HSC 物理：净力与平衡计算

一辆手推车正以稳定速度向右滚动。有人向右推它，而摩擦力向左作用。净力朝哪个方向？

很容易会回答「向右」，因为手推车正向右移动。但如果它的速度保持不变，它的加速度就是零。根据牛顿第二定律，这告诉我们一件重要的事：各个力合成后必须得到零净力。

这就是合力的作用。我们不必把每个力分开处理，而是把它们合成为一个对物体运动具有相同整体效果的力。

01先把力想成箭头

力是一个向量。它同时具有大小和方向。

想像两个人拉著一个有轮子的箱子。一个人以 40 N 向右拉，另一个人以 25 N 向左拉。这两个拉力会部分抵消，整体效果等同于一个 15 N 向右的力。

我们把这个单一的合成力称为合力（resultant force），或净力（net force）。

\[
\vec F_{\text{net}}=\sum \vec F
\]

这里，\(\vec F_{\text{net}}\) 是净力，单位为牛顿（N），而 \(\sum \vec F\) 表示作用在物体上的所有力的向量和。

\(F\) 上方的箭头提醒我们，力具有方向。

这里已经有一个常见陷阱：净力不一定指向物体正在移动的方向。

速度告诉你物体目前如何运动。净力则告诉你这个速度如何改变。

02一维中的合力

当所有相关的力都沿同一直线作用时，计算主要就是处理正负号。

选择一个方向为正方向。另一个方向就是负方向。

例如，我们可以选择：

• 向右为正
• 向左为负

那么，30 N 向右的力就是 \(+30\text{ N}\)，而 12 N 向左的力就是 \(-12\text{ N}\)。

因此：

\[
F_{\text{net}}=30+(-12)=18\text{ N}
\]

正值表示合力为 18 N，方向向右。

你也可以选择向左为正方向。数值的正负号会改变，但物理答案不会改变。重要的是先选定一套正负方向约定，然后一致地使用它。

范例：器材箱所受的合力是多少？

一个 8.0 kg 的器材箱受到 52 N 向右的推力。摩擦力为 19 N 向左，而一条缆绳另外施加 11 N 向左的拉力。求器材箱所受的合力及其加速度。

步骤 1：选择向右为正方向。

因此，三个水平方向的力分别是 \(+52\text{ N}\)、\(-19\text{ N}\) 和 \(-11\text{ N}\)。

步骤 2：把所有力连同其正负号相加。

\[
F_{\text{net}}=52-19-11=22\text{ N}
\]

合力是22 N 向右。

步骤 3：利用牛顿第二定律，把合力与加速度联系起来。

\[
F_{\text{net}}=ma
\]

这里，\(m\) 是以公斤为单位的质量，而 \(a\) 是以米每二次方秒为单位的加速度。

重新整理：

\[
a=\frac{F_{\text{net}}}{m}
=\frac{22}{8.0}
=2.75\text{ m s}^{-2}
\]

所以，器材箱以\(2.75\text{ m s}^{-2}\) 向右加速。

52 N 的推力本身并不能决定加速度。把相反方向的力也计算在内后，器材箱实际上是对22 N 的净力作出反应。

03零净力究竟代表甚么？

假设向右和向左的力大小相等：

\[
F_{\text{net}}=0
\]

根据牛顿第二定律，

\[
F_{\text{net}}=ma
\]

所以，对于质量不为零的物体，

\[
a=0
\]

这就是平移平衡。

物体会怎样？

有两种可能：

• 如果它本来静止，就会继续保持静止。
• 如果它本来以恒定速度运动，就会继续以该恒定速度运动。

第二种情况常常令人犯错。

学生可能会想像一辆向东行驶的汽车，并认为一定需要一个向东的净力来「让它继续前进」。这听起来似乎合理，因为日常生活中的物体通常会在我们停止推动后慢下来。但它们之所以减速，是因为摩擦力和阻力提供了不平衡的力。

如果所有力确实互相平衡，就不需要额外的向前净力来维持恒定速度。

留意第二列的措辞：是恒定速度，而不只是速率恒定。方向也很重要。

04二维中的合力

现在假设一个力向东拉，另一个力向北拉。因为它们指向不同方向，所以不能像普通数字那样直接相加。

相反，我们要分别处理水平和垂直方向。

我们通常把它们称为 \(x\) 方向和 \(y\) 方向：

\[
\Sigma F_x = \text{水平力分量的总和}
\]

\[
\Sigma F_y = \text{垂直力分量的总和}
\]

知道这两个分量后，合力的大小就是

\[
F_{\text{net}}=\sqrt{(\Sigma F_x)^2+(\Sigma F_y)^2}
\]

这其实就是把毕氏定理应用在力的三角形上。

接著可以利用三角函数求出方向。如果角度 \(\theta\) 是从正 \(x\) 方向量起，

\[
\tan\theta=\frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x}
\]

各分量的正负号会告诉你合力实际位于哪一个象限。不要在没有检查图示的情况下，直接让计算机上的反正切功能替你决定实际方向。

05把斜向力分解成分量

一个斜向的力可以用水平和垂直分量来表示。

若一个大小为 \(F\) 的力，与正水平方向成向上 \(\theta\) 的角度：

\[
F_x=F\cos\theta
\]

\[
F_y=F\sin\theta
\]

这里：

• \(F_x\) 是水平分量
• \(F_y\) 是垂直分量
• \(F\) 是原本力的大小
• \(\theta\) 是从水平方向量起的角度

这些分量并不是额外的力。它们只是同一个原始力在数学上分解出的两个部分。

范例：求二维合力

一辆低摩擦力的手推车由三条绳索拉动。其中一条以 50 N、东偏北 \(30^\circ\) 的方向拉动。第二条以 18 N 向西拉，第三条以 12 N 向南拉。求合力的大小和方向。

步骤 1：选择向东为正 \(x\) 方向，向北为正 \(y\) 方向。

首先必须把 50 N 的斜向力分解成分量。

\[
F_x=50\cos30^\circ=43.3\text{ N}
\]

\[
F_y=50\sin30^\circ=25.0\text{ N}
\]

所以，这条绳索提供 43.3 N 向东和 25.0 N 向北的分量。

步骤 2：把所有水平分量相加。

18 N 向西的力为负值。

\[
\Sigma F_x=43.3-18=25.3\text{ N}
\]

所以净水平分量为 25.3 N 向东。

步骤 3：把所有垂直分量相加。

12 N 向南的力为负值。

\[
\Sigma F_y=25.0-12=13.0\text{ N}
\]

所以净垂直分量为 13.0 N 向北。

步骤 4：求合力的大小。

\[
F_{\text{net}}
=\sqrt{25.3^2+13.0^2}
=28.4\text{ N}
\]

步骤 5：求其方向。

\[
\theta
=\tan^{-1}\left(\frac{13.0}{25.3}\right)
=27.2^\circ
\]

两个分量都是正值，所以力的方向为东偏北。

因此，合力为28.4 N，方向为东偏北 \(27.2^\circ\)。

这一个向量所产生的平移效果，会与三条绳索共同作用时相同。

06判断二维平衡

在一维中，要达到平衡，相反方向的力必须互相抵消。

在二维中，还多了一个条件：

\[
\Sigma F_x=0
\]

以及

\[
\Sigma F_y=0
\]

两个条件都必须成立。

假设一个悬挂物体所受的向左和向右的力完全平衡，但向上的力比向下的力多 20 N。它并不处于平衡状态。它的水平加速度可能为零，但垂直加速度并不是零。

由此可以得到一个实用的判断原则：

只有当合力向量为零时，物体才处于平移平衡。

并不需要每一个力都各自有一个大小完全相同、方向相反的力与它配对。几个力可以共同合成，抵消另一个力。

例如，两条斜向缆绳的张力，其水平分量可能互相抵消，而垂直分量则相加，以平衡物体的重量。

07求达到平衡所需的力

有时候，未知量并不是合力。题目反而会问，需要额外施加甚么力才能使合力变成零。

方法很简单：

1. 求出目前已作用的各个力的合力。
2. 所需的平衡力应具有相同大小，但方向相反。

如果现有各力的合力是 40 N 向东，那么再施加 40 N 向西的力就可以达到平衡。

在二维中，如果现有合力的分量为

\[
\vec F_{\text{net}}=(30\text{ N 向东},40\text{ N 向北}),
\]

那么平衡力的分量必须为

\[
(-30\text{ N},-40\text{ N}),
\]

也就是 30 N 向西和 40 N 向南。

这个方向相反的力有时称为平衡力（equilibrant）。

08要避免的错误观念：运动方向不等于净力方向

想像一个冰球正向东滑动，但有一个净力向西作用。

它向哪个方向加速？

向西。

这个力开始作用后，冰球立即向哪个方向移动？

仍然向东。

这并不矛盾。向西的加速度会改变原本向东的速度。冰球首先会减速。如果向西的力持续足够长的时间，冰球最终可能停下来，然后开始向西移动。

要把以下几个物理量分清楚：

• 速度告诉你物体目前运动的方向和快慢
• 加速度告诉你速度如何改变
• 净力与加速度指向相同方向，因为 \(\vec F_{\text{net}}=m\vec a\)

因此，你不能只看物体的运动方向，就判断净力的方向。

09HSC 力学题的可靠解题方法

当一道题目中出现多个力时，每次都使用相同的步骤。

1. 选定研究物体。 明确决定你正在把哪一个物体所受的力相加。
2. 选定正方向。 在二维问题中，通常取向右为 \(+x\)，向上为 \(+y\)。
3. 分解斜向力。 有需要时，把它们分解成 \(x\) 和 \(y\) 分量。
4. 分别相加各方向的分量。 求出 \(\Sigma F_x\) 和 \(\Sigma F_y\)。
5. 如有需要，再把分量合成。 用毕氏定理求大小，用三角函数求方向。
6. 解释结果。 合力为零表示平移加速度为零。合力不为零时，其方向就是加速度的方向。

计算本身通常不是最困难的部分。最困难的是判断哪些力应该包括在总和中，以及把速度、加速度和力清楚区分开来。

10题目与解答

题目 1

一名单车手受到 180 N 向前的驱动力。空气阻力为 145 N 向后，滚动阻力为 35 N 向后。计算水平方向的合力。这对单车手的水平加速度有甚么含意？

解答 1

水平方向的合力为 0 N，所以单车手的水平加速度为零。

选择向前为正方向。合力为

\[
F_{\text{net}}
=180-145-35
=0\text{ N}
\]

根据牛顿第二定律，

\[
F_{\text{net}}=ma,
\]

净力为零表示 \(a=0\)。

这并不代表单车手是静止的。如果单车手原本已经在移动，他可以继续以恒定速度运动。常见的错误是认为向前运动必须有向前的合力。

题目 2

一辆 2.0 kg 的实验室小车在水平面内受到四个力：24 N 向东、10 N 向北、8 N 向西，以及 4 N 向南。求合力的大小和方向，再计算小车的加速度。

解答 2

合力为 17.1 N，方向为东偏北 \(20.6^\circ\)，因此加速度为 \(8.54\text{ m s}^{-2}\)，方向相同。

取向东为正 \(x\) 方向，向北为正 \(y\) 方向。

水平方向的合力为

\[
\Sigma F_x=24-8=16\text{ N}
\]

而垂直方向的合力为

\[
\Sigma F_y=10-4=6\text{ N}.
\]

合力的大小为

\[
F_{\text{net}}
=\sqrt{16^2+6^2}
=\sqrt{292}
=17.1\text{ N}.
\]

其方向为

\[
\theta
=\tan^{-1}\left(\frac{6}{16}\right)
=20.6^\circ.
\]

两个分量都是正值，所以方向是东偏北 \(20.6^\circ\)。

现在使用牛顿第二定律：

\[
a=\frac{F_{\text{net}}}{m}
=\frac{17.1}{2.0}
=8.54\text{ m s}^{-2}.
\]

加速度与净力指向相同方向，但不一定与小车原本的速度方向相同。

题目 3

有两个力作用在一个小物体上：30 N 向东和 40 N 向北。求使物体达到平移平衡所需的单一额外作用力。

解答 3

所需的力为 50 N，方向为西偏南 \(53.1^\circ\)。

首先求出现有两个力的合力。

其大小为

\[
F_{\text{resultant}}
=\sqrt{30^2+40^2}
=50\text{ N}.
\]

该合力相对于东方向向北偏的角度为

\[
\theta
=\tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right)
=53.1^\circ.
\]

所以，现有的力合成后产生 50 N、方向为东偏北 \(53.1^\circ\) 的合力。

要达到平衡，额外作用力必须使总向量和为零。因此，它必须具有相同大小，而且方向完全相反：

\[
F_{\text{additional}}=50\text{ N，方向为 }53.1^\circ\text{ 西偏南}.
\]

它的分量为 30 N 向西和 40 N 向南，分别抵消原本的两个分量。

常见陷阱是随意选一个方向，再加上一个 50 N 的力。只有大小相等并不足够。各力的方向必须使向量和等于零。

题目 4

一辆 4.0 kg 的小车起初以 \(3.0\text{ m s}^{-1}\) 向西运动。接著，一个恒定的 8.0 N 向东合力作用 2.0 s。小车是否处于平衡状态？求 2.0 s 后的速度。

解答 4

小车不处于平衡状态，而且在 2.0 s 后以 \(1.0\text{ m s}^{-1}\) 向东运动。

净力为 8.0 N 向东，并不等于零。因此小车具有加速度，并不处于平衡状态。

利用牛顿第二定律，

\[
a=\frac{F_{\text{net}}}{m}
=\frac{8.0}{4.0}
=2.0\text{ m s}^{-2}\text{ 向东}.
\]

取向东为正方向。因此，初始向西的速度为

\[
u=-3.0\text{ m s}^{-1}.
\]

使用

\[
v=u+at,
\]

可得

\[
v=-3.0+(2.0)(2.0)
=+1.0\text{ m s}^{-1}.
\]

正号表示向东。

值得注意的是中间发生了甚么。力向东作用，而小车起初向西移动，所以小车会先减速。它在以下时间达到零速度：

\[
0=-3.0+(2.0)t,
\]

因此

\[
t=1.5\text{ s}.
\]

此时力仍然在作用，所以小车接著向东加速。这再次提醒我们：力决定的是加速度，而不是物体在某一瞬间的运动方向。

题目 5

一辆 900 kg 的汽车以恒定速率 \(12\text{ m s}^{-1}\) 沿一条水平圆形跑道行驶。跑道半径为 30 m。一名学生认为，因为汽车的速率恒定，所以汽车所受的力一定处于平衡。评估这个说法，并计算合力。

解答 5

这个说法不正确。汽车受到大小为 \(4.32\times10^3\text{ N}\)、方向指向圆心的合力，所以它并不处于平移平衡。

陷阱在于速率这个词。速率没有方向，但速度有。

虽然汽车的速率保持在 \(12\text{ m s}^{-1}\)，但它在沿圆周行驶时，运动方向持续改变。因此它的速度正在改变，也就是说它具有加速度。

对于圆周运动，向内的加速度大小为

\[
a=\frac{v^2}{r},
\]

其中 \(v\) 是速率，\(r\) 是圆形路径的半径。

代入数值：

\[
a=\frac{12^2}{30}
=\frac{144}{30}
=4.8\text{ m s}^{-2}.
\]

利用牛顿第二定律，

\[
F_{\text{net}}=ma
=(900)(4.8)
=4320\text{ N}.
\]

所以

\[
F_{\text{net}}=4.32\times10^3\text{ N}
\]

方向指向圆心。

恒定的速度表示加速度为零，因此合力为零。速率恒定但方向改变则不是如此。

11净力能让你进一步做甚么

一旦你能把多个力替换成一个合力向量，牛顿定律就会更容易使用。受力图让你找出各个力，向量相加让你得到 \(\vec F_{\text{net}}\)，而牛顿第二定律则把这个合力转换成加速度。

当你分析张力、正向力、摩擦力、斜面和圆周运动时，也会再次用到同样的推理流程。关键的判断始终一样：在问物体将如何运动之前，先算出所有力合起来等于甚么。