为什么在等速圆周运动中向心力不做功

一个橡胶塞系在线上，以恒定速率旋转。绳子全程都向内拉，而橡胶塞也全程都在加速。转了 20 圈之后，这个向内的力有没有让橡胶塞获得额外的动能？

直觉上似乎应该有。确实有力作用，橡胶塞也移动了很长的距离。然而，在理想的等速圆周运动中，向心力完全不做功。

原因并不是力太小，也不是物体每转一圈就以某种方式把所做的功「抵消掉」。真正的原因是：这个力的方向恰好完全不利于改变物体的速率。

01力可以改变速度，却不改变速率

先从运动本身开始。

在等速圆周运动的任何瞬间：

• 物体的速度方向沿圆周的切线，
• 向心加速度指向圆心，
• 合力指向圆心，而且
• 速率保持不变。

如果你对速率和速度之间的差异有点模糊，这里是最重要的复习：速率告诉你物体移动得多快；速度除了大小之外，还包括方向。

因此，一个沿圆周运动的物体可以保持恒定速率，同时它的速度却每一瞬间都在改变。

向内的加速度正是造成这种方向改变的原因。它持续转动速度向量的方向，却不使这个向量变长或变短。

如果你想重新理解为甚么加速度会指向这个方向，可以参阅 向心加速度：为甚么在 HSC 物理中它会指向内侧。

一个大致的直观模型是：你正在跑步，而一位站在你附近的朋友持续从侧面拉你的背包。如果每次拉力都恰好与你的运动方向垂直，他可以让你的路径弯曲，却不会把你推得更快，也不会把你拖得更慢。

这个类比在现实中并不完全成立，因为你的朋友大概无法始终让力保持完全垂直，而且摩擦力也会产生影响。理想的物理情况则更单纯。

02功取决于力的方向

当一个力在物体位移方向上具有分量时，这个力就会做功。

对于沿直线位移作用的恒力，

\[ W = Fs\cos\theta \]

其中：

• \(W\) 是功，单位为焦耳（J），
• \(F\) 是力的大小，单位为牛顿（N），
• \(s\) 是位移的大小，单位为米（m），而
• \(\theta\) 是力与位移之间的夹角。

假设力与位移方向相同。此时 \(\theta=0^\circ\)，所以 \(\cos 0^\circ=1\)。这个力做正功。

假设力与位移方向完全相反。此时 \(\theta=180^\circ\)，所以这个力做负功。

现在先作一个预测。当力恰好与位移垂直时，会发生甚么事？

在 \(90^\circ\) 时，

\[ \cos 90^\circ=0 \]

所以所做的功为零。

这正是理想等速圆周运动中的几何关系。瞬时位移沿圆周切线，而向心力沿径向。

两者互相垂直。

03关键在于「瞬时」

这里有一个容易掉进去的小陷阱。

物体走过四分之一圆周时，显然已经移动了相当长的一段距离。而且，连接起点与终点的直线通常也不会与起点处的力垂直。

所以，你不能只取一个向心力向量，再乘以物体走过的总距离，然后使用 \(W=Fs\cos\theta\)，仿佛力的方向一直保持不变。

事实并非如此。物体运动时，向心力的方向会持续转动。

相反地，可以把整条路径想像成由极大量极小的位移组成。对每一个极小位移，

\[ dW = F_c\,ds\cos 90^\circ = 0 \]

其中 \(dW\) 是极小量的功，\(F_c\) 是向心力的大小，而 \(ds\) 是沿路径的一小段距离。

每一个极小的功贡献都是零。把它们全部加起来，结果仍然是零。

对 HSC 题目而言，通常还有一个更快的方法看出相同结果：使用功-能定理。

\[ W_{\text{net}}=\Delta K \]

动能为

\[ K=\frac12mv^2 \]

其中 \(m\) 是以公斤（kg）为单位的质量，而 \(v\) 是以米每秒（m s\(^{-1}\)）为单位的速率。

等速圆周运动的速率保持不变，所以 \(v\) 不变。因此 \(K\) 也不变。

所以，

\[ \Delta K=0 \]

因此

\[ W_{\text{net}}=0 \]

这是描述同一个物理现象的两种方式：

• 从几何角度看，合力与运动方向垂直；
• 从能量角度看，速率与动能保持不变。

04向心力不是额外出现的一种力

还有另一个常见的混淆来源。

「向心力」并不是指物体一旦做圆周运动，就会凭空出现的一种特殊新力。它是产生圆周运动所需的向内合力的名称。

在等速圆周运动中，它的大小为

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

其中 \(r\) 是圆形路径的半径，单位为米。

这个向内的力可以由以下作用提供：

• 张力，
• 重力，
• 正向力，
• 摩擦力，或
• 几个实际力的组合。

例如，对一颗处于完全圆形轨道上的卫星而言，重力提供向心力。对一个由绳子牵引并在水平圆周上运动的物体而言，张力可以提供向心力。

如果某一个实际力完全沿径向，并由它提供向心力，那么在理想等速圆周运动中，这个实际力不做功。

不过，措辞上要小心。个别的实际力有可能分别做正功或负功，而它们的总切向作用彼此抵消。在等速圆周运动中，必须成立的是合力沿径向，因此合功为零。

如果想进一步了解如何判断是哪一个实际力扮演向内作用的角色，可以参阅 向心力：如何在 HSC 物理中辨认真正的力。

05为甚么有加速度不代表一定有做功

学生常会有以下推理：

有力，所以有加速度。如果有加速度，物体一定会获得能量。

第一步是正确的，第二步则不正确。

加速度代表速度正在改变。速度有两种改变方式：

• 它的大小可以改变，也就是速率改变；
• 它的方向可以改变。

等速圆周运动中的向心加速度只会造成第二种改变。

如果把加速度拆成径向分量与切向分量，这个差异会更加清楚。

径向分量改变方向；切向分量改变速率。

所以：

这给你一个实用的考试判断规则：如果物体沿固定圆周运动，但它的速率正在改变，那么合力除了径向分量之外，也一定具有切向分量。

06向内的力甚么时候会开始做功？

「向心力不做功」这个说法依赖一个学生有时会忽略的条件：向内的力必须与物体的速度垂直。

在半径固定的理想圆周运动中，这个条件一定成立，因为速度沿圆周切线方向。

一旦半径改变，情况就可能不同。

想像一个冰球在无摩擦的水平桌面上运动，并连接到一条穿过桌面中央小孔的绳子。当冰球以固定半径绕圆周运动时，它的速度沿圆周切线。张力沿径向，所以张力不做功。

现在有人从小孔下方向下拉绳子。

冰球除了绕著小孔转，也开始向内移动。

它的速度现在有两个分量：

• 绕小孔运动的切向分量，以及
• 指向小孔的径向分量。

张力仍然指向内侧，但它不再与总速度垂直。因此，张力现在可以做正功。

这就是为甚么「向内的力代表功为零」并不是一条安全的规则。

安全的规则是：

当一个力与物体的瞬时速度垂直时，这个力的瞬时功率为零。

以功率表示，同样的概念可以写成

\[ P=\vec F\cdot\vec v \]

如果力与速度互相垂直，点积就是零。如果速度有一部分沿著力的方向，功率就不会是零。

07考试中最快的判断方法

当你在同一道题目中看到功与圆周运动时，应该检查以下条件，而不是死背一句口诀。

1. 半径是否固定？
2. 速率是否恒定？
3. 你正在分析的力是否完全沿径向？
4. 该力是否与瞬时速度垂直？

对理想等速圆周运动而言，四个答案都是「是」。径向合力不做功。

如果速率改变，就要寻找切向力分量。

如果半径改变，速度可能出现径向分量，所以即使是径向力也可能做功。

如果有多个实际力作用，不要因为总速率恒定，就假设每一个力各自都不做功。

08问题与解答

问题 1

一个 \(0.75\) kg 的物体以 \(6.0\) m s\(^{-1}\) 的恒定速率，在半径 \(1.5\) m 的水平圆周上运动。

计算：

a. 向心力，以及
b. 在半圈运动期间，向心力所做的功。

解答 1

向心力为 \(18\) N，方向向内；在半圈运动期间，它所做的功为 \(0\) J。

对 a 部分，

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(0.75)(6.0)^2}{1.5} =18\text{ N} \]

对 b 部分，瞬时运动方向沿圆周切线，而力沿径向。在整个运动过程中，两者始终互相垂直。

因此，每一个极小的功贡献都为零，所以

\[ W=0\text{ J} \]

一个很有诱惑力的错误做法是先计算半圆的路程，再乘以 \(18\) N。这会忽略功取决于力相对于每一个位移的方向，也忽略力的方向在运动过程中持续改变。

物体的动能也能证实这个结果：

\[ K=\frac12mv^2 =\frac12(0.75)(6.0)^2 =13.5\text{ J} \]

速率没有改变，所以动能保持在 \(13.5\) J。

问题 2

一颗 \(500\) kg 的卫星，以 \(7.5\times10^3\) m s\(^{-1}\) 的恒定速率，在半径 \(7.0\times10^6\) m 的圆形轨道上运行。假设重力是唯一作用力。

a. 计算重力的大小。
b. 求重力在半圈轨道期间所做的功。
c. 一名学生主张，卫星完成半圈轨道后的整体位移会穿过圆心，而且大致与最初的重力方向相同，因此重力一定做了正功。解释这个论点的错误。

解答 2

重力的大小约为 \(4.0\times10^3\) N，但在半圈轨道期间所做的功为 \(0\) J。

对 a 部分，

\[ F_g=F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(500)(7.5\times10^3)^2}{7.0\times10^6} \approx4.0\times10^3\text{ N} \]

对 b 部分，卫星的速率恒定，所以它的动能没有改变。

使用功-能定理，

\[ W_{\text{net}}=\Delta K=0 \]

重力是唯一的力，因此

\[ W_g=0\text{ J} \]

对 c 部分，这名学生的论点错误地把重力当成在整个半圈轨道中方向固定不变。

实际上并非如此。重力始终从卫星指向地球中心，因此随著卫星运动，力向量也会持续旋转。

当力在整条路径上持续改变方向时，不能把从起点到终点的整体位移与初始力向量配在一起，直接代入单一的 \(W=Fs\cos\theta\) 计算。

在每一瞬间，重力沿径向，而卫星的速度沿切线方向。两者的点积为零，所以重力不做功。

第二种能量检查方式也得到相同结论：轨道半径保持不变，所以卫星的重力位能保持不变；而它的速率也保持不变，所以动能同样保持不变。

问题 3

一个 \(2.0\) kg 的物体，以 \(4.0\) m s\(^{-1}\) 的恒定速率沿半径 \(4.0\) m 的圆周运动。

有两个实际力 A 和 B 作用在物体上。相对于物体，在每一瞬间：

• 力 A 有一个 \(6.0\) N 的向内分量，以及一个 \(8.0\) N 的向前切向分量；
• 力 B 具有维持等速圆周运动所需的其余分量。

求：

a. 力 B 的径向分量与切向分量，
b. 每个力所提供的瞬时功率，以及
c. 「因为运动是等速圆周运动，所以两个力都不做功」这个说法是否正确。

解答 3

力 B 必须具有一个 \(2.0\) N 的向内分量，以及一个 \(8.0\) N 的向后切向分量；力 A 提供 \(+32\) W，力 B 提供 \(-32\) W，而「两个力都不做功」这个说法是错误的。

先求所需的径向合力：

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(2.0)(4.0)^2}{4.0} =8.0\text{ N} \]

力 A 已经提供 \(6.0\) N 向内的作用力，因此力 B 必须提供剩余的

\[ F_{B,r}=8.0-6.0=2.0\text{ N，向内} \]

等速圆周运动也要求切向合力为零，因为速率保持不变。

力 A 有一个 \(8.0\) N 的向前切向分量，因此力 B 必须有一个 \(8.0\) N 的向后切向分量。

对力 A 而言，只有它的切向分量会对功率有贡献：

\[ P_A=F_{A,t}v =(8.0)(4.0) =32\text{ W} \]

符号为正，因为这个分量与运动方向相同。

对力 B，

\[ P_B=(-8.0)(4.0) =-32\text{ W} \]

它的切向分量以相同速率移除能量。

因此，

\[ P_{\text{net}}=32-32=0\text{ W} \]

径向分量不做功，因为它们与速度垂直。

很容易犯的错误是，一听到「等速圆周运动」，就宣称每一个力都必定不做功。等速圆周运动真正保证的是合功为零。个别的力可以沿相反方向传递能量，同时让总动能保持不变。

问题 4

一颗 \(0.50\) kg 的小珠被驱动，以恒定速率沿半径 \(1.20\) m 的光滑垂直圆形轨道运动。马达可以在需要时施加沿轨道切线方向的力。小珠在整个运动过程中的速率都保持 \(4.0\) m s\(^{-1}\)。

取 \(g=9.8\) m s\(^{-2}\)。

a. 求小珠从圆周底部移动到顶部时，重力所做的功。
b. 求同一段路程中马达所做的功。
c. 轨道施加的正向力做了多少功？
d. 当小珠位于圆周右侧并正向上运动时，求马达必须施加的切向力。
e. 马达在完整一圈中的净功为零。这是否表示马达从未向小珠传递能量，或从小珠取走能量？

解答 4

从底部到顶部，重力做 \(-11.8\) J 的功，马达做 \(+11.8\) J 的功，正向力做 \(0\) J 的功；在圆周右侧，马达必须沿轨道向上施加 \(4.9\) N 的力。马达在完整一圈中做功为零，并不代表它在每一瞬间都没有进行能量传递。

从底部到顶部，小珠上升的高度等于圆的直径：

\[ \Delta h=2r=2(1.20)=2.40\text{ m} \]

重力所做的功等于重力位能变化量的负值：

\[ W_g=-mg\Delta h =-(0.50)(9.8)(2.40) =-11.76\text{ J} \]

所以，

\[ W_g\approx-11.8\text{ J} \]

小珠的速率保持不变，因此

\[ \Delta K=0 \]

所以总功必须为零。

正向力始终与小珠沿轨道的瞬时运动方向垂直，因此

\[ W_N=0 \]

所以马达必须恰好补回被重力移除的能量：

\[ W_{\text{motor}}+W_g+W_N=0 \]

\[ W_{\text{motor}}-11.76+0=0 \]

因此

\[ W_{\text{motor}}=+11.76\text{ J} \]

当小珠位于圆周右侧时，它正垂直向上运动。重力垂直向下，与运动方向完全相反。

为了使速率保持不变，切向合力必须为零。因此，马达必须提供一个向上的切向力，大小等于小珠的重量：

\[ F_{\text{motor}}=mg =(0.50)(9.8) =4.9\text{ N} \]

在圆周下降的半圈中，重力做正功。为了防止小珠加速，马达必须透过做负功来移除这部分能量。

在完整一圈中，这些正功与负功会彼此抵消。

很容易犯的错误是认为恒定速率代表每一个力都不做功。恒定速率只要求总功为零。在这个例子中，重力与马达都会与小珠交换能量，而径向的正向力不做功。

问题 5

一个 \(0.40\) kg 的冰球在无摩擦的水平桌面上运动，并连接到一条穿过桌面小孔的绳子。

最初，冰球绕著小孔运动。接著，一名实验者向下拉绳子。在某一瞬间：

• 冰球的切向速度为 \(3.0\) m s\(^{-1}\)，
• 它的径向速度为 \(0.25\) m s\(^{-1}\)，方向向内，而且
• 绳子的张力为 \(18\) N，方向向内。

在接下来 \(0.12\) m 的向内径向运动中，张力由 \(18\) N 线性增加至 \(30\) N。假设张力是唯一对冰球做功的力。

a. 求初始瞬间张力提供的瞬时功率。
b. 求张力在这 \(0.12\) m 向内运动期间所做的功。
c. 求冰球的最终速率。
d. 解释为甚么这个结果不会与「向心力不做功」的说法矛盾。

解答 5

张力最初提供 \(4.5\) W 的功率，在向内运动期间做 \(2.88\) J 的正功，而冰球的最终速率约为 \(4.84\) m s\(^{-1}\)。这并不矛盾，因为冰球此时已不再以固定半径做等速圆周运动。

在初始瞬间，张力沿径向指向内侧。此时冰球具有一个 \(0.25\) m s\(^{-1}\) 的向内径向速度分量。

只有沿力方向的速度分量会对功率有贡献，因此

\[ P=Fv_r =(18)(0.25) =4.5\text{ W} \]

功率为正，因为力与径向运动指向相同方向。

在接下来的 \(0.12\) m 中，张力由 \(18\) N 线性增加至 \(30\) N。因此，它在这段位移上的平均值为

\[ F_{\text{avg}} =\frac{18+30}{2} =24\text{ N} \]

力与径向位移方向相同，因此

\[ W=F_{\text{avg}}s =(24)(0.12) =2.88\text{ J} \]

根据功-能定理，

\[ \Delta K=+2.88\text{ J} \]

现在求初始总速率。径向与切向速度分量互相垂直，因此

\[ v_i^2=(3.0)^2+(0.25)^2 =9.0625 \]

初始动能为

\[ K_i=\frac12mv_i^2 =\frac12(0.40)(9.0625) =1.8125\text{ J} \]

因此，

\[ K_f=K_i+2.88 =4.6925\text{ J} \]

利用 \(K_f=\frac12mv_f^2\)，

\[ 4.6925=\frac12(0.40)v_f^2 \]

\[ v_f^2=\frac{2(4.6925)}{0.40} =23.4625 \]

\[ v_f\approx4.84\text{ m s}^{-1} \]

很容易直觉地回答 \(0\) J，因为张力「指向圆心」。这只有在冰球以固定半径绕圆周运动，而且速度完全沿切线方向时才正确。

一旦绳子被向内拉，冰球就具有径向运动。因此，张力不再与冰球的总速度垂直。

把一个力称为「向内」并不会自动使它所做的功为零。功为零的结果来自理想固定半径圆周运动中，力与速度互相垂直这个条件。

09这能让你进一步分析甚么

真正有用的区分其实不是「圆周运动的力对普通力」，而是径向与切向。

径向力分量可以转动速度向量，而不改变速率。切向分量会改变速率，因此也会改变动能。如果半径本身开始改变，那么即使是径向力也能传递能量，因为物体此时具有径向运动。

这种拆分方式正是你处理更困难的圆周运动问题时所需要的，包括变速圆周运动、垂直圆周、轨道运动，以及多个实际力共同参与运动的情况。