向心加速度：为什么它在 HSC 物理中指向圆心

一辆汽车可以以完全恒定的 15 m/s 绕过弯道，却仍然在加速。乍听之下，这似乎不太合理。如果车速表上的读数始终没有改变，那么究竟是什么改变了？

继续阅读之前，先试著预测：如果汽车原本向东行驶，接著向左转弯，改为向北行驶，即使速率仍然是 15 m/s，它的速度有改变吗？

有。速度同时包含大小和方向。速度的大小维持在 15 m/s，但方向从东转为北。任何速度的改变都代表存在加速度。

圆周运动的核心概念正是如此。物体沿著圆周运动时，速度的方向会不断改变，因此物体必定具有加速度。这个加速度指向圆心，其大小为

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中，\(a_c\) 是向心加速度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)；\(v\) 是物体的瞬时速率，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)；\(r\) 是圆形路径的半径，单位为公尺。

这条公式很有用，但理解加速度为何指向内侧更为重要。

01速率恒定不代表速度恒定

想像一颗球沿著圆形轨道逆时针运动。

在每一个瞬间，球的速度都沿著圆的切线方向。换句话说，如果圆形轨道突然消失，球就会沿著当下速度所指的方向继续运动。

假设球位于圆的最右侧。此时，它的速度指向上方。过了一小段时间，球沿著圆周前进了一点，速度便改为指向左上方。

这两个速度向量的长度相同，因为速率并没有改变。但它们所指的方向并不相同。

加速度取决于速度的变化：

\[ \vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \]

这里的 \(\Delta \vec v\) 代表速度向量的变化，而不只是速率的变化。

这个区别就是整个概念的关键。

02为什么加速度指向圆心？

取出两个时间点非常接近时的速度向量。它们的长度相同，但方向略有不同。

接著，将第一个速度向量从第二个速度向量中相减，求出 \(\Delta \vec v\)。

当时间间隔非常短时，速度的变化量几乎直接指向圆心。随著时间间隔愈来愈小，其方向便愈来愈接近径向向内的方向。

由于

\[ \vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}, \]

加速度的方向与 \(\Delta \vec v\) 相同，也就是指向圆心。

这种向内的加速度称为向心加速度。「Centripetal」一词的字面意思就是指向中心。

你可以想像一辆购物推车：它原本会试图沿直线前进，而你不断转动它，使它沿著圆形路径移动。在每一个瞬间，推车当下的运动方向都沿著圆的切线，而你的转向操作则不断将它的运动方向改变，使其朝弯道内侧偏转。

不过，这个比喻也有其限制。推车并不是真的在「试图」做任何事，而向内的加速度也不是某种独立存在的物质或神秘的拉力。它只是速度向量持续转动时所必需的加速度。

03推导 \(a_c=\frac{v^2}{r}\)

现在，我们可以更精确地理解这个概念。

在一个非常短的时间间隔 \(\Delta t\) 内，以速率 \(v\) 运动的物体所走过的距离约为

\[ \Delta s=v\Delta t. \]

如果圆形路径的半径为 \(r\)，物体在这段时间内移动的微小角度（以弧度为单位）约为

\[ \Delta \theta=\frac{\Delta s}{r}. \]

将 \(\Delta s=v\Delta t\) 代入，可得

\[ \Delta \theta=\frac{v\Delta t}{r}. \]

速度向量也会转过相同的微小角度 \(\Delta\theta\)。当角度足够小时，速度变化量的大小约为

\[ \Delta v=v\Delta\theta. \]

因此，

\[ \Delta v = v\left(\frac{v\Delta t}{r}\right) = \frac{v^2\Delta t}{r}. \]

两边除以 \(\Delta t\)：

\[ a_c = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v^2}{r}. \]

当时间间隔趋近于无限小时，这便成为精确的瞬时向心加速度。

这个推导告诉我们的，不只是公式本身所表达的内容。当速度方向必须转动得更快时，加速度就会变大。

要达成这一点，有两种明显的方法：

• 增加速率 \(v\)；或
• 减小半径 \(r\)，使圆形路径变得更紧密。

速率的影响尤其显著，因为它是以平方的形式出现在公式中。

04这条公式实际上说明了什么？

关系式

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

可以帮助我们作出一些有用的预测。

这就是为什么提高车辆通过弯道的速度会使情况发生如此巨大的变化。速度加倍，所需的向心加速度并不只是加倍，而是必须增加至原来的四倍。

范例：汽车绕过弯道

一辆汽车以恒定的 \(12.0\text{ m s}^{-1}\) 速率，通过半径为 \(30.0\text{ m}\) 的圆形弯道。求汽车的向心加速度。

步骤 1：找出速率和半径。

\[ v=12.0\text{ m s}^{-1}, \qquad r=30.0\text{ m}. \]

步骤 2：使用向心加速度公式。

\[ a_c=\frac{v^2}{r}. \]

步骤 3：代入数值，包括单位。

\[ a_c = \frac{(12.0\text{ m s}^{-1})^2}{30.0\text{ m}} = \frac{144\text{ m}^2\text{ s}^{-2}}{30.0\text{ m}} = 4.80\text{ m s}^{-2}. \]

步骤 4：说明加速度的方向。

汽车的向心加速度为 \(4.80\text{ m s}^{-2}\)，方向指向弯道的圆心。

请注意，汽车的速率并没有增加。这个加速度改变的是汽车速度的方向。

05利用周期求速率

有时，HSC 题目不会直接提供 \(v\) 的数值。

如果物体沿著半径为 \(r\) 的圆周完成一整圈，它所走过的距离便等于圆周长：

\[ 2\pi r. \]

如果完成一圈所需的时间为周期 \(T\)，那么物体的速率为

\[ v=\frac{2\pi r}{T}, \]

其中 \(T\) 的单位是秒。

接著，你就可以将这个速率代入 \(a_c=v^2/r\)。

范例：利用周期求向心加速度

旋转平台边缘有一点，距离平台中心 \(4.00\text{ m}\)。平台每隔 \(5.00\text{ s}\) 完成一圈转动。求该点的向心加速度。

步骤 1：计算转动一圈所经过的距离。

\[ 2\pi r = 2\pi(4.00\text{ m}) = 25.1\text{ m}. \]

步骤 2：计算速率。

\[ v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{25.1\text{ m}}{5.00\text{ s}} = 5.03\text{ m s}^{-1}. \]

步骤 3：计算向心加速度。

\[ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(5.03\text{ m s}^{-1})^2}{4.00\text{ m}} = 6.32\text{ m s}^{-2}. \]

步骤 4：解释结果。

即使速率维持不变，该点仍具有 \(6.32\text{ m s}^{-2}\) 的加速度，方向指向圆心。随著平台转动，该点的速度方向会持续改变。

06常见的错误观念：「如果加速度指向圆心，物体不就应该向圆心移动吗？」

这可能是最需要厘清的错误观念。

在某一瞬间，做等速圆周运动的物体具有：

• 沿圆周切线方向的速度；以及
• 与速度垂直、指向圆心的加速度。

加速度告诉我们速度如何改变，而不是速度本身指向哪个方向。

想像物体位于圆的最右侧，正向上运动。在一个极短的时间间隔内，向内的加速度会使速度产生一个微小的向左分量。因此，物体的新速度便会指向左上方。

过了一瞬间，另一个向内的速度变化又会使速度方向进一步转动。

这些变化持续不断地发生，便使运动路径弯曲成圆形。

物体不会突然朝圆心移动，因为它原本就具有切线方向的速度。向内的加速度会持续使这个速度的方向弯转，而不是将原有的速度取代。

07「向心」并不代表一种全新的力

「向心」一词描述的是加速度的方向与作用：朝向圆形路径的圆心。

这并不表示一定存在一种名为「向心力」的特殊物理力。

在不同的系统中，不同的实际作用力都可以产生所需的向内加速度。对绕轨道运行的卫星而言，重力可以做到这一点；对系在绳子上的物体而言，张力可以做到这一点；对在平坦道路上转弯的汽车而言，摩擦力也可以提供所需的向心加速度。

当你从圆周运动的运动学进一步学习牛顿定律时，这个区别就会变得十分重要。

目前，请先清楚掌握以下推理过程：

\[ \text{速度方向改变} \rightarrow \text{加速度指向内侧} \rightarrow a_c=\frac{v^2}{r}. \]

08题目与解答

题目 1

一名单车骑士以恒定的 \(15.0\text{ m s}^{-1}\) 速率，沿著半径为 \(25.0\text{ m}\) 的圆形赛道骑行。

计算骑士的向心加速度，并说明其方向。

解答 1

骑士的向心加速度为 \(9.00\text{ m s}^{-2}\)，方向指向赛道的圆心。

所使用的关系式为

\[ a_c=\frac{v^2}{r}. \]

代入 \(v=15.0\text{ m s}^{-1}\) 和 \(r=25.0\text{ m}\)：

\[ a_c = \frac{(15.0\text{ m s}^{-1})^2}{25.0\text{ m}} = \frac{225\text{ m}^2\text{ s}^{-2}}{25.0\text{ m}} = 9.00\text{ m s}^{-2}. \]

容易犯的错误是认为速率恒定，因此加速度为零。骑士的速率虽然恒定，但速度方向持续改变，所以速度并不恒定。

题目 2

一辆汽车沿著圆形赛道行驶，赛道的圆周长为 \(120\text{ m}\)。汽车以恒定速率在 \(8.00\text{ s}\) 内完成一圈。

a. 计算赛道的半径。

b. 计算汽车的速率。

c. 计算汽车的向心加速度。

d. 接著，驾驶将车速提高 \(10\%\)，但仍沿著相同的圆形路径行驶。向心加速度增加了百分之多少？

解答 2

赛道半径约为 \(19.1\text{ m}\)，原本的速率为 \(15.0\text{ m s}^{-1}\)，原本的向心加速度约为 \(11.8\text{ m s}^{-2}\)，而速率增加 \(10\%\) 会使向心加速度增加 \(21\%\)。

对于 a，圆周长 \(C\) 为

\[ C=2\pi r. \]

因此，

\[ r = \frac{C}{2\pi} = \frac{120\text{ m}}{2\pi} = 19.1\text{ m}. \]

对于 b，

\[ v = \frac{\text{distance}}{\text{time}} = \frac{120\text{ m}}{8.00\text{ s}} = 15.0\text{ m s}^{-1}. \]

对于 c，

\[ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(15.0\text{ m s}^{-1})^2}{19.1\text{ m}} \approx 11.8\text{ m s}^{-2}. \]

对于 d，新的速率为 \(1.10v\)。因此，

\[ a_c' = \frac{(1.10v)^2}{r} = 1.21\frac{v^2}{r} = 1.21a_c. \]

因此，加速度增加了 \(21\%\)。

容易犯的错误是认为速率增加 \(10\%\)，加速度也只会增加 \(10\%\)。只有在加速度与 \(v\) 成正比时，这种说法才成立。然而，实际上 \(a_c\propto v^2\)，因此加速度的百分比变化会更大。

题目 3

两名学生站在一个大型水平旋转平台上，平台以恒定的转速旋转。学生 A 距离圆心 \(2.0\text{ m}\)，学生 B 距离圆心 \(4.0\text{ m}\)。

两名学生完成每一圈转动所需的时间相同。

一名学生提出以下论点：

学生 B 的向心加速度比较小，因为 \(a_c=v^2/r\)，而 B 的半径较大。

这个论点正确吗？求比值 \(a_B:a_A\)。

解答 3

这个论点不正确。学生 B 的向心加速度是学生 A 的两倍，因此

\[ a_B:a_A=2:1. \]

这道题的陷阱在于，将 \(v\) 当成在改变 \(r\) 时仍然维持不变。

两名学生完成一圈所需的周期 \(T\) 相同，但 B 在相同的时间内必须走过更大的圆周。因此，B 的运动速率必定更大。

对于周期为 \(T\) 的物体，完成一圈所需的速率为

\[ v=\frac{2\pi r}{T}. \]

将此式代入

\[ a_c=\frac{v^2}{r}: \]

\[ a_c = \frac{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2}{r} = \frac{4\pi^2r}{T^2}. \]

由于两名学生所在的平台具有相同的周期，

\[ a_c\propto r. \]

B 距离圆心的距离是 A 的两倍：

\[ r_B=2r_A. \]

因此，

\[ a_B=2a_A. \]

公式 \(a_c=v^2/r\) 确实表示，当 \(v\) 保持不变时，增加 \(r\) 会使加速度减小。然而，在这道题中，两名学生的 \(v\) 并不相同。较大的半径也会使速率按比例增加，而速率的平方效应在计算中占了主导地位。

题目 4

一个粒子以恒定速率 \(v\)，沿著半径为 \(r\) 的圆形路径逆时针运动。粒子从圆的最右侧开始，此时速度垂直向上。接著，粒子沿圆周运动四分之一圈，到达圆的最顶端。

a. 粒子最后的速度方向为何？

b. 求粒子在这四分之一圆周运动期间的速度变化量大小。

c. 求这段时间内平均加速度的大小。

d. 将这个平均加速度的大小与瞬时向心加速度 \(v^2/r\) 比较。

解答 4

最后的速度指向左方，速度变化量的大小为 \(\sqrt{2}v\)，而平均加速度的大小为

\[ \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\frac{v^2}{r}, \]

约为 \(0.900\,v^2/r\)。

在圆的最右侧，初速度为

\[ \vec v_i=(0,v). \]

在圆的最顶端，由于粒子沿逆时针方向运动，因此末速度指向左方：

\[ \vec v_f=(-v,0). \]

速度变化量为

\[ \Delta\vec v = \vec v_f-\vec v_i = (-v,-v). \]

因此，其大小为

\[ |\Delta\vec v| = \sqrt{(-v)^2+(-v)^2} = \sqrt{2}v. \]

粒子所走过的距离为圆周长的四分之一：

\[ \Delta s = \frac14(2\pi r) = \frac{\pi r}{2}. \]

由于粒子的速率为 \(v\)，

\[ \Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{\pi r}{2v}. \]

平均加速度的大小为

\[ a_{\text{avg}} = \frac{|\Delta\vec v|}{\Delta t} = \frac{\sqrt{2}v}{\pi r/(2v)} = \frac{2\sqrt{2}v^2}{\pi r}. \]

由于

\[ \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\approx0.900, \]

因此得到

\[ a_{\text{avg}}\approx0.900\frac{v^2}{r}. \]

容易犯的错误是认为这段时间内的平均加速度必定等于 \(v^2/r\)，因为瞬时向心加速度在整个过程中的大小始终都是这个数值。然而，加速度是一个向量。粒子沿圆周运动时，加速度的方向持续改变，因此对一段有限的轨道取加速度向量的平均值，并不等于只对其大小取平均值。

题目 5

一个粒子沿著半径为 \(10.0\text{ m}\) 的圆形路径运动。在某一瞬间，它的速率为 \(8.00\text{ m s}^{-1}\)，而且速率正在增加。

在该瞬间，粒子的总加速度大小为 \(10.0\text{ m s}^{-2}\)。

a. 计算加速度的向心分量。

b. 计算加速度的切线分量。

c. 总加速度向量是否直接指向圆心？请解释。

d. 一名学生说：「只要物体沿圆周运动，它的加速度就一定会完全指向圆心。」指出这句话隐含了什么假设。

解答 5

向心分量为 \(6.40\text{ m s}^{-2}\)，切线分量为 \(7.68\text{ m s}^{-2}\)。由于粒子的速率也正在增加，因此总加速度并不会直接指向圆心。

对于 a，

\[ a_c=\frac{v^2}{r}. \]

代入数值，

\[ a_c = \frac{(8.00\text{ m s}^{-1})^2}{10.0\text{ m}} = 6.40\text{ m s}^{-2}. \]

这个分量必须指向圆心，因为它是负责改变速度方向的那部分加速度。

对于 b，粒子的速率也正在增加，因此它具有沿运动方向的切线加速度 \(a_t\)。

径向与切线方向互相垂直。因此，总加速度的大小满足

\[ a^2=a_c^2+a_t^2. \]

所以，

\[ a_t = \sqrt{a^2-a_c^2} = \sqrt{(10.0\text{ m s}^{-2})^2-(6.40\text{ m s}^{-2})^2} = 7.68\text{ m s}^{-2}. \]

对于 c，总加速度并不会直接指向圆心。它是以下两个分量的向量和：

• 径向向内的 \(6.40\text{ m s}^{-2}\)，负责改变速度的方向；以及
• 沿切线向前的 \(7.68\text{ m s}^{-2}\)，负责增加粒子的速率。

容易出现的错误答案，是将整个 \(10.0\text{ m s}^{-2}\) 都称为「向心加速度」。这是不正确的。所需的向心加速度是向内的分量 \(v^2/r\)。

对于 d，这句话隐含的假设是：物体正在做等速圆周运动，也就是以恒定速率进行圆周运动。

如果速率保持不变，加速度就没有切线分量，因此总加速度完全由向心加速度构成，并指向圆心。

如果速率改变，物体仍然可以沿著圆形路径运动，但其总加速度通常同时具有径向分量和切线分量。

这个区别是进一步学习时非常有用的下一步。当你知道曲线路径所需的向内加速度后，就可以运用牛顿第二定律提出新的问题：究竟是哪一种实际作用力，或哪些作用力的组合，产生了这个向内的加速度？