HSC 物理：冲量与动量变化

一只板球正以 30 m/s 的速度朝你飞来。你可以用僵硬不动的双手接住它，让它停下；也可以在接球时让双手随着球向后移动。在这两种情况下，球的初始动量相同，最终都静止下来。

在继续阅读前先预测一下：让双手向后移动，会减小球的动量变化，还是会改变其他量？

无论哪种情况，动量变化都相同。改变的是产生这一动量变化所需的时间。停止所用的时间越长，平均力就越小。

这一个概念就能解释为什么汽车要安装安全气囊、为什么体操垫是软的、为什么落地时要屈膝，以及为什么仅持续几毫秒的碰撞也能产生巨大的力。

01从动量开始

在讨论冲量之前，我们需要先了解正在发生变化的物理量。

对于沿直线运动的物体，动量为

\[ p = mv \]

其中：

• \(p\) 是动量，单位为 \(\text{kg m/s}\)
• \(m\) 是质量，单位为 \(\text{kg}\)
• \(v\) 是速度，单位为 \(\text{m/s}\)

动量是矢量，因此其方向很重要。

假设我们规定向右运动为正方向。一辆质量为 2.0 kg、以 3.0 m/s 向右运动的小车，其动量为

\[ p = (2.0)(3.0) = 6.0\text{ kg m/s} \]

一辆质量为 2.0 kg、以 3.0 m/s 向左运动的小车，其动量为

\[ p = (2.0)(-3.0) = -6.0\text{ kg m/s} \]

负号并不意味着这辆小车具有某种神秘的“负动量”。它只是表示动量指向我们所选定的负方向。

02动量变化并不总是简单的“末速度大小减初速度大小”

任何矢量的变化量都是

\[ \Delta p = p_f - p_i \]

其中 \(p_i\) 是初动量，\(p_f\) 是末动量。

如果质量保持不变，

\[ \Delta p = mv_f - mv_i \]

因此

\[ \Delta p = m(v_f-v_i) \]

这意味着，物体反向运动所产生的动量变化，可能比仅仅停下来大得多。

设一个质量为 0.15 kg 的球以 \(20\text{ m/s}\) 向右运动。

如果它停下来，

\[ \Delta p = (0.15)(0)-(0.15)(20)=-3.0\text{ kg m/s} \]

但如果它以 \(20\text{ m/s}\) 的速度向左反弹，

\[ \Delta p = (0.15)(-20)-(0.15)(20)=-6.0\text{ kg m/s} \]

反弹产生的动量变化量的大小是停止时的两倍。

这是 HSC 中一个常见的陷阱。学生可能会想：“速率仍然是 20 m/s，所以变化应该不大。”但速度已经从 \(+20\text{ m/s}\) 变成了 \(-20\text{ m/s}\)。方向很重要。

03力是如何参与其中的

牛顿第二定律可以用动量表示为：

\[ F_{\text{net}}=\frac{\Delta p}{\Delta t} \]

移项可得这里所需要的关系式：

\[ \Delta p=F_{\text{net}}\Delta t \]

其中：

• \(\Delta p\) 是动量变化，单位为 \(\text{kg m/s}\)
• \(F_{\text{net}}\) 是合力，单位为牛顿（\(\text{N}\)）
• \(\Delta t\) 是力作用的时间，单位为秒（\(\text{s}\)）

乘积 \(F_{\text{net}}\Delta t\) 称为冲量。

因此：

\[ \text{冲量}=\Delta p \]

冲量的单位为 \(\text{N s}\)。它与 \(\text{kg m/s}\) 等价，因为

\[ 1\text{ N s} = 1\left(\frac{\text{kg m}}{\text{s}^2}\right)\text{s} = 1\text{ kg m/s} \]

这个方程为我们提供了一个很有用的理解方式。力会改变动量，但变化的大小还取决于力作用了多长时间。

一个较小的力如果持续作用数秒，也可以产生与一个很大的力短暂作用时相同的冲量。

04为什么碰撞时间会改变力的大小

再回到板球的例子。

假设它的动量变化量大小为 \(6.0\text{ kg m/s}\)。如果你在 \(0.010\text{ s}\) 内使它停下，

\[ F_{\text{avg}}=\frac{\Delta p}{\Delta t} =\frac{6.0}{0.010} =600\text{ N} \]

如果你的双手向后移动，使停止时间增加到 \(0.060\text{ s}\)，

\[ F_{\text{avg}}=\frac{6.0}{0.060} =100\text{ N} \]

动量变化仍然是 \(6.0\text{ kg m/s}\)。你并没有以某种方式和球“协商”出一个更小的动量变化。你只是把相同的变化分摊到了六倍长的时间里，使平均力减小为原来的六分之一。

一个稍微有点荒唐的类比，是用一句难以启齿的话结束一段关系。“坏消息的总量”也许是固定的，但在半秒内一下子听完，与有时间慢慢消化，感受显然很不一样。在这里，固定的量是动量变化，而被拉长的是时间。当然，这个类比也有局限，因为冲量是一个可以精确测量的物理量，而情感伤害显然不是。

物理中的判断规则要简单得多：

对于相同的动量变化，增大碰撞时间会减小平均合力的大小。

数学上，

\[ F_{\text{avg}}=\frac{\Delta p}{\Delta t} \]

如果 \(\Delta p\) 固定，则 \(F_{\text{avg}}\) 与 \(\Delta t\) 成反比。

停止时间增加到两倍，平均力就减半。

停止时间增加到三倍，平均力就变为原来的三分之一。

05“合力”这一点很重要

这个方程涉及的是合力，并不一定就是某一个特定物体所施加的力。

对于水平方向的碰撞，如果其他水平力可以忽略，那么接触力实际上可能就等于水平方向上的合力。

在其他情况下，你需要考虑所有力。

例如，在竖直落地过程中，人在受到地面向上的作用力时，重力仍然持续作用。与人的动量变化对应的冲量来自合力：

\[ F_{\text{net}}=F_{\text{ground}}-mg \]

这里规定向上为正方向。

在较难的问题中，这一区别非常重要。你不能总是在算出 \(\Delta p/\Delta t\) 后，立刻把答案称为“地面对人的作用力”。

06实际碰撞中的力通常不是恒定的

方程

\[ \Delta p=F_{\text{net}}\Delta t \]

在 \(F_{\text{net}}\) 在该时间间隔内保持恒定时是精确成立的。

在真实碰撞中，力通常会迅速变化。两个物体接触时会发生形变，力逐渐增大到峰值，然后随着物体分离再次减小。

在这种情况下，我们通常把方程中的 \(F_{\text{net}}\) 理解为平均合力：

\[ \Delta p=F_{\text{avg}}\Delta t \]

更一般地说，冲量等于力-时间图像下方的面积。

因此，只要图像下方的面积相等，两次碰撞的力-时间图像即使形状不同，也可以产生完全相同的动量变化。

这也提供了另一种理解安全装置的方法。汽车的溃缩区并不需要让冲量消失。如果汽车的动量必须从初始值变为零，那么这个动量变化就是固定的。溃缩区所做的是延长碰撞时间，并改变力-时间关系，从而减小平均力，而且通常也会减小峰值力。

07一个很诱人的误解：“更柔和的碰撞意味着更小的冲量”

不一定。

假设两个完全相同的鸡蛋以相同的速度向下运动。一个落在混凝土地面上，几乎立刻停下。另一个落在厚厚的软垫上，也最终静止。

预测一下两个鸡蛋所受的冲量。

如果两个鸡蛋的初动量相同，并且最终动量都为零，那么它们经历的动量变化相同。因此，它们受到的合冲量也相同。

软垫起作用，是因为这个冲量是在更长的时间内产生的：

\[ F_{\text{avg}}=\frac{\Delta p}{\Delta t} \]

\(\Delta t\) 越长，平均力越小。

因此，关键区别是：

这张表中隐含着一个条件：两个物体必须确实具有相同的初动量和末动量。如果一个反弹而另一个不反弹，那么它们的动量变化就不会相等。

08反弹可能增大力

假设一个球带着向下的动量到达地面，随后出现两种情况之一：

1. 静止下来，或
2. 向上反弹。

哪种情况需要更大的冲量？

反弹。

停止只需要消除原先向下的动量。而反弹不仅必须先消除这个向下的动量，还要进一步产生向上的动量。

例如，规定向上为正方向。一个最初以 \(6\text{ m/s}\) 向下运动的球有 \(v_i=-6\text{ m/s}\)。

如果它停下来，

\[ \Delta v=0-(-6)=+6\text{ m/s} \]

如果它以 \(4\text{ m/s}\) 向上反弹，

\[ \Delta v=4-(-6)=+10\text{ m/s} \]

在质量相同的情况下，反弹需要更大的动量变化。

如果接触时间相同，那么反弹也就需要更大的平均合力。

09解决冲量问题的可靠方法

遇到冲量或碰撞问题时，不要一开始就急着套用 \(F\Delta t=\Delta p\)。先弄清楚究竟是什么量发生了变化。

一个可靠的步骤顺序是：

1. 选择一个正方向。
2. 为每个速度写出正确的正负号。
3. 计算初动量。
4. 计算末动量。
5. 求 \(\Delta p=p_f-p_i\)。
6. 使用 \(\Delta p=F_{\text{avg}}\Delta t\)。
7. 将正负号解释为方向。
8. 检查题目问的是合力，还是某个特定的接触力。

第二步能避免很大一部分错误。如果物体发生反弹，它的末速度必须与初速度取相反的符号。

10问题与解答

问题 1

一辆 \(0.50\text{ kg}\) 的小车以 \(4.0\text{ m/s}\) 向东运动。一个合力使它在 \(0.20\text{ s}\) 内停止。

计算：

a) 小车的动量变化

b) 作用在小车上的平均合力。

解答 1

小车的动量变化为 \(2.0\text{ kg m/s}\)，方向向西；平均合力为 \(10\text{ N}\)，方向向西。

规定向东为正方向。

初动量和末动量分别为

\[ p_i=mv_i=(0.50)(4.0)=2.0\text{ kg m/s} \]

以及

\[ p_f=(0.50)(0)=0 \]

所以

\[ \Delta p=p_f-p_i =0-2.0 =-2.0\text{ kg m/s} \]

负号表示向西。

对于力，

\[ F_{\text{avg}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{-2.0}{0.20} = -10\text{ N} \]

因此，

\[ \boxed{\Delta p=2.0\text{ kg m/s，向西}} \]

以及

\[ \boxed{F_{\text{avg}}=10\text{ N，向西}} \]

力的方向向西，因为小车需要一个向西的冲量来消除它原本向东的动量。

问题 2

两个完全相同、质量均为 \(0.060\text{ kg}\) 的球分别以 \(15\text{ m/s}\) 撞上两个不同的缓冲垫，并最终静止。

球 A 在 \(0.0030\text{ s}\) 内停止。球 B 在 \(0.012\text{ s}\) 内停止。

比较：

a) 它们的动量变化

b) 它们的平均合力大小。

解答 2

两个球的动量变化相同，但球 A 所受的平均合力是球 B 的四倍。

两个球的质量、初速度和末速度都相同。因此，它们的动量变化必然相同。

动量变化量的大小为

\[ |\Delta p| = m|v_f-v_i| = (0.060)|0-15| = 0.90\text{ kg m/s} \]

对于球 A，

\[ |F_A| = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{0.90}{0.0030} = 300\text{ N} \]

对于球 B，

\[ |F_B| = \frac{0.90}{0.012} = 75\text{ N} \]

因此，

\[ \boxed{|F_A|=300\text{ N}} \]

以及

\[ \boxed{|F_B|=75\text{ N}} \]

因为

\[ \frac{300}{75}=4 \]

所以球 A 所受的平均力是球 B 的四倍。

一个很容易犯的错误，是认为较软的缓冲垫让球 B 受到的冲量更小。事实并非如此。两个球经历的动量变化相同。球 B 的缓冲垫只是用四倍长的时间完成了这一变化。

问题 3

一个 \(0.25\text{ kg}\) 的球以 \(10\text{ m/s}\) 向东运动，撞上障碍物后以 \(6.0\text{ m/s}\) 向西反弹。接触时间为 \(0.080\text{ s}\)。

计算球所受的平均合力。

一名学生却把速度变化计算为 \(10-6=4\text{ m/s}\)。解释这一错误。

解答 3

平均合力为 \(50\text{ N}\)，方向向西。该学生的错误在于把速度当成了不考虑方向的量。

规定向东为正方向。

于是

\[ v_i=+10\text{ m/s} \]

以及

\[ v_f=-6.0\text{ m/s} \]

因为向西为负方向。

动量变化为

\[ \Delta p = m(v_f-v_i) = (0.25)(-6.0-10) = (0.25)(-16) = -4.0\text{ kg m/s} \]

现在应用冲量关系：

\[ F_{\text{avg}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{-4.0}{0.080} = -50\text{ N} \]

所以，

\[ \boxed{F_{\text{avg}}=50\text{ N，向西}} \]

学生用 \(10-6\) 进行计算，比较的是速率，而不是速度。球并不是简单地从 \(10\text{ m/s}\) 减速到 \(6\text{ m/s}\)。它是从 \(+10\text{ m/s}\) 变为 \(-6\text{ m/s}\)，因此

\[ \Delta v=-6-10=-16\text{ m/s} \]

方向反转会使动量变化变大，而不是变小。

问题 4

一名质量为 \(65\text{ kg}\) 的人在以 \(3.0\text{ m/s}\) 向下运动后竖直落地。从双脚首次接触地面开始，其质心经过 \(0.25\text{ s}\) 后静止。

规定向上为正方向，并取 \(g=9.8\text{ m/s}^2\)。

计算：

a) 在停止过程中作用在人身上的平均合力

b) 地面对人施加的平均向上作用力。

解答 4

平均合力为 \(780\text{ N}\)，方向向上；而地面对人施加的平均力约为 \(1.42\times10^3\text{ N}\)，方向向上。

这里最重要的陷阱是：\(\Delta p/\Delta t\) 得到的是合力，而不是单独的地面作用力。

初速度方向向下，因此

\[ v_i=-3.0\text{ m/s} \]

且

\[ v_f=0 \]

动量变化为

\[ \Delta p = m(v_f-v_i) = (65)(0-(-3.0)) = 195\text{ kg m/s} \]

方向向上。

因此，

\[ F_{\text{net,avg}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{195}{0.25} = 780\text{ N} \]

所以，

\[ \boxed{F_{\text{net,avg}}=780\text{ N，向上}} \]

但是，在人与地面接触期间，有两个主要的竖直力作用在人身上：地面向上的作用力 \(F_G\)，以及向下的重力 \(mg\)。

规定向上为正方向，

\[ F_{\text{net}}=F_G-mg \]

人的重力为

\[ mg=(65)(9.8)=637\text{ N} \]

因此，

\[ 780=F_G-637 \]

所以

\[ F_G=1417\text{ N} \]

按照合适的有效数字表示，

\[ \boxed{F_G\approx1.42\times10^3\text{ N，向上}} \]

地面作用力必须大于合力，因为与此同时，重力还在向下拉着人。

问题 5

两个完全相同的球以相同的速率分别撞向两面墙。每次碰撞都恰好持续 \(0.020\text{ s}\)。

球 X 粘在墙上，最终静止。

球 Y 沿原路反弹，反弹速率与碰撞前相同。

在不指定具体质量或速率数值的情况下，求它们平均合力大小之比

\[ \frac{|F_Y|}{|F_X|} \]

并解释为什么结果与实际质量和速率无关。

解答 5

这个比值为 \(\boxed{2}\)：球 Y 所受平均合力的大小是球 X 的两倍。

设每个球的质量为 \(m\)，初始速率为 \(v\)。规定初始运动方向为正方向。

对于球 X，

\[ v_i=+v,\qquad v_f=0 \]

因此

\[ \Delta p_X = m(0-v) = -mv \]

于是

\[ |\Delta p_X|=mv \]

对于球 Y，

\[ v_i=+v,\qquad v_f=-v \]

因此

\[ \Delta p_Y = m(-v-v) = -2mv \]

并且

\[ |\Delta p_Y|=2mv \]

两次碰撞持续的时间都为 \(\Delta t\)，所以

\[ |F_X|=\frac{mv}{\Delta t} \]

以及

\[ |F_Y|=\frac{2mv}{\Delta t} \]

因此，

\[ \frac{|F_Y|}{|F_X|} = \frac{2mv/\Delta t}{mv/\Delta t} = \boxed{2} \]

质量、速率和碰撞时间之所以会约掉，是因为它们在两种情况下都相同。

关键在于，球 Y 所受的冲量必须先足以消除它原来的动量，然后再让它获得大小相同、方向相反的动量。因此，与单纯停下相比，反弹会使动量变化加倍。

11掌握这个概念后，你接下来可以做什么

冲量把碰撞过程中的力与碰撞前后的运动状态联系起来。

当你熟悉

\[ \Delta p=F_{\text{avg}}\Delta t \]

之后，就可以分析力-时间图像、比较不同的安全系统，并理解反弹问题，而不再把碰撞力看成一种难以理解的神秘量。

下一步的重要内容，是将它与动量守恒结合起来。冲量告诉你，一个物体的动量如何因某个力在一段时间内的作用而发生变化。动量守恒则让你能够追踪在整个孤立系统中，相互作用的物体之间是如何传递动量的。