HSC 物理：二维动量守恒

一个冰球向东滑行，撞上另一个冰球，随后两个冰球沿不同角度飞开。你已经知道碰撞过程中动量守恒，但这里有一个明显的问题：现在动量指向不同的方向。你不能直接把速率相加。

在继续阅读之前，先预测一下：如果一次碰撞中总的向东动量保持不变，这是否自动意味着总的向北动量也保持不变？

是的，前提是系统受到的外部冲量可以忽略。关键在于，动量是一个矢量。守恒定律适用于整个矢量，这意味着它在相互垂直方向上的分量也分别守恒。在实际解题中，我们通常选定一个 \(x\) 方向和一个 \(y\) 方向，然后把问题分解成两个更简单的一维动量问题来解决。

01基本思路：把运动分解到两个方向

想象你正在观察一架无人机沿东北方向斜着飞。你可以用两种等价的方式描述它的速度：

• 一个斜向的速度矢量，或者
• 一个向东的速度分量加上一个向北的速度分量。

同样的思路也适用于动量。

动量为

\[
\vec p = m\vec v
\]

其中，\(\vec p\) 是动量，单位为 \(\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)；\(m\) 是质量，单位为千克；\(\vec v\) 是速度，单位为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)。

因为速度有方向，所以动量也有方向。

假设一个物体的速度大小为 \(v\)，方向与正 \(x\) 轴成 \(\theta\) 角。它的速度分量为

\[
v_x = v\cos\theta
\]

以及

\[
v_y = v\sin\theta.
\]

因此，它的动量分量为

\[
p_x = mv\cos\theta
\]

以及

\[
p_y = mv\sin\theta.
\]

你可以在脑中保留这样一个简单的图像：斜向动量本身只有一个箭头，只是我们用两个相互垂直方向上的数值来描述这个箭头。

这并不意味着物体 somehow 拥有两个独立的动量。\(x\) 分量和 \(y\) 分量只是同一个动量矢量的两个组成部分。

02为什么可以分别对 \(x\) 和 \(y\) 方向应用动量守恒？

对于外部冲量可以忽略的系统，

\[
\vec p_{\text{初}} = \vec p_{\text{末}}.
\]

两个矢量相等，意味着它们对应的各个分量都必须相等。因此，

\[
p_{x,\text{初}} = p_{x,\text{末}}
\]

以及

\[
p_{y,\text{初}} = p_{y,\text{末}}.
\]

对于多个物体，这可以写成

\[
\sum p_{x,\text{初}} = \sum p_{x,\text{末}}
\]

以及

\[
\sum p_{y,\text{初}} = \sum p_{y,\text{末}}.
\]

这就是所有二维动量问题背后的核心方法。

可以用一个稍微有点荒谬的类比来理解：把餐厅账单分成“食物”和“饮料”两类。如果核对账单前后的总金额没有变化，那么在分别记录这两类支出的前提下，两类账目也必须各自对得上。你不能用“饮料多了 20 美元”去解释“食物少算了 20 美元”。

当然，这个类比并不完全成立，因为动量分量并不是现实中的不同类别，而是同一个矢量的数学分量。不过，这种“分别记账”的思路很有用。

03计算之前先确定正负号

二维动量题里，大多数错误其实并不是动量概念上的错误，而是正负号错误。

开始计算之前，先规定哪些方向为正方向。一种常见的选择是：

• 向右或向东：\(+x\)
• 向左或向西：\(-x\)
• 向上或向北：\(+y\)
• 向下或向南：\(-y\)

然后从头到尾保持一致。

例如，一个物体以 \(10\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速度沿“西偏北 \(40^\circ\)”方向运动，则

\[
v_x = -10\cos40^\circ
\]

以及

\[
v_y = 10\sin40^\circ.
\]

这里余弦项为负，并不是因为余弦函数有什么特殊之处，而是因为物体向西运动，而我们把西方规定为 \(x\) 轴负方向。

一个实用的分量表

对于较复杂的碰撞，在写动量守恒方程之前先整理信息。

撇号只是表示“相互作用之后”。

接下来分别对每一列应用守恒定律即可。

05最容易犯的错误：守恒速率，而不是守恒动量

假设两个相同的小球从不同角度靠近并发生碰撞。一名学生可能会想：“因为动量守恒，所以碰撞前的总速率应该等于碰撞后的总速率。”

听起来似乎合理，但这是错误的。

动量为

\[
\vec p=m\vec v,
\]

所以质量和速度的方向都很重要。动量守恒并不意味着各个物体的速率保持不变，甚至也不意味着动能保持不变。

在非弹性碰撞中，动能可以减少，而动量仍然守恒。

真正可靠的问题不是：

速率发生了什么变化？

而是：

相互作用前后，总的 \(x\) 和 \(y\) 方向动量分量分别是多少？

06不要只守恒大小

这里还有另一个常见陷阱。

假设初始总动量为

\[
\vec p=(3,4)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

它的大小为

\[
|\vec p|=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

如果最终动量为

\[
\vec p=(-3,4)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}},
\]

这是否满足动量守恒？

不满足。

两个矢量的大小都是 \(5\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)，但它们指向不同方向。\(x\) 分量已经从 \(+3\) 变成了 \(-3\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)。

动量守恒要求保持不变的是整个矢量，而不仅仅是它的大小。

08解决任何二维动量问题的可靠方法

对于大多数 HSC 题目，可以按照以下顺序：

1. 确定 \(+x\) 和 \(+y\) 方向。 通常取向右和向上比较方便。
2. 画出或在脑中确认每个速度的方向。
3. 把带角度的速度分解成分量。
4. 用速度分量乘以质量，得到动量分量。
5. 把所有初始 \(x\) 方向动量相加。
6. 把所有初始 \(y\) 方向动量相加。
7. 对 \(x\) 方向应用动量守恒。
8. 对 \(y\) 方向应用动量守恒。
9. 解出未知分量。
10. 只在最后重新合成分量；如果需要大小和方向，再使用勾股定理和三角函数。

之所以应当推迟到最后才计算最终大小，是因为动量守恒用分量处理最直接。从一开始就处理斜向矢量的大小，通常只会引入不必要的几何运算。

09动量究竟在什么情况下守恒？

“动量守恒”这句话总是针对一个选定的系统而言。

对于一个系统，

\[
\Delta\vec p=\vec J_{\text{ext}},
\]

其中，\(\vec J_{\text{ext}}\) 是净外部冲量。

如果相互作用过程中外部冲量为零或可以忽略，

\[
\Delta\vec p\approx0,
\]

那么总动量就近似守恒。

这一点在碰撞问题中很重要，因为物体之间相互施加的力属于内力。这些力可以显著改变每个单独物体的动量，同时保持整个系统的总动量不变。

例如，如果两个冰球在几乎无摩擦的表面上发生碰撞，把两个冰球共同选作系统，通常就可以方便地应用动量守恒。

如果你只把其中一个冰球作为系统，那么另一个冰球施加的力对这个系统来说就是外力。此时，这一个冰球自身的动量通常不守恒。

10如果只有一个方向上存在外部冲量怎么办？

这正是把 \(x\) 和 \(y\) 分开处理更有价值的地方。

想象一个球撞上一面光滑的竖直墙。在碰撞过程中，墙会对球施加很强的水平方向作用力。如果其他冲量可以忽略，那么外部冲量主要是水平方向的。

你应当预期：

• 球的水平动量可以发生变化，
• 球的竖直动量可能近似保持不变。

因此，对于选定的系统，完全可能出现一个方向上的动量守恒，而另一个方向上的动量不守恒。

这并不矛盾。冲量-动量关系的分量形式为

\[
\Delta p_x=J_x
\]

以及

\[
\Delta p_y=J_y.
\]

如果 \(J_y=0\)，那么即使 \(J_x\neq0\)，\(p_y\) 仍然守恒。

在分析与墙壁、倾斜表面的碰撞，或分析受到外力作用的系统时，这一思路尤其有用。

11问题与解答

问题 1

一个质量为 \(0.50\ \mathrm{kg}\) 的物体以 \(8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 沿东偏北 \(30^\circ\) 的方向运动。计算其 \(x\) 和 \(y\) 方向的动量分量。

解答 1

动量分量分别为 \(\boxed{3.46\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\text{，向东}}\) 和 \(\boxed{2.00\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\text{，向北}}\)。

先求总动量的大小：

\[
p=mv=(0.50)(8.0)=4.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

各分量为

\[
p_x=p\cos30^\circ
=(4.0)\cos30^\circ
=3.46\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}},
\]

以及

\[
p_y=p\sin30^\circ
=(4.0)\sin30^\circ
=2.00\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

两个分量都为正，因为物体同时向北和向东运动。一个常见错误是直接把 \(8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 当作动量。动量还取决于质量。

问题 2

一个质量为 \(0.20\ \mathrm{kg}\) 的冰球以 \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向东运动，并与一个静止的 \(0.30\ \mathrm{kg}\) 冰球发生碰撞。碰撞后它们粘在一起。

求它们最终速度的大小和方向。

解答 2

粘在一起的两个冰球以 \(\boxed{2.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}\text{ 向东}}\) 运动。

初始时，所有动量都在 \(x\) 方向：

\[
p_{x,\text{初}}=(0.20)(6.0)=1.2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

初始 \(y\) 方向动量为零：

\[
p_{y,\text{初}}=0.
\]

最终总质量为

\[
m=0.20+0.30=0.50\ \mathrm{kg}.
\]

对 \(x\) 方向应用动量守恒，

\[
1.2=(0.50)v_x,
\]

因此

\[
v_x=2.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

对 \(y\) 方向应用动量守恒可得

\[
0=(0.50)v_y,
\]

因此

\[
v_y=0.
\]

所以最终速度完全向东。即使某一个分量恰好为零，二维方法仍然完全适用。

问题 3

一个质量为 \(0.40\ \mathrm{kg}\) 的冰球以 \(5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向东运动。它与另一个质量为 \(0.60\ \mathrm{kg}\)、以 \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向南运动的冰球发生碰撞并粘在一起。

求它们最终速度的大小和方向。

解答 3

合并后的冰球以 \(\boxed{2.33\ \mathrm{m\,s^{-1}}}\) 的速率运动，方向约为 \(\boxed{\text{东偏南 }31.0^\circ}\)。

规定向东为 \(+x\)，向北为 \(+y\)。

初始 \(x\) 方向动量为

\[
p_x=(0.40)(5.0)=2.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

第二个冰球向南运动，因此它的 \(y\) 方向动量为负：

\[
p_y=(0.60)(-2.0)=-1.2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

合并后的质量为

\[
m=0.40+0.60=1.00\ \mathrm{kg}.
\]

因此，

\[
v_x=\frac{2.0}{1.00}=2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\]

以及

\[
v_y=\frac{-1.2}{1.00}=-1.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

速度大小为

\[
v=\sqrt{(2.0)^2+(-1.2)^2}
=2.33\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

对于方向，

\[
\tan\theta=\frac{|v_y|}{|v_x|}
=\frac{1.2}{2.0},
\]

因此

\[
\theta=31.0^\circ.
\]

由于 \(v_x\) 为正而 \(v_y\) 为负，因此方向为东偏南。这里的负号并不表示“负速率”，而是在说明 \(y\) 分量的方向。

问题 4

一个原本静止的物体在水平面上爆炸成三个碎片。碎片 A 的动量为

\[
\vec p_A=(4.0,\,3.0)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}},
\]

碎片 B 的动量为

\[
\vec p_B=(-1.0,\,2.0)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

爆炸过程中的外部冲量可以忽略。

求碎片 C 的动量矢量，然后计算其大小和方向。

解答 4

碎片 C 的动量为 \(\boxed{\vec p_C=(-3.0,\,-5.0)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}}\)，大小为 \(\boxed{5.83\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}}\)，方向约为 \(\boxed{\text{西偏南 }59.0^\circ}\)。

该物体初始静止，所以初始总动量为零：

\[
\vec p_{\text{初}}=(0,0).
\]

因此，根据动量守恒，

\[
\vec p_A+\vec p_B+\vec p_C=(0,0).
\]

对于 \(x\) 方向，

\[
4.0+(-1.0)+p_{Cx}=0,
\]

因此

\[
p_{Cx}=-3.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

对于 \(y\) 方向，

\[
3.0+2.0+p_{Cy}=0,
\]

因此

\[
p_{Cy}=-5.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

大小为

\[
p_C=\sqrt{(-3.0)^2+(-5.0)^2}
=\sqrt{34}
=5.83\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

参考角满足

\[
\tan\theta=\frac{5.0}{3.0},
\]

因此

\[
\theta=59.0^\circ.
\]

两个分量都为负，所以矢量指向西南方向。

一个很诱人的错误捷径，是把 A 和 B 的动量大小直接相加，然后让 C 具有大小相同、方向相反的动量。这种做法不成立，因为 A 和 B 指向不同方向。必须先分别相加它们的分量。

问题 5

两个物体在水平面上发生碰撞。测量结果显示，这两个物体组成的系统在碰撞前一瞬间的总动量为

\[
\vec p_i=(6.0,\,2.0)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}
\]

而碰撞后一瞬间的总动量为

\[
\vec p_f=(6.0,\,1.4)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

一名学生说：“这个实验近似验证了动量守恒，因为 \(x\) 方向动量完全没有变化。”

评价这名学生的说法。根据测量结果，求所对应的外部冲量。

解答 5

这名学生的结论并不完整：测量结果表明 \(x\) 方向的动量守恒，但整个二维动量矢量并不守恒。测得的变化对应的外部冲量为 \(\boxed{(0,\,-0.60)\ \mathrm{N\,s}}\)。

动量变化为

\[
\Delta\vec p=\vec p_f-\vec p_i.
\]

因此，

\[
\Delta\vec p
=(6.0-6.0,\ 1.4-2.0)
=(0,\,-0.60)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

由于冲量等于动量变化，

\[
\vec J_{\text{ext}}
=\Delta\vec p
=(0,\,-0.60)\ \mathrm{N\,s}.
\]

\(x\) 分量为零，说明没有测量到 \(x\) 方向上的净外部冲量。然而，负的 \(y\) 分量意味着系统损失了 \(0.60\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) 的 \(y\) 方向动量。

因此，对于所选系统而言，完整的动量矢量并不守恒，除非这种差异可以由实验不确定度来解释。只检查一个分量是不够的。

问题 6

一个球以速度分量

\[
v_x=7.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad
v_y=3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

撞向一面光滑的竖直墙。

从墙上反弹后，测得其速度分量为

\[
v’_x=-5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad
v’_y=3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

一名学生认为，这个结果违反了动量守恒，因为球的 \(x\) 方向动量发生了变化。

这名学生说得对吗？在不知道球质量的情况下，说明我们能得出什么结论，又不能得出什么结论。

解答 6

这名学生不能据此声称动量守恒被违反。球本身的动量并不守恒，因为墙会对球施加外部冲量。在不知道球质量的情况下，我们可以确定该冲量的方向和相对形式，但不能得到它的数值大小。

对于质量为 \(m\) 的球，它在 \(x\) 方向上的动量变化为

\[
\Delta p_x
=m(v’_x-v_x)
=m(-5.0-7.0)
=-12m\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
\]

它在 \(y\) 方向上的动量变化为

\[
\Delta p_y
=m(v’_y-v_y)
=m(3.0-3.0)
=0.
\]

因此，球受到的外部冲量为

\[
\vec J=(-12m,\,0)\ \mathrm{N\,s}.
\]

墙提供了一个水平方向的冲量，使球的水平速度分量反向并减小。测量结果显示，它的竖直动量分量没有变化。

若要应用动量守恒，就需要选择一个更大的系统，把墙也包括在内，并最终包括支撑墙体的物体。球失去水平方向的动量，而这个更大系统中的其余部分会获得相应的动量。

这个问题揭示了一个重要的隐含前提：只说“动量守恒”本身永远不够。你必须先问：哪个系统的动量？

12这种方法接下来能让你解决什么问题

二维动量本质上就是用一种方便的形式来表达矢量守恒。一旦你能够把碰撞分解成 \(x\) 和 \(y\) 分量，就可以分析远不止“两个物体在平面上碰来碰去”这一类问题。

同样的推理还可以处理爆炸、不同方向上的反冲、斜碰撞，以及只有一个方向受到外部冲量的情形。它还直接联系到冲量的矢量形式，

\[
\vec J=\Delta\vec p,
\]

这个关系不仅能解释动量是否发生变化，还能说明究竟是哪个分量发生了变化，以及为什么会发生变化。