自由体图：如何在 HSC 物理中正确绘制力

一个箱子正在粗糙的地板上向右滑动。箭头应该指向哪个方向？

大多数学生会画一个向右的箭头，因为箱子正在向右移动。这看起来很合理，但可能完全错误。自由体图不是用来表示运动方向的。它表示的是作用在某一个选定物体上的力。

这个差别就是整个关键。

假设箱子正在向右移动，但速度正在减慢。在继续阅读之前，先预测水平方向的合力应指向哪里。

它必须指向左方。物体可以向右移动，同时合力却指向左方。速度告诉你物体如何运动；合力告诉你它的速度如何改变。

一幅好的自由体图，会在开始代数运算之前先把这些概念分清楚。

01自由体图实际上在做甚么

想像你把一个物体从复杂的情境中单独取出来，让它独自在聚光灯下。暂时忽略场景中的其他部分，然后问：

此刻有哪些其他物体正在与这个物体相互作用？

每一种相互作用都可能产生一个力。

以一本静止放在书桌上的书为例：

• 地球透过重力把书向下拉。
• 书桌透过接触把书向上推。

这些就是作用在书上的力。

书也会透过重力把地球向上拉，并把书桌向下推。这些力是真实存在的，但它们作用在地球和书桌上，而不是作用在书上。因此，它们不应出现在书的自由体图中。

这就是为甚么「自由」这个词很重要。我们在概念上把一个物体从周围环境中独立出来，然后用力的箭头取代每一个相关的相互作用。

02能避免大多数错误的规则

在画任何箭头之前，先完成这句话：

「我正在画作用在 ______ 上的力。」

这个空格就是你所选择的系统。

如果系统是一架雪橇，那么每一个箭头都必须表示一个作用在雪橇上的力。

如果系统是站在雪橇上的人，箭头就会不同。

如果系统是人和雪橇的整体，那么人与雪橇之间的力会成为系统内力，通常不会出现在图中。

有一个稍微有点滑稽的想法，是把它当成一次「关系审查」。你不是在问：「这个故事里有谁？」而是在问：「谁真的正在和我选定的物体相互作用？」这个类比并不完全成立，因为力遵循的是物理相互作用，而不是社交戏码，但这种筛选思路很有用。

03一个可靠的四步方法

第 1 步：隔离物体

把物体简化成一个方框或一个点。通常不需要画出它真正的形状。

自由体图并不是场景的图画，而是一份力的清单。

第 2 步：列出相互作用

问自己：甚么东西可以对这个物体施力？

HSC 物理中常见的相互作用包括：

这个表格只是一个起点，不是一份你应该自动加入图中的力的清单。只有在对应的相互作用确实存在时，那个力才应出现在自由体图中。

第 3 步：按照每个力的实际物理方向画出来

箭头的方向由相互作用决定，而不是由你希望物体往哪里移动来决定。

例如，正向力垂直于接触表面。在水平地板上，这刚好代表铅直向上。

在斜面上，正向力则是倾斜的。

这也是为甚么常见的捷径 \(N = mg\) 很危险。有些情况下它确实成立，但这不是正向力的定义。

第 4 步：到这时才套用牛顿定律

当自由体图正确之后，你就可以写出

\[ \sum \vec{F} = m\vec{a} \]

其中，\(\sum \vec{F}\) 是作用在所选物体上的所有外力之向量和，\(m\) 是以公斤为单位的质量，而 \(\vec{a}\) 是以米每秒平方为单位的加速度。

自由体图要画在这条方程式之前，因为它会告诉你哪些力应该包含在总和之中。

04运动不是一种力

考虑一个冰球被击出后，在粗糙冰面上向右滑动。球杆已经不再接触冰球。

有哪些水平方向的力作用在冰球上？

一个很容易让人想选的答案是：

• 向左的摩擦力
• 向右的「运动力」

第二个力并不存在。

当球杆失去与冰球的接触后，球杆就不再对冰球施加接触力。冰球仍然可以继续向右移动，因为物体不需要一个向前的力来维持速度。

如果摩擦力是唯一的水平力，那么合力就会指向左方。因此，冰球的加速度向左，也就是说它向右的速度会减少。

这就是牛顿第一定律和第二定律共同作用的结果。

力与相互作用有关，而不会仅仅因为物体正在运动就自动存在。

05重力与正向力不是牛顿第三定律的一对力

一本书静止在水平桌面上。它的重力向下，而桌子对书施加的正向力向上。

这两个力的大小可能相等。这是否表示它们是牛顿第三定律的一对作用力与反作用力？

不是。

它们都作用在同一个物体–这本书–上。

牛顿第三定律的一对力必定作用在不同的物体上。

重力的第三定律力对是：

• 地球把书向下拉。
• 书把地球向上拉。

接触力的第三定律力对是：

• 桌子把书向上推，
• 书把桌子向下推。

只有作用在书上的力才属于书的自由体图。

06正向力并不会自动等于重力

对一个静止在水平桌面、且没有其他铅直方向力作用的物体而言，其铅直加速度为零。因此，

\[ \sum F_y = 0 \]

所以

\[ N - mg = 0 \]

因此

\[ N = mg. \]

留意刚才发生了甚么。我们是根据具体情况推导出 \(N = mg\)。

我们并不是把它当成一条普遍规则作为起点。

如果你向下推物体，\(N\) 可以大于 \(mg\)。如果你以某个角度向上拉物体，\(N\) 可以小于 \(mg\)。在斜面上，正向力甚至不是与整个重力方向相反。

07摩擦力并不单纯等于「与速度方向相反」

摩擦力会反抗表面之间的相对滑动，或相对滑动的趋势。

对一个在静止地板上向右滑动的物块来说，地板对物块的摩擦力向左。这很简单。

但想像一个箱子放在一辆开始向前加速的货车地板上。如果箱子没有滑动，那么作用在箱子上的静摩擦力会指向前方。

这可能看起来很奇怪，因为箱子也正在向前移动。但如果没有摩擦力，货车地板就会在箱子下方向前加速并超前。静摩擦力向前作用，是为了防止这种相对滑动。

因此，「摩擦力永远与运动方向相反」并不可靠。

更好的问题是：

如果没有摩擦力，两个表面会相对于彼此向哪个方向滑动？

摩擦力会反抗这种相对滑动或滑动趋势。

08范例：在地板上拉箱子

一个 \(6.0\text{ kg}\) 的箱子受到 \(24\text{ N}\) 的水平拉力向右拉动。作用在箱子上的摩擦力大小为 \(9.0\text{ N}\)。画出自由体图，并求箱子的加速度。

第 1 步：隔离箱子并找出每一个相互作用。

地球把箱子向下拉，地板把箱子向上推，施力者对箱子施加 \(24\text{ N}\) 的向右拉力，而地板则对箱子施加向左的摩擦力。

因此，四个力分别是：

• 重力 \(mg\)，向下，
• 正向力 \(N\)，向上，
• 外加力 \(24\text{ N}\)，向右，
• 摩擦力 \(9.0\text{ N}\)，向左。

第 2 步：处理铅直方向。

拉力是水平的，而且箱子没有铅直加速度，所以

\[ N - mg = 0. \]

它的重量为

\[ mg = 6.0 \times 9.8 = 58.8\text{ N}. \]

因此，

\[ N = 58.8\text{ N}. \]

第 3 步：求水平方向的合力。

取向右为正方向。

\[ \sum F_x = 24 - 9.0 = 15\text{ N}. \]

第 4 步：使用牛顿第二定律。

\[ \begin{aligned} \sum F_x &= ma \\ 15 &= 6.0a \\ a &= 2.5\text{ m s}^{-2} \end{aligned} \]

箱子的加速度为向右 \(2.5\text{ m s}^{-2}\)。

重点在于，加速度是由合力决定的，而不是单纯因为箱子正被向右拉。

09斜面上的力

斜面会令自由体图变得更有意思，因为「向上」与「垂直于表面」不再是同一个方向。

考虑一个位于斜坡上的物块。

它的重力 \(mg\) 仍然铅直向下。地板倾斜并不会令重力跟著旋转。

正向力 \(N\) 垂直于斜面。

如果存在摩擦力，摩擦力会沿著斜面作用。

在计算时，通常最好选择平行与垂直于斜面的座标轴。

此时，重力可以分解成两个分量：

\[ mg\sin\theta \]

沿斜面方向，以及

\[ mg\cos\theta \]

垂直于斜面，其中 \(\theta\) 是斜面相对水平面的倾角。

这些分量不是额外的力。它们只是把原本的重力沿著方便使用的座标方向表示出来。

这个区别很重要。你的自由体图不应把 \(mg\)、\(mg\sin\theta\) 和 \(mg\cos\theta\) 画成三个独立的重力。

10范例：物块沿粗糙斜面下滑

一个 \(8.0\text{ kg}\) 的物块沿著 \(30^\circ\) 的斜面向下滑动。作用在物块上的摩擦力为 \(12\text{ N}\)。画出自由体图，求正向力，并计算沿斜面的加速度。使用 \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\)。

第 1 步：找出真正存在的力。

物块受到三个力：

• 重力 \(mg\)，铅直向下，
• 正向力 \(N\)，垂直于斜面，
• 摩擦力 \(12\text{ N}\)，沿斜面向上，因为物块正在沿斜面向下滑动。

不存在一个独立的「沿斜面向下的力」。沿斜面向下的作用来自重力的一个分量。

第 2 步：计算重量。

\[ mg = 8.0 \times 9.8 = 78.4\text{ N}. \]

第 3 步：把重力分解成垂直于斜面的分量。

垂直分量为

\[ mg\cos\theta. \]

物块不会穿过斜面加速，因此垂直于斜面的合力为零：

\[ \begin{aligned} N - mg\cos30^\circ &= 0 \\ N &= 78.4\cos30^\circ \\ N &\approx 67.9\text{ N}. \end{aligned} \]

留意 \(N\) 小于 \(mg\)。这正好说明了为甚么不能把 \(N = mg\) 当成一般规则。

第 4 步：把重力分解成平行于斜面的分量。

把物块沿斜面向下拉的分量为

\[ \begin{aligned} mg\sin30^\circ &= 78.4\sin30^\circ \\ &= 39.2\text{ N}. \end{aligned} \]

第 5 步：求沿斜面的合力。

取沿斜面向下为正方向。

\[ \sum F_{\parallel} = 39.2 - 12 = 27.2\text{ N}. \]

第 6 步：套用牛顿第二定律。

\[ \begin{aligned} \sum F_{\parallel} &= ma \\ 27.2 &= 8.0a \\ a &= 3.4\text{ m s}^{-2}. \end{aligned} \]

物块沿斜面向下的加速度为 \(3.4\text{ m s}^{-2}\)。

自由体图令计算变得容易处理，因为它先把真实存在的力分开，然后才让我们把其中一个力分解成有用的分量。

11张力沿著绳的方向

绳可以拉物体。理想的柔软绳子不能推物体。

因此，当一条绳连接到一个物体时，绳对物体的张力方向：

1. 沿著绳，并且
2. 从物体向外。

如果一个物体悬挂在铅直绳上，张力向上。

如果一架雪橇被一条与水平面成 \(20^\circ\) 的绳拉动，张力就指向水平线上方 \(20^\circ\) 的方向。

这个有角度的张力同时具有水平和铅直分量。它向上的分量可以减小正向力。

对一个与水平面成 \(\theta\) 角、大小为 \(T\) 的张力，

\[ T_x = T\cos\theta \]

以及

\[ T_y = T\sin\theta. \]

同样地，\(T_x\) 和 \(T_y\) 是同一个张力的分量，而不是两个新的物理相互作用。

12甚么时候应该画一个箭头？

在加入任何力的箭头之前，试著问自己：

「是哪一个物体正在施加这个力？」

如果你说不出来，就应该提高警觉。

对重力而言，答案是地球。

对正向力而言，是接触表面。

对摩擦力而言，是另一个表面。

对张力而言，是绳或缆索。

一个神秘的「运动力」、在已经找出向心方向的力之后又额外加入的「向心力」，或「加速度力」，通常都无法通过这个检验。

特别是「向心力」，它是对圆周运动所需净向内合力的描述，而不一定是一个额外的力。视情况而定，这个向内的合力可能由张力、重力、摩擦力、正向力，或它们的组合提供。

13精简自由体图检查表

完成一幅图后，检查以下各点：

• 我是否已清楚选定一个物体或系统？
• 每一个箭头是否都代表一个作用在该系统上的力？
• 我能否说出造成每一个力的另一个物体？
• 重力是否铅直向下？
• 正向力是否垂直于接触表面？
• 张力是否沿著绳的方向？
• 我是否根据相对滑动或其趋势来判断摩擦力，而不是盲目地令它与速度方向相反？
• 我是否不小心把速度或加速度画成一个力？
• 我是否把牛顿第三定律的一对力同时画在同一个物体上？
• 我是否误把力的分量当成额外的力？

如果这些问题都掌握得好，之后大多数动力学计算都会清楚得多。

14问题与解答

问题 1

一盏 \(4.0\text{ kg}\) 的灯静止悬挂在一条铅直绳上。画出灯的自由体图，并计算绳中的张力。使用 \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\)。

解答 1

灯受到两个力：向下的重力与向上的张力，而张力为 \(39.2\text{ N}\)。

灯是静止的，因此它的加速度为零。所以铅直方向的合力必须为零。

它的重量为

\[ \begin{aligned} F_g &= mg \\ &= 4.0 \times 9.8 \\ &= 39.2\text{ N}. \end{aligned} \]

取向上为正方向，

\[ \begin{aligned} \sum F_y &= 0 \\ T - mg &= 0 \\ T &= 39.2\text{ N}. \end{aligned} \]

因此，自由体图应包含一个向上的 \(T\) 箭头和一个向下的 \(mg\) 箭头，两者大小相等。

一个常见错误是，因为绳正在「承受重量」，所以再加入另一个向下的力。灯的重力已经代表地球对它施加的万有引力。绳只提供向上的张力。

问题 2

一个 \(10\text{ kg}\) 的木箱受到一个大小为 \(50\text{ N}\)、方向为水平线上方 \(37^\circ\) 的拉力，在水平地板上移动。作用在木箱上的摩擦力为 \(18\text{ N}\)。画出自由体图，计算正向力，并求水平方向的加速度。使用 \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\)。

解答 2

正向力约为 \(68\text{ N}\)，木箱沿拉力的水平方向以约 \(2.2\text{ m s}^{-2}\) 的加速度运动。

作用在木箱上的力有：

• 重力 \(mg\)，向下，
• 正向力 \(N\)，向上，
• 大小为 \(50\text{ N}\)、方向在水平线上方 \(37^\circ\) 的拉力，
• 摩擦力 \(18\text{ N}\)，与滑动方向相反。

首先计算重量：

\[ mg = 10 \times 9.8 = 98\text{ N}. \]

拉力的铅直分量为

\[ \begin{aligned} F_y &= 50\sin37^\circ \\ &\approx 30.1\text{ N}. \end{aligned} \]

物体没有铅直加速度，所以

\[ \begin{aligned} N + 30.1 - 98 &= 0 \\ N &\approx 67.9\text{ N}. \end{aligned} \]

正向力小于重量，因为绳的拉力正在帮助支撑木箱。

拉力的水平分量为

\[ \begin{aligned} F_x &= 50\cos37^\circ \\ &\approx 39.9\text{ N}. \end{aligned} \]

因此，水平方向的合力为

\[ \sum F_x = 39.9 - 18 = 21.9\text{ N}. \]

利用 \(\sum F_x = ma\)，

\[ \begin{aligned} 21.9 &= 10a \\ a &\approx 2.19\text{ m s}^{-2}. \end{aligned} \]

所以加速度约为 \(2.2\text{ m s}^{-2}\)。

一个很容易犯的错误是直接使用 \(N = mg = 98\text{ N}\)。这样会忽略有角度拉力的向上分量。

问题 3

一名乘客站在一部正在向上行驶但逐渐减速的升降机中的体重计上。一名学生说：「因为升降机正在向上移动，所以体重计对乘客的推力一定大于乘客的重量。」

这名学生正确吗？画出乘客的自由体图，并说明体重计读数与乘客重量相比应该如何。

解答 3

这名学生并不正确。当向上移动的升降机减速时，体重计读数必须小于乘客的重量。

只有两个显著的力作用在乘客上：

• 重力 \(mg\)，向下，
• 体重计施加的正向力 \(N\)，向上。

关键是把速度与加速度分开考虑。

升降机正在向上移动但逐渐减速，因此它的加速度向下。乘客也因此具有向下的加速度。

要使合力指向下方，

\[ mg > N. \]

因此，

\[ N < mg. \]

体重计测量的是接触力，也就是正向力 \(N\)，而不是直接测量 \(mg\)。所以它的读数会低于乘客平常静止时的读数。

这个错误观念源自把运动方向误认为合力方向。物体可以向上移动，同时受到向下的合力，只要它正在减速即可。

问题 4

一个小物块静止在货车的水平地板上，并且没有滑动。货车开始向右加速。

一名学生画出的物块自由体图只有向下的重力与向上的正向力。另一名学生则加入一个向左的摩擦力，因为「摩擦力永远反抗运动」。

解释每幅图中缺少了甚么或错在哪里。指出作用在物块上的摩擦力方向。

解答 4

作用在物块上的静摩擦力指向右方。第一幅图缺少这个水平力，而第二名学生则选错了方向。

如果物块没有受到水平力，根据牛顿第二定律，它的水平加速度就会是零。货车地板会在它下方加速向右，而物块则倾向维持原本的水平速度。

因此，相对于货车而言，物块会有向左滑动的趋势。

静摩擦力反抗这种相对滑动的趋势，所以货车地板对物块施加的摩擦力指向右方。

正是这个向右的摩擦力令物块产生向右的加速度：

\[ f_s = ma \]

前提是所需的摩擦力不超过可提供的最大静摩擦力。

重要的陷阱在于「摩擦力反抗运动」这句话。物块正在向右移动，而摩擦力也向右。摩擦力反抗的是接触表面之间的相对滑动，或相对滑动的趋势。

问题 5

一个物块以恒定速率沿粗糙斜面向下滑动。一名学生在图中画出了三个力：铅直向下的重力 \(mg\)、垂直于斜面的正向力 \(N\)，以及沿斜面向上的摩擦力 \(f\)。接著，他又加入第四个力，标示为「沿斜面向下的合力」，因为重力在那个方向具有一个分量 \(mg\sin\theta\)。

指出错误之处。然后求摩擦力与分量 \(mg\sin\theta\) 之间的关系。

解答 5

第四个箭头是不正确的。没有额外的合力需要画出来，而摩擦力的大小必须等于 \(mg\sin\theta\)。

合力并不是另一个独立的相互作用。它是图中已存在的实际力之向量和。

同样地，\(mg\sin\theta\) 也不是在 \(mg\) 之外额外存在的力。它只是原有重力沿斜面方向的分量。

因为物块以恒定速率移动，所以它的加速度为零。因此，沿斜面的合力为零。

取沿斜面向下为正方向，

\[ \begin{aligned} \sum F_{\parallel} &= 0 \\ mg\sin\theta - f &= 0. \end{aligned} \]

因此，

\[ f = mg\sin\theta. \]

即使物块正在移动，沿斜面的力仍然互相平衡。合力为零代表加速度为零，而不是速度为零。

这就是自由体图重要的更深层原因：一旦你能把真正的相互作用与运动、分量和合力区分开来，牛顿定律就会变成一个可以有条理处理的力学记帐问题，而不是靠猜测作答。下一个值得学习的步骤，是如何选择座标轴并有效地分解二维情况中的力，尤其是斜面与圆周运动。