\ \text{mol}\) 的氖。计算样本中的氖原子数。

解答 1

此样本含有 \(2.11 \times 10^{23}\) 个氖原子。

氖是单原子物质，因此每个氖实体就是一个原子。我们直接利用以下关系式把莫耳数转换成原子数：

\[
N = nN_A
\]

代入：

\[
\begin{aligned}
N &= (0.350\ \text{mol})(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1})\\
&= 2.1077 \times 10^{23}\\
&\approx 2.11 \times 10^{23}
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\boxed{N = 2.11 \times 10^{23}\ \text{个 Ne 原子}}
\]

结果非常大，因为即使只是一莫耳的一部分，也含有极其庞大的微观粒子数。

问题 2

一个容器中有 \(4.82 \times 10^{23}\) 个 \(\ce{NH3}\) 分子。计算 \(\ce{NH3}\) 的物质的量，以莫耳表示。

解答 2

容器中有 \(0.800\ \text{mol}\) 的 \(\ce{NH3}\)。

我们已知分子数，要求莫耳数，因此要除以阿伏伽德罗常数：

\[
n = \frac{N}{N_A}
\]

代入：

\[
\begin{aligned}
n &= \frac{4.82 \times 10^{23}}{6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}}\\
&= 0.8004\ \text{mol}\\
&\approx 0.800\ \text{mol}
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\boxed{n = 0.800\ \text{mol \(\ce{NH3}\)}}
\]

使用除法是合理的，因为我们正在把极大量的个别分子分组成以莫耳为大小的群组。

问题 3

一个样本含有 \(0.0750\ \text{mol}\) 的 \(\ce{Al2(SO4)3}\)。计算这个硫酸铝物质的量所代表的氧原子数。

解答 3

此样本含有 \(5.42 \times 10^{23}\) 个氧原子。

首先求出 \(\ce{Al2(SO4)3}\) 化学式单位的数目：

\[
N = nN_A
\]

\[
\begin{aligned}
N(\ce{Al2(SO4)3})
&= (0.0750\ \text{mol})(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1})\\
&= 4.5165 \times 10^{22}\ \text{个化学式单位}
\end{aligned}
\]

现在检查化学式。每个化学式单位含有三个 \(\ce{SO4}\) 基团，而每个基团含有四个氧原子：

\[
3 \times 4 = 12\ \text{个 O 原子／化学式单位}
\]

因此：

\[
\begin{aligned}
N(\ce{O})
&= 12(4.5165 \times 10^{22})\\
&= 5.4198 \times 10^{23}\\
&\approx 5.42 \times 10^{23}
\end{aligned}
\]

所以：

\[
\boxed{N(\ce{O}) = 5.42 \times 10^{23}\ \text{个氧原子}}
\]

陷阱在于求出化学式单位的数目后便停止。题目要求的是氧原子，因此还必须使用化学式中的资讯。

问题 4

准备了两个密封容器。

• 容器 A 含有 \(0.200\ \text{mol}\) 的 \(\ce{Ne}\)。
• 容器 B 含有 \(0.200\ \text{mol}\) 的 \(\ce{N2}\)。

一名学生说：「两个容器含有相同数目的原子，因为两者都有 \(0.200\ \text{mol}\)。」

这名学生的说法正确吗？计算每个容器中的原子数，并解释两者的差异。

解答 4

这名学生的说法不正确。两个容器含有相同数目的指定粒子，但容器 B 的原子数是容器 A 的两倍。

对容器 A 而言，氖是单原子的：

\[
\begin{aligned}
N(\text{\(\ce{Ne}\) 原子})
&= (0.200\ \text{mol})(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1})\\
&= 1.2044 \times 10^{23}\ \text{个原子}
\end{aligned}
\]

因此：

\[
\boxed{N_A = 1.20 \times 10^{23}\ \text{个原子}}
\]

对容器 B 而言，最初的莫耳计算得到的是 \(\ce{N2}\) 分子的数目：

\[
\begin{aligned}
N(\text{\(\ce{N2}\) 分子})
&= (0.200\ \text{mol})(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1})\\
&= 1.2044 \times 10^{23}\ \text{个分子}
\end{aligned}
\]

每个 \(\ce{N2}\) 分子含有两个氮原子，因此：

\[
\begin{aligned}
N(\text{\(\ce{N}\) 原子})
&= 2(1.2044 \times 10^{23})\\
&= 2.4088 \times 10^{23}\ \text{个原子}
\end{aligned}
\]

因此：

\[
\boxed{N_B = 2.41 \times 10^{23}\ \text{个原子}}
\]

这名学生的推理看起来似乎合理，因为两个容器都含有 \(0.200\ \text{mol}\)。隐藏的问题是，莫耳计数的是指定实体。对氖而言，这些实体是原子。对氮气而言，这些实体是 \(\ce{N2}\) 分子，而每个分子都含有两个原子。

问题 5

某种分子物质的样本含有 \(1.8066 \times 10^{24}\) 个氢原子。该物质的每个分子含有三个氢原子。

计算此分子物质的物质的量，以莫耳表示。

解答 5

此样本含有 \(1.000\ \text{mol}\) 的分子。

题目提供的粒子数是氢原子的数目，但阿伏伽德罗常数必须套用到我们要求其物质的量的实体；在这里，这些实体是分子。

每个分子含有三个氢原子。因此，分子的数目为：

\[
\begin{aligned}
N(\text{分子})
&= \frac{1.8066 \times 10^{24}}{3}\\
&= 6.022 \times 10^{23}\ \text{个分子}
\end{aligned}
\]

现在把分子数转换成莫耳数：

\[
n = \frac{N}{N_A}
\]

\[
\begin{aligned}
n
&= \frac{6.022 \times 10^{23}}
{6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}}\\
&= 1.000\ \text{mol}
\end{aligned}
\]

因此：

\[
\boxed{n = 1.000\ \text{mol}}
\]

重要的一步，是认出 \(1.8066 \times 10^{24}\) 并不是分子数。如果直接用 \(N_A\) 转换这个数值，得到的会是氢原子的物质的量，而不是该分子物质的物质的量。

问题 6

一名学生得到 \(0.100\ \text{mol}\) 的 \(\ce{CaCl2}\)，并写下：

\[
N = (0.100)(6.022 \times 10^{23}) = 6.022 \times 10^{22}
\]

他因此得出结论，认为样本含有 \(6.022 \times 10^{22}\) 个氯离子。

指出他的计算实际上求出了甚么，然后求出这个样本所代表的氯离子数。

解答 6

这项计算正确求出了 \(6.022 \times 10^{22}\) 个 \(\ce{CaCl2}\) 化学式单位，而不是氯离子。此样本代表 \(1.2044 \times 10^{23}\) 个氯离子。

最初的莫耳转换是正确的：

\[
\begin{aligned}
N(\ce{CaCl2})
&= nN_A\\
&= (0.100\ \text{mol})(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1})\\
&= 6.022 \times 10^{22}\ \text{个化学式单位}
\end{aligned}
\]

现在使用化学式 \(\ce{CaCl2}\)。每个化学式单位含有两个氯离子。

因此：

\[
\begin{aligned}
N(\mathrm{Cl}^{-})
&= 2(6.022 \times 10^{22})\\
&= 1.2044 \times 10^{23}\ \text{个氯离子}
\end{aligned}
\]

所以：

\[
\boxed{N(\mathrm{Cl}^{-}) = 1.20 \times 10^{23}\ \text{个氯离子}}
\]

这名学生的算术并没有问题。错误在于他把错误的意义赋予了计算结果。在莫耳计算中，准确辨认 \(N\) 究竟在计数甚么，与使用正确的方程式同样重要。

掌握了这种粒子计数关系后，下一个很有用的连结就是质量。莫耳质量让你把克转换成莫耳，而阿伏伽德罗常数再把这些莫耳转换成粒子。这形成定量化学中其中一条最核心的转换路径：

\[
\text{质量} \longleftrightarrow \text{莫耳数} \longleftrightarrow \text{粒子数}
\]

这条路径也正是后续化学计量得以进行的基础：化学方程式比较的是粒子，而实验室中的测量通常以克为单位。