哈伯定律与宇宙膨胀的证据：HSC 物理指南
了解星系红移、距离测量与哈伯定律如何提供宇宙正在膨胀的证据。内容包括概念解说、解题示例及练习题。
一个星系正远离地球。它发出的光抵达我们时，波长已向光谱的红端伸长。但这里有个问题：我们如何判断一个遥远的星系是否真的正在远离我们？又如何知道整个宇宙正在膨胀，而不是星系只是在一片固定、空旷的空间中飞行？
关键概念来自比较两项测量：
1. 星系光线的红移（redshift），这能告诉我们星系远离我们的速度有多快；以及
2. 该星系的距离，这能告诉我们它离我们有多远。
将这两项测量结合后，就会出现一种规律：星系距离我们越远，通常远离我们的速度就越快。
01改变问题方向的观测
想像你正看著一列骑单车的人逐渐远离你。离你最近的骑车者，与远处的骑车者正以相同的速度前进。
你会预期最远的骑车者看起来远离你的速度更快吗？
不会。在这种情况下，距离与速度并没有关联。每位骑车者的速度都相同。
天文学家在星系中发现的情况却有所不同。平均而言，一个距离我们两倍远的星系，其远离速度大约也是两倍。
在接受这个结论之前，先预测一下：如果宇宙没有膨胀，你会预期观察到什么？
如果宇宙是静态的，就没有理由认为遥远星系的距离与退行速度之间会呈现系统性的关系。有些星系可能朝我们移动，有些可能远离我们，但整体而言，不会出现明确的趋势。
这些证据指出一个更宏大的现象：空间本身正在膨胀。
02从星光判读运动
要理解这些证据，我们首先需要了解天文学家如何在不前往星系的情况下测量它们的运动。
恒星和星系会发出具有特定波长的光。这些波长形成的图样称为谱线（spectral lines）。每种元素都有自己的谱线图样，几乎就像条码一样。
例如，氢会产生一组已知的谱线。天文学家可以将从遥远星系测得的波长，与在地球实验室中测得的氢谱线波长进行比较。
如果谱线移向较长的波长，这道光就称为发生了红移（redshift）。
红移表示光源相对于观测者正在远离。
这与都卜勒效应有关。你可能已经从声音中注意过类似的现象：救护车接近时，警笛音调较高；当它远离时，音调则较低。
光的情况并不完全相同，因为光不像声音那样需要空气等介质传播，但波长伸长的概念是相似的。
一个实用的初步模型是：
- 星系朝地球移动 → 波长被压缩 → 蓝移
- 星系远离地球 → 波长被拉长 → 红移
这个模型很有帮助，但仍需要进一步修正。对于非常遥远的星系，红移并不只是星系在空间中移动所造成的结果。光波在传播过程中，也会因为空间本身的膨胀而被拉长。
03测量红移
红移的程度可以用红移值 \(z\) 表示：
\[ z = \frac{\lambda_{\text{observed}}-\lambda_{\text{rest}}}{\lambda_{\text{rest}}} \]
其中：
- \(z\) 是红移值，
- \(\lambda_{\text{observed}}\) 是从遥远星系测得的波长，
- \(\lambda_{\text{rest}}\) 是在实验室中测得的已知波长。
\(z\) 的值越大，代表波长的偏移越大。
当速度远低于光速时，可以使用以下公式估算退行速度：
\[ v = cz \]
其中：
- \(v\) 是星系的退行速度，单位为公尺每秒，
- \(c\) 是光速，即 \(3.00 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}\)，
- \(z\) 是红移值。
这个公式是 HSC 课程中实用的近似方法。对于距离极其遥远的星系，天文学家会使用以广义相对论为基础的进阶模型。
04测量距离：证据的另一半
红移本身只能告诉我们星系远离的速度有多快，却无法告诉我们它距离我们有多远。
天文学家需要测量距离。
其中一种方法是使用标准烛光（standard candles）。这些天体具有已知的真实亮度。透过比较它们的真实亮度与观测亮度，天文学家便能估算距离。
一个简单的类比是在夜间观察两支完全相同的手电筒。
看起来较暗的那支手电筒，很可能距离较远。
但这个类比并不完全适用，因为恒星并不是亮度完全相同的手电筒。天文学家需要仔细校准，才能确定天体的真实亮度。
结合距离测量与红移测量后，天文学家便能绘制退行速度对距离的关系图。
05哈伯定律：数据中的规律
这种关系称为哈伯定律（Hubble’s law）：
\[ v = H_0 d \]
其中：
- \(v\) 是退行速度，
- \(H_0\) 是哈伯常数，
- \(d\) 是星系的距离。
哈伯常数描述宇宙目前的膨胀速率。
重要的不只是这条公式，更是它所代表的意义：
距离增加，退行速度也随之增加。
一个常见的错误观念是：由于每个星系看起来都在远离我们，因此地球一定位于膨胀的中心。
但试著想像在一个正在充气的气球表面画上许多点。当气球膨胀时，每个点都会看到其他点逐渐远离。没有任何一个点是表面膨胀的中心。
气球类比有助于说明为何每个位置的观测者都能观察到膨胀。然而，这个类比并不完整，因为真实的宇宙并不像气球那样向周围的空间膨胀。实际上，正在改变的是空间本身。
06解题示例：根据红移计算退行速度
解题示例：某星系的红移值为 \(z = 0.002\)。估算它的退行速度。
步骤 1
当速度较小时：
\[ v = cz \]
光速为：
\[ c = 3.00 \times 10^8 \text{ m s}^{-1} \]
步骤 2
\[ v = (3.00 \times 10^8)(0.002) \]
\[ v = 6.00 \times 10^5 \text{ m s}^{-1} \]
步骤 3
该星系正以约以下速度远离我们：
\[ \boxed{6.00 \times 10^5 \text{ m s}^{-1}} \]
亦即 \(600 \text{ km s}^{-1}\)。
红移告诉我们该星系正在远离我们，而红移的大小则可用来估算它远离的速度。
07解题示例：运用哈伯定律
解题示例：某星系距离我们 \(20\) Mpc，退行速度为 \(1400 \text{ km s}^{-1}\)。计算 \(H_0\) 的值。
步骤 1
\[ v = H_0d \]
因此：
\[ H_0=\frac{v}{d} \]
步骤 2
\[ H_0=\frac{1400}{20} \]
\[ H_0=70 \text{ km s}^{-1}\text{Mpc}^{-1} \]
步骤 3
测量结果显示，距离每增加一百万秒差距，退行速度便会增加约 \(70 \text{ km s}^{-1}\)。
这正是膨胀宇宙所预期的规律。
08最容易令人误解的观念：「星系是在空间中移动」
我们很自然会把星系想像成从某个中心点爆炸散开，并在固定的空间中飞行。
这种想法看似合理，因为许多日常物体都是以这种方式移动。例如，球被抛过田野时，会在田野的空间中移动。
然而，哈伯观测所得的证据指向另一种模型。大尺度的膨胀是由空间本身的伸展造成的。随著星系之间的空间膨胀，星系之间的距离也随之增加。
局部运动仍然存在。例如，星系可能因为重力而互相靠近。在距离较远的尺度上，整体膨胀的效应会更明显，因为此时整体趋势占据主导地位。
这就是为甚么仙女座星系可以正朝银河系移动，即使宇宙整体正在膨胀。
09将哈伯定律的证据与其他恒星观测连结起来
红移测量取决于能否正确辨认谱线。这与天文学家如何利用光谱来分类恒星有直接关系。
你可以在这里复习相关内容：
当天文学家了解如何解读恒星与星系发出的光后，也能将恒星标示在赫罗图上，以研究恒星的演化：
10问题与解答
问题 1
某星系的红移值为 \(0.0015\)。估算它的退行速度。
解答 1
退行速度约为 \(4.50 \times 10^5 \text{ m s}^{-1}\)。
对于较小的红移，使用：
\[ v = cz \]
其中：
- \(c = 3.00 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}\)，
- \(z = 0.0015\)。
代入：
\[ v=(3.00 \times 10^8)(0.0015) \]
\[ v=4.50 \times 10^5 \text{ m s}^{-1} \]
该星系正以约 \(450 \text{ km s}^{-1}\) 的速度远离地球。
常见的错误是把红移值本身当作速度。红移值只是衡量波长变化的数值。
问题 2
两个星系的观测数据如下：
- 星系 A：距离 \(50\) Mpc，退行速度 \(3500 \text{ km s}^{-1}\)
- 星系 B：距离 \(100\) Mpc，退行速度 \(7000 \text{ km s}^{-1}\)
解释这些数据对宇宙膨胀有甚么启示。
解答 2
这些观测结果显示，退行速度与距离成正比。
对于星系 A：
\[ H_0=\frac{3500}{50}=70 \text{ km s}^{-1}\text{Mpc}^{-1} \]
对于星系 B：
\[ H_0=\frac{7000}{100}=70 \text{ km s}^{-1}\text{Mpc}^{-1} \]
两者得出的 \(H_0\) 值相同。
这支持哈伯定律：
\[ v=H_0d \]
一个看似合理的结论是，星系 B「因为有更强大的引擎，所以移动得更快」。但更合理的解释是，由于距离更远，地球与星系 B 之间存在更多正在膨胀的空间。
问题 3
一名学生说：
「因为每个星系看起来都在远离地球，所以地球一定位于宇宙的中心。」
解释为甚么这个推理不正确。
解答 3
这个结论不正确，因为膨胀发生在整个空间中，而不是从空旷空间中的某个单一爆炸点向外扩散。
气球类比有助于理解这一点：膨胀中的气球表面上，每个点都会看到其他点逐渐远离。没有任何一个点是表面膨胀的中心。
容易产生的误解是套用日常运动的经验，认为物体远离我们通常表示我们接近运动的中心。真正改变结论的关键在于，膨胀是空间本身的伸展，因此每位观测者都会测得遥远星系正在远离。
问题 4
某个遥远星系的红移比一个邻近星系更大。一名学生因此得出结论：
「这个遥远星系在其整个历史中，一定一直以更快的速度在空间中移动。」
评估这项说法。
解答 4
这项说法并不完整，因为较大的红移主要表示光在穿越空间的过程中，经历了更大程度的膨胀效应。
在膨胀中的宇宙里，遥远星系通常具有较大的退行速度，因为它们距离我们更远，符合以下规律：
\[ v=H_0d \]
容易产生的误解是把星系想像成火箭，认为它只是以更快的速度飞行。当中忽略了一个关键因素：观测到的红移包含星系与地球之间的空间膨胀效应，而不仅仅反映星系的局部运动。
更准确的解释是，距离越远，对观测到的分离程度产生影响的膨胀空间就越多。
问题 5
两位天文学家正在测量宇宙。
天文学家 A 观测到一个具有较大红移的星系，并得出结论，认为该星系正快速远离我们。
天文学家 B 则认为，单凭较大的红移，不能证明该星系目前具有很大的速度，因为光可能已在膨胀中的宇宙里传播了数十亿年。
哪位天文学家的论点较有说服力？还需要哪些额外证据，才能支持这项结论？
解答 5
天文学家 B 的论点较有说服力，因为单凭红移，无法完全确定一个非常遥远的星系目前的运动状态。
容易产生的误解是直接套用简单的都卜勒模型：波长偏移越大，速度就越快。这个方法对邻近天体相当有效，但在宇宙学尺度的距离上便不再完整。
对于非常遥远的星系，观测到的红移包含光在传播过程中，空间膨胀所造成的效应。
若要支持宇宙整体正在膨胀的结论，天文学家需要结合以下证据：
1. 可靠的距离测量，
2. 红移测量，
3. 观测到的距离与退行速度之间的关系。
关键在于，单一星系的红移无法揭示宇宙膨胀的完整历史。许多星系呈现出的整体规律，才是支持哈伯定律与膨胀宇宙模型的证据。
这个概念自然引出天文学家接下来会提出的问题：如果宇宙现在正在膨胀，那么我们可以从中得知宇宙的过去、年龄，以及支持大爆炸模型的证据吗？