HSC 物理中的角速度：从旋转到线速度

旋转中轮子边缘的一个点，移动速度远比靠近轮轴的点快。然而，两个点完成每一圈旋转所需的时间却完全相同。那么，它们的运动速率到底相不相同？

继续阅读前，先预测一下：一个大齿轮和靠近其中心的一个小标记，都属于同一个刚性圆盘。经过 \(0.50\text{ s}\) 后，圆盘转过 \(90^\circ\)。哪一个标记的角速度较大？

它们的角速度相同。它们在相同时间内转过相同角度。外侧的标记移动的距离较长，因此具有较大的线速度。

这个差异–旋转情况相同，但移动距离不同–正是角速度之所以有用的原因。

01用角度量度旋转

对直线运动而言，速度告诉我们位置改变得有多快。

对旋转运动而言，我们改为追踪角度改变得有多快。

想像从轮子的中心画一条线，连到轮缘上的一个点。当轮子旋转时，这条线会扫过一个角度 \(\Delta\theta\)。

如果轮子在时间间隔 \(\Delta t\) 内转过角位移 \(\Delta\theta\)，它的平均角速度为

\[ \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

其中：

• \(\omega\) 是角速度，单位为弧度每秒（\(\text{rad s}^{-1}\)）
• \(\Delta\theta\) 是角位移，单位为弧度（\(\text{rad}\)）
• \(\Delta t\) 是时间间隔，单位为秒（\(\text{s}\)）

符号 \(\omega\) 是希腊字母 omega。

概念很简单：角速度告诉你每秒发生多少弧度的旋转。

02为什么角度需要用弧度表示

你可能已经习惯用度来量度角度。一整圈是 \(360^\circ\)。

在圆周运动的方程式中，弧度更实用。一整圈是

\[ 2\pi \text{ rad} \]

因此

\[ 360^\circ = 2\pi \text{ rad} \]

所以

\[ 180^\circ = \pi \text{ rad} \]

例如，

\[ 90^\circ = \frac{\pi}{2}\text{ rad} \]

以及

\[ 60^\circ = \frac{\pi}{3}\text{ rad} \]

为什么要特地换单位？因为弧度能把角度直接与沿圆周移动的距离连结起来。

对于在半径 \(r\) 处转过角度 \(\theta\) 的物体，弧长 \(s\) 为

\[ s=r\theta \]

其中 \(s\) 和 \(r\) 以公尺量度，而 \(\theta\) 以弧度量度。

这个方程式之所以能如此简洁地成立，是因为弧度本身就是利用圆来定义的。

03角速度和线速度并不是同一回事

现在回到旋转中的圆盘。

在距离中心 \(0.10\text{ m}\) 的位置放一个点，并在距离中心 \(0.40\text{ m}\) 的位置放另一个点。由于圆盘是刚性的，在任何指定的时间间隔内，两个点都会转过相同角度。

因此，它们具有相同的角速度。

但它们移动的距离相同吗？

不相同。外侧的点沿著大得多的圆周移动。

利用

\[ s=r\theta \]

将等式两边都除以时间间隔：

\[ \frac{s}{\Delta t} =r\frac{\theta}{\Delta t} \]

对等速圆周运动而言，\(s/\Delta t\) 是线速率 \(v\)，而 \(\theta/\Delta t\) 是角速率 \(\omega\)。因此，

\[ v=r\omega \]

其中：

• \(v\) 是切向或线速率，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(r\) 是到旋转轴的距离，单位为公尺
• \(\omega\) 是角速率，单位为 \(\text{rad s}^{-1}\)

这个方程式就是旋转运动与直线运动之间的桥梁。

一个实用的心智模型

想像四位朋友站在一个巨大的旋转平台上不同位置。他们全都固定在地板上，这也顺便替我们省去了好几个职业健康与安全问题。

他们每秒都转过相同的角度。这就是他们共有的角速度。

但是，靠近外缘的人在同一秒内必须移动更长的距离。因此，他们的线速度较大。

这个类比有其限制：真实的人并不是刚性固定在圆盘上的零件。他们可以相对于平台行走。当不同的点绕同一旋转轴进行相同的旋转时，方程式 \(v=r\omega\) 才能直接套用。

04最容易让人误解的地方

假设旋转轮子上的两个点具有相同的角速度。

学生可能会想：「速度相同，就代表速率相同。」

这听起来合理，因为在直线运动中，我们通常会用一个速度来描述一个物体。但角速度与线速度量度的是不同种类的变化。

角速度问的是：

角度改变得有多快？

线速率问的是：

沿路径移动的距离改变得有多快？

对相同的 \(\omega\) 而言，

\[ v=r\omega \]

所以半径增加时，线速率也会增加。

半径加倍，线速率也会加倍。

轮子的中心提供了一个很有用的极限情况。当 \(r=0\) 时，

\[ v=r\omega=0 \]

即使轮子本身可能具有非零的角速度也一样。位于旋转轴上的那个精确点并不会沿著圆形路径移动。

05一整圈带来另一个实用形式

假设一个物体完成一整圈所需的周期为 \(T\)。

一整圈对应的角位移为 \(2\pi\text{ rad}\)，所以

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} \]

其中 \(T\) 是以秒表示的周期。

由于频率 \(f\) 是每秒完成的圈数，

\[ f=\frac{1}{T} \]

我们也可以写成

\[ \omega=2\pi f \]

这表示有三个物理量能以不同方式描述同一个旋转速率：

如果你需要更多练习来连结周期、半径与速率，请参阅 等速圆周运动中的速率、半径与周期。

06角速度包含方向

到目前为止，我们主要讨论的是角速度的大小。

严格来说，角速度是一个向量。其方向沿著旋转轴，并利用右手定则判定。

将右手手指沿旋转方向弯曲。你的拇指所指的方向，就是角速度向量的方向。

在许多涉及同一平面内运动的 HSC 计算中，也可以改用正负号惯例来区分顺时针和逆时针旋转。例如：

• 逆时针：正
• 顺时针：负

你也可以选择相反的惯例，只要前后一致即可。

假设一个轮子的角速度从 \(+5.0\text{ rad s}^{-1}\) 变为 \(-3.0\text{ rad s}^{-1}\)。它最后的角速率只有 \(3.0\text{ rad s}^{-1}\)，但角速度的变化量为

\[ \Delta\omega=-3.0-(+5.0)=-8.0\text{ rad s}^{-1} \]

负号很重要，因为轮子的旋转方向已经反转。

当你之后学习角加速度时，这个区别会变得很重要。

07\(v=r\omega\) 能告诉你什么–又不能告诉你什么

方程式

\[ v=r\omega \]

给出一个沿圆周运动的点，其瞬时切向速度的大小。

速度本身沿圆形路径的切线方向，而不是指向远离圆心的方向。

这带来另一个值得预测的问题。做等速圆周运动的物体具有恒定速率。这是否代表它的速度保持不变？

不是。它的方向持续改变，因此即使速率不变，速度仍然持续改变。

速度改变表示存在加速度。在圆周运动中，这个加速度指向圆心。这就直接带到向心加速度。

08解角速度题目的简明方法

当一道圆周运动题目提到圈数、周期、半径或速率时，可以依照以下顺序：

1. 判断已知资讯描述的是角度、完成一整圈的时间，还是线性距离。
2. 如有需要，把角度转换成弧度。
3. 使用 \(\omega=\Delta\theta/\Delta t\) 或 \(\omega=2\pi/T\) 求角速度。
4. 如果需要求线速率，使用 \(v=r\omega\)。
5. 从物理意义检查结果。如果 \(\omega\) 不变，距离旋转轴较远的点应具有较大的线速率。
6. 把角运动量与线运动量分开处理。弧度每秒和公尺每秒不能互换。

09问题与解答

问题 1

一个轮子在 \(1.6\text{ s}\) 内均匀转过 \(4.8\text{ rad}\)。

计算：

a. 它的角速度
b. 距离旋转轴 \(0.25\text{ m}\) 的一个点之线速率

解答 1

角速度为 \(3.0\text{ rad s}^{-1}\)，而该点以 \(0.75\text{ m s}^{-1}\) 的速率移动。

对 a 部分，使用

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

代入数值，

\[ \omega=\frac{4.8}{1.6} =3.0\text{ rad s}^{-1} \]

对 b 部分，使用

\[ v=r\omega \]

所以

\[ v=(0.25)(3.0) =0.75\text{ m s}^{-1} \]

该点每秒沿著它的圆形路径移动 \(0.75\text{ m}\)。

一个很容易犯的错误，是把 \(3.0\text{ rad s}^{-1}\) 和 \(0.75\text{ m s}^{-1}\) 当成完全相同物理量的两种描述。它们彼此有关，但量度的是不同的东西：前者是角度变化的速率，后者则是移动距离变化的速率。

问题 2

两个点 A 和 B 固定在同一个刚性旋转圆盘上。A 距离圆心 \(0.15\text{ m}\)，B 距离圆心 \(0.45\text{ m}\)。

圆盘在 \(0.40\text{ s}\) 内转过 \(120^\circ\)。

计算：

a. A 和 B 的角速度
b. 每个点的线速率
c. 比值 \(v_B:v_A\)

解答 2

两个点的角速度都是 \(5.24\text{ rad s}^{-1}\)；A 以 \(0.785\text{ m s}^{-1}\) 移动，B 以 \(2.36\text{ m s}^{-1}\) 移动，而 \(v_B:v_A=3:1\)。

先把角度转换：

\[ 120^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ} =\frac{2\pi}{3}\text{ rad} \]

对两个点而言，

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} =\frac{2\pi/3}{0.40} =5.24\text{ rad s}^{-1} \]

它们具有相同的 \(\omega\)，因为它们固定在同一个刚性圆盘上，因此在相同时间内会扫过相同角度。

对 A，

\[ v_A=r_A\omega =(0.15)(5.24) =0.785\text{ m s}^{-1} \]

对 B，

\[ v_B=r_B\omega =(0.45)(5.24) =2.36\text{ m s}^{-1} \]

因此，

\[ \frac{v_B}{v_A} =\frac{2.36}{0.785} \approx3.00 \]

所以

\[ v_B:v_A=3:1 \]

一个很容易想到的错误推论是：既然 B 的移动速率是 A 的三倍，那么 B 的角速度也一定是三倍。这是不正确的。它较大的速率完全来自于半径是 A 的三倍：

\[ v=r\omega \]

角速度保持相同。

问题 3

一个半径为 \(2.0\text{ m}\) 的圆形平台每 \(8.0\text{ s}\) 完成一整圈。

一名学生起初站在距离圆心 \(0.50\text{ m}\) 的位置，然后沿半径方向向外走，直到距离圆心 \(1.5\text{ m}\)，同时相对于平台保持静止。

平台继续以相同周期旋转。

比较学生向外移动前后的角速率与线速率。

解答 3

学生的角速率保持在 \(0.785\text{ rad s}^{-1}\)，而线速率则由 \(0.393\text{ m s}^{-1}\) 增加至 \(1.18\text{ m s}^{-1}\)。

平台的角速率为

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} =\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ rad s}^{-1} \]

由于学生相对于平台保持静止，因此在每一段时间间隔内，他们会和平台转过相同角度。单独改变半径并不会改变他们的角速率。

起初，

\[ v_i=r_i\omega =(0.50)(0.785) =0.393\text{ m s}^{-1} \]

最后，

\[ v_f=r_f\omega =(1.5)(0.785) =1.18\text{ m s}^{-1} \]

半径变成三倍，所以线速率也变成三倍。

一个看似合理但不正确的论点是：离圆心越远，圆形路径越长，因此完成每一圈一定需要更长时间。如果学生的线速率被固定不变，这个说法确实成立。但在这里，被固定的是平台的周期。因此，学生必须以更大的速率沿著较大的圆形路径移动，才能在相同时间内完成一整圈。

问题 4

两个分开的水平圆盘绕固定的中心轴旋转。

圆盘 X 的半径为 \(0.20\text{ m}\)，角速率为 \(8.0\text{ rad s}^{-1}\)。圆盘 Y 的半径为 \(0.40\text{ m}\)，角速率为 \(4.0\text{ rad s}^{-1}\)。

在某一瞬间，两个圆盘边缘上的一个点都正向东移动。

一名学生提出三个说法：

1. 两个边缘点具有相同的瞬时线速度。
2. 它们完成一整圈所需的时间相同。
3. 它们的向心加速度大小相同。

判断哪些说法正确，并以定量方式说明每项判断的理由。

解答 4

只有说法 1 正确。在题目所述的瞬间，两个点具有相同的瞬时线速度，但圆盘 X 的周期是圆盘 Y 的一半，而其边缘的向心加速度则是圆盘 Y 的两倍。

对说法 1，

\[ v=r\omega \]

对 X，

\[ v_X=(0.20)(8.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]

对 Y，

\[ v_Y=(0.40)(4.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]

题目也指出，在该瞬间两个边缘点都正向东移动。因此，它们的速度大小与方向都相同，所以说法 1 正确。

对说法 2，使用

\[ T=\frac{2\pi}{\omega} \]

对 X，

\[ T_X=\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ s} \]

对 Y，

\[ T_Y=\frac{2\pi}{4.0} =1.57\text{ s} \]

所以说法 2 错误。

对说法 3，向心加速度可以写成

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

两个点具有相同的 \(v\)，但它们的半径不同。

对 X，

\[ a_{cX}=\frac{(1.6)^2}{0.20} =12.8\text{ m s}^{-2} \]

对 Y，

\[ a_{cY}=\frac{(1.6)^2}{0.40} =6.4\text{ m s}^{-2} \]

因此，说法 3 也错误。

一个很容易采取的捷径，是看到两个线速率相同，就假设两种运动一定等同。事实并非如此。相同的切向速率可以来自不同的半径与角速率组合。

圆盘 X 的半径较小，但角速率较大。它的速度方向改变得更快，因此具有较大的向心加速度。

问题 5

两颗小珠 A 和 B 固定在同一根刚性旋转臂上的不同位置。A 距离旋转轴 \(0.20\text{ m}\)，B 距离旋转轴 \(0.50\text{ m}\)。

在某一瞬间，旋转臂的角速率为 \(6.0\text{ rad s}^{-1}\)。

一名学生推论：

「B 的线速率比 A 大。因此，B 的速度改变得更快。所以 B 的角速度一定也比较大。」

另一名学生回答：

「不对。因为两颗小珠都在同一根旋转臂上，所以除了半径之外，它们运动的一切都相同。」

评估这两个论点。判断 A 和 B 哪些物理量一定相同、哪些一定不同，并解释为什么两名学生的说法都不完全正确。

假设旋转臂在这一瞬间做等速旋转。

解答 5

A 和 B 具有相同的角速度，但 B 具有较大的线速率与较大的向心加速度。两名学生的整体论点都不正确，因为它们可以具有相同的角运动，而线运动则会随半径而改变。

由于 A 和 B 固定在同一根刚性旋转臂上，因此在每一段时间间隔内，它们都会扫过相同的角位移。因此，

\[ \omega_A=\omega_B=6.0\text{ rad s}^{-1} \]

它们的线速率可由下式求得：

\[ v=r\omega \]

对 A，

\[ v_A=(0.20)(6.0) =1.2\text{ m s}^{-1} \]

对 B，

\[ v_B=(0.50)(6.0) =3.0\text{ m s}^{-1} \]

所以第一名学生说 B 的线速率较大，这一点是正确的。

然而，该学生推论的下一步并不成立。较大的线速率并不表示较大的角速度。在这里，两颗小珠的角速度完全相同，因为它们共享同一个刚性旋转运动。

现在考虑每个速度向量改变得有多快。在等速圆周运动中，每颗小珠的向心加速度为

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

对 A，

\[ a_{cA} =\frac{(1.2)^2}{0.20} =7.2\text{ m s}^{-2} \]

对 B，

\[ a_{cB} =\frac{(3.0)^2}{0.50} =18\text{ m s}^{-2} \]

因此，就每秒速度变化量的大小而言，B 的速度确实改变得更快，即使 A 和 B 具有相同的角速度。

所以第二名学生也只说对了一部分。固定在同一根刚性旋转臂上，能保证它们具有相同的角位移、角速度与周期，但并不代表其他「一切」都相同。

半径会改变好几个线运动相关的物理量：

\[ v=r\omega \]

而且，由于

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

代入 \(v=r\omega\) 可得

\[ a_c=r\omega^2 \]

在角速率固定时，线速率与向心加速度都会随半径增加而增加。

这就是关键限制条件。一个刚性旋转物体上的所有点可以共享同一种角运动，但这些点所经历的线运动却可能相当不同。

一旦掌握这个区别，角速度就不再只是一条孤立的公式。它会成为旋转与其他圆周运动概念之间的连结：\(v=r\omega\) 把它与切向速率连结起来，而接著由 \(a_c=v^2/r\) 就能解释，为什么一个物体即使以恒定速率沿圆周运动，仍然必须具有指向圆心的加速度。